宁国中学2013年高考数学二轮复习系列材料常考点易错点考前提醒

宁国中学2013年高考数学二轮复习系列材料常考点易错点考前提醒（熊宁辉整理）§Ⅰ集合与常用逻辑用语1.你能说出下列集合的区别吗？①{}x x y x -=2，②{}x x y y -=2，③{}x x y y x -=2),(，④{}02=-x x x ，⑤{}02=-x x ;（①表示该集合的定义域R ，②表示该集合的值域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,41，③表示坐标平面上该曲线点集，④}1,0{，⑤含一个方程的集合，极少用）2. 不要遗忘对多项式最高次项系数的讨论.例：若{}0122=+-=x ax x A 中仅含一个元素，则a 的取值为 .}1,0{3. 集合运算要注意各集合内字母或参数取值的独立性. 例：{}1≠=x x A ，{}2≠=x x B 则=B A R ；例：{}R a a M ∈+==λλ),4,3()2,1( ，{}R a a N ∈+==λλ),7,5()3,2( ，则=N M }{)10,7(，注意该集合的表示方法.4.若出现B A ⊆或φ=B A ,不要遗忘对空集的讨论.例：已知{}0652=+-=x x x A ,{}01=-=ax x B ，A B ⊆，求实数a 的值. }31,21,0{ 5.满足{}{}n m a a a A a a a ,...,,...,,2121⊆⊆的所有集合A 的个数为 ，若改为真包含呢？（m n -2，换1个真包含结果减1，换2个真包含结果减2）6.注意下列集合关系： ①=*N {正整数}Z N ⊆⊆ .②U B A C B C A B C A C B A B B A A B A U U U U =⇔=⇔⊇⇔⊆⇔=⇔= φ7.解集合问题的基本工具是韦恩图.例：设全集U ，若D A B A =，则下列结论一定成立的是 ( ) (D )A .DB = B .A D B ⊆)(C . )()(D C A B C A U U = D ．)()(A C D A C B U U =.8.会用公式)()()()(B A card B card A card B A card -+=解集合题.例：某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌或跳舞中的一项,其中7人会唱歌5人会跳舞,现从中选出2人，各表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？(33种)9.命题的＂否＂与＂否命题＂的区别:①q p ⇒的“否”是q p ⌝⇒（否定结论），它们有且仅有一个为真；②q p ⇒的“否命题”是q p ⌝⇒⌝ （条件和结论都否定），它们真假没关系.例：命题p ：对顶角相等；命题p ⌝：对顶角不相等； p 的否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.10.复合命题的否定：①“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；②“p 且q ”的否定是“p ⌝ 或q ⌝”.例：判断下面几个命题的真假：①55≥且15≥； ②若3≤x ，则3≤x ；③若3≠+y x ，则1≠x 或2≠y ；④若命题p 为1lg ≤x ，则命题p ⌝为1lg >x ； ⑤若}2{}1{≠≠=y y x x A ),2()2,1()1,(+∞-∞= B ,则B A =. (答：①真，②真， ③真，④假，⑤假)11.会利用“互为逆否的两个命题是等价的”来解题. 例：上面例③.12.B A ⇒的等价叙述①“A 是B 成立的充分条件”； ②“B 是A 成立的必要条件”；③ “B 成立的充分条件是A ”；④“A 成立的必要条件是B ”.例：C B a ∈⇔B a ∈或C a ∈吗？(真) ；C B A ⊆B A ⊆⇔或C A ⊆吗？（假,前者是后者的必要条件，后者是前者充分条件）§Ⅱ函数1. 在映射B A f →:中，两允许两不允许（允许B 中有剩余元素，不允许A 中有剩余元素；允许多对一，不允许一对多）.例：{}a x y x A ==),(,{})(),(x f y y x B ==,则B A 中至多有 1 个元素.2. 你知道周期函数定义吗？（)()(x f T x f =+对定义域内一切x 都成立）例:①若函数)(x f 满足)()(x f a x f -=+，则)(x f 的周期=T （a T 2=）.②若函数)(x f 满足)(1)(x f a x f ±=+，则)(x f 的周期=T （a T 2=）. ③若函数)(x f 满足)()(a x f a x f -=+，则)(x f 的周期=T （a T 2=）.3. 你知道偶函数、奇函数定义吗？下列结论你清楚吗？①)(x f y =为偶函数⇔)()(x f x f =-⇔)(x f y =图像关于0=x （即y 轴）对称； ②)(x f y =为奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f y =图像关于)0,0(（即原点）对称； ③)(a x f y +=为偶函数⇔)()(a x f a x f +=+-⇔)(x f y =图像关于a x =对称⇔)(a x f y +=图像关于0=x （即y 轴）对称；④)(a x f y +=为奇函数⇔)()(a x f a x f +-=+-⇔)(x f y =图像关于)0,(a 对称⇔)(a x f y +=图像关于)0,0(（即原点）对称.4. 判断一个函数奇偶性，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称；切记：定义在R 上的奇函数)(x f y =必定过原点.5.若()x f y =满足()()b x f a x f +±±=+组合之一，你能弄清它具有的性质吗？①若()()b x f a x f +=+，则()x f y =具有周期性a b T -=;②若()()b x f a x f +-=+，则()x f y =具有周期性a b T -=2;③若()()b x f a x f +-=+，则()x f y =具有轴对称性，对称轴2b a x +=; ④若()()b x f a x f +--=+，则()x f y =具有中心对称性，对称中心)0,2(b a +. 7.你能辨别函数图像自身对称性与两个函数图像对称性的区别吗？①)(a x f y +=与)(b x f y +-=图像关于2a b x -=对称;区别上面③.②)(a x f y +=与)(b x f y +--=图像关于)0,2(a b -对称；区别上面④. 例：已知定义在R 上的函数)(x f y =满足条件()x f x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23，且函数)43(-=x f y 为奇函数，给出以下四个命题：①函数)(x f 是周期函数；②函数)(x f 的图象关于点)0,43(-对称；③函数)(x f 为R 上的偶函数；④函数)(x f 为R 上的单调函数.其中真命题的序号为 ①②③.8．你会利用奇偶性求函数在对称区间的表达式吗？①若)(x F 为R 上奇函数，它在),0(+∞上表达式为()x f ，则它在)0,(-∞上表达式为)(x f --；②若)(x F 为R 上偶函数，它在),0(+∞上表达式为()x f ，则它在)0,(-∞上表达式为)(x f -. 例：设()x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有()()x f x f -=+2.当]1,0[∈x时，()22x x x f -=．求()x f 在]3,1[上解析式 ⎩⎨⎧∈+-∈-=]3,2(,86]2,1[,2)(22x x x x x x x f 9.你知道函数的单调性与奇偶性的关系吗？（奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数则为相反的单调性．）10.你能分别说出()x f y =与)(m x f y +=，n x f y +=)(，)(x f y =，()x f y =，()x Af y =，()x f y ω=的图像变位关系吗？（左右平移，上下平移，下向上翻转，右向左翻转，纵向伸缩，横向伸缩）11.复合函数定义域：①如果()x f 的定义域为A ，则))((x g f 的定义域是由A x g ∈)(解得x 的范围为所求. ②如果))((x g f 的定义域为B ，则()x f 的定义域是由B x ∈解得)(x g 的范围为所求. 例：若()x f y =定义域]6,4[-，则())(x f x f y -+=定义域 ]4,4[-，()x f y =定义域]6,6[-；例：若函数)2(x f 的定义域是]1,1[-，则)(log 2x f 的定义域为 ]4,2[.12.求复合函数的最值时，你考虑到定义域的变化吗？例：已知]9,1[,log 2)(3∈+=x x x f ，则函数)()]([22x f x f y +=的值域为 ]13,6[，典型错误：]22,6[13.函数的单调区间必须要用区间表示，端点值在定义域内，闭开均可，端点值不在定义域内，必须为开；若增（减）区间不止一个，区间之间用“和”或“，”隔开，不可用“∪”.注意：函数定义域可用集合表示也可要区间表示，若是两个区间，必须用“∪”连接.14.你会判断复合函数的单调性吗？设)]([x f y ϕ=，记)(u f y =（外层），)(x u ϕ=（内层），则当内、外层函数单调性相同时，)]([x f y ϕ=为增函数，否则)]([x f y ϕ=为减函数.15.几类常见的抽象函数模型，类比探究.①正比例函数型：)()()(y f x f y x f ±=±； 如)0()(≠=k kx x f②幂函数型：)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =； 如2)(x x f = ③指数函数型：)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-； 如x a x f =)( ④对数函数型：)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yx f -=；如x x f a log )(= ⑤三角函数型：)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+ ； 如x x f tan )(= 16.函数的零点和存在性定理：函数()x f y =的零点就是方程()0=x f 的实数根，也就是函数()x f y =的图象与x 轴交点的横坐标，因此函数的零点是一个数，不能表示为点的坐标；零点存在性定理的条件是充分的，不是必要条件.例：22)(x x f x -=的零点有 个（3） §Ⅲ导数及其应用1.（理）求导时，你注意到下列函数都是复合函数吗？例：x e y -=；)1ln(x y -=；x y 2sin =；x y 2cos =(x e y --=';11'-=x y ;x y 2cos 2'=;x y 2sin '-=) 2.对曲线切线的认知：①曲线在某点处的切线与曲线的公共点可能不止1个；②过某点的切线不一定只有一条; ③切线可以穿过曲线.例：3x y =在0=x 处的切线为 x 轴，3x y =在0=x 处的切线为 y 轴.3.你会求曲线在．某点处的切线与过．某点的切线吗？ 例：331x y =在点)38,2(P 处切线方程为 016312=--y x ；331x y =过点)38,2(P 的切线方程为 016312=--y x 或0233=+-y x4.你会求两曲线公切线方程吗？例：2x y =与2)2(--=x y 公切线方程为 044=--y x 或0=y5.研究函数单调性、极值等，你考虑定义域了吗？对于已知函数单调性求参数范围问题，不等式挂等号情况你考虑了吗？例：函数ax x x f +=3)(在),1(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为 ),3[+∞-.6.对极值点和极值的认知：①极值点是指自变量x 的某个取值，是图像上某点的横坐标，对应极值是该点的纵坐标.②极值点不可能在区间端点.③可导函数在极值点的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点.例：函数3x y =在0=x 处的导数为零，但0=x 不是极值点.7.三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图像及性质要熟练掌握：记c bx ax x f ++=23)(2'的判别式为∆，c a b )3(4)2(2-=∆（1）图像分四类：①恒增⇔⎩⎨⎧≤∆>00a ； ②增减增⇔⎩⎨⎧>∆>00a ；③恒减⇔⎩⎨⎧≤∆<00a ； ④减增减⇔⎩⎨⎧>∆<00a （2）三次函数)(x f 有极值⇔0>∆.（3）三次函数)(x f 在开区间内不单调⇔)(x f 在开区间内有极值点)('x f ⇔在开区间内有实根且无重根.例：已知),()2()1()(23R b a b x a a x a x x f ∈++--+=在区间)1,1(-上不单调，则a 的取值范围 )1,21()21,5(--- （4）若三次函数)(x f 存在极值，则)(x f 零点个数的结论：①)(x f 恰有一个零点⇔0>极小y 或0<极大y .②)(x f 恰有2个零点⇔0=极小y 或0=极大y .③)(x f 恰有3个零点⇔0<极小y 且0>极大y .（5）任何三次函数)(x f 都是中心对称图形，对称中心坐标))3(,3(ab f a b --（与导函数对称轴横坐标相同），特别当且仅当0==d b 时)(x f 为奇函数.8．你会运用奇偶性求函数定积分吗？①若)(x f 为奇函数，0)()(=⎰-x d x f aa ;②若)(x f 为偶函数，⎰⎰=-a a a x d x f x d x f 0)()(2)()(；例：已知1sin )(5+=x x f ，则=⎰-)()(22x d x f ππ π 9.你会运用转换积分变量求函数定积分吗？例：x y 22=与4-=x y 所围成区域面积为 1810.你会运用定积分几何意义求函数定积分吗？例：=-⎰)(1102x d x ；=--⎰)()1(1102x d x ；=-⎰)(12102x d x ；（ 4π；4π；8312+π） §Ⅳ三角函数与解三角形1.你会快速判断2sin ；3cos ；4tan 的正负号吗？（答：正，负，正）2.你会运用齐次式求三角函数值吗？例：已知2tan =α，则=-+ααααcos sin cos sin 3； =⋅ααcos sin 52 . 例：若5sin 2cos -=+αα，则=αtan 2. 3.正余弦转换公式：)2cos(sin π-=x x ，)2cos(cos π+=x x ，该组公式在变换后仍能保持x 的系数为正，便于讨论函数单调性等.4.利用正、余弦函数图像待定参数时，你会区分第一类零点、第二类零点吗？①x y sin =第一类零点：)(2Z k k x ∈=π， 第二类零点：)(2Z k k x ∈+=ππ； ②x y cos =第一类零点：)(22Z k k x ∈+=ππ，第二类零点：)(22Z k k x ∈+-=ππ）5.你会求函数)sin(ϕω+=x A y ，)cos(ϕω+=x A y ，)tan(ϕω+=x A y 对称轴、对称中心吗？①)sin(ϕω+=x A y 的对称轴由)(2Z k k x ∈+=+ππϕω 得)(2Z k k x ∈+-=ωπϕπ；对称中心由)(Z k k x ∈=+πϕω 得))(0,(Z k k ∈+-ωπϕ. ②)cos(ϕω+=x A y 的对称轴由)(Z k k x ∈=+πϕω 得)(Z k k x ∈+-=ωπϕ；对称中心由)(2Z k k x ∈+=+ππϕω 得))(0,2(Z k k ∈+-ωπϕπ.③)tan(ϕω+=x A y 对称中心由)(2Z k k x ∈=+πϕω 得))(0,2(Z k k ∈+-ωπϕ;无对称轴. 例：判断：若)3sin()(πω+=x x f ，)32()3(ππf f =，则2π=x 是)(x f 的一条对称轴(错). 例：若x a x x f cos sin )(+=的图像的一条对称轴为35π=x ，则x x a x g cos sin )(+=的最大值为 332. 6.ϕ为何值函数)sin(ϕω+=x A y ，)cos(ϕω+=x A y ，)tan(ϕω+=x A y 分别为奇函数、偶函数？①对)sin(ϕω+=x A y ，当)(Z k k ∈=πϕ时为奇函数， 当)(2Z k k ∈+=ππϕ时为偶函数. ②对)cos(ϕω+=x A y 当)(2Z k k ∈+=ππϕ时为奇函数，当)(Z k k ∈=πϕ时为偶函数.③对)tan(ϕω+=x A y ，当)(2Z k k ∈=πϕ时为奇函数。