数字信号处理 chapter1

−∞ < n < ∞
举例说明卷积过程
n ≤ -2, y(n)=0
n=-1
n=0
n=1
y(-1)=8
y(0)=6+4=10
y(1)=4+3+6=13
LL
n=5
n=6
n=7
y(5)=-1+1=0
y(6)=0.5
y(n)=0, n ≥ 7
y(n)
卷积和与两序列的前后次序无关
y ( n ) = x ( n) ∗ h ( n ) =
x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值 x(n)只在n为整数时才有意义
1、序列的运算
移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和
1）移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移m位 x(n+m)：超前/左移m位
2）翻褶
x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n) 加以翻褶
3、单位抽样响应与卷积和
单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：
δ ( n)
h(n) = T [δ (n)]
作业练习
P42: 2(2)(3)(4) 3 4(1) 6(2) 7 8(3)(4)(5)(6)(7) 10 12 14(1)(2)
一、离散时间信号—序列
序列：对模拟信号xa (t ) 进行等间隔采样，采样间隔为T， 得到
xa (t )
t = nT
= xa (nT ) −∞ < n < ∞
x n取整数。对于不同的n值， a (nT ) 是一个有序的数字序列： ...xa (−T ), xa (0), xa (T ), xa (2T ),... 该数字序列就是离散时间信 号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮 器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔， 形成x(n)信号，称为序列。
y ( n) =
m =−∞
∑ x ( m) h( n − m) = x ( n) ∗ h( n)
∞
1）翻褶： x(n) → x(m) h(n) → h(m) → h(− m) 2 ） 3）相乘： x(m) ⋅ h(n − m) −∞ < m < ∞ 移 ∞ − 4）相加： ∑ x(m)h(n位m) m =−∞ ：
则要求ω 0 N = 2π k，即N = 2π
ω0
k，N，k为整数，
且k的取值保证N 是最小的正整数
分情况讨论 1）当 2）当 3）当 为整数时 ω
0
2π 2π
0
为有理数时 ω 为无理数时
ω0
2π
1）当
2π
ω0
为整数时， 2π
取k = 1，x ( n )即是周期为
ω0
的周期序列
如sin( n )， ω0 = ， =8= N 4 4 ω0 该序列是周期为8的周期序列
T [ x1 (n) + x2 (n)] = a[ x1 (n) + x2 (n)] + b
= ax1 ( n ) + ax2 ( n ) + b
≠ y1 ( n ) + y2 ( n )
∴该系统是非线性系统
不满足可加性
增量线性系统
y (n) = ax(n) + b
y0(n) x(n) 线性系统 y(n)
例：
x(n) = sin( n) = sin[ (n + 8)] 4 4 因此，x(n)是周期为8的周期序列
π
π
讨论一般正弦序列的周期性
x(n) = A sin(ω0 n + φ )
x(n + N ) = A sin[ω0 (n + N ) + φ ] = A sin(ω0 n + φ + ω0 N ) 要使x ( n + N ) = x ( n )，即x ( n )为周期为N的周期序列
2π π 例：判断系统y ( n ) = x ( n )sin( n + )是否线性 9 7 2π π 解：设y1 (n) = T [ x1 (n)] = x1 (n)sin( n + ) 9 7 2π π y2 (n) = T [ x2 (n)] = x2 (n)sin( n + ) 9 7 2π π T [ x1 (n) + x2 (n)] = [ x1 (n) + x2 (n)]sin( n + ) 9 7 2π π 2π π = x1 ( n )sin( n + ) + x2 ( n )sin( n + ) 9 7 9 7 = y1 ( n ) + y2 ( n ) 满足可加性 2π π T [ax1 (n)] = ax1 (n)sin( n + ) 9 7 = ay1 ( n )，a为常数 满足比例性
1 1 2π 如sin( n )， ω0 = ， = 8π 4 4 ω0 该序列不是周期序列
例：判断
x ( n) = e
n j ( −π ) 6
是否是周期序列
解：x(n + N ) = e
j( n+ N −π ) 6
=e
n N j ( −π + ) 6 6
若x ( n )为周期序列，则必须满足x ( n ) = x ( n + N )， N 即满足 = 2π k，且N，k为整数 6
2π π 解：T [ x( n − m)] = x(n − m)sin( n + ) 9 7 2π π y (n − m) = x(n − m)sin[ (n − m) + ] 9 7
≠ T [ x(n − m)]
∴该系统不是移不变系统
同时具有线性和移不变性的离散时间系统 称为线性移不变系统 LSI：Linear Shift Invariant
T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 y1 ( n) + a2 y2 (n) 或同时满足：
可加性： T [ x1 (n) + x2 (n)] = y1 (n) + y2 (n) 比例性/齐次性： T [ax1 (n)] = ay1 ( n) 其中：a, a1 , a2为常数 则此系统为线性系统。
而不论k 取什么整数，N = 12π k 都是一个无理数
∴ x ( n )不是周期序列
讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样 得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号 的周期T0之间应是什么关系才能使所得 到的抽样序列仍然是周期序列？ 设连续正弦信号：
x(t ) = A sin(Ω0t + φ )
Ω0 = 2π f 0 T0 = 1/ f 0 = 2π / Ω0
π
π
2π
2）当
2π
ω0
为有理数时，
P 表示成 = ，P，Q为互为素数的整数 ω0 Q 取k = Q，则N = P，x ( n )即是周期为P的周期序列
2π
4π 4π 2π 5 如sin( n )， ω0 = ， = ， 5 5 ω0 2 该序列是周期为5的周期序列3）当源自2πω0为无理数时，
取任何整数k 都不能使N 为正整数， x ( n )不是周期序列
2）单位阶跃序列
1 n ≥ 0 u ( n) = 0 n < 0
与单位抽样序列的关系
δ (n) = u (n) − u (n − 1)
u (n) = ∑ δ (n − m) = δ (n) + δ (n − 1) + δ ( n − 2) + ...
m =0 n ∞
=
k =−∞
∑ δ (k )
第一章 离散时间信号与系统
学习目标
掌握序列的概念及其几种典型序列的定义, 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握 序列的基本运算，并会判断序列的周期性。 掌握线性/移不变/因果/ 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概 念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/ 念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/ 稳定性判断的充要条件。 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位 抽样响应。 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特 抽样定理，了解抽样的恢复过程。
4）实指数序列
x ( n) = a u ( n )
n
a 为实数
5）复指数序列
x(n) = e(σ + jω0 ) n = eσ n ⋅ e jω0n
= e cos(ω0 n) + je sin(ω0 n)
σn
σn
ω0 为数字域频率
π 例： j n x(n)=0.9 n e 3
6）正弦序列
x(n) = A sin(ω0 n + φ )
n =−∞ ∞ 2
二、线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列 的一种运算。
记为：T [⋅]
x(n)
离散时间系统 T[ · ]
y(n)
y (n) = T [ x(n)]
1、线性系统
若系统 T [⋅] y1 (n) = T [ x1 (n)] 满足叠加原理：
y2 (n) = T [ x2 (n)]
N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期 例：
3 x(n) = sin( × 2π n) 14 3 ω0 = × 2π 14 2π 14 N T0 = = = ω0 3 k T
当14T = 3T0时， ( n )为周期为14的周期序列 x
4、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E = ∑ x( n)
3）矩形序列
1 0 ≤ n ≤ N − 1 RN (n) = 其它n 0
与其他序列的关系 RN (n) = u (n) − u ( n − N )