7[1].5.3二次函数与圆综合.讲义学生版

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二次函数与圆知识点总结1

二次函数与圆知识点总结1二次函数与圆知识点总结1一、二次函数的概念及性质：1. 二次函数的定义：若函数f(x)可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)，其中a、b、c为常数，且a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数项，那么f(x)就是一个二次函数。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴方程为x=-b/2a。

3.二次函数的性质：（1）零点和方程：若二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的零点为x1和x2，则该二次函数与方程ax^2+bx+c=0有x1和x2为根的特征。

（2）最值和顶点：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

（3）图像的开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

（4）对称轴：二次函数的对称轴方程为x=-b/2a，对称轴与抛物线图像呈现对称关系。

二、圆的概念及性质：1.圆的定义：圆是平面上到一个固定点距离相等的点的集合，这个固定点叫做圆心，到圆心距离相等的距离叫做半径。

2.圆的元素：圆由圆心和半径确定。

圆心用字母O表示，半径用字母r表示。

3.圆的性质：（1）半径的性质：圆心到圆上任一点的距离等于半径的长度。

（2）直径的性质：过圆心的任意直径将圆分成两个等半弧，并且直径的长度是半径的两倍。

（3）弧的性质：圆周上的任意两点所对应的弧长相等，且圆周上所有弧的总长度是360度或2π弧度。

（4）切线的性质：切线与半径的垂直线相交成直角，且切线的斜率等于切点所对应半径的斜率的相反数。

三、二次函数与圆的应用：1.二次函数的应用：（1）抛物线的形状：二次函数可以用来描述抛物线的形状，常用于物理学、几何学等领域的计算和分析。

九年级数学二次函数与圆知识点

九年级数学二次函数与圆知识点九年级数学：探索二次函数与圆数学是一门抽象而又精确的学科，而在九年级数学中，学生将开始探索一些更加复杂的数学概念和知识点，例如二次函数和圆。

这些知识点不仅有助于学生提高数学思维能力，还可以为他们将来的学习打下坚实的基础。

本文将深入介绍九年级数学中关于二次函数与圆的知识点。

一、二次函数1. 基本概念二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数, 其中a、b和c为实数，且a不等于零。

在一般形式中，a代表抛物线的开口方向（正负），b代表抛物线的位置（平移），c则是抛物线的顶点或者是与x轴交点的y轴坐标。

2. 抛物线的性质在讨论二次函数时，我们也必须了解抛物线的性质。

对于标准形式的二次函数，当a大于零时，抛物线开口朝上，并且a的绝对值越大，抛物线越窄。

当a小于零时，抛物线开口朝下，并且同样的原则适用于抛物线的宽度。

另外，抛物线的顶点是一个非常重要的概念，它代表着抛物线的最高或者最低点。

3. 二次函数的图像和方程在研究二次函数时，图像和方程是两个关键的方面。

通过观察图像我们可以更好地理解函数的特点，而通过方程我们可以解决很多数学问题。

对于二次函数，我们可以通过方程的解，求得抛物线与x轴的交点，这是解决实际问题中一个常见的应用。

二、圆的知识1. 基本定义圆是平面上所有到一个点（圆心）的距离都相等的点的集合。

其中，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，而直径则是通过圆心的两个点的线段的长度之二倍。

另外，圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，而面积则是圆内所有点的集合。

2. 弧长和扇形面积将圆上的一部分切割下来，我们可以得到一个弧。

弧长是弧所代表的一段圆的长度。

通过圆心和弧上两个点的连线，可以绘制出一个扇形，而扇形的面积则是圆面积的一部分。

3. 圆与直线的关系通过点和线的关系，我们可以了解到圆与直线之间的一些关系。

首先，在平面上，如果一条直线与圆相交于两个点，则这条直线被称为切线。

第二章二次函数-二次函数与几何综合(教案)

5.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论和问题探究，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数图像的几何变换：重点理解图像的平移、伸缩、对称等几何变换的规律及其对函数表达式的影响。
-平移变换：掌握二次函数图像向左、向右、向上、向下平移的规律，理解平移变换对函数解析式中常数项的影响。
-难点举例：在图像的平移、伸缩、对称变换中，如何正确调整函数解析式中的常数项和系数。
-解决方法：通过动态演示和实际操作，帮助学生直观地理解图像变换规律，并学会应用于实际问题。
（2）二次函数与几何关系的综合应用：学生对二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点的理解可能不深刻。
-难点举例：如何确定二次函数图像与坐标轴、直线、圆的交点，以及如何利用这些交点解决几何问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数与几何综合》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算抛物线与坐标轴围成图形面积的情况？”（如篮球投篮的抛物线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数与几何综合的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与几何综合在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决方法：通过典型例题的分析和讲解，使学生掌握求解交点的方法，并运用这些交点解决几何问题。

二次函数与圆教案

二次函数与圆教案引言：数学教育常常被认为是学科中最抽象和难懂的一门，其中的二次函数和圆也是许多学生难以理解的重点。

本文旨在介绍二次函数和圆的基本概念、性质和应用，并以实例方式探讨其教学方法和技巧。

一、二次函数二次函数是数学中一类重要的函数类型，其函数图像通常呈现出“开口向上”或“开口向下”的抛物线形式。

它的标准方程为y=ax²+bx+c（其中a≠0）。

下面我们将从以下几个方面介绍二次函数：1.二次函数的基本概念：二次函数的图像形状、拐点、对称轴等是很多学生难以理解的地方。

在教学中可以采用以下方法：（1）通过绘制二次函数的图像，帮助学生形象地理解二次函数函数图像的特点。

（2）将二次函数化为顶点式，并由此确定拐点和对称轴，从而加深学生的理解。

（3）结合实际问题进行分析，使学生在实际应用中掌握二次函数的函数图像、拐点和对称轴等基本概念。

2.二次函数的图像性质：二次函数的图像性质主要包括开口方向、顶点坐标、对称轴以及最值等。

在教学中可以采用以下方法：（1）通过图像和表格进行比较，体现二次函数的性质。

（2）引入二次函数图像的顶点和对称轴等基本概念，帮助学生理解二次函数的性质。

（3）通过实例分析、归纳等方式深入探讨二次函数图像的性质。

3.二次函数的应用：二次函数具有广泛的应用，可以用来描述物理、经济、管理等领域中的各种问题。

在教学中可以采用以下方法：（1）引导学生找到应用场景，了解二次函数在实际应用中的价值。

（2）通过实例分析和解决问题，让学生掌握如何应用二次函数。

二、圆圆在数学中是一个经典的几何图形，其定义是指平面上的所有点到一个固定点的距离相等，这个固定点称为圆心，距离称为圆的半径。

圆是几何中的重要图形之一，具有一系列的独特性质。

下面我们将从以下几个方面介绍圆：1.圆的基本概念：圆是中学数学中的必学内容，学生在初学时需要掌握圆的基本概念。

教学中可以采用以下方法：（1）以生动形象的方式，介绍圆的定义、性质等基本概念。

九年级数学上册二次函数讲义

初三数学二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：上加下减。

()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

二次函数与圆知识点总结

初三数学二次函数和圆的知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a ac b a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221211.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： ∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1） ∵∠ACB=21∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90°∴ AB 是直径（4） ∵ CD=AD=BD∴ ΔABC 是Rt Δ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1） ∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线（2） ∵OC 是半径∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB （3） ……………ABCD OABCDE O 平分优弧过圆心垂直于弦平分弦平分劣弧∴ AC BC AD BD==AE=BEABC DEFOABCOABCDEA B COABCD∵ ∴ ∥=AB CD ACBDA BCO是半径垂直是切线7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA 、PB 是切线 ∴ PA=PB∵PO 过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）几何表达式举例：（1）∵BD 是切线，BC 是弦∴∠CBD =∠CAB （2）∵ ED ，BC 是切线∴ ∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（1） ∵PA ·PB=PC ·PD∴……… （2） ∵AB 是直径∵PC ⊥AB∴PC 2=PA ·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1） ∵PC 是切线，PB 是割线 ∴PC 2=PA ·PB （2） ∵PB 、PD 是割线∴PA·PB=PC ·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1） ∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切∴O 1 、A 、O 2三点一线 12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n ；（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. 公式举例：(1) αn =n 360︒； (2) n1802n ︒=αABCDABCDEF PABOABCPABCDPAB O1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR ABCDP ABCPO ∵ EF AB=ABO几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角. 二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形. 2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ；直线与圆相切 ⇔ d=r ；直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ；两圆外切 ⇔ d=R+r ；两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 ⇔ d=R-r ；两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：OCAB已知弦构造弦心距.OA BC已知弦构造Rt Δ.OABC已知直径构造直角.OAB已知切线连半径，出垂直.O BC AD P圆外角转化为圆周角.OACD BP圆内角转化为圆周角.ODC PAB构造垂径定理.OACDPB构造相似形.M01ANO2两圆内切，构造外公切线与垂直.01CN O2DEABM两圆内切，构造外公切线与平行.NAM02O1 两圆外切，构造内公切线与垂直.CBMNADEO 102两圆外切，构造内公切线与平行.CE A DB O两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.A CBO102两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. BAC OPPA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.OABCDE相交弦出相似.OP ABC一切一割出相似, 并且构造弦切角.OBCEADP两割出相似,并且构造圆周角.OABCP双垂出相似,并且构造直角.B ACD EF规则图形折叠出一对全等，一对相似.FEDBAC OGH圆的外切四边形对边和相等.ABOCD若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCDBAORtΔABC的内切圆半径：r=2cba-+.O补全半圆.ABCo1o2AB=2221)rR(OO--.CABo1o2AB=2221)rR(OO+-.AC D PO BPC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.BCDOAPO是圆心，等弧出平行和相似.D EMAB CFNG作AN⊥BC，可证出:ANAMBCGF=.。

二次函数及其性质讲义初高中教材衔接

二次函数及其性质二次函数的含义：一般地，把形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数，其中x 是自变量，y 是因变量，自变量的最高次数为2，c b a ,,是常数.二次函数的性质：（1）对二次函数表达式配方，得到二次函数的顶点式：ab ac a b x a a c x a b x a c bx ax y 44)2()(2222-++=++=++=二次函数的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --；（2）二次函数的图象是一条抛物线；○1当0>a 时，二次函数图象开口朝上；当abx 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当abx 2->时，y 随着x 的增大而增大，二次函数图象在对称轴a b x 2-=左侧单调递减，在对称轴abx 2-=右侧单调递增；该二次函数在对称轴abx 2-=处取得最小值a b ac 44-，无最大值；○2当0<a 时，二次函数图象开口朝下；当abx 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当abx 2->时，y 随着x 的增大而减小，二次函数图象在对称轴a b x 2-=左侧单调递增，在对称轴abx 2-=右侧单调递减；该二次函数在对称轴abx 2-=处取得最大值a b ac 44-，无最小值；（3）在二次函数中，若令函数值0=y ，则得到一个一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax .在此，我们研究二次函数与一元二次方程的关系.为讨论方便，在此，我们只讨论0>a 的情况. 方程的判别式ac b 42-=∆0>∆方程有两个不相等的实数根0=∆方程有两个相等的实数根0<∆方程无实数根方程的根aacb b x aac b b x 24,242221-+-=---=ab x x 221-== 无解函数的图象（示意图）函数与x 轴交点个数及横坐标两个aac b b a acb b x 242422-+----=和一个ab x 2-= 无交点（4）由上述一元二次方程与二次函数的对应关系，可知，当函数图象与x 轴有交点时，原函数可以表示为)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标. （5）二次函数的三种表达方式总结： ① 一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；② 顶点式：)0()(2≠+-=a n m x a y ，其中顶点坐标为),(n m③ 交点式（两根式）：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.例题讲解例1：已知二次函数)(x f 满足1)1(,1)2(-=--=f f ，且)(x f 的最大值是8，求)(x f 的表达式.解：212121)1(,1)2(=-=∴-=--=x f f 对称轴为直线又因为)(x f 的最大值是8所以)(x f 可设为顶点式)0(8)21()(2<+-=a x a x f ，将点)1,2(-代入，得4,1849-=-=+a a ，即：)(x f 的表达式为)0(8)21(4)(2<+--=a x x f .例2：已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 和x x f x f 2)()1(=-+. （1）求)(x f ；（2）)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值. 解：（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，因为)(x f 满足条件1)0(=f 和x x f x f 2)()1(=-+，代入，得⎩⎨⎧=++-++++=xc bx ax c x b x a c 2)(])1()1([122，化简，得⎩⎨⎧=++=x b a ax c 221，即⎪⎩⎪⎨⎧=+==0221b a a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==111c b a ，即：1)(2+-=x x x f . （2）由二次函数解析式可知：该二次函数开口朝上，对称轴为直线2121=--=x ，在给定区间]1,1[-上的单调性为从)21,1(-单调递减，)1,21(单调递增，1111)1(,311)1()1(,43121)21()21(222=+-==++-=-=+-=f f f 比较两端点值大小，得1)1()1(3=>-=f f ，综上所述，)(x f 在区间]1,1[-上的最大值为3，最小值为43.自我检测1. 若二次函数)(x f 的图象过点)0,1(),0,1(),4,3(-，求)(x f 的表达式.2. 若二次函数)(x f 的图象过点)1,1(，并且()()73-=≥f x f ，求)(x f 的表达式.3. 已知函数],1[,86)(2a x x x x f ∈+-=，并且函数)(x f 的最小值为)(a f ，则实数a 的取值范围.4. 已知二次函数]1,0[,12)(2∈+-=x ax x x f ，求)(x f 的最小值.参考答案1. 由题干可知，该二次函数过给定的三个点，既可以设一般式，也可以设两根式，而两根式较为容易. 因为二次函数)(x f 的图象过点)0,1(),0,1(),4,3(-，故设)0)(1)(1()(≠-+=a x x a x f ，把点)4,3(代入，得：21,48==a a ，即：)(x f 的表达式为)1)(1(21)(-+=x x x f . 2. 由题干可知，二次函数在3=x 处取到最小值7-，因此该二次函数开口朝上，顶点为)7,3(-，故可以设)(x f 的表达式为)0(7)3()(2≠--=a x a x f .因为)(x f 的图象过点)1,1(，把点)1,1(代入，得2,174==-a a ，即：)(x f 的表达式为7)3(2)(2--=x x f . 3. 二次函数开口朝上，对称轴为直线3126=⨯--=x ，对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增，题干所给函数在区间右端点处取到最小值，故所给区间完全在对称轴左侧，则31≤<a .即：实数a 的取值范围为]3,1(. 4.二次函数开口朝上，对称轴为直线a ax =⨯--=122，对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增，因此，只需讨论所给区间]1,0[与对称轴的位置关系即可. ○1当0≤a 时，所给区间]1,0[完全在对称轴的右侧，)(x f 在]1,0[上单调递增，最小值1)0(min ==f f ；○2当1≥a 时，所给区间]1,0[完全在对称轴的左侧，)(x f 在]1,0[上单调递减，最小值a f f 22)1(min -==；○3当10<<a 时，所给区间]1,0[分布在对称轴的两侧，)(x f 在),0(a 上单调递减，在)1,(a 上单调递增，最小值2min 1)(a a f f -==.。

初中数学九年级下册《二次函数的应用与综合》教学课件

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解：(1)由题意，得 y＝(x－5)·100－x0－.56×5＝－10x2＋210x－800. 故 y 与 x 的函数关系式为 y＝－10x2＋210x－800. (2)要使当天利润不低于 240 元，则 y≥240.令 y＝－10x2＋210x－800＝ 240.解得 x1＝8，x2＝13.∵－10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为 8≤x≤13.
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练习2－1 (2019陕西)如图，二次函数y＝32x2－13x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A(－1，m)，B(n，n)．
(1)求点A，B的坐标．
(2)在坐标平面上找一点 C，使以 A，O，B，C 为顶点的四边形是平行四边形．
①这样的点 C 有几个？
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练习2－1 (2019陕西)如图，二次函数y＝32x2－13x的图象经过△AOB的三个顶点，其中A(－1，m)，B(n，n)．
(1)求点A，B的坐标．
(2)在坐标平面上找一点 C，使以 A，O，B，C 为顶点的四边形是平行四边形．
①这样的点 C 有几个？解：这样的点C有3个．
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实际问题中求最值时的易错点运用二次函数解决实际问题时，对于某些最值问题，应结合自变量的取值范围和端点值两方面考虑：若二次函数的顶点横坐标在实际范围内，一般最值取顶点纵坐标值；若不在，则根据自变量的实际取值及二次函数的增减性确定，此时，最值一般取自变量两端所对应的函数值．同时，还要注意自变量的实际意义，如商品数量需为正整数等链接练习 1－2.
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(2019 天水)天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价 10 元/ 件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售价 x(元/件)之间的函数关系如图所示．

8寒假课程初三数学第8讲：二次函数综合【学生版】

1、二次函数与三角形的面积2、二次函数与线段和差3、二次函数与直角三角形课堂练习：考点一：二次函数与三角形的面积问题【例题】如图，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．X2、如图1，边长为8的正方形ABCD 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上A 、C 两点间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ．点D 、E 的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD 、PE 、DE ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．图1 备用图【练习】1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －3（a ≠0）与x 轴交于A (－2, 0)、B (4, 0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，求点K 的坐标．图12、如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图13.（2016·吉林·10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，x=4；（2）当点M落在AD上时，x=；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．考点二：二次函数与线段和差【例题】已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【练习】1、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图12、已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．考点三：二次函数与直角三角形【例题】如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1【练习】1、如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图12、如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图13、在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．。

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一、二次函数与圆综合
【例1】如图，点()40M ，，
以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物21
6
y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． ⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．
⑵ 点()8Q m ，在抛物线21
6
y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最
小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．
例题精讲
中考要求
二次函数与圆综合
【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式
2y x =-+并且线段CM
的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的
长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，
AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动
时间为t (秒)． ⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．
【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数1
y kx
=+的图象与二次函数的图象交于A B
，两点(A在B的左侧)，且A点坐标为()
44
-，．平行于x轴的直线l过()
01
-
，点．
⑴求一次函数与二次函数的解析式；
⑵判断以线段tan
x CAα
=⋅为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
⑶把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位()0
t>，二次函数的图象与x轴交于M N
，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N
，，三点的圆的面积最小？
最小面积是多少？
【例3】如图1，O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()
50
，，顶点D在O上运动．
⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切；
⑵当直线CD与O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；
⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最
大值与最小值．
图1
【巩固】已知⊙
O 的半径为1，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD ，顶点B 的
坐标为()
0，顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙
O 上运动． ⑴ 当点D 运动到与点A 、O 在一条直线上时，CD 与⊙
O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由； ⑵ 设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．
【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点
作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限内，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设
点A 运动了t 秒，求：
⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）； ⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．
【例4】
已知：如图，抛物线213y x m =-
+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒ ⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M
⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；
⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一
个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．
【巩固】已知：抛物线2y ax bx c =++()0a ≠，顶点()13C -，，与x 轴交于A 、B 两点，()10A -，
． ⑴ 求这条抛物线的解析式．
⑵ 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、
E ，
点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM AE ⊥于M ，PN DB ⊥于N ，请判断PM PN
BE AD
+
是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． ⑶ 在⑵的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG EP ⊥，FG 分别与边．AE 、BE 相交于
点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EF
PB EG
=
是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【例5】如图，已知点A的坐标是()
10
-，，点B的坐标是()
90
，，以AB为直径作O'，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
⑴求抛物线的解析式；
⑵点E是AC延长线上一点，BCE
∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD
∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；
如果不存在，请说明理由．
E
【巩固】已知二次函数2
1
2
y x bx c
=++的图象经过点()
36
A-，，并与x轴交于点()
10
B-，和点C，顶点为P．
⑴求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
⑵设D为线段OC上的一点，满足DPC BAC
∠=∠，求点D的坐标；
⑶在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC PC
，所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【巩固】已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y kx k =-的图象与x 轴交于点A ，抛物线
2y ax bx c =++经过O ，A 两点． ⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿
x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点
P ，使得4
3
POA OBA =∠∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
1.
已知：抛物线2:(1)(2)M y x m x m =+-+-与x 轴相交于12(0)(0)A x B x ，，
，两点，且12x x <．
（Ⅰ）若120x x <，且m 为正整数，求抛物线M 的解析式；
（Ⅱ）若1211x x <>，，求m 的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在m ，使经过点A 和点B 的圆与y 轴相切于点(02)C ，
，若存在，求出2:(1)(2)M y x m x m =+-+-的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线:l y kx b =+过点(07)F ，，与（Ⅰ）中的抛物线M 相交于P Q ，两点，且使
1
2
PF FQ =，求直线l 的解析式．
课后作业
2.如图，将AOB
∆置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为()
30
，，60
ABO
∠=︒．
⑴若AOB
∆的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
⑵若点C的坐标为()
10
-，，试猜想过D C
，的直线与AOB
∆的外接圆的位置关系，并加以说明．
⑶二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．
3.如图，直角坐标系中，已知两点()
00
O，，()
20
A，，点B在第一象限且OAB
∆为正三角形，OAB
∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
⑴求B C
，两点的坐标；
⑵求直线CD的函数解析式；
⑶设E F
，分别是线段AB AD
，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF
∆的最大面积？
4.
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l 经过点()20A -，
和点0B ⎛
⎝，直线2l 的函数表达式
为y =+1l 与2l 相交于点P ．C ⊙是一个动圆，圆心C 在直线1l 上运动，设圆心C 的横坐标是a ．过点C 作CM x ⊥轴，垂足是点M ． ⑴ 填空：直线1l 的函数表达式是，交点P 的坐标是，FPB ∠的度数是；
⑵ 当C ⊙和直线2l 相切时，请证明点P 到直线CM 的距离等于C ⊙的半径R
，并写出2R = 时a 的值． ⑶ 当C ⊙和直线2l 不相离时，已知C ⊙
的半径2R =，记四边形NMOB 的面积为S (其中点N
是直线CM 与2l 的交点)．S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a 的值；若不存在，请说明理由．。