专题58 三角形中作辅助线造相似(解析版)

（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（1）证明：如图1中，
∵AE∥DF，AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，
专题58 三角形中作辅助线造相似
1、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．
（1）求AC边上的高BH的长；
（2）如图2，点D、E分别在边AB、BC上，G、F在边AC上，当四边形DEGF是正方形时，求DE的长．
解：（1）过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，
∴BN＝CN＝6，
∴AN＝ ＝ ＝8，
∵S△ABC＝ AC×BH＝ BC×AN，
∴BH＝ ＝9.6；
（2）如图2，设BH与DE交于点M，
∵四边形DEGF是正方形，
∴DE＝EG＝DF，DE∥AC，∠EDF＝∠DFC＝90°，且BH⊥AC，
∴四边形DFHM是矩形，
∴DF＝MH，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ，
∴
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴PH＝3AH，HN是△PQO的中位线，
∴ON＝PN＝8﹣t，
∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，
∴△HMA∽△PNH，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，
∵PN＝3MH，
∵HI∥x轴，AH＝HP，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝IB＝4，
同法可得：△PNH∽△HMQ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，
∵HI是△ABP的中位线，
∴BP＝2IH＝8，
∴OP＝OB+BP＝16，
∴P（16，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（ ，0）或（ ，0）或（16，0）．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝ ∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝ ∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴ ，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．
（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，
∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，
∴KE＝KD，
∴OK＝KE＝KD＝2 ，
∵AO＝8 ，
∴AK＝6 ，
∴AK＝3DK，
①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．
同法可得：△PMH∽△HNQ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，则MH＝ NQ＝ ，
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，
∴3t＝8+ ，
∴t＝ ，
∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t＝ ，
∴P（ ，0）．
③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点H作HM⊥y轴于于点M，交AB于I，过点P作PN⊥HM于N．
解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD•AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴ ，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝ ＝ ，
∴AD＝ ．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝ EF，
又∵ ，
∴DG＝ ，
∴DC＝DG﹣CG＝5 ﹣2．
3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
∴OP＝2IH，
∴HIHN，
∴8+t＝9t﹣24，
∴t＝4，
∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，
∴P（24，0）．
②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．
∵MH是△QAC的中位线，
∴MH＝ AC＝4，
同法可得：△HPN∽△QHM，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴PN＝ HM＝ ，
∴OM＝PN＝ ，设HN＝t，则MQ＝3t，
∵MQ＝MC，
∴3t＝8﹣ ，
∴t＝ ，
∴OP＝MN＝4+t＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）．
如图5中，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N．
∵IH是△ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，
∴8﹣t＝3（8﹣3t），
∴t＝2，
∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，
∴P（12，0）．
如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M．
同法可证：△AMH∽△HNP，
∴ ＝ ＝ ＝ ，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，
∵HI是△OPQ的中位线，
4、如图1，在菱形ABCD中，AB＝ ，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN．
∴DE＝ ．
2、【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝ ∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
∵E，D分别是OC，OB的中点，
∴CE＝BD，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
（2）解：如图1中，连接DE．
∵S△ADB＝S△ACE＝ ×8×4＝16，
S△EOD＝ ×4×4＝8，
∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，