全等三角形中常用辅助线(经典)
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中罕有的帮助线的作法(有答案)泛论：全等三角形问题最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,结构二个角之间的相等【三角形帮助线做法】图中有角等分线,可向双方作垂线. 也可将图半数看,对称今后关系现.角等分线平行线,等腰三角形来添. 角等分线加垂线,三线合一尝尝看.线段垂直等分线,常向两头把线连. 要证线段倍与半,延伸缩短可实验.三角形中两中点,衔接则成中位线. 三角形中有中线,延伸中线等中线.1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形3.角等分线在三种添帮助线4.垂直等分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法”：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为30.60度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目标是组成30-60-90的特别直角三角形,然后盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角.从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.8.盘算数值法：碰到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特别直角三角形,或40-60-80的特别直角三角形,常盘算边的长度与角的度数,如许可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证实全等三角形创造边.角之间的相等前提.罕有帮助线的作法有以下几种：最重要的是结构全等三角形,结构二条边之间的相等,二个角之间的相等.1)碰到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“半数”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“扭转”法结构全等三角形．3)碰到角等分线在三种添帮助线的办法,（1）可以自角等分线上的某一点向角的双方作垂线,运用的思维模式是三角形全等变换中的“半数”,所考常识点经常是角等分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角等分线上的一点作该角等分线的垂线与角的双方订交,形成一对全等三角形.（3）可以在该角的双DCBAEDF CBA方上,距离角的极点相等长度的地位上截取二点,然后从这两点再向角等分线上的某点作边线,结构一对全等三角形.4)过图形上某一点作特定的等分线,结构全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再运用三角形全等的有关性质加以解释．这种作法,合适于证实线段的和.差.倍.分等类的标题．6)已知某线段的垂直等分线,那么可以在垂直等分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形.特别办法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各极点的线段衔接起来,运用三角形面积的常识解答． 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE. 运用：1.（09崇文二模）以ABC ∆的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是BC.DEEDCBADCBAPQCBA的中点．探讨：AM 与DE 的地位关系及数目关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的地位关系是, 线段AM 与DE 的数目关系是; （2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A 沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由． 二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC. 3.如图,已知在ABC内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.求证：BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C A5.如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上随意率性一点,求证;AB-AC ＞PB-PC 运用： 三.平移变换例1AD 为△ABC 的角等分线,直线MNDCBFED CBA⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .例2如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角等分线AD,CE订交于点O,求证：OE=OD2.如图,△ABC 中,AD 等分∠BAC,DG ⊥BC BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F.（1）解释BE=CF 的来由;（2）假如AB=a ,AC=b ,求AE.BE 的长. 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 五.扭转例1正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为(第23题图)OP AMNEB CD F ACEFBD图①图②图③ACD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.例2D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分离交BC,CA 于点E,F.（1）当MDN ∠绕点D 迁移转变时,求证DE=DF.（2）若AB=2,求四边形DECF 的面积例3如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以060角,使其双方分离交AB 于点M,交AC 于点N,衔接MN,则AMN ∆的周长为;运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．2.（西城09年一模）已知,PB=4,以AB 为一边作正方形（图1） A B CDEFM N（图2）C（图3）ABC DE F MNDC BAABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图 2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）． 参考答案与提醒 一.倍长中线（线段）造全等例 1.（“愿望杯”试题）已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值规模是_________.解：延伸AD 至E 使AE ＝2AD,连BE,由三角形性质知 AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值规模是1<AD<4EDF CBA例2.如图,△ABC 中,E.F 分离在AB.AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延伸FD 至G 使FG ＝2EF,连BG,EG, 显然BG ＝FC,在△EFG 中,留意到DE ⊥DF,由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF在△BEG 中,由三角形性质知 EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例 3.如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 等分∠BAE.解：延伸AE 至G 使AG ＝2AE,连BG,DG, 显然DG ＝AC,∠GDC=∠ACD 因为DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中, BD ＝AC=DG,AD ＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG故△ADB ≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD 等分∠BAE 运用：1.（09崇文二模）以的双方AB.AC 为腰分离向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒衔接DE,M.N 分离是ABC ∆BC.DE的中点．探讨：AM与DE的地位关系及数目关系．∆为直角三角形时,AM与DE的地位关系是,（1）如图①当ABC线段AM与DE的数目关系是;（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针偏向扭转︒θ(0<θ<90)后,如图②所示,（1）问中得到的两个结论是否产生转变？并解释来由．C∴DE AM ⊥,DE AM 21=二.截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 等分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC 解：（截长法）在AB 上取中点F,连FD△ADB 是等腰三角形,F 是底AB 中点,由三线合一知 DF ⊥AB,故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2.如图,AD ∥BC,EA,EB 分离等分∠DAB,∠CBA,CD 过点E,求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F,使AF ＝AD,△ADE ≌△AFE （SAS ）∠ADE ＝∠AFE, ∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180°CBA故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3.如图,已知在△ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分离在BC,CA 上,并且AP,BQ 分离是BAC ∠,ABC ∠的角等分线.BQ+AQ=AB+BP解：（补短法, 盘算数值法）延伸AB 至D,使BD BP,连DP在等腰△BPD 中,可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP ＝40°＝∠ACP △ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QC BD ＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4.如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证： 0180=∠+∠C A解：（补短法）延伸BA 至F,使BF ＝BC,连△BDF ≌△BDC （SAS ） 故∠DFB ＝∠DCB ,FD ＝DC 又AD ＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5.如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上随意率性一点,求证;AB-AC＞PB-PC解：（补短法）延伸AC至F,使AF＝AB,连PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC运用：剖析：此题衔接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用已知前提和等边三角形的性质经由过程证实三角形全等解决它们的问题.B∴FEC AED ∠=∠ 在ADE ∆与FCE ∆中CFE EAD ∠=∠,EF AE =,FEC AED ∠=∠∴FCE ADE ∆≅∆ ∴FC AD = ∴AE AD BC +=点评：此题的解法比较新鲜,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后运用全等三角形的性质解决. 三.平移变换例1 AD 为△ABC 的角等分线,直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点,△ABC 周长记为A P ,△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .解：（镜面反射法）延伸BA 至F,使AF ＝AC,连FEAD 为△ABC 的角等分线, MN ⊥AD 知∠FAE ＝∠CAE 故有△FAE ≌△CAE （SAS ） 故EF ＝CE在△BEF 中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而P B =BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A例 2 如图,在△ABC 的边上取两点 D.E,且BD=CE,求证：O ED CB AAB+AC>AD+AE.证实：取BC中点M,连AM并延伸至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延伸ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE.四.借助角等分线造全等1.如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角等分线AD,CE 订交于点O,求证：OE=OD,DC+AE =AC证实(角等分线在三种添帮助线,盘算数值法)∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角等分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,衔接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2.如图,△ABC中,AD等分∠BAC,DG⊥BC且等分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.（1）解释BE=CF的来由;（2）假如AB=a,AC=b,求AE.BE的长.解：(垂直等分线联络线段两头)衔接BD,DCDG垂直等分BC,故BD＝DC因为AD等分∠BAC, DE⊥AB于E,DF⊥ACEDGFC BA于F,故有 ED ＝DF故RT △DBE ≌RT △DFC （HL ） 故有BE ＝CF. AB+AC ＝2AE AE ＝（a+b ）/2 BE=(a-b)/2 运用：1.如图①,OP 是∠MON 的等分线,请你运用该图形画一对以OP 地点直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的办法,解答下列问题：（1）如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD .CE 分离是∠BAC .∠BCA 的等分线,AD .CE 订交于点F .请你断定并写出FE 与FD 之间的数目关系;（2）如图③,在△ABC 中,假如∠ACB 不是直角,而(1)中的其它前提不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证实;若不成立,请解释来由. 解：（1）FE 与FD 之间的数目关系为FD FE = （2）答：（1）中的结论FD FE =仍然成立.证法一：如图1,在AC 上截取AE AG =,贯穿连接FG ∵21∠=∠,AF 为公共边, ∴AGF AEF ∆≅∆(第23题图) OP A MN E B C D F ACEFBD图①图②图③FED CBA∴AFG AFE ∠=∠,FG FE =∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠的等分线 ∴︒=∠+∠6032∴︒=∠=∠=∠60AFG CFD AFE ∴︒=∠60CFG∵43∠=∠及FC 为公共边 ∴CFD CFG ∆≅∆ ∴FD FG = ∴FD FE =证法二：如图2,过点F 分离作AB FG ⊥于点G ,BC FH ⊥于点H ∵︒=∠60B ,AD .CE 分离是BAC ∠.BCA ∠∴可得︒=∠+∠6032,F 是ABC ∆的心坎 ∴160∠+︒=∠GEF ,FG FH =又∵1∠+∠=∠B HDF ∴HDF GEF ∠=∠ ∴可证DHF EGF ∆≅∆ ∴FD FE = 五.扭转例 1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.证实：将三角形ADF 绕点A 顺时针扭转90度,至三角形ABG图 1图 2则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例 2 D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分离交BC,CA于点E,F.(1)当MDN∠绕点D迁移转变时,求证DE=DF.(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.解：(盘算数值法)（1）衔接DC,D为等腰Rt ABC∆斜边AB的中点,故有CD⊥AB,CD＝DA CD等分∠BCA＝90°,∠ECD＝∠DCA＝45°因为DM⊥DN,有∠EDN＝90°因为 CD⊥AB,有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如图,ABC∆是等腰三角形,且∆是边长为3的等边三角形,BDC60角,使其双方分离交AB于点M,∠=,以D为极点做一个0BDC120交AC于点N,衔接MN,则AMN∆的周长为;解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 盘算数值法) AC 的延伸线与BD的延伸线交于点F,在线段CF上取点E,使CE＝BM∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,又∵BM=CE,BD=CD,∴△CDE≌△BDM,∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,∵在△DMN和△DEN中,DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN,∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中,DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN ≌△DEN (AAS), ∴MA=FEAMN ∆的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6运用： 1.已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点扭转,它的双方分离交AD DC ，（或它们的延伸线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1）,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情形下,上述结论是否成立？若成立,请赐与证实;若不成立,线段AE CF ，,EF 又有如何的数目关系？请写出你的猜测,不需证实．解：（1）∵AD AB ⊥,CD BC ⊥,BC AB =,CF AE =∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）; ∴CBF ABE ∠=∠,BF BE =∵︒=∠120ABC ,︒=∠60MBN∴︒=∠=∠30CBF ABE ,BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==,BE AE CF 21==∴EF BE CF AE ==+（图1） A B C D EF MN （图2）AB C DE F MN（图3）ABC DE F MN（2）图2成立,图3不成立.证实图2,延伸DC 至点K ,使AE CK =,衔接BK 则BCK BAE ∆≅∆∴BK BE =,KBC ABE ∠=∠ ∵︒=∠60FBE ,︒=∠120ABC ∴︒=∠+∠60ABE FBC ∴︒=∠+∠60KBC FBC ∴︒=∠=∠60FBE KBF ∴EBF KBF ∆≅∆ ∴EF KF = ∴EF CF KC =+ 即EF CF AE =+图3不成立,AE .CF .EF 的关系是EF CF AE =- 2.（西城09年一模）已知以AB 为一边作正方形ABCD,使P.D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它前提不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.剖析：（1）作帮助线,过点A 作PB AE ⊥于点E ,在PAE Rt ∆中,已知APE ∠,AP 的值,依据三角函数可将AE ,PE 的值求出,由PB 的值,可求BE 的值,在ABE Rt ∆中,依据勾股定理可将AB 的值求出;求PD 的值有两种解法,解法一：可将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到K ABCDE FMN图 2AB P '∆,可得AB P PAD '∆≅∆,求PD 长即为求B P '的长,在P AP Rt '∆中,可将P P '的值求出,在B P P Rt '∆中,依据勾股定理可将B P '的值求出;解法二：过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,交PB 于G ,在AEG Rt ∆中,可求出AG ,EG 的长,进而可知PG 的值,在PFG Rt ∆中,可求出PF ,在PDF Rt ∆中,依据勾股定理可将PD 的值求出;（2）将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值即为B P '的最大值,故当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值,依据PB P P B P +'='可求B P '的最大值,此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．解：（1）①如图,作PB AE ⊥于点E ∵PAE Rt ∆中,︒=∠45APB ,2=PA∴()1222===PE AE∵4=PB∴3=-=PE PB BE 在ABE Rt ∆中,︒=∠90AEB ∴1022=+=BE AE AB②解法一：如图,因为四边形ABCD 为正方形,可将将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90得到AB P '∆,,可得AB P PAD '∆≅∆,B P PD '=,A P PA '=∴︒='∠90P PA ,︒='∠45P AP ,︒='∠90PB P ∴2='P P ,2=PA∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ;解法二：如图,过点P 作AB 的平行线,与DA 的延伸线交于F ,设DA 的延伸线交PB 于G ．EPA DCBP ′PA CBDEP ′PACBDP ′PACBD在AEGRt ∆中,可得310cos cos =∠=∠=ABE AE EAG AE AG ,31=EG ,32=-=EG PE PG在PFG Rt ∆中,可得510cos cos =∠=∠=ABE PG FPG PG PF ,1510=FG 在PDF Rt ∆中,可得（2）如图所示,将PAD ∆绕点A 顺时针扭转︒90,得到AB P '∆,PD 的最大值,即为B P '的最大值∵B P P '∆中,PB P P B P +'' ,22=='PA P P ,4=PB 且P .D 两点落在直线AB 的两侧∴当P '.P .B 三点共线时,B P '取得最大值（如图）此时6=+'='PB P P B P ,即B P '的最大值为6此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB3.在等边ABC ∆的双方AB.AC 地点直线上分离有两点M.N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探讨：当M.N 分离在直线AB.AC 上移动时,BM.NC.MN 之间的数目关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2图3（I ）如图1,当点M.N 边AB.AC 上,且DM=DN 时,BM.NC.MN 之G FP A CBDE间的数目关系是; 此时=LQ; （II ）如图2,点M.N 边AB.AC 上,且当DM ≠DN 时,猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;（III ） 如图3,当M.N 分离在边AB.CA 的延伸线上时, 若AN=x ,则Q=（用x .L 暗示）．剖析：（1）假如DN DM =,DNM DMN ∠=∠,因为DC BD =,那么︒=∠=∠30DCB DBC ,也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ,直角三角形MBD .NCD 中,因为DC BD =,DN DM =,依据HL 定理,两三角形全等.那么NC BM =,︒=∠=∠60DNC BMD ,三角形NCD 中,︒=∠30NDC ,NC DN 2=,在三角形DNM 中,DN DM =,︒=∠60MDN ,是以三角形DMN 是个等边三角形,是以BM NC NC DN MN +===2,三角形AMN 的周长=++=MN AN AM QABAC AB NC MB AN AM 2=+=+++,三角形ABC 的周长ABL 3=,是以3:2:=L Q ．（2）假如DN DM ≠,我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换.延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ．（1）中我们已经得出,︒=∠=∠90NCD MBD ,那么三角形MBD 和ECD 中,有了一组直角,CEMB =,DCBD =,是以两三角形全等,那么DE DM =,CDE BDM ∠=∠,︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN ．三角形MDN 和EDN中,有DE DM =,︒=∠=∠60MDN EDN ,有一条公共边,是以两三角形全等,NE MN =,至此我们把BM 转换成了CE ,把MN 转换成了NE ,因为CE CN NE +=,是以CN BM MN +=．Q与L 的关系的求法同（1）,得出的成果是一样的.图 1N MAD CB （3）我们可经由过程构建全等三角形来实现线段的转换,思绪同（2）过D 作MDB CDH ∠=∠,三角形BDM 和CDH 中,由（1）中已经得出的︒=∠=∠90MB DCH ,我们做的角CDH BDM ∠=∠,CD BD =,是以两三角形全等（ASA ）．那么CH BM =,DH DM =,三角形MDN 和NDH 中,已知的前提有DH MD =,一条公共边ND ,要想证得两三角形全等就须要知道HDN MDN ∠=∠,因为MDB CDH ∠=∠,是以︒=∠=∠120BDC MDH ,因为︒=∠60MDN ,那么︒-︒=∠60120NDH︒=60,是以NDH MDN ∠=∠,如许就组成了两三角形全等的前提．三角形MDN 和DNH 就全等了．那么BM AC AN NH NM -+==,三角形AMN 的周长+++=++=BM AB AN MN AM AN QAB AN BM AC AN 22+=-+．因为x AN =,L AB 31=,是以三角形AMN 的周长L x Q 322+=． 解：（1）如图1,BM .NC .MN 之间的数目关系：MN NC BM =+;此时32=LQ ．（2）猜测：结论仍然成立．证实：如图2,延伸AC 至E ,使BM CE =,衔接DE ∵CD BD =,且︒=∠120BDC ∴︒=∠=∠30DCB DBC 又ABC ∆是等边三角形 ∴︒=∠=∠90NCD MBD 在MBD ∆与ECD ∆中 ∴ECD MBD ∆≅∆（SAS ）E 图 2NMAD CB NA∴DE DM =,CDE BDM ∠=∠ ∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN 在MDN ∆与EDN ∆中 ∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ） ∴BM NC NE MN +== 故AMN∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++而等边ABC ∆的周长AB L 3= ∴3232==ABAB LQ（3）如图3,当M .N 分离在AB .CA 的延伸线上时,若x AN =,则L x Q 322+=（用x .L 暗示）．点评：本题考核了三角形全等的剖断及性质;标题中线段的转换都是依据全等三角形来实现的,当题中没有显著的全等三角形时,我们要依据前提经由过程作帮助线来构建于已知和所求前提相干的全等三角形.。
全等三角形经典题型辅助线
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知:如图6,△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形,且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系： 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D 。
求证：2BD CD =证明:延长DC 到E ，使得CE=CD ，联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例 4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证:2AC AE =。
证明:延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA BE =DE ∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图,△ABC 中,BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线"的辅助线包含的基本图形“八字型"和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法
全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2DCBA全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1：直接倍长，(图1)： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长1) （图2）作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E, 连接BE 2) （图3）延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD【经典例题】例1已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线AD 的取值范围是_________.（提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边）例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF=EF. 求证：BD=CE.（提示：方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFBEDABCFEDCBA NDCBAMFEC AB D3ED F C BA方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H ，证明ΔBDG ≌ΔECH ）例3、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.变式：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+（提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG ， 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2：_ D_ F _ C_ B_ E _ A4倍长ED 至H ，连结CH 、FH ，证明FH=EF 、CH=BE ，利用三角形两边之和大于第三边）例4：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF（提示：方法1：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形。
《全等三角形》中常见辅助线
全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点1.线段倍长（或作平行线）模型：如图，已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS)⑴.如图，在△ABC中，D是BC边的中点.①.求证：AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为 .⑵如图，CE是△ACD中线，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD=∠ADC，求证：CE=12BC.⑶.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，求证：DE=2AM.⑷.如图，四边形BEFC中，D为BC中点，∠EDF=90 ，求证：BE+FC>EF.CBDBBA C2.作垂线(知中点作垂线；证中点作垂线)模型：如图，OA=OB,BC ⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) ⑴.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点.①在图中作出CM ⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点M,N; ②⑵求证：DM=DN; ③若AD=3，求AM+AN 的值.⑵.如图，CD 为△ABC 的角平分线，E,F 分别在CD,BD 上，且DA=DF,EF=AC.求证：EF ∥BC.⑶.如图，BC ⊥CE,BC=CE,AC ⊥CD,AC=CD,DE 交AC 的延长线于点M,M 是DE 的中点. ①求证：AB ⊥AC;②若AB=8，求CM 的长.⑷.如图，已知A(-2,1),C(0,2),且C 为线段AB 的中点，求点B 的坐标.DABCABA3.证中点【方法技巧】证线段的中点，常过线段的端点构造一组平行线，或过线段的两端点向过中点的线段作垂线，根据AAS 或ASA 构造全等三角形，证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，D,E 分别是AC 和AC 的延长线上的点，连接BD,BE,若AB=CE ，∠DBC=∠EBC.求证：D 是AC 的中点.⑵.如图，AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE 于点H,延长AH 交BC 于点M.求证：M 是BC 的中点.【作垂线证中点】⑶.如图，AB⊥AC,AB=AC,D 是AB 上一点，CE⊥CD,CE=CD,连接BE 交AC 于点F ，求证：F 是BE 的中点.⑷如图，A,B,C 三点共线，D,C,E 三点共线，∠A=∠DBC,EF⊥AC 于点F ，AE=BD. ①求证：C 是DE 的中点；②求证：AB=2CF.EBEB二、线段的和差处理 1.等线段代换法⑴如图，CD 为△ABC 的中线，M,N 分别为直线CD 上的点，且BM ∥AN. ①求证：AN=BM;②求证：CM+CN=2CD⑵如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB=AC,AN 是过点A 的一条直线，且BM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N. ①求证：AM=CN ；②求证：MN=BM-CN.⑶如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD 平分∠BAC,CE ⊥AB 于点E ，交AD 于点F. ①求证：BD=CD;②若AF=BC,求证：AC-CE=EF.⑷.如图，△ABC 中，AC=BC,∠ACB=90︒，D 为BC 延长线上一点，BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点E.①求证：BE=AD ；②过C 点作CM ∥AB 交AD 于点M ，连接EM ，求证：BE=AM+EM.ABACBA B2.截长补短法（直接和间接）如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45 ，CA=CB,点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于点N.①求证：∠1=∠2；②求证：AE=CN+EN. （用多种方法）方法1：直接截长方法2：间接载长方法3：直接补短方法4：间接补短EBCA EBCA EBCA EBC A三、角平分线模型1.作垂线模型：如图，∠1=∠2，PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB.⑴如图，△ABC中，CD是角平分线，AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.⑵.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180︒，求证：AE=AD+BE.⑶.如图，△ABC中，AC>AB,F为BC的中点，FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D，DE⊥AC于点E.①求证：BD=CD;②求证：AB+AC=2AE;③直接写出-AC ABCE的值是 .⑷如图，△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠1=∠2，AB⊥BD于点M.①求证：AD平分△BDC的外角；②求-BD CDDM的值.21BAOPA BB CD2.截长补短模型：如图，若∠AOP=∠BOP,OA=OB，则△OAP≌△OBP⑴.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180 ，求证：CD=CB.⑵.△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC，AE=AC，连DE.①求证：∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3，求△BED的周长.⑶.如图，AD∥BC，E是CD上一点,且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC⑷.如图，BC>AB,AD=CD，∠1=∠2，探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)C BBBBA3.角平分线+垂线：延长法模型：如图，若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC 交OB 于点B ，则△OCA≌△OCB. ⑴.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点E ，探究∠ACE，∠B，∠ECD 之间的数量关系.⑵.如图，在△ABC 中，AB<BC ，BP 平分∠ABC，AP⊥BP 于P 点，连接PC ，若△ABC 的面积为4，求△BPC 的面积.⑶.如图，在△AOB 中，AO=OB ，∠AOB=90 ，BD 平分∠ABO 交AO 于点D ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2AE.⑷.如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AE,BE 分别平分∠DAB,∠CBA.①求证：AE⊥BE；②求证：DE=CE ；③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD 的面积.BBA B四、半角与倍角模型⑴如图，已知AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC⊥AC交AN于点N,过点B作BM⊥AB交AM 于点M，连接MN.①当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN=MN.②如图，在①的条件下，当AM和AN在AB⑵如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证：DE-AD=BE.⑶如图，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°,求证：AD+DE=BE.⑷.①如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=1 2∠BAD,求证：EF=BE+DF;②如图2，在①条件下，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是 .BN MDB A BC。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用D C BAED F CB A的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
全等三角形经典辅助线做法汇总
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂D C BAED F CB A线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
(完整版)全等三角形经典题型——辅助线问题
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，D C BAED F CB A利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形中的常用辅助线课程解读一、学习目标：归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点：1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。
2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。
三、考点分析：全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。
一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。
典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。
（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。
又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。
求证：∠B+∠ADC=180°。
思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。
2）解题思路：因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。
解答过程：证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。
∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。
在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。
解题后的思考：①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线。
（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF 交BC于D，若EB=CF。
求证：DE=DF。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。
解答过程：证明：过E作EG//AC交BC于G，则∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。
解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。
形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。
可过O作BC的平行线。
得△ADO≌△AQO。
得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。
解答过程：证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。
解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。
（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。
④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。
小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。
而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。
从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。
（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。
在△FDE与△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。
解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。
2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。
小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角形。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
预习导学下一讲我们就要进入八下的学习了，八下的第一章是分式。
请同学们预习课本，并思考以下问题。
1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的运算法则是什么？同步练习（答题时间：90分钟）这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2、已知，如图2，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD。
求证：∠BAP+∠BCP=180°。
3、已知，如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB=AC+CD。
试题答案1、分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。