全等三角形中常见辅助线的添加方法
全等三角形中常见辅助线的添加方法
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90 o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,则点D到AB的距离等于 4 .
过点D作DE⊥AB
A
构造全等的 直角三角形
E
B
D
C
三.用角平分线的性质构造全等
典例2:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,
BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
B
A
F
过点E作EF⊥BC
E
构造全等的 直角三角形
C
还有其他的方法吗？
D
四、截长与补短
四、截长与补短
典例1、已知在△ ABC中， AD是∠BAC 的角平分线 ，
∠C=2∠B, 求证 :AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB 上取点E使得AE=AC ，连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
A
D
B
C
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 °
A
D
1 2
B
34
E
C
在BC上截取BE，使BE=AB ，连结DE。
1 2 3 *
一题多解
典例3：如图，已知在四边形 ABCD中，BD是∠ABC的 角平分线， AD=CD，求证：∠ BAD+∠BCD=180 ° F
四、截长与补短
变题：已知在△ ABC中， AD是∠BAC的角平分线 ，
AB=AC+CD, 求证:∠C=2∠B
A
E
12
全等三角形辅助线添加方法
全等三角形辅助线添加方法全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
要证明两个三角形全等，我们通常使用SAS（两边和夹角），ASA（两角和边），SSS（三边）等条件来进行证明。
为了证明这些条件，我们可以添加一些辅助线来简化问题。
以下是几种常见的全等三角形辅助线添加方法：1.中位线法中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点及对边中点来添加中位线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个平行四边形，从而简化了证明过程。
2.高线法高线是从一个顶点垂直于对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条高线，从而将一个三角形分解成两个直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
3.角平分线法角平分线是从一个角的顶点分别平分两个相邻边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以通过连接两个三角形的对应顶点和相邻边的角平分线来添加辅助线。
这样，原来的两个三角形就分解成了两个高度相等的直角三角形。
4.旁切线法旁切线是从一个角的顶点切线到对边的线段。
在证明两个三角形全等时，可以添加一条旁切线，从而将一个三角形分解成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
5.等腰三角形法等腰三角形是指具有两个边相等的三角形。
在证明两个三角形全等时，如果我们发现其中一个三角形是等腰三角形，可以添加一条辅助线，将该等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
这样，我们可以利用直角三角形的性质来进行证明。
通过添加这些辅助线，我们可以改变问题的形式，简化证明过程，并帮助我们找到更多的全等条件。
但是需要注意的是，辅助线的添加要符合几何图形的性质，不能改变原有图形的形状和大小。
总之，在证明两个三角形全等时，辅助线的添加是一个常用的方法，可以帮助我们简化证明过程，找到更多的全等条件，提高证明的效率和准确性。
需要根据具体问题来选择合适的辅助线添加方法，灵活运用几何定理和性质来进行证明。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法要向一个全等三角形添加辅助线，只需在三角形内或外画直线，以切割或连接三角形的一些部分。
这些辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和属性。
接下来，我将介绍几种常见的方法来添加辅助线。
1.三角形中线：连接每个顶点与对边中点的线段。
这条线段将三角形划分为两个全等的三角形。
它们的边长相等，角度相等。
2.三角形的角平分线：从每个顶点作出形成该顶点角的两个邻边的角平分线。
这些角平分线会相交于三角形内部的一点，该点是三角形内角平分线的交点。
3.三角形的高线：从每个顶点作出与对边垂直相交的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条高线，它们的长度相等，且垂直于对边。
4.三角形的中线：从每个顶点作出与对边平行的线段。
这些线段的交点将构成三角形的三条中线，它们的长度相等，且平行于对边。
5.三角形的中心：连接三角形的三个顶点与重心的线段。
重心是三角形内部所有高线的交点。
三角形的重心被定义为三边中点的连线的交点，其坐标为三个顶点的坐标之和的1/3这些辅助线有助于我们更好地理解和分析全等三角形的特性和属性。
它们可以帮助我们推导出一些重要的结论和公式，还可以用于证明和解决三角形的相关问题。
例如，通过添加辅助线可以证明全等三角形的性质：全等三角形的对应边长相等，对应角度相等，对应角内的三角形也全等。
此外，辅助线还可以帮助我们解决一些基于全等三角形的问题。
比如，如果两个三角形的一对对应边长和一对对应角度都相等，我们可以利用辅助线来证明它们是全等三角形。
因此，通过添加辅助线，我们可以更好地理解和分析全等三角形的性质和问题。
在解决相关问题时，辅助线可以作为重要的工具来简化问题和得出正确的答案。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
构造全等三角形添加辅助线的方法
构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。
添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。
本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。
一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。
原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。
二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。
原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。
三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。
原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。
四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。
原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。
(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法
教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。
如图2。
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。
AB＝CE。
∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。
二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。
求证：AB＋BD＝AC。
证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。
如图4。
∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。
而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。
所以EC＝ED＝BD。
∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。
三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。
求证：EF＝FD。
证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。
则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
∴∠B＝∠EMB。
故EM＝BE。
∵BE＝CD，∴EM＝CD。
又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。
EF＝FD。
四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。
M是AC边的中点。
AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。
求证：∠AMB＝∠DMC。
证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。
如图8。
∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。
∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。
全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形添加辅助线的方法1.中线法：将两条边的中点相连并延长，然后证明其与其他一条边的边长和角度相等。
具体步骤如下：a.连接三角形两条边的中点，并延长至交于一点O。
b.证明∆ABC与∆ADB全等，其中∠CAB＝∠DAB（两对顶点角），且AB ＝AD各一边。
c.推导出AC＝BD（全等三角形的边）2.垂直平分线法：通过构造两条垂直平分线使其中两个角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.根据题意连接一个角的两边，并找出该两边的垂直平分线。
b.证明∆ABC的两个∠BAC和∠BCA各自与∠ACD和∠ACB相等（垂直平分线构成等腰三角形），即∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠ACB。
c.推导出∆ABC和∆ACD的三个角相等，从而两个三角形全等。
3.夹边法（重心法）：通过构造两个辅助三角形，使两个夹角相等，从而推导出三角形全等。
具体步骤如下：a.过三角形一边的顶点作该边对边的平行线，分别与另两边相交得到两个辅助三角形。
b.证明这两个辅助三角形的两个夹角分别与原三角形的两个对应夹角相等（平行线与三角形两边的交角），即∠BAC＝∠EAB，∠CBA＝∠DBA。
c.推导出∠ABC和∠EDB相等，从而两个三角形全等。
4.等腰三角形法：通过构造两个等腰三角形，使它们的顶点与原三角形的顶点相连，从而推导出三角形全等。
a.根据题意找到一个角的顶点为原三角形的顶点，并构造一个等腰三角形，顶点为该角的顶点。
b.构造另一个等腰三角形，顶点为原三角形的顶点，并使这两个等腰三角形的顶点分别与原三角形的顶点相连。
c.证明这两个等腰三角形的两个底边与原三角形的两个对应边相等，即AC=DE，BC=DF。
d.推导出∆ABC和∆DEF的三个角相等，从而两个三角形全等。
通过以上几种常见的方法，可以添加辅助线来证明三角形的全等关系。
在实际问题中，根据具体的几何信息和条件，选择合适的辅助线构造方法，可以简化证明过程，并加深对全等三角形的理解。
全等三角形中辅助线的添加
全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用;二．知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述1作线段：连接……；2作平行线：过点……作……∥……；3作垂线作高：过点……作……⊥……,垂足为……；4作中线：取……中点……,连接……；5延长并截取线段：延长……使……等于……；6截取等长线段：在……上截取……,使……等于……；7作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；8作一个角等于已知角：作角……等于……;2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线或类中线法：若遇到三角形的中线或类中线与中点有关的线段,通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形;（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形;①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段;（3）一线三等角问题“K”字图、弦图、三垂图：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边;（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形;（5）角含半角、等腰三角形的绕顶点、绕斜边中点旋转重合法：用旋转构造三角形全等;（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形用平移、对称和弦图也可以构造和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形;三、基本模型：1△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E,使DE=AD,连接BE方式2：间接倍长,作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BE方式3：延长MD到N,使DN=MD,连接CD2由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD3角分线,分两边,对称全等要记全角分线+垂线,等腰三角形必呈现三线合一4①旋转：方法：延长其中一个补角的线段延长CD 到E ,使ED=BM ,连AE 或延长CB 到F ,使FB=DN ,连AF结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM ②翻折：思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折,但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.∠B+∠D =0180且AB=AD5手拉手模型①△ABE 和△ACF 均为等边三角形结论：1△ABF ≌△AEC ；2∠B0E=∠BAE=60°“八字型”模型证明；3OA 平分∠EOF 拓展：条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形结论：1、AD=BE 2、∠ACB=∠AOB 3、△PCQ 为等边三角形 4、PQ ∥AE 5、AP=BQ 6、CO 平分∠AOE 7、OA=OB+OC 8、OE=OC+OD 7,8需构造等边三角形证明 ②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形 结论：1、BE =CD 2BE ⊥CD ③ABEF 和ACHD 均为正方形 结论：1、BD ⊥CF 2、BD =CF变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形,AS ⊥BC 交FD 于T , 求证：①T 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ∆∆= 方法一： 方法二：DCBA方法三：变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形,M 为FD 的中点,求证：AN ⊥BC④当以AB 、AC 为边构造正多边形时,总有：∠1=∠2=n360180-. 四、典型例题：考点一：倍长中线或类中线法：核心母题 已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_________.练习：1、如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF的大小.2、如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 平分∠BAE.3、如图,CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线,且∠ACB=∠ABC,求证：CD=2CE;4、已知：如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,点F 在CD 上,∠FAE=∠BAE ．求证：AF=BC+FC ．5、如图,D 是AB 的中点,∠ACB=90°,求证：2CD=AB.6、已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证：BD=CE;7、已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求证：AF=EF;8、已知：如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F,DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠;9、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD∆第 1 题图ABFDEC和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 ,线段AM 与DE 的数量关系是 ；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．10、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA =BC ,DA =DE ,联结EC ,取EC 的中点M ,联结BM 和DM ．1如图1,如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上,那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；2将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时,判断1中的结论是否仍然成立,并说明理由．变式1：已知：在Rt △ABC 中,AB=BC,在Rt △ADE中,AD=DE,连结EC,取EC 的中点M,连结DM 和BM ．1若点D 在边AC 上,点E 在边AB 上且与点B 不重合,如图①,探索BM 、DM 的关系并给予证明；2如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么1中的结论是否仍成立如果不成立,请举出反例；如果成立,请给予证明．都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°,点M 是CEDM 交BC 于点N ,可探究得出BD 与BM,请证明；如果不成立,说明理由. 变式3： 四边形ABCD 是正方形,BEF ∆是等腰直角三角形,90BEF ∠=︒,BE EF =,连接DF ,G 为DF 的中点,连接EG ,CG ,EC ;MEABC图②M D BACE图① A1如图24-1,若点E 在CB 边的延长线上,直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； 2将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置,请问1中所得的结论是否仍然成立若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；3将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转α090α︒<<︒,若1BE =,AB =,当E ,F ,D 三点共线时,求DF 的长及∠ABF 的度数;练习：1、① 如图a ,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF 和BE.1线段AF 和BE 有怎样的大小关系请证明你的结论；2将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b,1中的结论还成立吗作出判断并说明理由；②、已知：如图,ABC ∆是等边三角形,120BDC ο∠=, 求证：AD BD CD =+.③、已知四边形ABCD 中,AB BC =,60ABC ο∠=°BD 上一点,且120APD ο∠=,求证：PA PD PC BD ++=DC图24-1图24-2CBCD备用图2、在△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ;3、如图,在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,AD,CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线,求证：AC=AE+CD4、如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°求证：BD+DC=AB 5、已知：如图在△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点,∠ABD=60°,∠ADB=90°－21∠BDC,求证：AB=BD ＋DC;考点三：一线三等角问题“K ”字图核心母题 已知：如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是BC 边上一点,∠ADE=45°,AD=DE,求证：BD=EC. 练习：1、已知：如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．2、两个全等的含30°,60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条直线上,连接BD,取BD 的中点M,连接ME,MC ．试判断△EMC 的形状,并说明理由．3、如图,在ABC ∆中,BC AC ACB =︒=∠,90,直线MN 经过点C,且MN AD ⊥于点D,MN BE ⊥于点E;1当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：DE=AD+BE ； 2当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证：DE=AD —BE ；3当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问：DE,AD,BE 有怎样的等量关系请写AB C DE O出等量关系,并加以证明;312l 3上,并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题,,2所示：在直线l 1任取一点A ,作AD ⊥l 2于点D ,作∠AE =AD ,过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ,连接AB ,作∠BAC =902BC ,即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法,解决下列问题：如图3,直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2,l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ,使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上,并直接写出所画等边三角形ABC 的面积保留画图痕迹．7、如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在P5,5处,两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点B. （1）当点A 、点B 分别在x 轴、y 轴正半轴上运动时,试探究OA+0B 的值或取值范围；（2）点A 在x 轴正半轴上运动,点B 在y 轴负半轴上时,试探究OA-OB 的值或取值范围,直接写出结果;9、已知：在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．BNl 1l 2l 3图3 l 1l 2l 3图1 l 1l 2l 3图2l 1l 2l 3图310、1如图1,当A0,-2,C1,0,点B 在第四象限时,先写出点B 的坐标,并说明理由．11、2如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A0,a 在y 轴正半轴上运动,点Bm,n 在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,试判断a,m,n 之间的关系,请证明你的结论．考点四：角平分线、中垂线法 核心母题1、在ABC ∆中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点． 求证：AB AC PB PC ->-．2、已知等腰直角三角形ABC,BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D,过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E,求证：BD=2CE ．3、如图,△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D,F 为垂足,DE ⊥AB 于E,且AB ＞AC,求证：BE-AC=AE 练习1、如图所示,在ABC ∆中,AD 是BAC ∠的外角平分线,P 是AD 上异于点A 的任意一点,试比较PB PC +与AB AC +的大小,并说明理由．2、如图所示：∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F,过F 作DF ∥BC,交AB 于D,交AC 于E ．问：3、1写出图中的等腰三角形并说明理由．4、2若BD=8cm,DE=3cm,求CE 的长．3、在△ABC 中,,2AB AC AD =平分BAC ∠,E 是AD 中点,连结CE ,求证：2BD CE =4、如图,△ABC 中,∠ABC=2∠C,BE 平分∠ABC 交AC 于E 、AD ⊥BE 于D,求证：1AC-BE=AE ； 2AC=2BD ．5、如图,在△ABC 中,AB ＞AC,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F,交CA 的延长线于G ．6、求证：BF=CG ．变式一：如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若BG CF =,求证：AD 为BAC ∠的角平分线．变式二：已知：△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线,M 为BC 的中点,过点M 作MN ∥AD,交AC 于点N ,求证：AN+AB=NC.变式三：在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线．1如图1,过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ,若F 为CE 的中点,连结AF ,求证：AF ⊥AD ；2如图2,M 为BC 的中点,过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ,若AB =4, AC =7, 求NC6＝AC,∠A ＝100°,∠B 的平分线交AC 于D,7、于D,CD ＝点E ;8、如图1,在△ABC 中,∠ACB=2∠B,∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D,点H 为AO 上一动点,过点H 作直线l ⊥AO 于H,分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．C EADBC图1图21当直线l 经过点C 时如图2,证明：BN=CD ；2当M 是BC 中点时,写出CE 和CD 之间的等量关系,并加以证明；3请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．9、如图所示,在△ABC 中,∠ABC=3∠C,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD 于F,求证：2BE=AC-AB变式：如图,已知在ABC ∆中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=10、如图所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=．变式一：如图∠1=∠2,B 为AC 中点,CM ⊥FB 于M,AN ⊥FB 于N,求证：①EF=2BM ；②FB=21FM+FN变式二：如图,在△ODC 中,，090=∠D CE OE DCO EC ⊥∠的角平分线，且是,过点E 作..之间的关系，并证明与猜想：线段于点交OD EF F OC OC EF ⊥变式三：如图所示,在△ABC 中,AC ＞AB,M 为BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,若CF ⊥AD 且交AD 的延长线于F,求证：MF=21AC -AB;考点五：角含半角、等腰三角形的绕顶点旋转重合法核心母题 如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF.变式一：如图,E 、F 分别是边长为 1的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,若△ECF 的周长是2,求∠EAF 的度数变式二：如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,∠EAQ=45°,AH ⊥EF,求证：AH=AB.综合：在正方形ABCD 中,若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动,且满足MN=BM +DN ,求证：①.∠MAN= 45②.AB C CMN 2=∆③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.练习1、如图,在四边形ABCD 中,AB=BC,∠A=∠C=90°,∠B=135°,K 、N 分别是AB 、BC 上的点,若△BKN 的周长是AB 的2倍,求∠KDN 的度数2、已知：正方形ABCD 中,∠MAN=45°,∠MAN 绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB 、DC 或它们的延长线于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时如图1,易证BM+DN=MN ．3、1当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时如图2,线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系写出猜想,并加以证明；4、2当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想．3、如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,,∠B+∠D=180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且2∠EAF=∠BAD,（1）求证：EF=BE+FD（2）如果E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,其他条件不变,结论是否仍然成立说明理由;5、如图所示,在五边形ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°求证：AD 平分∠CDE.6、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE 的面积．7、如图1．在四边形ABCD 中．AB=AD,∠B+∠D=180゜,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠BAD=2∠EAF ．8、1求证：EF=BE+DF ；9、2在1问中,若将△AEF 绕点A 逆时针旋转,当点E 、F 分别运动到BC 、CD 延长线上时,如图2所示,10、试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系．8、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC 内一点,且PA=3,PC=2,PB=1．求∠BPC 的度数考点六：构造特殊三角形核心母题 如图,在△ABC 中,AD 交边BC 于点D,∠BAD=15°,∠ADC=4∠BAD,DC=2BD ．1求∠B 的度数；2求证：∠CAD=∠B ．练习1、在平面直角坐标系中,点A2,0、B0,4,以AB 为斜边作等腰直角△ABC,则点C 的坐标为2、如图,在正方形网格图中,求∠1＋∠2＋∠3的度数和;3、已知：平面直角坐标系中的三个点,A1,0、B2,1-、C0,3,求∠OCA+∠OCB 的度数.6、已知2AD =,4BD =,以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.1如图,当∠ADB=60°时,求AB 及CD 的长； 2当∠ADB 变化,且其它条件不变时,求CD 的 最大值,及相应∠ADB的大小.7、已知：PA =4PB =,以AB 为一边作正方形ABCD ,使P 、D 两点落在直线AB A DB C的两侧.1如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长；2当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.8、在四边形ABDE 中,C 是BD 边的中点．1如图1,若AC 平分BAE ∠,ACE ∠=90°, 则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为直接写出答案2如图2,AC 平分BAE ∠, EC 平分AED ∠,若120ACE ∠=︒,则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系写出结论并证明；3如图3,BD = 8,AB =2,DE =8,∠ACE=120°,则线段AE 长度的最大值是多少如果∠ACE=135°,此时线段AE 长度的最大值是多少EDC B A图3 EDC B A图2。
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全等三角形中常见辅助线的添加方法举例
一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。
二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF
三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。
例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
图3
A
B
C
D E F
N
1
图1234
2
图A
B
C
D
E F
M
123
4A
B C D E
练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。
四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。
求证：AB －AC ＞PB －PC 。
五、延长已知边构造三角形：
例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC
A B C D
E F
4
图A B C
D
N M
P
5
图12A
B
C
D
E
6
图O
六、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图7：AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB=CD 。
七有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。
求证：BD ＝2CE
图8
八、连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。
A
B
C
D
7
图1
2
3
4
D C B A
110 图O
九、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
10图D
C
B A
M
N。