初中不等式
初中数学不等式知识点大全
一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。
常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：>； （2）小于、比……小、低于：<；（3）不大于、不超过、至多：≥； （4）不小于、不低于、至少：≤；（5）正数：0>； （6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（ ）A. 1+m 是负数B. 2a 是正数C.n m +等于xD. 1-m 是非负数【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）02≥x ：____________.（2）0≤-x ：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即 如果0,>>c b a ，那么cb c a bc ac >>,.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即 如果0,<>c b a ，那么cb c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（ ）A. b a <B. 13-<+b aC. 31+<-b aD. 31-<+b a【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（ ）A. b a 33->-B. b b a 2>+C.b a 2222-<-D.b a +->+-11【例3】下列判断中，正确的是（ ）A. 若b a <，则c b c a <B. 若b a <，则22bm am <C. 若22bm am <，则b a <D. 若b a <，则22b a <【例4】 若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>ba ；③ ab b a <+；④ba 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为ax -<12，试化简：21++-a a .【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（ ）A ． b a 22-<-B ．b m a m 22<C ．21-<-b aD ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（ ）A ．66->-y xB ．y x 33>C ．y x 22-<-D ．6363+->+-y x【练习3】下列叙述正确的是（ ）A ．若b a =，则b a =B ．若b a >，则b a >C ．若b a <，则b a <D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（ ）0<+n m ；0>-m n ；n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）A ．b a b a -<-<<B ．b a a b <-<<-C ．b a b a <-<-<D ．a b b a -<<-<知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。
基本不等式八个公式
基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。
基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。
即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。
2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。
即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。
3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。
即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。
6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。
即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。
7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。
8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。
即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。
以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。
我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。
基本不等式常用公式
基本不等式常用公式
基本不等式是初中数学的基础，可以表示为：对于任意实数a，b，有(a+b)/2≥√(ab)，且等号仅在a=b 时取得。
除了基本不等式，其他一些常用的不等式公式包括：
1. 柯西-施瓦茨不等式：对于任何两个向量 a 和b，有|a·b|≤|a|·|b|，且等号仅在a 和b 共线时取得。
2. 三角不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a+b|≤|a|+|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
3. 约旦不等式：对于任何两个实数a 和b，有|a-b|≥|a|-|b|，且等号仅在a 和b 同号时取得。
4. 均值不等式：对于任何一组非负实数a1、a2、...、an，有(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)，且等号仅在a1=a2=...=an 时取得。
这些不等式公式广泛应用于数学、物理等领域，可帮助我们解决各种问题。
初中解不等式的方法
初中解不等式的方法解不等式是初中数学中的一个重要内容，也是学生们比较容易混淆的一个知识点。
不等式的解法有很多种，接下来我们将介绍几种常见的解不等式的方法。
一、图像法。
图像法是解不等式的一种直观方法。
首先，我们将不等式转化成方程，然后画出对应方程的图像，最后根据图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以首先将其转化为方程2x + 3 = 7，然后画出y = 2x + 3和y = 7的图像，最后确定不等式的解集为x > 2。
二、代数法。
代数法是解不等式的一种常用方法。
通过代数运算来确定不等式的解集。
例如，对于不等式3x 5 < 7，我们可以通过移项和合并同类项的方式来解得x < 4。
三、区间法。
区间法是解不等式的一种简便方法。
将不等式两边的式子化简成一个或多个不等式，然后通过判断式子的正负来确定不等式的解集。
例如，对于不等式2x^2 5x + 3 > 0，我们可以先求出方程2x^2 5x + 3 = 0的根，然后根据根的位置来确定不等式的解集。
四、试数法。
试数法是解不等式的一种实用方法。
通过代入一些特定的数来验证不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 4 < 0，我们可以代入一些特定的数如0、1、-1等来验证不等式的解集为-2 < x < 2。
五、绝对值法。
绝对值法是解不等式的一种特殊方法。
通过绝对值的性质来确定不等式的解集。
例如，对于不等式|2x 3| < 5，我们可以根据绝对值的定义来分情况讨论，最后确定不等式的解集为-1 < x < 4。
六、图形法。
图形法是解不等式的一种直观方法。
通过画出不等式对应的图形来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 4x + 3 > 0，我们可以通过画出y = x^2 4x + 3的图形来确定不等式的解集为x < 1或x > 3。
以上就是初中解不等式的几种常见方法，希望同学们能够通过学习掌握这些方法，提高解不等式的能力。
初中数学知识点：不等式
初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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不等式知识详细介绍(初中数学知识)
初中数学知识与不等式组概念1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
5.不等式解集的表示方法：(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线；二是定方向。
6.解不等式可遵循的一些同解原理(1)不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。
(2)如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)+F(x)(3)如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含，并且H(x)>0，那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)0，那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。
7.不等式的性质：(1)如果x>y，那么yy；(对称性)(2)如果x>y，y>z；那么x>z；(传递性)(3)如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；(加法则)(4)如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz(5)如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z(6)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)(7)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn(8)如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)8.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
初中数学知识点——不等式
初中数学知识点——不等式引言：在初中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，它是解决一元一次方程组和二元一次方程组的基础。
在本文中，我们将详细介绍不等式的相关知识点，并提供大量的练习题和参考答案，以帮助学生们深入了解和掌握这一知识点。
一、概念和性质1.1 不等式的类型不等式有三种类型：严格不等式、非严格不等式和混合不等式。
① 严格不等式：用“<”或“>”表示，例如：x > 5。
② 非严格不等式：用“≤”或“≥”表示，例如：x ≤ 5。
③ 混合不等式：既包括严格不等式，又包括非严格不等式，例如：3 < x ≤ 5。
1.2 不等式的解集不等式的解集是指所有满足不等式的数的集合。
例如：x + 2 > 5 的解集是{x | x > 3}。
1.3 不等式的性质不等式的性质包括：① 两个不等式相加或相减仍是不等式；② 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等式方向不变；③ 不等式两边同时乘或除以一个负数，不等式方向反转。
二、解不等式2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的步骤如下：① 移项：将所有项移到一边；② 合并同类项：将同类项合并；③ 系数化为正数：如果某一项系数为负数，则将不等式两边同时乘上-1，使此项系数变为正数；④ 除以系数：将所有项的系数化为1。
例如：2x - 5 > 7步骤①：2x > 12；步骤②：2x - 12 > 0；步骤③：-2x + 12 > 0；步骤④：x > 6。
2.2 解一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程组的方法类似，但是要注意不等式方向的改变，即如果某个不等式的符号反转了，则对应的不等式方向也要反转。
例如：{2x + y > 5; x - y ≤ 3}解法如下：① 将不等式组化为标准形式：{2x + y - 5 > 0; x - y - 3 ≤ 0}② 解方程x - y - 3 ≤ 0，得到x ≤ y + 3；③ 将x ≤ y + 3 代入2x + y - 5 > 0 中，得到3y > -1；④ 解不等式3y > -1，得到y > -1/3；⑤ 将y > -1/3 代入x ≤ y + 3 中，得到x ≤ 8/3。
初中不等式经典例题
初中不等式经典例题一、例题11. 若不等式3x - a ≤ 0的正整数解是1、2、3，求a的取值范围。
这题啊，可有点小绕呢。
首先我们来解这个不等式3x - a ≤ 0，把它变形一下就得到x ≤ a/3。
正整数解是1、2、3，那就是说3肯定是满足这个不等式的，所以3 ≤ a/3，这就得出a ≥ 9。
但是呢，4就不满足这个不等式了，要是4满足的话正整数解就不止1、2、3了，所以4 > a/3，也就是a < 12。
所以啊，a的取值范围就是9 ≤ a < 12。
2. 已知关于x的不等式组{x - a > 0，1 - x > 0}的整数解共有3个，求a的取值范围。
先看这个不等式组，x - a > 0，那就是x > a；1 - x > 0，变形一下就是x < 1。
这个不等式组的解集就是a < x < 1。
它的整数解共有3个，那这三个整数解肯定是 - 2， - 1，0啊。
所以 - 3 ≤ a < - 2。
为什么呢？要是a < - 3的话，整数解就不止3个了，要是a ≥ - 2的话，整数解就没3个了，是不是很有趣呢？二、例题21. 解不等式2(x - 1) + 5 < 3x。
这题看着简单，可也有不少同学会犯错哦。
我们先把括号展开，2x - 2 + 5 < 3x，然后把含有x的项移到一边，常数项移到另一边，就得到2x - 3x < 2 - 5，也就是 - x < - 3。
两边同时除以 - 1，注意哦，除以一个负数的时候，不等式要变号，所以x > 3。
2. 若不等式组{x + 8 < 4x - 1，x > m}的解集是x > 3，求m 的取值范围。
先解x + 8 < 4x - 1，移项得到x - 4x < - 1 - 8， - 3x < - 9，x > 3。
这个不等式组的解集是x > 3，还有个x > m，那m肯定是小于等于3的。
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不等式
用不等号“>”（或“<”，“≥”，“≤”）连接的式子叫作不等式.
常见的不等号有：“＞”读作“大于”；“＜”读作“小于”；“≥”读作“大于或等于”；“≤”读作“小于或等于”．
不等式的性质
（1）不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变.
即如果a>b，那么a＋c>b＋c，且a－c>b－c.
（2）不等式基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即如果a>b，c>0，那么ac>bc，且.
（3）不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即如果a>b，c<0，那么ac<bc，且.
移项：把不等式一边的某一项变号后移到另一边，称为移项.
一元一次不等式
含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式叫做一元一次不等式．
形如ax>b(或ax<b，ax≥b，ax≤b，a，b为已知数，且a≠0)的不等式叫作标准形式的一元一次不等式.
不等式的解
满足一个不等式的未知数的每一个值称为这个不等式的一个解．
不等式的解集
一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集．
不等式解集的表示方法
（1）用不等式表示，如不等式x＋2＞0的解集为x＞－2；（2）用数轴表示，如x－2≤0的解集为
解一元一次不等式的一般步骤
（1）去分母（根据不等式的基本性质2、3）；（2）去括号（根据整式运算法则）；（3）移项（根据不等式的基本性质1）；
（4）合并同类项（根据合并同类项的法则）；（5）将x项的系数化为1（根据不等式的基本性质2、3）．
注意：
解不等式时，上述五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的性质灵活安排求解步骤，熟练后，步骤可以合并简化．
二、重难点知识归纳
1、不等式的解不同于不等式的解集，它们是不同的两个概念，用数轴表示不等式的解集时要注意方向及空心点和实心点的区别.
2、运用不等式的基本性质二和三进行不等式变形时，一定要弄清同乘（或除）的这个数是正数还是负数.不等式的两边不能同乘以0.
3、不等式成立与不等式不成立的意义
对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等式所表示的大小关系，我们就说不等式成立．当未知数取某些值时，不等式的左、右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式不成立．
例如：对于不等式3x＞6，当x=3时，不等式成立；当x=－2时，不等式不成立．
说明：使不等式成立与不成立的未知数的值是不惟一的，例如：，当x=1,0,－1,－5,…时，不等式不成立；当
x=3,4,5,6,…时，不等式成立．
4、一元一次不等式的解法
（1）解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质；（2）解一元一次不等式时，可以类比解一元一次方程的方法．
列不等式解应用题的特征
列不等式解应用题常常以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”、“不大于”、“不小于”等词来体现问题中的不等关系.建立不等式，要正确理解这些关键词的含义，善于从“关键词”中挖掘其内涵.
列不等式解应用题的一般步骤
列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似．其步骤包括：（1）设未知数；（2）找不等关系；（3）列不等式；（4）解不等式；（5）检验作答．其中检验是求解应用题的必要环节．
用不等式表示：
（1）x与1的和是正数；（2）y的2倍与1的和大于3；
（3）x的与x的2倍的和是非正数；（4）c与4的和的30%不大于－2；
（5）x除以2的商加上2，至多为5；（6）a与b两数的和的平方不可能大于3.
利用不等式的性质，填“＞”或“＜”.
（1）若a＞b，则2a＋1_______2b＋1；（2）若，则y_______－8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac＋c________bc＋c；（ 4）若a＞0，b＜0，c＜0，则(a－b)c_______0.
如果x>－2，那么5x＋3>___________.
比较大小：2a2＋3________a2＋3.
如果关于x的方程(1－m)x=1－2x的解是负数，那么m的取值范围是___________.
如果|x＋1|=x＋1，那么x的范围是___________.
解不等式，并将解集在数轴上表示出来.
同桌甲和乙正在对“4a＞3a”这一不等式进行争论．甲说：“4a＞3a是正确的．”乙说“4a＞3a这不可能正确．”你认为他们两人谁说得正确，为什么？
根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式.
（1）（2）
（3）－3x＞2；（4）－3x＋2＜2x＋3.
已知代数式的值不大于2，求x的正整数解.
关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b>0的解集为，求关于x的不等式ax>b的解集.
某施工工地每天需挖土700立方米，有甲、乙两个队施工，如果甲队每小时挖土55立方米，需要费用550元，乙队每小时挖土45立方米，需要费用495元．
(1)甲、乙两队同时施工，每天需几小时？
(2)如果规定工地每天最多挖土费用不得超过7370元，甲队每天至少挖土多少立方米？
某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个，在这20名工人中，派x人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元.
（1）写出此车间每天获利润y（元）与人数x（人）之间的关系式.
（2）若要使车间每天获利不低于1800元，问至少要派多少人加工乙种零件？
在一次数学知识竞赛中，共有25道题，每道题都给出了四个答案，其中只有一个答案是正确的，参赛学生每题答对得4分，不答或答错均扣2分，如果某学生在本次竞赛中得分不低于60分，他至少答对了几道题？
甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．
(1)为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)？
(2)根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？
甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元.现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价的9折优惠.某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）.
（1）设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的关系式.
（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？
某生在制定评定数学总评成绩计划时，按期中考试成绩占40％，期末考试成绩占60%计算．他期中考试数学是85分，他希望自己本学期数学总评成绩在90分以上，那么他期末考试时数学至少应得多少分?他的总评成绩最多可得多少分(满分为100分)？。