统计学抽样公式总结
统计学原理公式
统计学原理公式第二章数据描述1、组距=上限―下限2、简单平均数： x=Σx/n3、加权平均数：x=Σxf/Σf4、全距： R=xmax-xmin5、方差和标准差：方差是将各个变量值和其均值离差平方的平均数。
其计算公式：22未分组的计算公式：σ=Σ（x-x）/n22分组的计算公式：σ=Σ（x-x）f/Σf 样本标准差则是方差的平方根：21/2未分组的计算公式：s=[Σ（x-x）/（n-1）]2 1/2分组的计算公式：s=[Σ（x-x）f/(Σf-1)]1/2σ=[Σ（x-x）/n] 6、离散系数：总体数据的离散系数：Vσ=σ/x 样本数据的离散系数：Vs=s/x 10、标准分数：标准分数也称标准化值或Z分数，它是变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，用以测定某一个数据在该组数据的相对位置。
其计算公式为：Zi=（xi-x）/s标准分数的最大的用途是可以把两组数组中的两个不同均值、不同标准差的数据进行对比，以判断它们在各组中的位置。
第三章参数估计1、统计量的标准误差：（样本误差）（1）在重复抽样时；样本标准误差：σx=σ/n 或σx=s/n 样本的比例误差可表示为：1/21/2σp=[π(1-π)/n] 或σp=[p（1-p）/n] （2）不重复抽样时： 22σx=σ/n×(N-n/N-1) 2σp=p（1-p）/n×(N-n/N-1)2、估计总体均值时样本量的确定，在重复抽样的条件下：222n= Zσ/E3、估计总体比例时样本量的确定，在重复抽样的条件下：22n=Z×p（1-p）/E 4、（1）在大样本情况下，样本均值的抽样分布服从正态分布，因此采用正态分布的检验统计量，当总体方差已知时，总体均值检验统计量为：Z=(x-μ)/( σ/n)（2）当总体方差未知时，可以用样本方差来代替，此时总体均值检验的统计量为：Z=(x-μ)/( s/n) 5、小样本的检验：在小样本（n＜30）情况下，检验时，首先假定总体均值服从正态分布。
抽样检测公式范文
抽样检测公式范文在统计学中，抽样是指从总体中选取部分个体进行观测和测量的过程。
抽样检测则是利用抽样方法对总体进行推断或者假设检验的过程。
抽样检测公式是评估样本数据可信度和总体参数的一种数学计算公式。
下面将介绍一些常见的抽样检测公式及其应用。
1.均值的抽样检测公式假设我们从一个总体中随机抽取n个个体，并测量它们的一些特征（变量），则样本均值的抽样检测公式为：t=(x̄-μ)/(s/√n)其中，t为样本均值和总体均值之间的差异，在假设检验中常用于判断是否拒绝原假设；x̄代表样本均值；μ代表总体均值；s代表样本标准差；n代表样本容量。
通过计算得到的t值可以与t分布表中的临界值比较，从而确定样本均值与总体均值是否有显著差异。
2.比例的抽样检测公式当我们希望评估总体中一些特征的比例时，可以使用抽样检测公式来进行推断。
比例的抽样检测公式为：z=(p̄-p)/√((p*(1-p))/n)其中，z代表样本比例和总体比例之间的差异；p̄代表样本比例；p代表总体比例；n代表样本容量。
通过计算得到的z值可以与标准正态分布表中的临界值比较，从而确定样本比例与总体比例是否有显著差异。
3.方差的抽样检测公式当我们关注总体中一些特征的变异程度时，可以使用抽样检测公式来进行推断。
方差的抽样检测公式为：χ²=(n-1)*(s²/σ²)其中，χ²代表样本方差与总体方差之间的差异；s²代表样本方差；σ²代表总体方差；n代表样本容量。
通过计算得到的χ²值可以与卡方分布表中的临界值比较，从而确定样本方差与总体方差是否有显著差异。
需要注意的是，以上公式中的临界值可以从统计学的参考书籍或者统计软件中查找。
在实际应用中，通常要对样本数据的正态性、随机性、独立性等假设进行检验，以保证抽样检测的可靠性。
综上所述，抽样检测公式是统计学中用于评估样本数据可信度和总体参数的重要工具。
统计学第6章统计量及其抽样分布
整理ppt
16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
整理ppt
17
F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服 从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
整理ppt
8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时， 样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
整理ppt
9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本 均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比 例在85%至95%的概率为90.5%
整理ppt
22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
整理ppt
10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总 体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：
统计学常用公式
统计学常用公式统计学是一门研究数据收集、分析、解释和表达的科学。
在统计学中，有许多常用的公式被广泛应用于数据处理和推断分析。
本文将介绍一些统计学常用公式，并对其进行说明和用途解释。
一、描述统计学公式1. 平均值（Mean）平均值是一组数据的总和除以数据的个数，即：$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$其中，$\bar{X}$表示平均值，$X_i$表示第i个数据，n表示数据的个数。
2. 中位数（Median）中位数是将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值。
当数据个数为奇数时，中位数即为排列后正中间的数；当数据个数为偶数时，中位数为排列后中间两个数的平均值。
3. 众数（Mode）众数是一组数据中出现频率最高的数值。
4. 标准差（Standard Deviation）标准差衡量数据的离散程度，其计算公式为：$SD = \sqrt{\frac{(X_1 -\bar{X})^2 + (X_2 -\bar{X})^2 + \cdots + (X_n -\bar{X})^2}{n-1}}$5. 方差（Variance）方差是标准差的平方，即：$Var = SD^2$6. 百分位数（Percentile）百分位数是指一组数据中某个特定百分比处的数值。
比如，第25百分位数是将一组数据从小到大排列后，处于前25%位置的数值。
二、概率与统计公式1. 随机变量期望（Expectation）随机变量期望是描述随机变量平均值的指标，也称为均值。
对于离散型随机变量X，其期望计算公式为：$E(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i)$对于连续型随机变量X，其期望计算公式为：$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)dx$其中，$X_i$表示随机变量X的取值，$P(X_i)$表示对应取值的概率，$f(x)$表示X的概率密度函数。
统计学之抽样与抽样分布
的抽样分布
统计推断的过程
• 总体均值
m=?
• 从总体中抽取 • 样本容量为 n 的样本
• 用 作为m 的点估计
• 计算样本平均值
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本平均值 的概率分 布
的期望值
E( ) = = 总体平均值
的抽样分布
的标准差
•
有限总体
无限总体
• 当 n/N < .05时，可以将一个有限总体看作是无限
统计学之抽样与抽样分 布
2020年4月29日星期三
Chapter 7
抽样和抽样分布
本章主要内容
简单随机抽样 点估计 抽样分布 样本平均值 的抽样分布 样本比例 的抽样分布 抽样方法
•n = 100
•n = 30
统计推断
统计推断的目的是利用样本的信息推断总体的信息 总体是指感兴趣的所有元素的集合 样本是总体的一个子集 通过样本统计量对总体参数进行估计 只要抽样方法恰当，通过样本统计量可以对总体参数 进行很好的估计
也就是说，样本平均值在总体平均值+/-10分范围内的 概率为0.5036
•面积 = 2(.2518) = .5036
• 的抽样分布
•980 •990•1000
的抽样分布
的抽样分布是指所有可能的样本比例 的概率分布 的期望值
p = 总体比例
的抽样分布
的标准差 有限总体
无限总体
• 也称为样本比例的标准误
总体
•
称为有限总体校正因子.
• 也称为样本均值的标准误
的抽样分布
中心极限定理：只要样本容量足够大 (n > 30)，不管总 体服从什么分布，样本平均值 都可以认为近似服从 正态分布。
抽样率计算公式
抽样率计算公式是一种统计学中常用的基本公式，它用于计算抽样时所需要的样本大小。
抽样率计算公式是一个简单而又有效的方法，可以帮助研究者设计抽样计划，以便从总体中抽取有代表性的样本。
抽样率计算公式的基本原理是：根据抽样的目的，确定抽样的精度要求，然后根据精度要求，计算出抽样时所需要的样本数。
抽样率计算公式可以表示为：
n = N * (z^2 * p * (1-p)) / (E^2 * (N-1) + z^2 * p * (1-p))
其中：
n：抽样时所需要的样本大小
N：总体样本数
z：抽样精度要求，通常设定为1.96
p：总体中某一特征的比例，即某一特征在总体中的比例
E：抽样误差允许范围，通常设定为0.05
此外，抽样率计算公式还可以根据不同的研究目的进行修改，以满足不同的研究需求。
抽样率计算公式的应用非常广泛，它可以用于市场调研、社会调查、民意调查、实验研究等多种研究领域。
它可以帮助研究者有效地从总体中抽取样本，从而更好地掌握总体的基本特征，从而更好地分析研究结果。
抽样率计算公式的应用不仅可以提高研究的准确性，而且可以提高研究的效率，节省研究的时间和成本，使研究者能够更好地完成研究任务。
总之，抽样率计算公式是一种简单而又有效的方法，可以帮助研究者有效地从总体中抽取样本，从而更好地掌握总体的基本特征，从而更好地分析研究结果。
统计学原理 抽样估计
（三）样本容量和样本个数
n
N样本代表性高
（四）抽样方法
1、重复抽样（回置抽样）
n
抽一个单位——登记结果——重新放回——样本需要单位
特点：N 不变，每一个单位有均等抽中的机会。
如，设总体有A、B、C、D4个商店，重复抽样随机抽取
2个商店组成样本。则共有 4 4 =16 样本
AA AB AC AD N N N N… = Nn
设：Q —— 表示不具有某种属性的单位数所占的比重。
P——表示总体中具有某种属性标志的单位数在总体
中所占的比重。
产品产量
N = N1 + N0
不具有某种属性
具有某种属性 合格产品 N1
不合格产品
N Q= 0 N 成数方差 = P Q =P（1-P）
P =
N P + Q = 1 Q = 1- P
例如： 某厂生产的电子元件 1000件中有50件不合格，则
DA DB DC
三、抽样误差
（一）抽样误差 （随机误差） P121 x - X
调查误差——调查过程中由于观察、登记、测量、计算上 系统偏差 引起的。 预防、杜绝 登记误差 抽样误差——样本结构与总体结构发生差异引起的误差， 加以控制。 影响抽样误差的因素 P121
标志值的变异程度
样本的单位数
抽样的方法 抽样调查的组织方式
4、抽样推断的误差可以事先计算并加以控制
二、抽样推断中常用概念 （一）全及总体和样本 P12
1、全及总体（母体、总体） N 一次性调查中全及总体唯一确定的 2、样本（子样） n
n1
n3
一次性调查中样本不是唯一的，可变的。 n2
例: 研究某市工业企业的生产经营情况，则该市所有 工业企业 1000家就构成全及总体（母体、总体），若以 1%抽样调查，那么抽选的 10 家工业企业则称为抽样总体 （样本、子样）
统计学 抽样分布和理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（一）
∑ yi
(6.9)
估计量的方差
ˆ ) = V ( y ) = S (1 − n ) V (Y n N
2
(6.10)
式中
S =
2
1
N
N − 1 i =1
∑ ( yi − Y )
2
(6.11)
估计量的估计方差
ˆ ) = υ ( p) = υ (π
p (1 − p ) n −1
（6.35）
当 n 充分大，且 0.1≤ p ≤0.9 时， π 的置信区间可以近似地表示为
( p − zα
2
p(1 − p) n −1
， p + zα
2
p(1 − P ) ） n −1
（6.36）
28
ˆ ) = υ ( y ) = s (1 − n ) υ (Y n N
2
(6.12)
式中，s2 是样本方差。它的定义及便于计算的表达式为 1 n 2 2 s = ∑ ( yi − y ) i = 1 n −1 1 n 2 = ∑ ( yi − y ) n − 1 i =1 （二）总体总值的估计 估计量
ˆ=N1 Y n
n i =1
(6.13)
∑ yi
(6.14)
ˆ 是 Y 的无偏估计量。 显然，由式（6.14）构造的估计量 Y
估计量的方差
ˆ ) = N 2V ( y ) = N 2 S (1 − n ) V (Y n N
2
(6.15)
式中，S 2 由式（6.11）定义。 估计量的估计方差 同理有
ˆ) = N υ( y) = N υ (Y
( x − zα
2
s 2 / n ， x + zα
2
s2 / n ）
(6.33)
2．随机试验中某种指定事件 C 发生概率的估计 把要估计的概率记作 π ,它的估计量为
ˆ= p= π
a n
(6.34)
式中， p 是样本比例， 它是样本中具有 C 特征的单位数 a 与样本单位总数 n 的比值。 估计量的估计方差为
2
(6.20)
式中
S ′2 =
式(6.20)又可写作
N N −1
P (1 − P )
(6.21)
N
ˆ ′) = N − 1 ˆ ) = V ( p ) = V (Y V (P
P (1 − P )
(1 −
n N
)
(6.22)
n
估计量的估计方差 仿照式（6.12）写出
2 ˆ ′) = υ ( y ′) = s ′ (1 − n ) ˆ ) = υ (Y υ(P n N
ˆ =x= µ 1
27
n i =1
∑ xi
n
(6.29)
估计量的估计方差为
ˆ ) = υ (x) = υ (µ
s2 n
(6.30)
式中
s2 =
1 n 2 ∑ ( xi − x ) n − 1 i =1
(6.31)
若 X 的分布偏斜得不很厉害，统计量
t= x −µ s2 / n
(6.32)
近似服从自由度为 n − 1 的 t _ 分布。当 t _ 分布的自由度足够大时（大于等于 30） ， t _ 分布与 标准正态分布已很接近，这时可查正态分布表作区间估计。即， n ≥ 30时, µ的1 − α 的置信区 间近似地为
(6.26)
估计量的方差
N
ˆ) = N V(A
2
P (1 − P )
(1 −
N −1 n
n N
)
(6.27)
估计量的估计方差
ˆ) = N υ( A
2
p (1 − p ) n −1
(1 −
n N
)
(6.28)
关于用有限总体概率样本作无限总体推断的一个说明
1．无限总体均值的估计 设随机变量 X 的均值、方差未知，现从中抽取简单随机样本 x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ,于是，随机变 量 X 的均值（期望值） µ 的估计量为
2 2
s
2
(1 −
n N
)
(6.16)
n
式中，s2 由式（6.13）定义。 3、总体 C 类比例的估计 估计量
n a ˆ ′ = y′ = 1 ∑ ˆ =Y P y i′ = = ˆ p n i =1 n
(6.19)
估计量的方差 仿照式（6.10）写出
26
ˆ ′) = V ( y ′) = S ′ (1 − n ) ˆ ) = V ( p ) = V (Y V (P n N
(6.23)
式中
s′2 =
因此，式(6.23)又可写作
n n −1
p (1 − p )
(6.24)
n
ˆ ) = υ ( p) = n − 1 υ(P
=
p (1 − p )
(1 −
(1 −
n N
)
n p (1 − p )
n −1
n N
)
(6.25)
4、总体中 C 类单位数目的估计 估计量
ˆ = NP ˆ = Np = N a A n