高考数学提分秘籍 必记篇 函数与方程及函数的应用
高考数学提分秘籍 必记篇 函数与方程及函数的应用1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一 函数的零点 例1 (1)(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x －x 2＋2x x >0，2x ＋1x ≤0，的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.(2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________.答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32， ∴－1<x 0<0，∴n ＝－1.考点二 与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案 A解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f (x )是“12－伴随函数”， 则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0， 则f (12)＋12f (0)＝0， 若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点； 若f (0)，f (12)均不为0， 则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理， 知f (x )在(0，12)内存在零点x 0， 所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx x <0，log 3x x >0，则f (x )的图象上的“镜像点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案 C解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)，若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π－x 0＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C.考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)， ∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]． (2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23， 则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76， g (0)－g (12)＝2(a －14)． 故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g 12，0≤a ≤14，g 0，14<a ≤12. 即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12. 当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立； 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2. 故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标． (1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋80<x ≤4，2x ＋28x －1x >4.当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx 216＋2m 0<x ≤4，m x ＋142x －2x >4，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m2x －22<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可，即167≤m ≤103.所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点．(2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<bB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析 函数f (x )＝(13)x －log 2x 在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0<a <b <c ，∴f (a )>f (b )>f (c )．又∵f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ，若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ，故x 0>c 不可能成立，故选D.2．若f (x )＋1＝1f x ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞) C ．[0，13) D ．(0，12] 答案 D解析 根据方程与函数关系．设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，∴f (x )＝1f x ＋1－1＝1x ＋1－1， ∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点．如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m ≤12. (推荐时间：60分钟)一、选择题1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内． 2．若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知，对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立．对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D.3．函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案 C解析 因为f ′(x )＝2x ln 2＋2x 2>0， 所以f (x )是增函数，由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以c A＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30，② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.5．已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15答案 B解析 令f (x )＝|x 2－6x |，作图象如下：知f (x )＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，它与直线y ＝a 交点的个数为2,3或4个．所以方程根的和为6,9,12.选B.6．(2013·辽宁)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ， g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.二、填空题7．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．答案 3解析 由于f (－1)＝1－2－1＝12>0， 又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点；又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．8．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13. 9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根， 由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.三、解答题11．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2， 因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1， 即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]．(2)由f (x )－g (x )＝0得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x －12x －2＝0， 整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．12．某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成关于x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝120，即k ＝120x－1， 所以y ＝432k ＋(k ＋1)(x 3＋x )＝432×(120x －1)＋120x(x 3＋x ) ＝51 840x＋120x 2－312. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x ≤60.故y 与x 的函数关系是y ＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)． (2)因为f (x )＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)，则 f ′(x )＝－51 840x 2＋240x ＝240x 2(x 3－216)， 由f ′(x )>0，得x 3>216，又0<x ≤60，则6<x ≤60.所以f (x )在区间(6,60]上为增函数，在区间(0,6)上为减函数．所以当x ＝6时，f (x )取最小值，此时k ＝120x －1＝1206－1＝19. 故需要修建19个增压站才能使y 最小．13．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f x x－4ln x 的零点个数． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x＝x －3x －4ln x －2 (x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝x －1x －3x 2.x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋g (x ) 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)．。
高考数学知识点巧记总结
高考数学知识点巧记总结高考数学是一项重要的考核科目，对于考生而言，合理的学习方法和巧妙的记忆技巧是至关重要的。
本文将以高考数学的主要知识点为出发点，为大家总结一些巧记技巧，帮助考生更好地掌握这些知识点。
一、函数与方程函数与方程是数学中的重要概念，考生需要掌握它们的定义和性质。
为了记忆这些知识点，我们可以运用关联记忆的方法。
以函数为例，我们可以将函数比喻成一家餐馆，自变量x代表顾客所点的菜品，因变量y代表菜品的价格。
函数的定义域就像是餐馆的菜单，只有菜单上列出的菜品才能被顾客点到。
而函数的值域则是指所有出售的菜品的价格范围。
这样比较形象的记忆方法可以帮助考生更好地理解函数的概念。
对于方程，我们可以把它比作一道数学谜题。
考生可以将未知数看作是谜底，方程的各种运算符号就像谜底与题目之间的提示。
通过这种类比的方法，考生可以更容易地记忆方程的解法和性质。
二、几何与三角函数几何和三角函数也是高考数学中重要的考点。
对于有关几何的知识点，考生可以通过构建图像和场景来进行记忆。
例如，对于平面几何中的平行线与垂直线，我们可以想象两条平行线如铁路上的两条平行铁轨，而垂直线则像是和地面上的垂直杆子。
这样一来，我们可以通过形象的记忆帮助自己区分这些概念，并避免混淆。
对于三角函数，我们可以将其记忆成一个有趣的游戏。
例如，正弦函数可以被理解为游戏中的“上升”动作，正切函数则是类似于“攀登”的过程。
通过将知识和游戏联系在一起，我们可以更加有趣地学习和记忆三角函数的概念和性质。
三、数列与概率数列和概率也是高考数学考点中的重要部分。
对于数列，考生可以通过找到规律以及构建数列的特殊情况来进行记忆。
例如，对于等差数列，考生可以把它想象成一个钟表上的时针，每次按照相同的间隔移动。
而等比数列则可以比作一个水桶的蓄水过程，每次蓄水的量都是前一次的倍数。
这样一来，我们可以通过这些场景来帮助我们掌握数列的性质和求解方法。
在概率方面，我们可以将概率问题比作一个投掷骰子的游戏。
数学高考复习指南重点知识点解析与数学应用技巧
数学高考复习指南重点知识点解析与数学应用技巧数学一直被认为是高考中最具挑战性和繁重的科目之一。
对于学生来说，熟练掌握数学的重点知识点和灵活运用数学的应用技巧是提高成绩的关键。
本文将为广大高考生提供一份数学高考复习指南，详细解析重点知识点，并分享数学应用技巧，帮助学生更好地备考。
一、函数与方程函数与方程是数学高考中的重点知识点，掌握好这一部分内容对于解题至关重要。
1.1 一次函数一次函数即形如y=ax+b的函数，其中a和b分别为常数。
在复习一次函数时，需要掌握函数的性质和基本应用，例如求函数的零点、函数的定义域和值域等。
1.2 二次函数二次函数是高考中经常考查的内容，要熟练掌握二次函数的图像和各种形式的表示方法。
此外，需要注意理解二次函数与一次函数的比较，掌握二次函数的性质和应用。
1.3 幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高中数学的重点内容，也是高考中的热点。
复习幂函数和指数函数时，要掌握它们的基本性质，并能够灵活应用到各种类型的题目中。
二、平面几何平面几何是高考数学中占比较大的一个部分，掌握好平面几何的知识点对于解答几何题目非常重要。
2.1 直线与圆直线与圆是平面几何中的基本图形，复习时要熟悉直线的性质、直线的表示方法以及圆的性质、圆的方程等内容。
此外，要注意直线与圆的相交关系和切线的求解方法。
2.2 三角形与四边形三角形与四边形是高考中经常出现的几何图形，复习时要掌握三角形和四边形的性质，包括角的性质、边的性质以及特殊三角形和四边形的性质。
三、概率与统计概率与统计是数学高考中的考点之一，要注意复习这一部分知识点，并且掌握好应用技巧。
3.1 随机事件与概率随机事件与概率是概率与统计的基础，复习时要掌握随机事件的定义和基本性质，熟悉概率计算的方法，并能够解答与概率有关的问题。
3.2 统计与频数分布统计与频数分布是统计学中的重要内容，复习时要了解统计的基本概念和统计图的绘制方法，同时要熟悉频数分布表的制作和数据的处理方法。
高考数学必备知识点总结
高考数学必备知识点总结在高考数学中，有一些必备的知识点，了解并掌握它们对考试中的成绩提升是非常有帮助的。
本文将逐一介绍这些知识点，并展示其在不同题型中的应用。
一、函数与方程函数与方程是数学中的基础概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值。
方程是一个等式，其中包含未知数，通过解方程可以确定未知数的值。
在高考数学中，函数与方程的应用非常广泛。
1.1 一次函数与一元一次方程一次函数是指函数的最高次项是1的函数，形式为 y=ax+b。
一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次项是1。
解一元一次方程的方法有图解法、等价变形法等。
在高考数学中，应用一次函数与一元一次方程解决实际问题是常见的。
1.2 二次函数与二元一次方程二次函数是指函数的最高次项是2的函数，形式为 y=ax^2+bx+c。
二元一次方程是指方程中有两个未知数，并且未知数的最高次项是1。
通过解二次方程可以求出函数的极值、判断函数的开口方向等。
而通过解二元一次方程可以求出两个未知数的值，并确定函数与坐标系的交点。
1.3 指数函数与对数函数指数函数是指一个变量以指数的形式出现。
指数函数具有一些特殊的性质，例如 a^x * a^y = a^(x+y)。
对数函数是指一个变量以对数的形式出现，对数函数的定义与指数函数互为反函数。
指数函数与对数函数常常用于解决增长与衰减问题，例如人口增长、财富增长等。
二、几何与三角学几何与三角学是数学中的重要分支，它们在高考数学中占据着重要的比重。
掌握几何与三角学的基本概念和定理，并熟练应用它们解题，可以在高考中取得较好的成绩。
2.1 直线与平面几何直线几何研究点、直线与平面之间的关系，运用直线几何的知识可以解决线段垂直、平行、相交等问题。
平面几何研究平面与平面之间的关系，例如平面的垂直、平行等。
掌握直线与平面的性质，可以帮助我们解决有关平面与直线的几何问题。
2.2 三角学三角学是研究三角形及其相关概念和性质的学科。
高三数学考前必背知识点归纳
高三数学考前必背知识点归纳一、函数与方程1. 函数的定义与性质- 函数的定义：函数是一个具有唯一性的、使每一个自变量对应唯一的函数值的关系。
- 函数的性质：奇偶性、周期性、增减性、极值等。
2. 一元二次函数- 一元二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c。
- 一元二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向、图像与系数的关系。
3. 指数与对数函数- 指数函数与对数函数的定义与性质：指数函数和对数函数是互为反函数的函数。
- 指数函数的性质：底数、指数、图像特点。
- 对数函数的性质：底数、真数、图像特点。
4. 三角函数- 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
- 三角函数的关系与常用公式：诱导公式、和差化积、倍角公式等。
5. 方程与不等式- 一元二次方程的求解：配方法、求根公式等。
- 线性方程组与矩阵的方法：高斯消元法、克莱姆法则等。
- 一元一次不等式的求解：正负号区间法、代数法等。
二、立体几何1. 点、线、面的坐标与距离公式- 点的坐标：二维平面、三维空间。
2. 空间几何体的性质与计算- 直线与平面的关系：相交、平行、垂直等。
- 空间几何体的计算公式：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
3. 空间向量- 向量的定义与性质：加法、减法、数量积、向量积等。
- 向量的共线、垂直与夹角：向量共线与线性相关、向量垂直与正交、向量夹角的计算等。
- 平面向量与立体几何：平面向量的坐标法、平面向量的垂直、平面的法向量等。
4. 空间解析几何- 空间曲面与二次曲面的方程：球面、圆锥曲线、椭球面、单叶双曲面等。
- 空间直线与平面的交线：直线与平面的交线方程、直线与直线的位置关系。
三、概率统计1. 随机事件与概率- 随机事件的定义与性质：必然事件、不可能事件、互斥事件、对立事件等。
- 概率的定义与性质：古典概型、几何概型、条件概率、独立事件等。
2. 事件的运算与概率模型- 事件的运算：并、交、差等。
高考数学必考知识点归纳总结
高考数学必考知识点归纳总结高考数学是每个考生都要面对的一门重要科目，它占据着总分的比重很高。
为了顺利应对高考数学，掌握必考的知识点是至关重要的。
本文将对高考数学的必考知识点进行归纳总结，以帮助考生进行备考复习。
一、函数与方程1. 函数基本概念：了解函数的定义、自变量、因变量、函数的定义域、值域等基本概念。
2. 一次函数与二次函数：掌握一次函数与二次函数的性质、图像的变化规律以及与实际问题的应用。
3. 幂函数与指数函数：理解幂函数与指数函数的基本概念，研究它们的性质及应用。
4. 对数函数：了解对数函数的定义与性质，理解对数函数与指数函数之间的关系。
5. 三角函数：掌握三角函数的定义、性质与图像变化规律，能够灵活运用三角函数解决实际问题。
6. 方程与不等式：熟练掌握一元方程及一元不等式的解法，能够解决相关实际问题。
二、平面几何1. 点、直线、射线、线段：了解它们的基本概念与性质，能够判断点与直线的位置关系。
2. 各种三角形：研究各种三角形的性质，包括角平分线、中线、高线、垂直定理等。
3. 圆的基本概念：掌握圆的基本概念，能够解决圆的切线与弦的性质相关的问题。
4. 相似三角形：熟悉相似三角形的性质与判定方法，理解相似三角形的应用。
5. 直角三角形与三角函数：熟练掌握勾股定理、正弦定理、余弦定理等用于解决相关问题。
三、立体几何1. 空间几何体的表面积与体积：熟练计算各种几何体的表面积与体积，包括立方体、长方体、圆柱体等。
2. 空间几何体的位置关系：了解各种空间几何体之间的位置关系，如平行、垂直、相交等。
3. 空间向量的运算：掌握向量的基本概念，熟练计算向量的模、方向以及向量的加法与减法。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：理解概率的定义、性质与计算方法，能够解决简单概率问题。
2. 统计的基本概念：了解统计的基本概念，包括频数、频率、平均数、中位数等。
3. 统计图表：能够制作与解读各种统计图表，如折线图、柱状图、饼状图等。
高考数学知识点必记
高考数学知识点必记高考，作为每个学生人生中的重要一步，不仅考验着学生的基础知识掌握和思维能力，更是决定学生未来发展的一次机会。
而在高考中，数学作为一门重要的科目，常常是学生们最担心的一门。
为了能在数学考试中取得好成绩，我们需要掌握一些重要的数学知识点。
本文将为大家总结一些高考数学知识点，帮助大家备战高考。
一、函数与方程在高考数学中，函数与方程是一个基础且重要的知识点。
学生们需要熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数等各种常见函数的性质和图像特点。
同时，还需掌握函数的定义域、值域、单调性等概念，并能熟练运用函数的性质解决实际问题。
在方程方面，掌握解方程的基本方法是必不可少的，包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等等。
二、几何与三角在高考数学中，几何与三角也是必备的知识点。
具体来说，学生们需要熟悉平面几何与空间几何中的各种性质和定理，如平行线的性质、三角形的性质、圆的性质等等。
同时，需要熟练掌握三角函数的定义、性质以及三角恒等式的运用。
这些知识点在高考数学中往往与计算题、证明题密切相关，所以学生们要加强对这些知识的记忆与理解。
三、概率与统计概率与统计也是高考数学中的重要知识点之一。
学生们需要熟练掌握概率的基本定义和计算方法，包括事件的概率、加法公式、乘法公式等等。
同时，还需掌握统计中的各种概念和方法，如频率、平均数、中位数、离散程度等。
这些知识点在高考数学中常常出现在选择题和应用题中，所以学生们要加强对这些知识的理解和应用。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高考数学中的重要知识点。
学生们需要熟练掌握等差数列、等比数列的性质和求和公式。
同时，还需要了解数列的通项公式，并能应用数学归纳法解决一些问题。
数列与数学归纳法在高考数学中常常与选择题、填空题相关，所以学生们要加强对这些知识的记忆和应用能力。
五、导数与微分导数与微分是高考数学中的一个重要知识点。
学生们需要掌握函数的导数定义、导数的性质以及常见函数的导数公式。
关于高考数学高考必备知识点总结归纳
关于高考数学高考必备知识点总结归纳高考数学是高中阶段学生进行综合素质测评的关键科目之一，也是学生升学的重要参考。
为了帮助学生顺利通过高考数学科目，下面将对高考数学必备知识点进行总结和归纳。
一、函数与方程
1.一次函数与二次函数的性质：定义域、值域、单调性、零点、图像等。
2.一次函数与二次函数的应用：表示与求解实际问题。
3.一次函数与二次函数的变形：平移、翻转、伸缩等。
二、数列
1.等差数列的概念：通项、前n项和、性质等。
2.等差数列的应用：表示与求解实际问题。
3.等比数列的概念：通项、前n项和、性质等。
4.等比数列的应用：表示与求解实际问题。
三、三角函数
1.正弦、余弦、正切、余切函数的定义与性质。
2.三角函数的应用：求角度、边长、面积等。
3.三角函数的图像与变形：平移、翻转、伸缩等。
四、平面几何
1.基本图形的性质：点、线、角、面的定义与性质。
2.相似三角形的性质：比例关系、角度关系、边长关系等。
3.平面几何的应用：表示与求解实际问题。
五、立体几何
1.基本立体体积与表面积的计算：长方体、正方体、圆柱体等。
2.空间几何图形的性质：平行关系、垂直关系、角度关系等。
3.空间几何的应用：表示与求解实际问题。
六、概率论与统计
1.随机事件的概念与性质：样本空间、事件概率、事件运算等。
2.概率计算：频率与概率的关系、排列与组合等。
3.统计分析：样本数据的整理与分析、频数分布等。
高三差生数学提分知识点
高三差生数学提分知识点在高三阶段，数学成绩对于学生的升学和发展起着至关重要的作用。
对于那些数学成绩相对较差的学生来说，提高数学成绩是一个迫切的任务。
下面将介绍一些可以帮助高三差生提分的数学知识点。
一、函数与方程1. 一次函数和二次函数学生需要熟练掌握一次函数和二次函数的基本概念、图像和性质。
掌握其图像的变换、平移和缩放规律，能够解答与函数和方程相关的各类问题。
2. 指数与对数函数熟练掌握指数与对数函数的定义、性质和运算法则，了解其在实际问题中的应用。
特别是对数函数的反函数性质，要掌握其在解方程和求解实际问题中的应用。
3. 反比例函数熟悉反比例函数的定义、性质和图像特点，学会利用反比例函数解决实际问题，并能够进行函数图像的变换。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列了解等差数列和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，能够利用这些公式解决与数列相关的各类问题。
同时，要能够判断一个数列是等差数列还是等比数列，并能够求出序列的下一个项或前n项和。
2. 通项公式与递推公式掌握根据数列的递推关系给出通项公式的方法，熟练运用求解递推公式的方法。
同时，要会灵活地运用数学归纳法，证明数学问题的正确性。
三、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质熟练掌握三角函数的定义，包括正弦、余弦、正切等三角函数的周期、对称性及其在坐标平面上的图像。
掌握这些性质有助于理解和应用三角函数的概念。
2. 三角函数的运算与方程熟悉三角函数的运算法则，包括和差化积、倍角、半角等公式。
能够灵活地运用这些公式解决与三角函数相关的方程和不等式问题。
3. 解三角形掌握解三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理和正切定理等。
能够熟练运用这些定理解决各类与三角形相关的计算问题。
四、概率与统计1. 事件与概率理解事件和概率的概念，掌握简单事件的概率计算方法。
对于复杂事件，要能够利用集合的概念和运算，求解包含多个事件的概率。
2. 随机变量与概率分布了解随机变量和概率分布的基本概念，包括离散型随机变量和连续型随机变量。
高考数学知识点总结必背
高考数学知识点总结必背数学是高考中的必考科目，对于考生来说，掌握好数学知识点是提高成绩的关键。
下面将对高考数学知识点进行总结和归纳，帮助考生更好地备考。
1. 解二次方程在解二次方程时，可以使用配方法、求根公式和求解因式分解三种方法。
其中，配方法适用于一般的二次方程，求根公式适用于一般的带常数项的二次方程，因式分解则适用于出现因式分解的二次方程。
熟练掌握这三种方法可以帮助考生更快地解决相关问题。
2. 函数与方程函数与方程是高考数学中的重点内容。
重点理解和掌握函数的定义、性质和思维方法，以及一次函数、二次函数等常见函数的图像特点。
并在此基础上熟悉函数与方程之间的互相转化关系，以及函数方程与对应的图象之间的关联性。
3. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学考察的一个重要方面。
数列的概念和常见数列的特点是需要熟悉的内容，比如等差数列、等比数列等。
掌握数列的通项公式和前n项和的计算方法，以及在解题过程中应用数学归纳法的技巧，对于应对高考数学试题至关重要。
4. 几何与三角函数在几何和三角函数的知识点中，特别是平面几何和立体几何中的性质、定理和计算方法是需要重点掌握的内容。
包括几何图形的相似、全等性质，以及三角函数的定义、性质和应用等。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数的图像及其变换性质，熟悉其计算和运用技巧是需要重点复习的内容。
5. 概率与统计概率与统计也是高考数学考试的重要部分。
需要重点掌握概率和统计的基本概念、计算方法，理解事件概率、频率、统计图表等概念的含义。
灵活运用概率与统计的知识，解决实际问题是考查的重点。
除了上述知识点之外，高考数学知识的综合运用和解题技巧也是需要重点关注的内容。
在解题过程中需要注重分析题目，抓住问题的关键，选择合适的解题方法，思路清晰，步骤正确，运算准确，才能取得好的成绩。
在备考过程中，要注重理论与实践的结合，理论知识的掌握要通过实际题目的训练来加深理解和运用。
通过做大量的高考模拟试题和历年真题来检验自己的复习成果，发现自己在知识点上的不足，并及时进行弥补。
高三数学考前必看知识点
高三数学考前必看知识点一、函数与方程1. 函数函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
函数可以用公式、图像、表格等形式表示，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数等。
在高中数学中，我们需要掌握函数的性质、图像以及函数的复合、反函数等概念。
2. 方程方程是等式的一种特殊形式，其中包含有未知数。
方程可以用来描述各种数学问题，解方程就是寻找使得方程成立的未知数的值。
在高中数学中，我们需要掌握一元一次方程、一元二次方程等的解法，以及方程的应用问题。
二、三角函数1. 三角函数的定义三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，包括正弦、余弦、正切等。
在高中数学中，我们需要熟悉三角函数的定义，掌握各种特殊角的数值以及三角函数的性质。
2. 三角函数的图像与性质了解三角函数的图像是解决各种三角函数问题的基础。
我们需要熟悉正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点，掌握函数的周期、对称性等性质。
此外，还需要掌握三角函数的运算法则，如和差化积、倍角公式等。
三、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数变化率的度量，也可以理解为函数在某一点的切线斜率。
我们需要掌握导数的定义，求导法则以及导数的几何意义。
此外，还需要了解函数的极值与导数的关系，以及导数的应用问题。
2. 微分与微分中值定理微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数的变化量。
掌握微分的计算方法，以及微分中值定理的条件及应用是解决各类导数与微分问题的关键。
四、概率与统计1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，它可以是一个百分比或一个分数。
了解概率的基本概念，包括事件、样本空间、随机变量等，是学习概率的前提。
2. 统计的基本概念与数据分析统计是收集、整理、分析数据的方法和过程。
我们需要了解统计的基本概念，包括总体与样本、频数与频率等。
此外，还需要掌握数据的收集、整理与分析方法，如频数分布表、直方图、箱线图等。
五、解析几何1. 坐标系与直线方程解析几何是研究几何图形和代数关系之间联系的数学分支。