随机过程的数字特征
随机过程的基本概念
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联合 分布 函数
设 X (t ) 和Y (t ) ，t1 , t 2 ,, t n ，t1 , t 2 ,, t m T
n + m维随机向量
Y , { X (t1 ) , X (t 2 ) ,„, X (t n ) ， (t1 ) Y (t 2 ) ,„, (t m ) } Y
则称随机过程 X (t ) 和Y (t ) 相互独立
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例1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时 间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量
t , X (t ) 3 e t ,
如果t 时取得红球 如果t 时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求 是两个随机过程
对任意 t1 , t 2
T ， 则 RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )]
称为随机过程X (t ) 与Y (t ) 的互相关函数
注
CXY (t1 , t2 ) = R XY (t1 , t 2 ) m X (t1 )mY (t 2 )
四维
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说明3 原因：
{ X (t ) ， t T }是定义在 T 上的二元函数
“随机” 性
对固定的样本点t0∈T，X(t0)=X(t0,ω) 是定义在(Ω,F,P) 上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变 化有一定的规律，用概率分布刻画。 对固定的样本点ω0∈Ω，X(t,ω0) 是定义在T上的 一个函数（确定性函数），称为 X(t) 的一条样本 路径或一个样本函数，或轨道、现实。
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3．协方差函数
随机过程X (t ) 在t1 , t 2 T 的状态X (t1 ) 和X (t 2 )
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.2随机过程的分布律和数字特征
任 意 有 限 个 时 刻 过 程 各个 状 态 的 联 合 概 率 分 布 : 给定随机过程 { X (t), t T }.
对任意n (1)个不同的时刻 t1, ,tn T , 相应
的状态可由 n维随机变量 X (t1), X (t2), , X (tn)
描述 .
a cost
,t
,
其中a
0,
且P1
2 3
,
P2
1 3
,
试求随机过程 X (t)，t (,)
的数字特征。
解
mX
EX t a cos t 1 a cos t 2 1 cos t，
3
33
t (,)
RX s,t EX sX t
a coss a cost 1 a cossa cost 2
示一条固定的曲线。如图蓝色曲线
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.称 BX(s,t) = E{[X(s) - mX(s)][X(t) - mX(t)]},s,t T
为 XT 的协方差函数；
3.称 DX (t) BX t,t E[X (t) mX (t)]2 ,t T 为 XT
的方差函数；
4.称 RX (s,t) E[X (s)X (t)]，s,t T 为 XT
2019级研究生课程
彭晓华
辽宁工大基础部数学教研室
第2章 随机过程的基本概念
2.1随机过程的基本概念 2.2随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 2.4几种重要的随机过程
本章小结 思考题与作业
复习2.1 1.怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？
2.随机过程的五个要素都是什么？
随机过程课程第二章 随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
通信原理第2章 随机过程
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
第三章通信原理 随机过程
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
专升本《随机过程》_试卷_答案
专升本《随机过程》一、（共52题，共151分)1。
描述随机过程的数字特征包括自相关函数。
方差函数.均值函数以及(）（2分) A.协方差函数 B。
样本函数； C.特征函数标准答案：A2. 对于维纳过程以下说法正确的是（) （2分）A.是平稳过程 B。
是正交增量过程;C。
是马尔科夫过程。
标准答案:B3。
对于非齐次泊松过程，以下说法正确的是（） (2分）A.单位时间内事件发生的平均次数是随时间变化的函数；B。
单位时间内事件发生的时刻是随时间变化的函数;C。
单位时间内事件发生的平均时间间隔是随时间变化的函数;。
标准答案：A4. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是(）（2分）A.独立增量过程; B。
遍历；C。
各态历经； D。
严平稳标准答案：D5. 随机过程是正交增量过程的充要条件是(） (2分）A.，都有；B。
，都有；C.，都有.D.，都有；标准答案：D6. 高斯过程通过线性系统后输出为，那么它必是（) （2分）A。
严平稳； B。
高斯过程； C。
各态历经 D。
以上均不对标准答案：B7。
假设是参数为的泊松过程,那么复合泊松过程的方差函数可以表示为() (2分) A。
B.；C.D.标准答案：A8. 若是相互独立的随机变量,那么的特征函数描述，正确的是（）（2分）A.；B。
；C。
;D.以上均不对。
标准答案：B9. 讨论某随机过程的各态历经性，前提条件是该随机过程必须() (2分)A.严平稳；B.宽平稳；C。
非平稳 D.正交增量过程。
标准答案:B10。
以下条件可以作为判断马尔科夫链遍历的充分条件() （2分）A.，存在整数，使得；B。
，存在整数,使得；C。
，存在整数，使得D。
以上均不对标准答案：B11。
随机过程一般可以理解为二元函数,变量分别为(）（3分）A。
随机变量；B.随机模型;C。
时间；D.某常数标准答案：A，C12。
以下哪些自相关函数能够作为平稳过程的自相关函数（) （3分)A。
；B.；C.;D.。
标准答案：B，D13。
概率论与随机过程第2章(15)
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特 征—均值； 偏离均值的程度—方差， 不同时刻随机变量之间的相关程度 —相 关函数，等数字特征。 总之，统计平均描述法是从统计平均的意 义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类
按时间和状态分类 类别 连续随机过程 离散随机过程 连续随机序列 离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态 连续 离散 连续 离散 X( t )
时间 连续 连续 离散 离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：
2
x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )
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❖ 对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大 致相同的数学期望和方差，但两个过程的内部结构 却有着非常明显的差别，其中X(t)随机时间变化缓 慢，这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较 强的相关性，而过程Y(t)的变化要急剧得多，其不 同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研 究和反映一个随机过程在不同时刻的内在联系呢？ 为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来描述 随机过程在两个不同时刻状态之间的内在联系。
❖ 定义随机过程的自相关函数：
这就是随机过程X(t)在两个不同时刻 的状态
之间的混合原点矩，自相关函数就反映了
X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在
定义式中取
，则有
此时自相关函数即为均方值。
式中，
为过程X(t)的二维概率密度函数。
例2.2 求随机相位正弦波过程 的均值、方差和自相关函数，其中 的概率密 度为
❖ 定义协方差函数：称
为随机过程X(t)的协方差函数。 由定义可知，当取
∴ 此时的协方差就是方差。
❖ 注意，实际上自相关函数 特性是几乎一致的。
所描述的
❖ 性质2.1 证∵
从上式分析可知，随机过程的协方差函数
与
其自相关函数
只差一个统计平均值，特别
当随机过程的任意时刻数学期望
时，二者
完全相同。
§7.4 两个随机过程之间的互相关函数
显然
是关于t的函数，且为非负函数。
❖ 定义随机过程的标准离差： ❖ 注：随机过程的标准差是表示了随机过程在t时刻偏
离均值的程度大小，如图2.2所示。
图2.2
§7.3 随机过程的自相关函数
❖ 随机过程的数学期望、方差描述了随机过程在各个 孤立时刻的重要数字特征值，但它们不能反映随机 过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机 过程
内在联系，而要描述两个过程在不同时刻
之
间的相互关系，我们引入了互相关函数的定义。
定义互相关函数：称
为两个随机过程的互相关函数。式中：
为在两个不同时刻随机变量 密度函数。
、 的联合概率
定义互协方差函数：称
为两个随机过程的互协方差函数。 性质2.2
在上式中，若对任意 都有
则称X(t)，Y(t)为正交过程，此时
在上式中，若 关；此时
，又称X(t)，Y(t)互不相
推论：若两个随机独立，则它们必不相关。反之， 两 个随机过程不相关，还不能断言它们的相互独立。（除 非是正态过程）。
注：自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数， 而不再是一个过程。
习题
1. 若随机过程X(t)为X(t)=At
❖ 怎么办呢？事实上，在许多实际应用中，当 随机过程的“函数关系”不好确定时，我们 往往可以退而求其次，像引入随机变量的数 字特征一样，引入随机过程的数字特征。
❖ 用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机 过程变化的重要统计规律，而且用随机过程 的X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。
❖ 显然，对于随机变量X，它的的数字特征我们 主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描 述随机过程X(t)的主要统计特性。
❖ 例7.1 设随机变量X具有概率密度 求
解：∵
∴ ∴
注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。而 随机过程的数字特征不是数，是一个关于时间的确定函数。
§7.1 随机过程X(t)的数学期望
对于某个给定时刻t，随机过程成为一个随机变量， 因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随机 过程的数学期望。
❖ 解： 当取定
是一个随机变
量，且该随机变量X(t)显然是随机变量 的函数。
由求随机变量函数的数学期望定理，
有
，
又∵ 当令
❖ 例7.3 给定随机过程
，式中
是常数，A和B是两个独立的正态随机变量，而
且
，试求X(t)的均值
和自相关函数。
解∵ ∴
，且A，B独立
当取定t时，X(t)为随机变量
有时为了描述随机过程在任意两个不同时刻t1、t2间 内在联系，我们还可以用协方差函数中心化自相关函 数来定义。
定义X(t)的数学期望
式中，
是X(t)的一维概率密度函数。 又
可称为X(t)的均值，这个均值函数可以理解为在某
一给定时刻t随机过程的所有样本函数的平均值。如
图2.1所示。
图2.1 随机过程的数学期望mX(t)
显然由图2.1可看出，随机过程 X(t) 就在
附近起伏变
化，图中细线表示样本函数，粗线表示均值函数。如果我们
的随
机变量，a为常数，试求X(t)的值与相关函数。
，式中
A为（0,1）上均匀分布的随机变量，求
2. 给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的相 关函数表示随机过程的自相关函数
3. 已知随机过程X(t)的均值 和协方差函数
是普通函数，试求随机过程
是普通函数，试求随机过程
的均值和协方差函数。
4. 设
，其中A，B是相互独
立且服从同一高斯（正态）分布
计论的随机过程是接收机输出端的一条噪声电压，这个
就是噪声电压在某一瞬时t的统计平均值（又称集平均值）。
§7.2 随机过程的均匀方值与方差
❖ 对于某一固定的时刻，随机过程X(t)就成为一个随 机变量，由此可给出随机过程均方值定义。定义随 机过程X(t)的均方值：
式中，
的一维概率密度函数。
定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）：