教师版空间几何体知识点及题型精选总结
空间几何体知识点归纳总结（超详细）（精华版）
空间几何体一：棱柱1，定义有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做“棱柱”2，分类斜棱柱棱柱；正棱柱（侧棱垂直于底）其他棱柱面，且底面是正多边形）直棱柱（侧棱与底面垂直3，底面：两个可以重合的多边形4，侧面：平行四边形5，侧面积6，表面积7，体积二：棱锥1，“棱锥”定义有一个面是多边形，锥；2，分类“正棱锥”定义其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱假如一个棱锥的底面是正多边形，棱锥；否就它是斜棱锥；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正PCOBAD三：棱台1，“棱台”定义用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台；2，分类“正棱台”定义由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；3，底面4，侧面5，侧面积6，表面积7，体积留意：棱台常常补成棱锥讨论四：圆柱1，定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫“圆柱”；五：圆锥1，定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， “圆锥”；该直角边叫圆锥的轴； 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做六：圆台1，定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做“圆台” 2，底面 3，侧面 4，侧面积 5，表面积 6，体积；七：空间几何体的体积与表面积 1，多面体的面积和体积公式名称 侧面积 (S 侧 ) 全面积 (S 全)体 积 (V)S 底 ·h=S 直截面 ·h 棱柱直截面周长 ×l棱 柱S 侧+2S 底S 底 ·h直棱柱 ch 棱锥 各侧面积之和棱 锥1 底 ·hS 3S 侧+S 12底正棱锥 ch ′ 棱台 各侧面面积之和1 棱 台上底 +S 下底 + h(S 3)侧+S 上底 +S 下底1 2S S 下S 下正棱台(c+c ′h )′表中 S 表示面积， c ′， c 分别表示上，下底面周长， h 表示高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长；2，旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球2πrl πrl π(r1+r2)lS 侧222 2πr(l+r ) πr(l +r ) π(r1+r 2)l+π(r 1+r 2)4πR S 全1 31343222322πr hπh(r 1+r1r 2+r 2)πR πr h( 即πr l)V表中l ，h 分别表示母线，高，r 表示圆柱，圆锥与球冠的底半径，r 1，r 2 分别表示圆台上，下底面半径，R表示半径；八：空间几何体的三视图与直观图1，正视图光线从几何体的前面对后面正投影，得到投影图；2，侧视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；3，俯视图光线从几何体的左面对右面正投影，得到投影图；九，“斜二测”画法.正六面形的斜二测画法示意图xoy 901：在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，（即取）；o ' x ', o' y' ，取x ' o' y ' 45 (or135 ) ，它们确定的平2：画直观图时，把它画成对应的轴面表示水平平面；x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于3：在坐标系x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半；24结论：一般地，采纳斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.。
空间几何体的结构特征例题和知识点总结
空间几何体的结构特征例题和知识点总结在我们的日常生活中，各种各样的物体形状各异，而在数学的世界里，我们把这些物体抽象成空间几何体来进行研究。
接下来，让我们一起深入探讨空间几何体的结构特征，并通过一些例题来加深理解。
一、空间几何体的分类空间几何体主要分为多面体和旋转体两大类。
多面体是由若干个平面多边形围成的几何体。
常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台等。
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
旋转体是由一个平面图形绕着一条直线旋转所形成的几何体。
常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球等。
圆柱：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
球：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
二、空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征侧棱都平行且相等。
两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
2、棱锥的结构特征侧面都是三角形。
只有一个顶点。
3、棱台的结构特征上下底面是相似多边形。
各侧棱延长后交于一点。
4、圆柱的结构特征母线平行且相等，都垂直于底面。
两个底面是全等的圆。
5、圆锥的结构特征母线交于顶点。
轴截面是等腰三角形。
6、圆台的结构特征母线延长后交于一点。
上下底面是两个半径不同的圆。
7、球的结构特征球面上任意一点到球心的距离都相等。
三、例题解析例 1：判断下列几何体是否为棱柱。
（1）一个长方体；（2）一个有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体。
解：（1）长方体符合棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以是棱柱。
（2）不一定是棱柱。
空间几何体的结构教师版
空间几何体的结构一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征1、空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑物体的和，而不考试其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体一般地，我们把由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点旋转体我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的备注：(1)多面体是由平面多边形围成的，这里的多边形包括它内部的平面部分．(2)多面体最少有四个面．(3)平面图形绕定直线旋转形成旋转体，这条定直线可以是平面图形的边，也可以不是，但定直线一定与平面图形在同一个平面内．Ex1、下列物体不能．．抽象成旋转体的是( )A．篮球B．日光灯管C．电线杆D．国家游泳馆水立方[解析]水立方是多面体，不能抽象成旋转体；篮球、日光灯管、电线杆都可抽象成旋转体．答案：D2、棱柱定义一般地，有两个面互相，其余各面都是，并且每两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的叫做棱柱有关概念棱柱中，两个互相的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的叫做棱柱的顶点图形表示法用表示底面各顶点的表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分类按底面多边形的分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……备注：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形的几何体，却不一定是棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱．因为棱柱要求有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行，而该图中有相邻四边形的公共边是不平行的．Ex2、下列几何体中，柱体有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：D3、棱锥 定义一般地，有一个面是 ，其余各面都是 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥有关概念多边形面叫做棱锥的底面或底；有 的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的 叫做棱锥的顶点；相邻侧面的 叫做棱锥的侧棱 。
9.2空间几何体的表面积与体积(教师版)
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 9.2空间几何体的表面积与体积考纲定位 了解求、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式；培养学生的空间想象力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算；注意提高认识图、理解图、应用图的能力.一、考点梳理1．柱、锥、台、球的侧面积和体积（1）棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积是指： ；（2）棱柱的体积公式： ；棱锥的体积公式： ；球的体积： .2. 旋转体的面积和体积公式名称 圆柱圆锥 圆台 球 S 侧S 表V二、典型例题例1、已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是( ).42.22.32.6A B C D +++例2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12例3、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是____．三、高考真题 1．（2012·安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是.922．（2012·江西）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）D(A)112 (B)5 (C)92(D)43．（2012·新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）B(A)6 (B)9 (C)12 (D)184．（2012·全国）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）A 2.6A (B) 36 (C)23 (D)225．（2012·全国）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） B（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π6．（2012·广东）某几何的三视图如图所示，它的体积为( )C(A)72π (B)48π (C)30π (D)24π【课后反思】。
空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结
空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结知识点精讲一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体.2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.简单凸多面体的分类及其之间的关系如图8-1所示.三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.四、组合体由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.五、表面积与体积计算公式（见表8-1和8-2）表8-1表面积柱体2S ch S=+直棱柱底2(S c l S c''=+斜棱柱底为直截面周长)2222()S r rl r r lπππ=+=+圆锥椎体12S nah S'=+正棱锥底2()S r rl r r lπππ=+=+圆锥台体1()2S n a a h S S'=+++正棱台上下22)S r r r l rlπ''=+++圆台（球24S Rπ=表8-2体积柱体V Sh=柱椎体13V Sh=锥Sh台体 1()3V S SS S h ''=++台球343V R π=题型归纳及思路提示题型1 几何体的表面积与体积 思路提示熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.例8-1三棱锥P ABC -的侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，侧面积分别是6，4，3，则三棱锥的表面积是 ，体积是 .解析 如图8-2所示，设PA a =，PB b =，(PC c a =，b ，0)c >，则624232ab bcca⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,得1286ab bc ca =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , 三式相乘得2221286a b c =⨯⨯ , 所以24abc = ,因此342a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ , 又侧棱,,PA PB PC 两两垂直, 所以2222225513AB a b BC b c CA c a ⎧=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎩由余弦定理可得cba CB A图 8-2222222cos 22BC CA AB BC CA AB BCA BC CA BC CA+-+-∠==()()222251322251365AB +-==⨯⨯ , 所以643611361S =+++=+表 ,体积11V 24466abc ==⨯= . 评注: 若三棱锥P ABC - 的侧棱,,PA PB PC 两两垂直, 则类比直角三角形中的勾股定理有,2222ABC PAB PBC PCA S S S S =++ (本题22264361ABC S =++= ),16P ABC V PA PB PC -=. 变式 1 如图8-3所示,在ABC 中, 45,90ABC BAC ∠=∠= ,AD 是BC 边上的高, 沿AD 把ABD 折起, 使90BDC ∠= . 若1BD = , 求三棱锥D ABC - 的表面积.变式 2 如图8-4(a)所示, 45,3ACB BC ∠== , 过动点A 作AD BC ⊥ , 垂足D 在线段BC 上且异于点B , 连接AB ,沿AD 将ABD 折起, 使90BDC ∠= (如图8-4(b)所示). 当BD 的长为多少时, 三棱锥A BCD - 的体积最大.变式3 已知正四棱锥S ABCD - 中, 23SA = , 那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( ).3 C. 2 D.3D ABCACDB(b)（a ）M E . ·图 8-4P例8.2 如图8-5所示, 在长方体1111ABCD A B C D - 中, 3AB AD cm == ,12AA cm = , 则四棱锥11A BB D D - 的体积为 cm 3.解析 如图8-6所示, 连接AC 交BD 于O , 在该长方体中3AB AD cm == , 故底面ABCD 为正方形, 即AO BD ⊥ , 且322AO cm =, 又显然平面11BB D D ⊥ 平面ABCD ,故AO ⊥ 平面11BB D D .所以()113111323226332A BB D D V BD BB AO cm -=⨯⨯=⨯⨯⨯= . 变式 1 (2012山东理14)如图8-7所示, 正方体1111ABCD A B C D - 的棱长为1, ,E F 分别为线段11,AA B C 上的点, 则三棱锥1D EDF - 的体积为 .思路提示半径为R 的球O , 表面积24S R π= , 体积343V R π=; 球面上,A B 两点的球面距离为R α , 其中AOB α=∠ (弧度制). 这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径.例8.3 已知三个球的半径123,,R R R 满足12323R R R += , 则他们的表面积123,,S S S 满足的等量关系是 .解析 2114S R π= , 即112S R π=, 同理得222S R π=, 332S R π=, 由12323R R R += 得12323S S S = .变式1 若球12,O O 的表面积之比124S S = ,则他们的半径之比12RR = . 变式2 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A. 1:1:题型2 几何体的外接球与内切球思路提示 (1)半径为R 的球O , 表面积24S R π= , 体积343V R π=.(2)设小圆1O 半径为1,r OO d = , 则222d r R += ; 若,A B 是1O 上两点, 则12sin2sin22AO B AOBAB r R ∠∠== .(3)作出关键的轴截面, 在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系.例8.4 已知正方体外接球的体积是323π , 那么正方形的棱长等于( )A.分析 正方体外接球的直径为正方体的体对角线.解析 设正方体的棱长为a , 外接球半径为R ,则324323323R R a R ππ=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩. 故选D.变式1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3, 则此球的表面积为 .变式2, 则该正四面体的外接球的表面积为 .例8.5 正三棱柱111ABC A B C - 内接于半径为2的球, 若,A B 两点的球面距离为π , 则正三棱柱的体积为 .解析 设O 为球心, 由题意知2222sin 2AOB AOB AOBAB AB ππ⎧⨯∠=⎧∠=⎪⎪⇒⎨⎨∠=⨯⎪⎪=⎩⎩ , 底面圆的半径为: 32sin 3ABπ== , 则正三棱柱的高为2= , 所以正三棱柱的体积为(2843⨯= . 变式1直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上, 若12,120AB AC AA BAC ===∠= , 则此球的表面积等于 .变式2 直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上, 若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥= , 则球O 的半径为( ).B. 132D. 例8.6 一个正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上, 其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是( )解析 设正三棱锥的底面边长为a , 高为h ,由题意知22sin 311434aa h V V a h π⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩⎪=⨯⎪⎪⎩.故选C.变式 1 已知,,,S A B C 是球O 表面上的点, SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===则球O 的表面积等于( )A. 4πB. 3πC. 2πD. π变式 2 已知三棱锥S ABC - 的所有顶点都在球O 的球面上, ABC 是边长为1的正三角形, SC 为O 的直径, 且2SC = , 则此棱锥的体积为( ).A.6B. 6C.3D. 2变式3高为4的四棱锥S ABCD - 的底面是边长为1的正方形, 点,,,,S A B C D 均在半径为1的同一球面上, 则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为( )A.4B. 2最有效训练题1. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120 , 半径为l 的扇形, 则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ).A. 3:2B. 2:1C. 4:3D. 5:3 2. 一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是, 这个长方体的体对角线长为( ).A.23B. 32C. 6D. 63. 如图8-8所示, 在等腰梯形ABCD 中, 22,60AB DC DAB ==∠= , E 为AB 的中点, 将ADE 与BEC 分别沿ED 和EC 向上折起, 使,A B 重合于点P , 则三棱锥P DCE - 的外接球的体积为( ).A.4327π B. 62π C. 68π D. 624π4. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面, 则此截面面积是球表面积的( ).A.116 B. 316 C. 112D. 185. 侧棱长为4, 底面边长为3 的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的表面积为( ).A. 76πB. 68πC. 20πD. 9π6. 已知在四棱锥,1,1,,02P ABCD AB PA AC ABC πθθ⎛⎫-==∠=<≤ ⎪⎝⎭, 则四棱锥p ABCD - 的体积V 的取值范围是( ).A. 21,63⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B. 21,126⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C. 21,63⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D.21,126⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π 的半圆面, 则该圆锥的体积为 . 8. 将圆心角为23π , 面积为3π 的扇形作为圆锥的侧面, 则圆锥的表面积等于 .9. 正四棱锥底面边长为4, 侧棱长为3, 则其体积为 .10. 用一平行于圆锥底面的平面截这个圆锥, 截得圆台上下底面的半径的比是1:4, 截去的圆锥的母线长是3cm, 则圆台的母线长为 cm.11. 如图8-9所示, 长方体1111-ABCD A B C D 中, 1,,BB AB a BC b c === , 并且0a b c >>> . 求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线的长.12. 底面半径为1, 高为3 的圆锥, 其内接圆柱的底面半径为R , 当R 为何值时, 内接圆柱的体积最大?。
空间几何体知识点总结
空间几何体知识点总结空间几何体是几何学中研究的一个重要分支，主要研究在三维空间内的各种几何构造。
本文对一些常见的空间几何体进行知识点总结，帮助读者更好地理解和掌握空间几何体的相关知识。
一、点、线、面的基本概念在空间几何中，点、线、面是基本的几何构造，其中点是没有长度、宽度和高度的，它是空间中最基本的概念；线是由一连串的点组成的，具有长度，但没有宽度和高度；面是由一连串的线组成的，具有长度和宽度，但没有高度。
二、立方体立方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。
立方体的特点是各个面都相等，对角线相等。
立方体的体积可以用边长的立方表示，即体积=边长³。
三、长方体长方体是由6个长方形面围成的空间几何体。
长方体的特点是各个面的长度和角度都不相等，但对角线相等。
长方体的体积可以用长、宽和高相乘得到，即体积=长×宽×高。
四、圆柱体圆柱体是由两个平行且相等的圆底面和一个侧面组成的空间几何体。
圆柱体的特点是底面的圆心与上面圆心相连与轴的距离相等，侧面是一个矩形。
圆柱体的体积可以用底面积乘以高得到，即体积=底面积×高。
五、圆锥体圆锥体是由一个圆锥底面和一个侧面组成的空间几何体。
圆锥体的特点是底面的圆心与上面圆心相连与轴的距离相等，侧面是一个扇形。
圆锥体的体积可以用底面积乘以高再除以3得到，即体积=底面积×高/3。
六、球体球体是由所有与球心距离相等的点所组成的空间几何体。
球体的特点是半径相等、表面光滑。
球体的体积可以用4/3乘以底面面积乘以半径得到，即体积=4/3πr³，其中π≈3.14。
七、棱锥体棱锥体是由一个多边形底面和一个侧面组成的空间几何体。
棱锥体的特点是底面的各个边都与侧面的顶点相连，所有侧面形成一个棱锥。
棱锥体的体积可以用底面积乘以高再除以3得到，即体积=底面积×高/3。
总结：本文对常见的空间几何体进行了知识点总结，涵盖了点、线、面的基本概念以及立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体和棱锥体的特点与计算方法。
专题4 第1讲 空间几何体(教师版)
第1讲 空间几何体【要点提炼】考点一 表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V 柱＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)． 【热点突破】【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．【答案】 402π【解析】 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158. 因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SBsin ∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．【答案】 233 【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接AO.∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3.∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3.又11BB C S ＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233. 易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π【答案】 B【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．【答案】 327 【解析】 设CD ＝DE ＝x(0<x<1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x)(1－x)＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0. ∴当x ＝33时，V max ＝327. 【要点提炼】考点二 多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．【典例】2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】 64π【解析】 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面PAB 上，即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB＝2R ，解得R ＝4， 所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】 23π 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．【拓展训练】2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C【解析】 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．【答案】 20π【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE 2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵PA ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 21， 可得PA 2＝R 21－r 21＝102，∴PA ＝10. 正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10，∴r 2＝102，∵PA ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题训练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】 A【解析】 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt △AOB 中，AB ＝12＋32＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12 【答案】 C【解析】 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′，则由已知得h 2＝12ah ′. 如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18【答案】 C【解析】 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14. 4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )A ．4 500元B ．4 000元C ．2 880元D ．2 380元【答案】 B【解析】 因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】 B【解析】 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h(h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 【答案】 C【解析】 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】 A【解析】 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a.由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt △OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( ) A.32π3 B ．3π C.4π3 D ．8π【答案】 A【解析】 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3， ∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2， 即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3， ∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A. 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81πD ．128π【答案】 B 【解析】 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h<5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h<53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h<5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( )A.36B.12C.13D.32【答案】 C【解析】 ∵在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，∵球O 的半径为1， ∴正方体的边长为233，即PA ＝PB ＝PC ＝233， 球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13 S △PAB ×PC ＝13× 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值【答案】 AD【解析】 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFG AB ，即AE ·AH 是定值，故D 正确． 12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π【答案】 AD【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE.由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则PA ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12PA 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由PA ＝PC ＝4，AC ＝4，得△PAC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12×232＋22＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．【答案】 1【解析】 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl 2＝2π， 可得l ＝2，因此r ＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.【答案】 2 600π【解析】 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm 2)． 15．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为________．【答案】 823π 【解析】 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π. 16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2π2【解析】 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ. 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2， 知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
立体几何初步知识点全总结
立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。
1. 棱柱。
- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。
- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。
2. 棱锥。
- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。
- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。
- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3. 棱台。
- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。
- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。
- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。
4. 圆柱。
- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。
- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。
5. 圆锥。
- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。
- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。
6. 圆台。
- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
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一、空间几何体题型精选讲解
题型一 空间几何体的基本概念的考察
1、下列命题中正确的是 ( )
A ．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B ．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
C ．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径
解析：A 符合圆锥的定义．B 不符合圆台的定义．C 中圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面，不是圆．D 中圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长．所以选A.
答案 ：A
题型二 三视图的考察
1、(2009·海南、宁夏) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积( 单位：cm2) 为（ )
A ．48＋122
B ．48＋24 2
C ．36＋12 2
D ．36＋24 2
解析：根据三视图可知，这个三棱锥的一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面．其直观图如图所示，其中PD ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，AB ⊥AC ，ED ⊥AB .连结PE ，由于AB ⊥PD ，AB ⊥DE ，故AB ⊥PE ，即PE 为△PAB 的底边AB 上的高．在直角三角形PDE 中，PE ＝5，侧
面PAB ，PAC 的面积相等，故这个三棱锥的全面积是2×12×6×5＋12×6×6＋12
×62×4＝48＋12 2.故选A.
答案：A
2、(2011·辽宁) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A ．4
B ．2 3
C ．2 D. 3
解析：设正三棱柱底面边长为a ，利用体积为23，容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3.
答案：B
题型三 平面图的直观图（斜二测面法）
1、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 （ ）
A ．3 B.322
C ．6
D ．3 2 解析：由斜二测作图法，水平放置的△OAB 为直角三角形，且OB ＝2O′B′＝4，OA ＝O′A′＝3，
则S ＝12
×4×3＝6. 答案：C
2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能是 （ ）
解析：由平行于x 、y 轴的直线仍然平行知C 正确．
答案 ：C
题型四其他类型：展开、投影、截面、旋转体等
1、面积为3的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是________．
解析：设等边三角形的边长为l，则旋转所得的圆锥的母线长为l，底面圆的半径为l
2，如图a，
图b.因为S正三角形＝3，所以
3
4l2＝3，即l＝2.所以圆锥侧面积为S侧＝
1
2
πl2＝2π.
答案：2π
2、如图，长方体ABCD －A1B1C1D1 中，交于顶点A 的三条棱长分别为AD ＝3 ，AA1 ＝4 ，AB ＝5 ，则从A 点沿表面到C1 的最短距离为( )
A．52 B.74 C．45D．310
解析：长方体可分别沿三条边B1B、A1B1、BC展开，展开后为三个不同矩形，对角线为最短距离，分别为45，74，310，因此，此题选B.
3、已知半径为5 的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．1 或7
D ．2 或6
解析：由截面周长为6π和8π，知两截面圆半径分别为3和4，所以两截面可在某条直径的同侧或异侧．
同侧时，所求距离为52－32－52－42＝1；
异侧时，所求距离为52－32＋52－42＝7.
二、简单几何体的表面积与体积题型精选讲解
题型一与三视图相结合
1、(2010·天津) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________
解析：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，由正视图和俯视图可知该几何体的高为1，
结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为
12
(1＋2)×2×1＝3.
2、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是：
A.4π3
B ．2π C.8π3 D.10π3
解析：这个几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成的组合体，
故其体积为13π×12×2＋12×43π×13＝4π3
. 故选A
题型二 内接与外接的知识
1、(2008·福建)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．
解析：考查空间想象能力和创新能力．以已知三棱锥的三个侧面为侧面，可作一个棱长为3的正方体．已知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，易求半径和表面积．
()2222229
2333,449R R S R ππ
=++===
2、(2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球
面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目．
由圆锥底面面积是这个球面面积的316，得2
23416
r R ππ=所以r R ＝32，则小圆锥的高为R －R 2＝R 2，大圆锥的高为R ＋12R ＝3R 2，所以比值为13.
题型三 表面积与体积综合问题
1、(2010·全国)已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
( )
A ．1 B.3 C ．2 D ．3
解析：设底面边长为a ，则高h ＝SA 2－⎝⎛⎭⎫2a 22＝12－a 22. 所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6. 设y ＝12a 4－12
a 6，则y ′＝48a 3－3a 5， 当y 取最值时，y ′＝48a 3－3a 5＝0，
解得a ＝0(舍去)或a ＝4时，体积最大，此时h ＝12－a 22
＝2. 2、如图，一个几何体的正视图和侧视图是腰长为1 的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时，圆的半径是 ( )
A.33
B.13
C.63
D.23
解析：本题考查三视图及锥体的体积计算．设底面半径为r ，高为h ，又r 2＋h 2＝1，
则V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13
π(1－h 2)h ， 当h ＝33，即r ＝63
时，体积最大，故选C.
补充知识：
1．平行于棱锥底面的截面的性质
棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥，有如下比例性质：
S 小锥底S 大锥底＝S 小锥全面积S 大锥全面积＝S 小锥侧S 大锥侧
＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比．
注：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积的比时，会大大简化计算过程；在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．
2．有关棱柱直截面的补充知识
在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的上、下底面就是直截面．棱柱的侧面积与截面周长有如下关系：
S棱柱侧＝c直截l( 其中c直截、l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长) ．
3．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算
(1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键．
(2) 计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件求出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．。