2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十一)数学文科试卷
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十一）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|42M x x =-<<，{}2|60N x x x =--<，则M N ⋃=（ ）A. {}|43x x -<<B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合N ，进而求并集即可.【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<，{}|23N x x =-<<， 所以{}|43MN x x =-<<，故选A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知角α的终边经过点(-，则sinα的值为（）A.B.5- C.12- D. -2【答案】B【解析】【分析】求出(-到原点的距离，进而可求sinα的值.【详解】解：由题意知，(-到原点的距离5 r==，所以sin5rα==-.故选:B.【点睛】本题考查了已知角的三角函数值的求解.当已知角α终边上一点的坐标为(),x y，则代入公式sincostanyrxryxααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，其中r=.3.已知1e，2e为单位向量，且满足()12220e e e+⋅=，则12,e e=（）A. 30B. 60︒C. 120︒D. 150︒【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数量积定义及乘法运算,即可求得12,e e【详解】因为()12220e e e+⋅=则212220e ee⋅+=由向量数量积的定义可得2121222cos,0e e e e e⋅+=1e ,2e 为单位向量则122cos ,10e e += 即121cos ,2e e =-由向量夹角的取值范围为o 0180⎡⎤⎣⎦，可得12,120e e = 故选:C【点睛】本题考查了向量数量积的定义,向量的夹角求法,属于基础题.4.《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ）A. 五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，从夏至到冬至，冕长组成了等差数列{}n a ，其中115a =，13135a =，结合等差数列通项公式，可求公差10d =，进而可求小暑晷长.【详解】解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为n a ，即夏至时冕长为115a =，冬至时冕长为13135a =， 由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ， 由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则21151025a a d =+=+=.故选:B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列. 5.将函数sin 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度，再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图像的解析式为（ ） A. 5sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 5sin 224x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移伸缩的变换求解即可.【详解】将函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有的点向右平移4π个单位长度得到5sin sin 4612y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.再把图形上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变）则变成15sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数图像的变换,属于基础题型.6.已知函数2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()y f x '=的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增. 【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数， 又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在R 上单调递增.只有C 符合, 故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 7.等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“34a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为{}n a 为等比数列,10a >若13a a <,即211a a q <,可得21q <解得1q <或1q <-.则233141,a a q a a q ==当1q <时, 34a a <;当1q <-时, 34a a >,所以“13a a <”是“34a a <”非充分条件若34a a <,则233141,a a q a a q ==,即2311a q a q <,解得1q < 故2131a a a q <=,所以“13a a <”是“34a a <”的必要条件综上可知, “13a a <”是“34a a <”的必要不充分条件 故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的简单应用,充分必要条件的判断,属于基础题. 8.若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则//m nB. 若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m n ⊥C. 若//,//,//m n αβαβ，则//m nD. 若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥【答案】D 【解析】利用空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A 中，若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥，所以不正确；对于B 中，若//,,m n αβαβ⊥⊥，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确； 对于C 中，若//,//,//m n αβαβ，则m 与n 的关系不能确定，所以不正确；对于D 中，若,//m βαα⊥，可得m β⊥，又由//n β，可得m n ⊥，所以是正确的．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．9.已知2a =112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，12log 1c >，则（ ）A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】根据指数与对数的转化,结合指数与对数的图像与性质,即可比较大小. 【详解】因为2a =由指数与对数的转化可知,2log a =根据对数函数的图像与性质可得221log log 2a =>=因为112b⎛⎫> ⎪⎝⎭,由指数函数的图像可知0b < 因为12log 1c >,由对数函数的图像与性质可知102c <<综上可知, a c b>> 故选:C【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,指数函数与对数函数的图像与性质,属于基础题.10.已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 4+ B. 5+C.1D.2【解析】 【分析】先由题意得到12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内，再得到2POF ∆为等边三角形，求出2PF c =，1PF =，结合双曲线的定义，即可求出结果.【详解】因为直线y =与双曲线C 的一个交点P 在以线段12F F 为直径的圆上， 所以12PF PF ⊥，不妨令P 在第一象限内， 又O 为12F F 中点，12(,0),(,0)F c F c -，所以1212F O c F P ==，因为直线y =的倾斜角为260POF ∠=， 所以2POF ∆为等边三角形，所以2PF c =，因此，在12Rt PF F ∆中，1PF ==，由双曲线的定义可得：212PF PF c a -=-=，所以双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选C【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质以及双曲线的定义即可，属于常考题型. 11.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-+与曲线1x b y e +=-相切，则11a b+的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出,a b 的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值.【详解】由2y x a =-+得1y'=；由1x b y e +=-得'x by e +=；因为2y x a =-+与曲线1x by e+=-相切，令1x b e +=，则可得x b =-，代入1x b y e +=-得0y =； 所以切点为(,0)b -.则20b a --+=，所以2a b +=.故1111()()22a b a b a b +=++=1222b a a b++≥ 当且仅当22b a a b=，即1a b ==时等号成立，此时取得最小值2.选B. 【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值.12.设函数2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，则a 的取值范围是（） A. (,2]-∞- B. [2,)+∞C. [2,2]-D. (,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得. 【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根 所以当0x 时，(0,1)m ∀∈ ，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240aa m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩ 对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥ 解得2a ．故选B ．【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩, 则2z x y =-的最大值为______.【答案】8 【解析】【详解】作可行域，则直线2z x y =-过点B(5,2)时z 取最大值8.14.已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______. 【答案】45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin 5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin 5α=. 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.15.过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A B 、两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则AB = .【答案】163【解析】试题分析：∵24y x =，∴抛物线的准线为1x =-，(1,0)F ，又A 到抛物线准线的距离为4，∴14A x +=，∴3A x =，∵214A B p x x ==，∴13B x =，∴1163233A B AB x x p =++=++=.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线的定义及性质.16.已知边长为23的空间四边形ABCD 的顶点都在同一个球面上，若3BAD π∠=，平面ABD ⊥平面CBD ，则该球的球面面积为___________.【答案】20π 【解析】 【分析】根据题意,画出空间几何图形.由几何关系,找出球心.由勾股定理解方程即可求得球的半径,进而得球的面积. 【详解】根据题意, G 为底面等边三角形CBD 的重心,作OG ⊥底面CBD .作AE BD ⊥交BD 于E ,过O 作OF AE ⊥交AE 于F .连接,AO OC 画出空间几何图形如下图所示:因为等边三角形CBD 与等边三角形ABD 的边长为23且3BAD π∠=所以23sin33AE CE π===G 为底面等边三角形CBD 的重心,则113133EG CE ==⨯=,2GC = 面ABD ⊥平面CBD因而四边形OGEF 为矩形,设OG h =,则EF h =,球的半径为rRt AFO ∆和Rt OGC ∆中()222222312h r h r⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得15h r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以球的表面积为2244520S r πππ==⨯=故答案为: 20π【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征,三棱锥外接球的半径与表面积求法,属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=. （1）当a 为何值时，直线l 与1l 平行；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程. 【答案】（1）1a =；（2）7140x y -+=或20x y -+=. 【解析】 【分析】（1）当0a ≠时，由直线平行，可得两直线斜率相等，即可求出1a =或1a =-，将a 的值带回直线方程进行验证，可舍去1a =-；当0a =，求出两直线方程进行验证是否平行，进而可求出a 的值.（2）将已知圆的方程整理成标准方程形式，得到圆的半径和圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可知AB ==a 的方程，从而可求出a 的值，进而可求直线的方程. 【详解】解：（1）当0a ≠ 时，直线l 的斜率k a =-，1l 的斜率11k a=-，由两直线平行可知， 1a a-=-，解得1a =或1a =-.当1a =时，l ：20x y ++=，1l ：0x y +=，符合题意， 当1a =-时，l ：20x y -+-=，1l ：20x y -+=，此时两直线重合，不符合题意. 当0a =时，l ：0y =，1l ：10x +=，两直线垂直，不符合题意； 综上所述：1a =.（2）由题意知，C ：()2244x y +-=，则圆的半径2r ，圆心为()0,4C ，则圆心到直线l的距离d =.由AB ==()2242214a a +-+=整理得，2870a a ++= ，解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.【点睛】本题考查了两直线的位置关系，考查了直线与圆相交的弦长问题.本题的易错点，一是未讨论a 的值，直接令斜率相等；二是求出a 的值未带回 直线方程进行验证.涉及到直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长.18.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若611a =，220S =.（1）求通项n a ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 【答案】（1）232n a =n -；（2）12322n n b n -=-+，22221n n n -+-【解析】 【分析】（1）设公差为d ，由等差数列的通项公式和前n 项和公式，可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，从而可求出首项和公差，进而可求出通项公式.（2）由题意知12n n n b a -=+，结合分组求和法，可求出n T .【详解】（1）解：设公差为d ，由题意可得6122151122212202a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1212a d =⎧⎨=-⎩. 所以232n a =n -.（2）由题意12n n n b a --=，故12n n n b a -=+.由（1）知，()211222n n n S a n d n n -=+=-， 因此1121212......12 (2)12nn n n n n T b b b a a a S --=++=+++++++=+- 22221n n n =-+-.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，考查了等比数列的前n 项和，考查了分组求和.本题第一问的关键是用基本量即首项和公差，表示出已知622,a S .对于数列求和问题，常见的方法有公式法、分组求和法、错位相减法、裂项求和法.19.已知ABC ∆是斜三角形，内角A B C 、、所对的边的长分别为a b c 、、．己知．（I ）求角C ；（II ）若c =21，且sin sin()5sin 2,C B A A +-=求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）；（II ）.【解析】【详解】试题分析：（I ）根据正弦定理算出 csin A asinC =，与题中等式比较可得，结合为三角形内角，可得的大小；（II ）余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，列式解出5,1a b ==，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到ABC ∆的面积． 试题解析：（I ）根据正弦定理a csinA sinC=，可得 csin A asinC =， sinA 3cos ,sin 3cos c a C a C a C =∴=，可得sin 3cos C C =，得3sinC tanC cosC ==,03C C ππ∈∴=（，），； （II ）sin sin(B A)5sin 2A,C 3C π+-==sin sin()C A B ∴=+sin(A B)sin(B A)5sin 2A ∴++-=，2sin cosA 25sin cos B A A ∴=⨯为斜三角形，cos 0A ∴≠，sinB 5sinA ∴=，由正弦定理可知5b a =……（1） 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-2212122a b ab…..（2） 由（1）（2）解得1,5a b ==11353sin 152224ABCSab C ∴==⨯⨯⨯=考点：1.正弦定理的运用；2.余弦定理的运用；3.面积公式的运用.【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理和面积公式的运用，三角函数的化简和求值，运算能力，属于中档题，此类题目的解题方法主要是在对正弦定理与余弦定理的灵活运用，对正弦定理进行变形可得，从而求出的大小，通过三角函数之间的转化加上正弦定理可求出5b a =，再利用余弦定理可求出5,1a b ==，从而求出ABC ∆的面积，因此此类题目灵活运用正余弦定理是解决问题的关键. 20.如图，在几何体BACDEF 中，四边形CDEF 是菱形，//AB CD ，平面ADF ⊥平面CDEF ，AD AF =.（1）求证：AC DF ⊥；（2）若2FA FC FD ===，1AB =，求三棱锥A CDF -和三棱锥E BDF -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,1 【解析】 【分析】（1）连接CE ，与DF 交于点O ，连接AO 易知CE DF ⊥，AO DF ⊥，由线面垂直的判定定理可得DF ⊥平面AOC ，从而可证明AC DF ⊥；（2）由面面垂直的性质可知，AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高，结合菱形、等边三角形的性质，可求出3CDFS=，从而可求三棱锥A CDF -的体积；由//AB 平面CDEF ，可知点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =，由菱形的性质可知C FEDFD SS=，从而可求出三棱锥E BDF -的体积.【详解】（1）证明:如图，连接CE ，与DF 交于点O ，则O 为DF 的中点，连接AO ， 由四边形CDEF 是菱形可得CE DF ⊥，因为AD AF =，所以AO DF ⊥， 因为CEAO O =，所以DF ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以AC DF ⊥.（2）因为平面ADF ⊥平面CDEF ，平面ADF 平面CDEF FD =，且AO DF ⊥，所以AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高. 由2FA FC FD ===，四边形CDEF 是菱形，且AD AF =，可得ADF 与CDF 都是边长为2的等边三角形，所以2sin 603AO =⨯︒=因为CDF 的面积2323CDFS=⨯=1133133A CDFFCDV S AO -=⋅==. 因为//AB CD ，CD ⊂ 平面CDEF ，AB ⊄ 平面CDEF ，所以//AB 平面CDEF ， 故点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =CDEF 是菱形得C FEDFD S S=因此1133133E BDF B DEF EDFV V S AO --==⋅==. 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面垂直的判定，考查了锥体体积的求解，考查了面面垂直的性质.证明线线垂直时，可借助勾股定理、菱形的对角线、矩形的临边、线面垂直的性质证明.求三棱锥的体积时，注意选择合适的底面和高，会使得求解较为简单.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与圆M ：2223x y +=相切，且直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）0【解析】 【分析】（1）由抛物线2y =的焦点)F是该椭圆的一个顶点，可得a =e =，可求1c =，进而可求出2221b a c =-=，从而可求椭圆的方程. （2）由直线和圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，即()22213m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和圆的方程，整理后由韦达定理可知，21222221m x x k -=+，22122221m k y y k -=+，从而可求12120OA OB x x y y ⋅=+=.【详解】解：（1）因为椭圆C的离心率e =，所以c a =，即a =．因为抛物线2y =的焦点)F恰好是该椭圆的一个顶点，所以a =所以1c ==，则222211b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）由圆的方程可知，圆心为()0,0M，半径为3r =；由于直线l 与圆M 相切， 故圆心到直线l的距离3d ==，整理得()22213m k =+，则联立直线和椭圆的方程，即2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222214220k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，则 ()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222221m k k -=+．所以()2222121222212232202121k k m k OA OB x x y y k k +----⋅=+===++. 【点睛】本题考查了抛物线焦点的求解，考查了椭圆标准方程的求解，考查了直线和圆的位置关系，考查了直线和椭圆的位置关系.本题的难点是第二问中的计算化简.本题的关键是由直线和圆相切得两个参数的关系.22.设0a >，函数()222ln f x x ax a x =--，()2ln x xg x x+=. （1）当12a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值；（3）若函数()f x 在区间()0,∞+上有唯一零点，试求a 的值.【答案】（1）()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞；（2）()g x 有极大值()11g =，无极小值；（3）12a =. 【解析】 【分析】（1）求出()1'210f x x x =--=，解得1x =或12-，则可探究当01x <<时，当1x >时，()(),f x f x ' 的变化，从而求出单调区间； （2）求出()312ln 'x xg x x --=，令()()12ln 0h x x x x =-->，结合导数探究()h x 在()0,∞+ 的单调性，结合()10h =，可探究出()(),g x g x '随x 的变化情况，从而可求极值； （3）令222ln 0x ax a x --=，可得21ln 2x x a x+=在()0,∞+只有一个解，借助第二问可知()1112g a ==，从而可求出a 的值. 【详解】解：（1）当12a =时，()2ln f x x x x =--.易知()f x 定义域为()0,∞+，令()()()2211121'210x x x x f x x x x x+---=--===，解得1x =或12-，当01x <<时，()'0f x <，则()f x 递减；当1x >时，()'0f x >，则()f x 递增， 因此，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. （2）()g x 的定义域为()0,∞+，则()312ln 'x xg x x--=，令()()12ln 0h x x x x =-->， 则()2'10h x x=--<，故()h x 在()0,∞+单调递减，又知()10h =， 当01x <<时，()0h x >，即()'0g x >；当1x >时，()0h x <，即()'0g x < 因此()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减. 即当1x = 时， ()g x 有极大值()11g =，无极小值. （3）令222ln 0x ax a x --=，整理得：21ln 2x x a x +=在()0,∞+只有一个解， 即12y a=的图像与()2ln x xg x x+=的图像在()0,∞+只有一个交点，由（2）知， ()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，且()g x 有极大值()11g =，所以，()1112g a ==，解得12a =. 【点睛】本题考查了运用导数求函数的单调性，考查了运用导数求解函数的极值，考查了方程的根与函数的零点.本题的难点在于第二问，需要二次求导来确定导数为零的解.本题的易错点是求极值时，混淆了极值和极值点的概念，或漏写了极小值.。
2020-2021学年天一大联考高二上学期期末数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年天一大联考高二上学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.“a ≠1或b ≠2”是“a +b ≠3”的( )A. 必要不充分条件B. 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 充分不必要条件2.在平面直角坐标系中，若点P(m −3,m +1)在第二象限，则m 的取值范围为( )A. −1<m <3B. m >3C. m <−1D. m >−13.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0,c 2=a 2+b 2)，点A 为双曲线C 上一点，且在第一象限，点O 为坐标原点，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，若|AO|=c ，且∠AOF 1=2π3，则双曲线C的离心率为( ) A. √3+12 B. √3 C. 2D. √3+14.已知等差数列{a n }的第8项是二项式(x +1x +y)4展开式的常数项，则a 9−13a 11=( )A. 23B. 2C. 4D. 65.已知a ，b ，c ∈R ，则“{ab >0bc >0”是“b−c a <b+c a ”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在锐角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，若b 2−a 2=ac ，则1tanA −1tanB 的取值范围是( )A. (1,2√33)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,√2)7. 若函数y =f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A.B.C.D.8.已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2√2，则2a 7+a 11的最小值为( )A. 16B. 8C. 2√2D. 49.已知函数在处有极值，则等于( )A.或B.C. 或18D.10. 已知抛物线y 2=ax(a >0)的准线与圆x 2+y 2−6x −7=0相切，则a 的值为( )A. 12B. 1C. 2D. 411. 已知无穷数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 为其前n 项和，则“0<|q|<1”是“存在M >0，使得|S n |<M 对一切n ∈N ∗恒成立”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要12. 方程e x −x −2=0的一个根所在的区间(k,k +1)(k ∈N)，则k 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=2x 2+x −k ，g(x)=x 3−3x ，若对任意的x 1∈[−1,3]，总存在x 0∈[−1,3]，使得f(x 1)≤g(x 0)成立，则实数k 的取值范围是______ ．14. 若x ，y 满足约束条件{x +2y ≤3x ≥1y ≥−1，则z =x −2y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=xlnx +8在区间(0,3]的极小值为______ ． 16. 若抛y =2px 的焦点与双曲线x 26−y 23=1右重合，则p 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简集合；若AB =B ，求实m 的取值范．18. (本小题满分12分) 在中，角的对边分别为不等式对于一切实数恒成立．(Ⅰ)求角C 的最大值． (Ⅱ)当角C 取得最大值时，若，求的最小值．19. 已知公比0<q <1的等比数列{a n }满足a 8+a 2=283，log 3a 3+log 3a 7=1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n=na2n，求数列{b n}的前n项和S n．20.已知函数f(x)=alnx+6x(a∈R)．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)如果函数g(x)=f(x)−2x在(0,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(3)当a>0时，讨论函数y=f(x)−5x零点的个数．21.已知点A(0,−2)，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(I)求椭圆C的方程；(II)设过点A的动直线l与C交于P、Q两点，当|PQ|=4√25时，求l的方程．22.已知函数f(x)=x2t−2t(x2+x)+x2+2t2+1，g(x)=12f(x)．(I)证明：当t<2√2时，g(x)在R上是增函数；(Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b]，试说明存在实数k，当t>k时，g(x)在闭区间[a,b]上是减函数；(Ⅲ)证明：f(x)≥32．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查充分条件、必要条件的判断，属于中档题． 解：因为a =1且b =2⇒a +b =3， a +b =3⇏a =1且b =2，则“a =1且b =2”是“a +b =3”的充分不必要条件， 故“a ≠1或b ≠2”是“a +b ≠3”的必要不充分条件． 故选：A ．2.答案：A解析：解：点P(m −3,m +1)在第二象限， 则{m −3<0m +1>0， 解得−1<m <3， 故选：A根据题意可得{m −3<0m +1>0，解得即可．本题考查了坐标在象限内的符号，以及不等式组的解法，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查双曲线的定义、离心率，考查学生的运算能力，属于基础题．分别在△AOF 1和△AOF 2中，通过简单的平面几何计算可求得|AF 1|和|AF 2|的长，然后结合双曲线的定义，即可求得离心率．解：由题意可知，F 1(−c,0)，F 2(c,0)， 在△AOF 1中，∵|AO|=c =|OF 1|，且∠AOF 1=2π3，∴|AF 1|=√3c ，在△AOF 2中，∵|AO|=c =|OF 2|，且∠AOF 2=π−2π3=π3，∴|AF 2|=c ，由双曲线的定义可知，|AF 1|−|AF 2|=2a ，即√3c −c =2a ， ∴离心率e =ca =√3−1=√3+1． 故选：D ．4.答案：C解析：解：∵(x +1x +y)4的展开式中的常数项为C 40⋅C 42x 2(1x)2y 0=6， ∴a 8=6，又数列{a n }为等差数列，∴a 9−13a 11=a 1+8d −13(a 1+10d)=23(a 1+7d)=23a 8=23×6=4．故选：C ．由二项式系数的性质求出二项式(x +1x +y)4展开式的常数项，得到a 8=6，由等差数列的通项公式把a 9−13a 11转化为23a 8得答案．本题考查二项式系数的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．5.答案：A解析：解：因为b−c a<b+c a⇔b+c a−b−c a=2c a>0⇔ac >0，因为{ab >0bc >0，所以可得a 、c 同号，即ac >0，但反之不成立，故“{ab >0bc >0”是“b−c a <b+c a ”的充分不必要条件．故选：A ． 由题可得b−c a<b+c a⇔ac >0，而{ab >0bc >0只能得到ac >0，反之不成立，即可得到答案本题考查不等式的性质以及充分、必要条件的判断，体现了逻辑推理、数学运算等能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵b 2−a 2=ac ，∴b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2+ac ， ∴c =2acosB +a ，∴sinC =2sinAcosB +sinA ，∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴sinA =cosAsinB −sinAcosB =sin(B −A)， ∵三角形ABC 为锐角三角形， ∴A =B −A ，。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十一)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十一）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A. 1122i -+ B. 1122i -- C.1122i + D.1122i - 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z . 【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.2.记全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A. {}1,3,6B. {}2,4C. {}5D. {}1,2,3,4,5,6【答案】A 【解析】 【分析】 先求得,AB A B ，然后求得阴影部分所表示的集合.【详解】依题意{}{}2,4,1,2,3,4,6A B A B ⋂=⋃=，所以阴影部分表示的集合为{}1,3,6. 故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的概念和运算，属于基础题. 3.下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A. 12y x = B. 2yx C. 3y x = D. 4y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，以及幂函数单调性，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数12y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2yx 在()0,∞+上单调递减，排除B ；C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()33x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ；D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()44x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性确定解析式，熟记幂函数的性质，以及函数奇偶性即可，属于常考题型.4.某企业用自动化流水线生产统一规格的产品，每天上午的四个小时开工期间，每隔10分钟抽取一件产品作为样本，则这样的抽样方法是（ ） A. 简单随机抽样 B. 系统抽样C. 分层抽样D. 以上三种方法都有【答案】B 【解析】【分析】根据系统抽样的特点，即可确定答案.【详解】由题知这个抽样是每隔10分钟抽取一个产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，所以这是一个系统抽样. 故选：B【点睛】本题主要考查常见抽样的方法，属于基础题.5.已知椭圆22:14924x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，若C 上的点A 到2F 的距离为6，则△12AF F 的面积为（ ） A. 48B. 25C. 24D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到,,a b c ，根据椭圆定义得到1||AF ，根据2221212||||||AF AF F F +=可知△12AF F 为直角三角形，由此可求得面积. 【详解】依题意知，7a =，26b =，所以5c =，因为12||||214AF AF a +==，且2||6AF =，所以1||8AF =，在△12AF F 中，12||210F F c ==，因为2221212||||||AF AF F F +=，所以12AF AF ⊥，所以△12AF F 的面积为1211||||862422AF AF ⋅=⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了椭圆的定义，属于基础题.6.刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，估计sin3︒的值为（ ）A. 0.038B. 0.047C. 0.052D. 0.069【答案】C 【解析】 【分析】将一个单位圆平均分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3︒，由这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出sin3︒的近似值． 【详解】解：将一个单位圆平均分成120个扇形， 则每个扇形的圆心角度数均为3︒，这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积， 112011sin360sin32π∴⨯⨯⨯⨯︒=︒≈，sin30.05260π∴︒≈≈故选：C ．【点睛】本题考查3︒角的正弦值的近似值的求法，考查扇形、单位圆等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A.57B.23C.34D.127【答案】A 【解析】 【分析】按照流程图的顺序进行计算，当进行完第五次循环时，停止循环可得结果. 【详解】1,0k s ==,第一次循环：2k =，13s =， 第二次循环：3k =，12s =， 第三次循环：4k =，35s =，第四次循环：5k =，23s =， 第五次循环：6k =，57s =，停止循环， 所以57s =.. 故选：A.【点睛】本题考查了当型循环，属于基础题.8.已知向量1,22b →⎛= ⎝⎭，向量a →在向量b →方向上的投影为2-．若a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，则实数λ的值为（ ） A.14B. 14-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】由投影的概念可知2a bb→→→⋅=-，所以得2a b →→⋅=-，又0a b b λ→→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，代入计算可得λ. 【详解】向量a →在向量b →方向上的投影为2-，所以2a bb→→→⋅=-，又由12b →⎛= ⎝⎭得1b →=，所以2a b →→⋅=-，因为a b b λ→→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，所以0a b b λ→→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，所以20a b b λ→→→⋅+=，则有210λ-+=，解得：12λ=. 故选：C【点睛】本题主要考查了向量投影的概念，向量数量积的求解，向量模的坐标计算，考查了学生对概念的理解与运算求解能力.9.如图，网格纸上小正方形的边长是1，粗实（虚）线 画的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A. 642+B. 282+C. 822+D. 1223+【答案】A 【解析】 【分析】将三视图还原成几何体，可知该多面体是底面为正方形的斜四棱柱1111ABCD A B C D -，通过计算各面的面积,即可求得表面积【详解】将三视图还原成几何体，如图，可知该多面体是底面为正方形斜四棱柱1111ABCD A B C D -，11,22AB AD BB ===，所以它的表面积为2112122122642⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+故选：A【点睛】本题主要考查了三视图，几何体的表面积的计算，考查了学生的直观想象能力.10.已知曲线()ln f x x ax b =++在1x =处的切线是x 轴，若方程()()f x m m R =∈有两个不等实根12,x x ，则12x x +的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. ()2,+∞D. ()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在1x =处的切线是x 轴，求得,a b .利用()'f x 研究()f x 的单调性，根据方程()()f x m m R =∈有两个不等实根12,x x ，求得12x x +的取值范围.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'1f x a x=+， 依题意可知()()10110f a b f a ⎧=+=⎪⎨=+='⎪⎩，解得1,1a b =-=，所以()ln 1f x x x =-+，()'111x f x x x-=-=， 所以()f x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()10f =， 由于方程()()f x m m R =∈有两个不等实根12,x x ， 所以0m <， 不妨设1201x x <<<，当0m →时，12121,12x x x x →→⇒+→， 当m →-∞时，12120,x x x x →→+∞⇒+→+∞， 即12x x +的取值范围是()2,+∞. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据切线求参数，考查利用导数研究方程的根，属于难题.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ．若直线x t =与C 交于,A B 两点，且21AF BF ⊥，则C 的离心率的取值范围为（ ） A. (2 B. ()1,2C.)2,+∞D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】将直线t 与双曲线联立，求得2y ，利用210AF BF ⋅=列方程，然后根据22t c >，求得C 的离心率的取值范围.【详解】由22221x t x y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得222222221t b y b t b a a ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭. 设()()00,,,A t y B t y -，而()()12,0,,0F c F c -，所以()()2010,,,AF c t y BF c t y =--=--，由于21AF BF ⊥，所以()()22221000,,AF BF c t y c t y t c y ⋅=--⋅--=--222222b t c t b a=--+222222222222222210b a b a c t c b t a t a a a a ⎛⎫--=--+=-=-= ⎪⎝⎭，所以22200t c y --=即2220t c y -=，故222222b t c t b a-=-，整理得到42222a t a c=-，因为220t c ->，故22t c > 即42222a c a c >-即()2222202a a c c >--，故2220a c ->，22222,21c a c e a><⇒<<故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于中档题. 12.关于函数()sin cos2f x x x =-，有下述四个结论： ①()f x 是周期为2π的函数； ②()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增；③()f x 在[]0,2π上有三个零点； ④()f x 的值域是[]1,1-．其中所有正确结论的编号是（ ） A. ②③ B. ①③C. ①③④D. ①②④【答案】B 【解析】 分析】①计算()2f x π+，即可判断出结果；②分0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦两种情况讨论，根据二次函数以及正弦函数的单调性，即可判断出结果；③分3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，357,,4444x ππππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两种情况，分别计算零点，即可判断出结果；④由③，只需计算出3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时()f x 的最小值，即可判断出结果.【详解】①因为()sin cos2f x x x =-，所以()()()()2sin 2cos 2sin cos 2f x x x x x f x πππ+=+-+=-=； 因此()f x 是周期为2π的函数；故①正确； ②当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 20x ≥，则()2sin cos2sin 12sin f x x x x x =-=-+，令sin t x =，则sin t x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以0,2t ⎡∈⎢⎣⎦， 又221y t t =+-是开口向上，对称轴为14t =-的二次函数，因此221y t t =+-在0,2t ⎡∈⎢⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增； 当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos20x <，则()2sin cos2sin 12sin f x x x x x =+=+-，令sin t x =，则sin t x =在,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦， 又221y t t =-++是开口向下，对称轴为14t =的二次函数，因此221y t t =-++在2t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦上单调递减，所以函数()f x 在,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减；故②错；③当3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时，cos 20x ≥，则()2sin 12sin f x x x =-+， 由()2sin 12sin 0f x x x =-+=，解得：sin 1x =-或1sin 2x =， 因此6x π=或56x π=； 当357,,4444x ππππ⎛⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos20x <，则()2sin 12sin f x x x =+-由()2sin 12sin 0f x x x =+-=，解得：sin 1x =或1sin 2x =-， 因此2x π=；综上，()f x 在[]0,2π上有三个零点，故③正确；④由③可得，当3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时，()2sin 12sin f x x x =-+， 令sin t x =，根据正弦函数的性质，可得：3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦时，,22t ⎡∈-⎢⎣⎦，又221y t t =+-是开口向上，对称轴为14t =-的二次函数， 所以2min11921448y ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，即()f x 在3570,,,24444x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈⋃⋃⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦上的最小值为98-，故④错. 故选：B .【点睛】本题主要考查三角函数与二次函数的综合应用，熟记二次函数与三角函数的性质即可，属于常考题型.二、填空题13.已知,a b 为实数，则下列各式是ln0ab>的充分不必要条件的有______．（只需填序号）<；②22ac bc >；③22a b >；④11a b<． 【答案】① 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】ln0ab>等价于1a b >；<1>，0,0a b >>，所以能推出1a b >；但由1ab >，只能得到,a b <是ln 0ab>的充分不必要条件； ②由22ac bc >可得a b >，不能推出1a b >，故22ac bc >不是ln 0ab>的充分条件； ③若22a b >，当0b =时，a b 无意义；当0b ≠时，可得：221a b>，因此1a b >或1a b <-，因此由22a b >不能推出ln 0a b >，即22a b >不是ln 0ab>的充分条件； ④若11a b <，当0,0a b <>时，ln a b 无意义，故11a b <不是ln 0ab>的充分条件；故答案为：①.【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，涉及不等式的性质，属于基础题型.14.已知互不相等的四个数a b c d ,,,成等差数列，且,,a b d 成等比数列．若12a b c ++=，则b c d ++=______．【答案】18 【解析】 【分析】先求出4b =，则可设四个数a b c d ,,,分别为4,4,4,42,0m m m m -++≠，由,,a b d 成等比数列，列方程()()16442m m =-+求出m ，然后计算b c d ++.【详解】因为四个数a b c d ,,,成等差数列，所以2b a c =+，且12a b c ++=，得4b =， 设四个数a b c d ,,,分别为4,4,4,42,0m m m m -++≠， 由,,a b d 成等比数列，得()()16442m m =-+，解得：2m =, 所以46818b c d ++=++=. 故答案为：18【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力.15.在曲线22x y x y +=+上及其内部随机取一点，则该点取自圆221x y +=上及其内部的概率为______．【答案】2ππ+【解析】 【分析】根据题意，求出曲线22x y x y +=+表示图形的面积，以及单位圆的面积，面积比即为所求概率.【详解】由22x y x y +=+得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当00x y ≥⎧⎨≥⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以2为半径的圆的一部分；②当00x y ≥⎧⎨<⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆的一部分；③当00x y <⎧⎨≥⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆的一部分；④当00x y <⎧⎨<⎩时，22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，表示以11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆的一部分；即22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由以上四部分组成；在同一坐标系内画出22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与221x y +=的图象如下：由图象易得：曲线22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示的平面区域面积为22124222S AB ππ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭， 单位圆221x y +=的面积为21ππ⨯=， 因此，所求的概率为2P ππ=+.故答案为：2ππ+.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解答的关键就是确定曲线22x y x y +=+所围成的平面区域的面积，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.16.已知三棱锥A BCD -的顶点都在球O 的球面上．若AB AD ⊥，1AB AD ==，BD CD ⊥，BD CD =．且二面角A BD C --的平面角等于150︒，则球O 的表面积为______． 【答案】10π如图，设点,E F 分别是线段,BC BD 的中点，过点E 作直线1l 垂直平面BCD ，过点F 作直线2l 垂直平面ABD ，则两直线的交点即为三棱锥A BCD -的外接球的球心O ，算出球半径R 即可求得球O 的表面积.【详解】如图，设点,E F 分别是线段,BC BD 的中点，因为AB AD ⊥，BD CD ⊥，所以点,E F 分别是,BCD ABD △△的外接圆的圆心，过点E 作直线1l 垂直平面BCD ，过点F 作直线2l 垂直平面ABD ，则两直线的交点即为三棱锥A BCD -的外接球的球心O ，又//EF CD ，所以EF BD ⊥，又AF BD ⊥，所以AFE ∠为二面角A BD C --的平面角，则有150AFE ∠=，又1AB AD ==，则可算出2,2BD DC BC ===，在直角OEF 中，260,2OFE EF ∠==，所以62OE =， 故有222104R OE EC =+=，所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为10π. 故答案为：10π【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积的求法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.三、解答题17.在梯形ABCD 中，//AB CD ，3CD AC =，22cos ADC ∠= （1）求cos ACD ∠；（2）若42AD =3AB =，求BC 的长． 【答案】（1）13；（2）3BC =．（1）设AC m =，根据余弦定理的推论得到222cos 2CD AD AC ADC CD AD+-∠=⋅，求出AD =，再由222cos 2AC CD AD ACD AC CD+-∠=⋅，即可求出结果； （2）先由（1）得到1cos 3CAB ∠=，再由余弦定理，即可得出结果.【详解】（1）设AC m =，则3CD m =，因为cos 3ADC ∠=， 在ACD 中，由余弦定理的推论可得222cos 2CD AD AC ADC CD AD +-∠=⋅，222923m AD m m AD+-=⨯⨯，解得AD =． 在ACD 中，由余弦定理的推论可得222cos 2AC CD AD ACD AC CD+-∠=⋅222981233m m m m m +-==⨯⨯．（2）因为AD ==，所以2m =． 因为AB CD ∥，所以ACD CAB ∠=∠，即1cos 3CAB ∠=． 又因为2AC m ==，3AB =，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠14922393=+-⨯⨯⨯=．所以3BC =．【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.18.如图（甲），PAB △是边长为4的等边三角形，点,C D 分别为,PB PA 的中点，将PAB △沿CD 折成四棱锥P ABCD -，使PA BC ⊥，如图（乙）．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求PD 与平面PAB 所成角的正弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）22． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）由题意，以点C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系C xyz -，求出平面PAB 的一个法向量，以及直线PD 的方向向量，由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）证明：在ABC 中，2BC =，4AB =，60ABC ∠=︒， 所以2222cos 12AC BC AB BC AB B =+-⋅⋅=， 则有222AC BC AB +=，即AC BC ⊥． 又因为PA BC ⊥，PA AC A =，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．（2）由（1）知AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，,CA CB 所在直线分别为,x y 轴建立如图所示的坐标系C xyz -．则()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)3,1,0D -，易知P 在底面的射影为AC 与BD 的交点，所以2326P ⎝⎭．326,1,33PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，4326,0,33PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()23,2,0AB =-． 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，直线PD 和平面PAB 所成角为θ，则0,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即43260,332320.x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩令1x =，得()1,3,2n =．2sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅=<>==⋅， 所以直线PD 和平面PAB 所成角的正弦值为22．【点睛】本题主要考查证明线面垂直，以及求直线与平面所成角的正弦值，熟记线面垂直的判定定理，灵活运用空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.19.今年情况特殊，小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究．A 、B 两个投资项目的利润率分别为投资变量X 和Y ．根据市场分析，X 和Y 的分布列分别为：X 5% 10%P0.8 0.2 Y2% 8% 12% P0.2 0.50.3（1）若在,A B 两个项目上各投资100万元，ξ和η分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D ξ，D η；（2）若在,A B 两个项目上共投资200万元，那么如何分配，能使投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和最小，最小值是多少？ （注：()2D aX b a DX +=）【答案】（1）4D ξ=，12D η=；（2）A 、B 两个项目分别投资150万元，50万元时满足题意，最小值是12． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分布列，运用期望，方差公式计算即可；（2）设在A 、B 两个项目上分别投资x 万元，()200x -万元，利润的方差和为()200100100x x f x D D ξη-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简函数即可求出最小值.【详解】（1）由题知，ξ，η的分布列分别为：所以50.8100.26E ξ=⨯+⨯=，()()22560.81060.24D ξ=-⨯+-⨯=．20.280.5120.38E η=⨯+⨯+⨯=，()()()222280.2880.51280.312D η=-⨯+-⨯+-⨯=．（2）设在A 、B 两个项目上分别投资x 万元，()200x -万元，利润的方差和为()f x ．则()200100100x x f x D D ξη-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22200100100x x D D ξη-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22200412100100x x -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()244120012000010000x x =⨯-+()21507500625x -+=，可见，当150x =时，()12f x =为最小值．所以，在A 、B 两个项目分别投资150万元，50万元时，能使投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和最小，最小值是12．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算，二次函数求最值，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生的运算求解能力.20.已知抛物线()2:205C y px p =<<，与圆()22:516M x y -+=有且只有两个公共点．（1）求抛物线C 的方程；（2）经过()2,0R 的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，试问在直线2y =上是否存在定点Q ，使得直线,AQ BQ 的斜率之和为直线RQ 斜率的2倍？若存在，求出定点Q ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在定点()2,2Q -满足题意．【解析】 【分析】（1）联立方程()2225162x y y px⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得()221090x p x +-+=，由0∆=可得p 值，即可得抛物线C 的方程；（2）由题设(),2Q m ，易得当直线l 的斜率不存在时，恒有2RQ AQ BQ k k k =+；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()224y k x y x ⎧=-⎨=⎩，由韦达定理与斜率公式表示出,,AQ BQ RQ k k k ，由2RQ AQ BQ k k k =+列方程求解出m 即可.【详解】（1）联立方程()2225162x y y px⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，得()221090x p x +-+=，因为抛物线C 与圆M 有且只有两个公共点， 则()2210360p ∆=--=，解得2p =或8p =， 又05p <<，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）假设直线2y =上存在定点(),2Q m ，当直线l的斜率不存在时，(2,A，(2,B -， 由题知2RQ AQ BQ k k k =+，即2222222m m m -+⋅=+---恒成立． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程()224y k x y x⎧=-⎨=⎩得()22224140k x k x k -++=，则()212241k x x k++=，124x x =，由题知2RQ AQ BQ k k k =+， 所以121222222y y m m x m x --⋅=+--- ()()()()()()2112122222m x k x m x k x m x m x ---+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--()()()()12122121222241kx x km k x x m k x x m x x m-+++++=-++ ()22224488824mk km k k k m m----=--，整理得()()24220m k m --+=，因为上式对任意k 成立，所以24020m m ⎧-=⎨+=⎩，解得2m =-，故所求定点为()2,2Q -．【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定点问题，考查了学生的运算求解能力.21.已知函数()1xf x e ax =--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()123x x x <<是曲线()y f x =上任意三点，求证：()()()()21312131f x f x f x f x x x x x --<-- 【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增．（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求得()f x 的导函数()'f x ，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论()f x 的单调性.（2）将所要证明的不等式，转化为证明()121212110t t e e t t t t --<<<，构造函数()()10t e g t t t-=>，利用导数研究()g t 的单调性，由此证得不等式成立.【详解】（1）函数()f x 的导函数为()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，由()0f x '≥知ln ≥x a ，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()ln ,a +∞上单调递增．（2）由题可知：要证()()()()21312131f x f x f x f x x x x x --<--， 需证32112131x x x x e e e e x x x x --<--，即需证()()311121213111x x x x x x e e e e x x x x ----<-- 设211x x t -=，312x x t -=，则需证：当120t t <<时，121211t t e e t t --<，设()()10t e g t t t -=>，则()()211t e t g t t-+'=， 设()()11t h t e t =-+，则()0th t te '=>，所以()h t 在()0,∞+单调递增， 所以()()00h t h ≥=，于是()0g t '≥，()g t 在其定义域内单调递增，所以，当12t t <时，121211t t e t t t --<． 所以不等式()()()()21312131f x f x f x f x x x x x --<--成立. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，属于难题. 22.在直角坐标系xOy 中，直线l 过原点且倾斜角为4π，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C的参数方程为12x y ββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（β为参数）．（1）求直线l 的极坐标方程，曲线1C 和曲线2C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线1C 和曲线2C 在第一象限的交点分别为,M N ，求MN ．【答案】（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线1C 的普通方程为2213x y +=，曲线2C 的普通方程为()()22125x y -+-=；（2【解析】【分析】 ()1直线l 的极坐标方程为4πθ=，()R ρ∈；利用22sin cos 1αα+=，消去参数即可得1C 和2C 的普通方程；()2将1C ，2C 化成极坐标方程后将4πθ=代入可求得OM ，ON ，再相减即可得MN ． 【详解】（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线1C 的普通方程为2213x y +=， 曲线2C 的普通方程为()()22125x y -+-=；（2）将cos ,sin x y ρθρθ==代入1C 和2C 的普通方程化简得，曲线1C 的极坐标方程为22312sin ρθ， 曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，所以2cos 4sin 44ON ππ=+=，2OM ==，可得2MN ON OM =-=． 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查两点距离的求法，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.23.已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同． （1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）1；（2）1．【解析】【分析】（1）解不等式|23|x x -<得出20(,)x mx n m n R -+<∈的解集，从而求得m ，n ；（2）根据题意，利用基本不等式求得222a b c ++的最小值．【详解】解：（1）当0x ≤时，不等式解集为空集；当0x >时，2323x x x x x -<⇔-<-<，即13x <<，所以1,3是方程20x mx n -+=的两根，所以10,930.m n m n -+=⎧⎨-+=⎩解得4,3.m n =⎧⎨=⎩所以1m n -=．（2）由（1）可知1ab bc ac ++=， 因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 所以222222222222a b b c a c a b c +++++=++ 1ab bc ac ≥++=（当且仅当a b c === 所以222a b c ++的最小值为1．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(十)文科数学
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1)3i z i +=-，则z 在复平面内对应的点为（ ） A. （2，1） B. （1，2）C. (2,1)-D. (1,2)-【答案】D 【解析】 【分析】等式两边同除1i +，再化简即可的出答案. 【详解】因为3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点为(1,2)-.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于基础题.熟练掌握分式复数的化简是本题的关键.2. 已知集合(){1,2,3,4,5,6,7},{2,4,6,7},{2,6}UU A A B ===∩，则集合B 可以为（ ）A. {2,5,7}B. {1,3,4,5}C. {1,4,5,7}D.{4,5,6,7}【答案】C 【解析】 【分析】 根据(){2,6}UA B =∩知道集合B 中的元素不能有2或6，必含有4和7，则可选出答案.【详解】因为集合(){1,2,3,4,5,6,7},{2,4,6,7},{2,6}UU A A B ===∩，所以集合B 中的元素不能有2或6，必含有4和7. 故选：C .【点睛】本题考查集合的交并补.属于基础题.熟练掌握集合的交并补运算是解本题的关键. 3. 已知 1.542log 2.5,log 1.5,0.4a b c -===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合对数运算的性质、对数函数的单调性、指数函数的单调性可得1b a c <<<，即可得解.【详解】因为2449log 1.5log log 2.514b a ==<=<， 1.500.40.41c -=>=， 所以1b a c <<<. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的性质、对数函数的单调性、指数函数的单调性的应用，考查了对数式、指数式的大小比较，属于基础题.4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()541752S a a m =-==，则m =（ ） A. 16 B. 19C. 33D. 35【答案】D 【解析】 【分析】将等差数列的通项公式与前n 项和公式带入等式，即可解出首项与公差，则可解出m .. 【详解】因为()5452S a =-， 所以()1553455522a a S a a +=⨯==-， 所以公差2d =， 又()41752a a -=，所以()1154162a a +=+⨯，解得13a =， 所以17316235a =+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.熟练掌握其通项公式与前n 项和公式是解本题的关键.5. 《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（ ） A.12B.35C.710D.910【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法列出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】假设《周髀算经》、《九章算术》分别为1，2，《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》分别为a ，b ，c ，则基本事件有(1,2)，(1,)a ，(1,)b ，(1,)c ，(2,)a ，(2,)b ，(2,)c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 共10个，其中恰好有一个是汉代著作的有(1,)a ，(1,)b ，(1,)c ，(2,)a ，(2,)b ，(2,)c 共6个， 所以所求概率为63105=. 故选：B【点睛】此题考查古典概型的概率的求法，利用了列举法，属于基础题. 6. 已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A. 45-B.35C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】由两角差的正切公式求得tan α，直接结合平方关系求得sin ,cos αα后再得sin 2α． 【详解】tan 11tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，tan 2α=， ∴22sin 2cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 两种情况下都有4sin 22sin cos 5ααα==． 故选：D ．【点睛】本题考查两角差的公式，同角间的三角函数关系，正弦的二倍角公式，属于基础题．7. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若以OF （O 为坐标原点）为直径的圆被双曲线C 的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的离心率为（ ）C.54D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先利用点到直线的距离公式求出2a b =，再由222254a c ab =+=即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为：by x a=，即0bx ay -=， 圆心为,02c ⎛⎫⎪⎝⎭，所以圆心到渐近线的距离为2222c b b a b ⋅=+， 由题意可得2a b =，所以222254ac a b =+=，所以2254c a =，即离心率5c e a ==. 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，同时考查了考生的基本运算能力，属于基础题. 8. 函数()tan (11)f x x x x =-的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据函数的奇偶性以及函数在()0,1处的函数值大小，可得结果. 【详解】由()tan (11)f x x x x =-， 则()()()tan tan -=--=f x x x x x 所以()()f x f x =-，即函数()f x 是偶函数 故排除A ，C ，当01x <<时，()0f x >，排除D. 故选：B【点睛】本题考查根据函数解析式判断大致图象，针对这种题型常常从定义域、奇偶性、单调性、对称性、值域、特殊值入手，考验分析问题的能力，属基础题. 9. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)e x f x -=，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A. 1y x =-+ B. y x e =+ C. y ex e =-+ D. y ex e =+【答案】C 【解析】 【分析】先利用换元法求出()f x 的解析式，然后利用导数的几何意义可求出切线方程【详解】令1t x =-，则1x t =-，由(1)x f x e -=，得1()t f t e -=，所以()x e f x e =，(0)f e =，()x ef x e'=-，(0)f e '=-. 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y ex e =-+.故选：C【点睛】此题考查导数的几何意义，考查利用换元法求函数的解析式，属于基础题.10. 已知直线2y x =与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点F 是椭圆C 的左焦点，若||||22FA FB +=，||2FA FB +=，则||AB =（ ）A. 2B.3C.3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与椭圆都关于原点对称则的可得到2FA FB a +=，2FA FB c +=，即可解出a ，c ，求得椭圆的标准方程，将直线的方程与椭圆的方程联立求解可得出答案.【详解】由对称性可得||||2FA FB a +==a =||22FA FB c +==，得1c =，所以21b =，即椭圆C 的方程为2212x y +=，将2y x =与2212x y +=联立消y 得229x =，所以||2||AB x =⨯==故选：C.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系之弦长问题，属于中档题.利用其对称性分析出2FA FB a +=，2FA FB c +=是解本题的关键.11. 在ABC 中，60B =︒，BC ，则cos A =（ ）A.B.C.7D.【答案】D 【解析】 【分析】设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由60B =︒，BC 边上的高为4BC ，利用面积公式可得,c a 的关系，再利用余弦定理得到,b a 的关系，然后由222cos 2b c a A b c+-=⨯⨯求解. 【详解】设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由题意知111sin 60222a ac a =︒=， 所以32c a =， 所以22229372cos 60424b a a a a a =+-⨯⨯=︒，所以22279cosa a aA+-==故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 关于函数2()sin sinf x x x=-有下述四个结论：①()f x是偶函数；②()f x在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；③()f x在[,]-ππ有四个零点；④()f x的值域是1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.其中所有正确结论的编号是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】A【解析】【分析】对于①，利用函数的奇偶性的定义进行判断即可对于②，由于2211()sin sin sin24f x x x x⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，再利用复合函数判断单调性的方法判断；对于③，由()0f x=，直接解方程即可；对于④，2211()sin sin sin24f x x x x⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，由于1sin1x-≤≤，所以当1sin2x=时，()f x取最小值，当sin1x=-时，()f x取最大值，从而可求出函数的值域【详解】①因为22()sin)sin()sin sin)((()f x x x x x f x f x-=--=+≠≠--，所以()f x既不是奇函数也不是偶函数，①不正确；②2211()sin sin sin 24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令sin t x =，则211()24y t =--，因sin t x=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，而函数211()24y t =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，②正确； ③当[,]x ππ∈-时，由()0f x =，得0x =，或2x π=，或x π=，或x π=-，所以()f x 在[,]-ππ有四个零点，③正确；④2211()sin sin sin 24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为1sin 1x -≤≤，所以当1sin 2x =时，min 1()4f x =-，当sin 1x =-时，max ()1(1)2f x =--=，④不正确.故选：A.【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性，考查复合函数的单调性，考查复合函数值域的求法，属于中档题.二、填空题.13. 已知向量(,1)a λ=，(2,1)b λ=+，若//a b ，则实数λ=________. 【答案】1或-2 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件列出方程，解出λ即可. 【详解】(,1)a λ=，(2,1)b λ=+//a b ，所以(1)20λλ+-=， 解得1λ=或2λ=-. 故答案为：1或-2【点睛】本题考查向量共线的充要条件，属于简单题. 14. 某学校高一某班女生人数是男生人数的23.在一次数学测试中，男、女生平均分数分别是85，80，则这次数学测试该班学生的平均分数为________. 【答案】83 【解析】 【分析】根据题意可得男生所占比例为35，女生所占比例为25，再根据加权平均数的计算公式即可求解.【详解】因为该班女生人数是男生人数的23， 所以男生所占比例为35，女生所占比例为25，所以总平均分为3285808355⨯+⨯=.故答案为：83【点睛】本题考查了加权平均数的计算公式，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.15. 设函数411log (1),1,()2,1,x x x f x x ++-<⎧=⎨≥⎩，则1(())2f f a =，则实数a =________.【答案】12【解析】 【分析】由分段函数解析式判断出1≥x 时，1()24x f x +=≥，得出()1f a <，也有1a < ，再代入相应的解析式中，求解方程可得答案. 【详解】当1≥x 时，1()24x f x +=≥，所以要使1(())2f f a =成立，则()1f a <，也有1a < ， 所以()411log 12f a ⎡⎤+-=⎣⎦，解得1()2f a =， 所以()411log 12a +-=，解得12a =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查解分段函数的方程，关键讨论自变量的范围，确定出函数的具体函数解析式，属于中档题.16. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，则三棱锥1C ABC -的外接球的表面积为________；若D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），且AD BF =，则三棱锥1A DFB -体积的最大值为________. 【答案】 (1). 3π (2). 124【解析】 【分析】根据题意可知三棱锥1C ABC -的外接球即为直三棱柱111ABC A B C -的外接球，根据正方体外接球的半径求解公式即可得解；根据题意，设出,AD AF 的长度，表示出棱锥的体积，用基本不等式即可求得体积的最大值.【详解】三棱锥1C ABC -外接球，就是直三棱柱111ABC A B C -的外接球，补成棱长为1的正方体，可求得三棱锥1C ABC -3 所以所求表面积为23432ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设AD x =，AF y =，则0x >，0y >且1x y +=，所以1211111()113266424A DFBB ADFx y V V xy xy --+==⨯⨯=≤⨯=. 当且仅当，12x y ==时，等号成立. 所以三棱锥1A DFB -体积的最大值为124. 故答案为：3π；124. 【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解，涉及棱锥体积的求解，以及基本不等式求乘积的最大值，属综合中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题.17. 随着科技的发展，电子书越来越受到人们的欢迎.某高校为了解该校师生对电子书和纸质书的态度，随机抽取了100名师生进行了调查，并得到如下列联表：喜欢看电子书喜欢看纸质书合计 教师 5 学生 48 合计已知这100名师生中随机抽取一人抽到喜欢看电子书的概率是1 5 .（1）请将上述列联表补充完整；（2）是否有90%的把握认为对电子书和纸质书的态度与教师和学生的身份有关？附：【答案】（1）列联表见解析；（2）没有90%的把握认为对电子书和纸质书的态度与教师和学生的身份有关．【解析】【分析】（1）由喜欢看电子书的概率是15可得人数，从而能完善列联表；（2）根据公式计算出2K可得结论．【详解】（1）这100名师生中随机抽取一人抽到喜欢看电子书的概率是15，∴喜欢看电子书的人数为1 100205⨯=．列联表如下：（2）22100(5481532) 1.54420803763K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 2.706<，∴没有90%的把握认为对电子书和纸质书的态度与教师和学生的身份有关． 【点睛】本题考查列联表和独立性质检验，解题关键是计算2K ． 18. 已知数列{}n a 满足：11a =，2123n n a a a a n a ++++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）2(1)n a n n =+，（2）21n nS n =+【解析】 【分析】（1）由2n n S n a =可得211(1)n n S n a --=-，两式相减后化简得111n n a n a n --=+，然后利用累乘法可求出通项公式；（2）利用裂项相消法可求出n S 【详解】解：（1）令123n n S a a a a =++++，则2n n S n a =，当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-，所以2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，所以221(1)111n n a n n a n n ---==-+， 所以32412311231,,,,3451n n a a a a n a a a a n --===⋅⋅⋅=+， 所以3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+， 因为 11a =，所以2(1)n a n n =+，1a 满足此式，所以2(1)n a n n =+；（2）因为2112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111212231n n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝=⎭++⎣++⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【点睛】此题考查数列的前n 项和与通项的关系，考查累乘法求通项公式，考查裂项相消法，属于基础题19. 如图，已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，AB AC ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA PB ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PAB . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取PD 中点为H ，通过证明MN //AH ，即可由线线平行推证线面平行； （2）通过证明AC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直推证出面面垂直. 【详解】（1）取PD 中点为H ，连接,AH HN ，如下所示：因为,N H 为,PC PD 中点，故可得HN //CD ，12HN CD =， 又M 为AB 中点，故可得AM //CD ，12AM CD =， 故可得HN //AM ，HN AM =，故四边形MNHA 为平行四边形，故可得MN //AH ， 又因为AH ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， 故MN //平面PAD ，即证.（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 又AC ⊂平面ABCD ，且AC AB ⊥， 故可得AC ⊥平面PAB . 又AC ⊂平面PAC ，故平面PAC ⊥平面PAB ，即证.【点睛】本题考查线面平行以及面面平行的证明，注意对已知条件的合理转化，属综合基础题.20. 已知抛物线C ：24y x =的准线l 与x 轴交于点M ，过点M 斜率为k 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）若12k =，求弦长||AB ； （2）若抛物线C 上存在点P 使得PA PB ⊥，求k 的取值范围.【答案】（1）||415AB =；（2）55⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）写出直线AB 方程，代入抛物线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式12AB x =-可求得弦长； （2）由（1）直线AB 方程为：(1)(0)y k x k =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，设()00,P x y ，由0PA PB ⋅=，得含有0,y k 方程，关于0y 的方程有解，判别式大于或等于0，可得k 的范围．【详解】（1）抛物线C ：24y x =的准线l ：1x =-， 所以(1,0)M -，AB l ：1(1)2y x =+， 将其与24y x =联立消y 得21410x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1214x x +=，121=x x ，所以12||AB x =-===.所以||AB =（2）设AB l ：(1)(0)y k x k =+≠，与24y x =联立消y 得()2222240k x k x k +-+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k=-+-，121=x x ，()2242440k k ∆=-->，所以21k <，又0k ≠，所以(1,0)(0,1)k ∈-⋃. 设()00,P x y ，由PA PB ⊥得0PA PB ⋅=， 所以()()10102020,,0x x y y x x y y --⋅--=，所以()()22220012102004444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()()2102012012016y y y y y y y y y y ++=+++=-，()()22121201201216k x x x x y k x x k y ⎡⎤⎡⎤+++++++=-⎣⎦⎣⎦，将212224k x x k =-+-，121=x x 代入得2004200y y k ++=， 所以244200k ⎛⎫∆=-⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2115k ≤<，所以k ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦，即当k ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦时存在点P ，使得PA PB ⊥. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交弦长，考查抛物线中的存在性问题，解题方法是设而不求思想，即设交点为()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入弦长公式可得弦长，代入其他条件可得k 的范围或其他结论．21. 已知函数()2xa f x x e x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a e <<，求证：0x >时，()ln 12x f x ax x x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得()f x '，对其分解因式，对参数a 进行分类讨论，即可利用导数判断其单调性； （2）根据题意，要证目标不等式即证ln x e ax x >，分区间(]()0,1,1,+∞进行考虑；特别地，当1x >时，进行二次求导证明不等式即可. 【详解】（1）由()2xa f x x e x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R ， 得()()()122xx x a a f x e x a x e e a x ⎛⎫'=--+-=-+ ⎪⎝⎭， 当0a ≤时，0x e a ->，令()0f x '<，得1x <-；令()0f x '>，得1x >-. 所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；当10a e<<时，ln 1a <-，令()0f x '<，得ln 1a x <<-； 令()0f x '>，得1x >-或ln x a <.所以()f x 在(ln ,1)a -上单调递减，在(,ln )a -∞，(1,)-+∞上单调递增；当1a e =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当1a e>时，ln 1a >-，令()0f x '<，得1ln x a -<<；令()0f x '>，得1x <-或ln x a >.所以()f x 在(1,ln )-a 上单调递减，在(,1)-∞-，(ln ,)a +∞上单调递增. 综上所述：0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；10a e<<时，()f x 在(ln ,1)a -上单调递减，在(,ln )a -∞，(1,)-+∞上单调递增； 1a e =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；1a e>时，()f x 在(1,ln )-a 上单调递减，在(,1)-∞-，(ln ,)a +∞上单调递增.（2）因为()2xa f x x e x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以0x >时，()ln 12x f x ax x x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭等价于ln x e ax x >. 当(0,1]x ∈时，0x e >，ln 0x ≤，0e a <<，不等式ln x e ax x >恒成立；当(1,)x ∈+∞时，令1()ln x e g x x x -=-，则12(1)()x e x xg x x---'=， 令1()(1)x h x ex x -=--，则1()1x h x xe -'=-，令1()()1x x h x xeϕ-'==-，则1()(1)x x e x ϕ-'=+，因为当1x >时，()0x ϕ'>，所以()ϕx 单调递增， 所以()(1)0x ϕϕ>=，所以()0h x '>，()h x 单调递增， 因为(1)0h <，(2)0h >，所以存在0(1,2)x ∈，使()00h x =，即010011x e x x -=-，()0001ln ln 1x x x =---， 且()01,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增.所以()()()01min 0000001()ln 1ln 11x e g x g x x x x x x -==-=-----.令01x t -=，则(0,1)t ∈，1()ln t t t tω=--，(0,1)t ∈，因为()t ω在(0,1)t ∈时单调递减，且(1)0ω=，所以(0,1)t ∈时，()0t ω>，即min ()0g x >，所以()0>g x .所以1ln x e x x->，ln x e ex x >，又0a e <<，所以ln x e ax x >.即0a e <<，0x >时，()ln 12x f x ax x x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭成立. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及二次求导，属综合困难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(,0)A a ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且P 为AQ 的中点，求实数a 的值.【答案】（1）2213x y +=；y x a =-；（2）7或7-. 【解析】 【分析】（1）消去参数α可得曲线C 的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式展开，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得出直线l 的直角坐标方程.（2）点(,0)A a 在直线y x a =-上，设直线l的参数方程可设为,,x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线的直角坐标方程，利用参数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为曲线C的参数方程是,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 所以消去参数α得曲线C的直角坐标方程为2213x y +=. 因为cos 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos sin a ρθρθ-=， 将cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得y x a =-. 即直线l 的直角坐标方程为y x a =-.（2）因为点(,0)A a 在直线y x a =-上，所以直线l 的参数方程可设为,,x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将其代入2213x y +=得22230t a ++-=， 所以122t t a +=-，21232a t t -=. 因为P 为AQ 的中点，所以212t t =， 所以1223t t t +=，21222t t t =，所以()2212221229922t t t t t t +==，所以229322a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，解得2277a =，所以7a =或7a =-. 所以实数a的值为7或7-. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化、参数的几何意义，考查了考生的计算求解能力，属于基础题.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足4abc =，证明：（1）3334()a c b a c b a b c ++≥++；（2）33322211148a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据a ，b ，c 为正数，且4abc =，将不等式3334()a c b a c b a b c ++≥++转化为222a b c a b c b c a++≥++，再利用基本不等式结合不等式的性质证明； （2）根据a ，b ，c 为正数，且4abc =，直接利用基本不等式证明.【详解】（1）因为a ，b ，c 为正数，且4abc =.所以不等式3334()a c b a c b a b c ++≥++等价于333a c b a c b a b c abc++≥++，即等价于222a b c a b c b c a ++≥++. 因为a ，b ，c 为正数， 所以22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，所以2222()a b c a b c a b c b c a+++++≥++，即222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a b c ===. 所以a ，b ，c 为正数时，3334()a c b a c b a b c ++≥++成立.（2）因为a ，b ，c 为正数，且4abc =，所以原式≥2221113a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭348≥⨯===.当且仅当a b c ===. 所以a ，b ，c 正数时，33322211148a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. 【点睛】本题主要考查基本不等式证明不等式问题以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十）数学（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,2,4A =,{}2,0,2B =-, 则AB =( ) A. {}0,2B. {}2,4-C. []0,2D. {}2,0,2,4-【答案】D【解析】【分析】由并集运算求解即可【详解】由并集的定义，可得{}A B 2,0,2,4⋃=-.故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算,熟记并集定义是关键,是基础题2.已知a R ∈，i 是虚数单位，若z ai =，4z z ⋅=，则a 为（ ）A. 1或 1-B. 1C. 1-D. 不存在的实数【答案】A【解析】分析：根据共轭复数的定义先求出z ai =，再由4z z ⋅=，即可求出a详解：由题得z ai =，故2341z z a a ⋅=+=⇒=±，故选A.点睛：考查共轭复数的定义和复数的四则运算，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质能求出711a = ，利用等差数列前n 项和公式能求出a 2=-1，求得d,由此能求出a 5．【详解】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =，因为33S =，所以21a = ， 所以公差7225a a d ＝＝- ， 所以5237a a d =+=．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4.下列关于向量a ，b 的叙述中，错误的是（ ）A. 若220a b +=，则0a bB. 若k ∈R ，0ka =，所以0k =或0a =C. 若0a b ⋅=，则0a =或0b =D. 若a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅≤恒成立【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积，及向量的线性运算逐一判断。
2021-2022学年全国版天一大联考高考数学一模试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．已知0x >，a x =，22xb x =-，ln(1)c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<3．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m β D ．n ⊂α，m n ⊥4．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）5．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）A ．34- B ．34C ．43-D ．437．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米12．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(一)文科数学
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1、不等式21>+x 的解集为（ B ）A ．{}1|>x xB ．{}31|-<>x x x 或C ．{}13|<<-x xD ．{}13|<->x x x 或 2、若a b >，则下列不等式中正确的是（ D ）A ．()lg 0a b ->B ．22a b >C ．2a ab >D ．a a b b >3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位:C O ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()i i y x ,（20,2,1 =i ）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ D ） A ．y ＝a +bxB ．y ＝a +bx 2C ．y ＝a +be xD ．y ＝a +blnx4、在极坐标系中，θθρsin 3cos 42=表示的曲线是（ B ） A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆5、曲线C 的方程为3x 2+4y 2＝1，曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 43得到新曲线的方程为（C ）A ．1642722=+y xB ．1276422=+y xC ．14322=+y xD ．116922=+y x6、若直线()0,0022>>=+-b a by ax 过圆014222=+-++y x y x 的圆心，则ba 19+的最小值是（ A ）A ．16 B ．10 C ．21 D ．417、直线l 的方程为01=-+y x ，则极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛43,2π的点A 到直线l 的距离为（ B ） A ．2B ．22 C ．222- D ．222+ 8、若()0,2x π∈，则不等式cos cos x x x x +<+的解集为（ B ）A ．()0π，B ．322ππ⎛⎫⎪⎝⎭， C ．()2ππ，D ．544ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 9、已知：a 2+b 2＝1，x 2+y 2＝1，则ax +by 的取值范围是（ B ） A ．[]2,0B ．[]1,1-C ．[]2,2-D ．[]1,010、当R t ∈时，参数方程()为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2224448表示的图形是（ B ） A ．双曲线的一部分 B ．椭圆（去掉一个点） C ．抛物线的一部分 D ．圆（去掉一个点）11．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=222221，曲线C 的方程为y ＝x 2．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，P （﹣1，2），则=+PB PA （ A ）A ．10B ．10C ．2D ．212．已知10<<<b a ，则下列不等式一定成立的是（A ） A ．bba a ln ln > B ．1ln ln <baC ．b b a a ln ln <D ．b a b a >二、填空题13、曲线()为参数ααα⎩⎨⎧==sin 5cos 3:y x C 的离心率为 32 14、实数,x y 满足223412x y +=，则z x =+15．AOB ∆的一个顶点是极点O ，其他两个极点的极坐标是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6,32,8ππB A ,则AOB ∆的面积16、在极坐标系中，曲线C 的方程为032sin 10cos 82=+--θρθρρ,直线l 的方程为()R ∈=ρθθ0，,2tan 0=θ若l 与C 交于A ，B 两点，O 为极点，则=+OB OA 5528 ．三、解答题17、已知函数()12f x x x =++-． （1）求不等式()4f x <的解集；(2）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|＝．....................1分∵f （x ）＜4，∴ 或﹣1≤x ≤2或，....................4分∴2＜x ＜或﹣1≤x ≤2或﹣，....................5分∴，∴不等式的解集为{x |}．....................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）min ＝3．....................8分 ∵关于x 的不等式f （x ）＜a 的解集不是空集， ∴a ＞f （x ）min ....................9分 ∴a 的取值范围为（3，+∞）．....................10分 18、已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 4+=，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）Q P ,为曲线C 上两点，若,OQ OP ⊥，求2211OQOP+的值．解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2＝，根据，....................2分整理得x 2+4y 2＝4，转换为．....................5分（2） 曲线C 的极坐标方程为ρ2＝，所以，....................6分由于OP ⊥OQ ，设()⎪⎭⎫⎝⎛+2,,,παραρQ p Q P ，....................8分所以＝＝....................10分＝． ....................12分 19、已知函数()1+2f x x x =++． （1）求函数()f x 的最小值n ；（2）若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，求证：13ab bc ca ++≤. 解：（Ⅰ）f （x ）＝|x +1|+|x +2|≥|（x +1）﹣（x +2）|＝1，....................3分 当且仅当（x +1）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤-1时取等号，....................4分 ∴f （x ）的最小值n ＝1；....................6分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知n ＝1， ∴a +b +c ＝n ＝1，....................7分()12=++∴c b a1222222=+++++∴bc ac ab c b a ..................8分又ab b a 222≥+ ， ac c a 222≥+，bc c b 222≥+bc ac ab c b a ++≥++∴222当且仅当c b a ==时取等号....................10分 1)(3≤++∴bc ac ab31≤++∴bc ac ab ....................12分20、新型冠状病毒，因2019年病毒性肺炎病例而被发现，此病是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒，为此，某科研机构对戴口罩是否能有效预防传染进行跟踪研究，以下是新型冠状病毒肺炎患者及其家属在疫情期间是否戴口罩的统计数据所得列联表如下：（1）计算列联表中,,,a b d t的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为未感染与戴口罩有关系？附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．解：（1）a＝20﹣13＝7，....................1分t＝50﹣40＝10，....................2分b＝t﹣a＝10﹣7＝3，....................3分d＝30﹣b＝30﹣3＝27．....................4分故a＝7，b＝3，d＝27，t＝10．....................5分（2）K2＝....................7分＝...................8分＝4.6875＞3.841，....................10分故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为未感染与戴口罩有关系．....................12分21．在直角坐标系xoy 中，已知()2,0-P ，曲线C 的参数方程为()为参数ααα⎩⎨⎧=+=sin 4cos 42y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为016cos =+⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求PB PA -．解：（1）曲线C 的参数方程为（a 为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝16．....................2分 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ﹣）+1＝0．整理得，根据转换为直角坐标方程为．....................2分（3）直角坐标方程为转换为参数方程为（t 为参数），...................6分把直线的参数方程代入（x ﹣2）2+y 2＝16得到（t 1和t 2为A 、B 对应的参数）...................8分所以，t 1t 2＝﹣8，....................10分所以||PA |﹣|PB ||＝．....................12 分22．某企业为了参加上海的进博会，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据()()6,2,1, =i y x i i ，如表所示： 试销单价x /元 4 5 6 7 8 9 产品销量y /件q8483807568已知806161==∑=i i y y ．（1）求q 的值；（2）已知变量y x ,具有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=； （3）用i yˆ表示用正确的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值，当1ˆ≤-i i y y 时，将销售数据()i i y x ,称为一个“好数据”，现从6个销售数据中任取2个，求抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”的概率．参考公式：∑∑==-•-=ni ini ii x n xyx n yx b1221ˆ解：（1）由＝y i ＝80，求得q ＝90；....................2分（2），....................4分＝80+4×6.5＝106，....................5分∴所求的线性回归方程为＝﹣4x+106；....................6分（3）当x1＝4时，y1＝90；当x2＝5时，y2＝86；当x3＝6时，y3＝82；当x4＝7时，y4＝78；当x5＝8时，y5＝74；当x6＝9时，y6＝70．...................9分与销售数据对比可知满足|﹣y i|≤1（i＝1，2，…，6）的共有3个“好数据”：（4，90）、（6，83）、（8，75）．从6个销售数据中任意抽取2个的所有可能结果有＝15种，....................10分其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有3×3+3＝12种，....................11分于是从抽得2个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过80的概率为...................12.分．。
2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学(文)试题Word版含解析
2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}4,3,2,1,0,1,2,3U =----，集合{}0,1,3M =，{}4,2,0,2N =--，则()UM N =（ ）A ．{}3B ．{}0,1,3C ．{}4,2,0,2--D ．{}1,3【答案】D 【解析】求出UN 继而可求()UMN .【详解】 依题意，得{}3,1,1,3U N =--，故(){}1,3UMN =.故选:D. 【点睛】本题考查了集合的补集，考查了集合的交集运算.2．若在复平面内，复数z 所对应的点为(3,2)-，则(13)z i ⋅-=（ ） A ．311i -- B ．311i -C ．311i -+D ．311i +【答案】A【解析】由点的坐标写出32z i =-，从而可求出(13)z i ⋅-. 【详解】依题意，得32z i =-，则(13)(32)(13)3926311z i i i i i i ⋅-=-⋅-=---=--. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把2i 的值误当做1进行运算.3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B中的．56846故选：B．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（）A．44号B．294号C．1196号D．2984号【答案】B÷=人.故抽得的号码为以15【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可. 【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整-==⨯.其他选项均不满足.数倍.又294842101514故选：B【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.5．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【详解】 运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=，…；第九十八次，98i =，99lg98lg lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.6．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<. 故选：A. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 7．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D【解析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=，即223520a a b b -⋅-=.将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =- D ．121n n S -=-【答案】C【解析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯=，()1122112n n nS ⨯-==--.故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .9．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】因为22|sin()||sin |()66()x x f x f x --=== ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |()61f ππ==1110<-=-=,故排除B ,因为2|sin |2()()62f πππ=-=66>-4666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 10．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )22m x x x m <+<+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B．1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,⎛- ⎝⎭【答案】D【解析】运用辅助角公式、二倍角公式等对sin (cos )x x x +整理，得sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求出sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在02x π≤≤上的最值，令m 小于最小值，2m + 大于最大值即可求出m 的取值范围.【详解】依题意，得sin (cos )sin 223x x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.因为02x π≤≤所以42333x πππ≤+≤，所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.因为sin(cos)2m x x x m<<+恒成立，得21mm⎧<⎪⎨⎪+>⎩解得12m-<<-.故实数m的取值范围为1,⎛-⎝⎭.故选:D.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的最值问题，考查了不等式恒成立问题.对于求()siny Aωxφ=+在某区间上的最值问题时，先算出xωϕ+的范围，再结合正弦函数的图像，即可求出.11．已知点()00,M x y()00x y≠是椭圆C：2214xy+=上的一点，1F，2F是椭圆C的左、右焦点，MA 是12F MF∠的平分线.若1F B MA⊥，垂足为B，则点B到坐标原点O的距离d的取值范围为（）A．(0,1)B．30,2⎛⎫⎪⎝⎭C．D．(0,2)【答案】C【解析】延长2MF，1F B相交于点N，将所求||OB转化为121||2MF MF-，结合三角形边的关系，可知d的取值范围.【详解】解：延长2MF，1F B相交于点N，连接OB.由题意知MA平分12F MF∠.又因为1F B MA⊥，所以1||MN MF=，所以B为1F N的中点.因为O为12F F的中点所以2211||||||||22OB F N MN MF==-121211||22MF MF F F=-<=所以d的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义，考查了中位线定理.针对此类问题，根据经验采用临界条件可以起到事半功倍的效果.12．已知球O 的体积为36π，圆柱AA '内接于球O ，其中A ，A '分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱AA '的表面积的最大值为（ ） A ．185π B．9(15)π+C ．18(51)π-D ．9(51)π-【答案】B【解析】先求出球的半径，作出图形，利用三角函数表示出圆柱的表面积，结合函数的性质即可求最值. 【详解】解：设球O 的半径为R ，依题意，得34363R ππ=，解得3R =.根据题意画出图形，如下图所示.设MOA α'∠=，则圆柱底面半径为3sin α， 则圆柱的高为6cos α.因此圆柱AA '的表面积22(3sin )23sin 6cos S παπαα=⋅+⋅⋅9(1cos 22sin 2)παα=-+9[15sin(2)]9(15)παϕπ=+-≤+，其中1tan 2ϕ=.故圆柱AA '的表面积的最大值为9(15)π+. 故选:B.【点睛】本题考查了球的体积，考查了圆柱的表面积，考查了辅助角公式，考查了三角函数的最值.几何问题中，关于最值的问题，一般由两种解题思路：一是找到临界点进行求解；二是结合函数的思想，利用函数的图像、导数、函数的单调性等求函数的最值.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件21,24,20,y x x y y ≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为________.【答案】7【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =-过点(3,2)C -时，z 有最大值，max 7z =. 故答案为：7. 【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题. 14．函数()ln f x x x =的极小值为________. 【答案】1e-【解析】求出()ln 1f x x '=+，令导数为0，解出方程，从而可以看出()(),'f x f x 随x 的变化情况，继而可求极小值. 【详解】解：依题意，得()ln 1f x x '=+，(0,)x ∈+∞.令()0f x '=，解得1x e=. 所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '>.所以当1x e =时，函数()f x 有极小值1e -. 故答案为: 1e-.【点睛】本题考查了极值的求法.求函数极值时，一般先求出函数的定义域，接着求出导数，令导数为0解方程，探究函数、导数随自变量的变化.注意，导数为0的点不一定是极值点.极值点的不仅要满足导数为0，还要满足左右两侧函数单调性相反.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），直线l ：4x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若OAB ∆（点O 为坐标原点）的面积为32，且双曲线C的焦距为C 的离心率为________.【解析】用,a b 表示出OAB 的面积，求得,a b 等量关系，联立焦距的大小，以及222a b c +=，即可容易求得,a b ，则离心率得解. 【详解】联立4,x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得4y b =.所以OAB ∆的面积14816322S a b ab =⋅⋅==，所以2ab =. 而由双曲线C的焦距为c =225a b +=.联立解得1,2a b =⎧⎨=⎩或2,1,a b =⎧⎨=⎩故双曲线C.. 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题. 16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1(1)10n n na n a +-++=，且25a =.若2nn S m >，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(2,)+∞【解析】由1(1)10n n na n a +-++=得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=，两式相减可证明数列{}n a 为等差数列，继而可求出21n a n =+，令2n n n S b =，通过21132n n n n b b ++--=可知，当2n ≥时，数列{}n b 单调递减，故可求出{}n b 最大值，进而可求m 的取值范围.【详解】解：由1(1)10n n na n a +-++=，可得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=. 两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=，所以数列{}n a 为等差数列.当1n =时 由1(1)10n n na n a +-++=，得21210a a -+=，又25a =，解得13a =.所以21n a n =+，则2222n n nS n n +=.令2n n n S b =，则21132n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，10nnb b ，数列{}n b 单调递减，而132b =，22b =，3158b =故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为: (2,)+∞. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前n 项和，考查了数列的增减性.已知1,n n a a + 的递推关系时，求通项公式常采用累加法、累乘法、构造新数列，或者令1=+n n 将得到的式子与原式相减.三、解答题17．2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为14. （1）完善上述表格；（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析；（2）没有【解析】（1）由概率可求出认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的人数，结合男女各100人，即可求出表中所有数据.（2）代入求出2K 的观测值，进而可判断. 【详解】（1）依题意，得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为1200504⨯=. 完善表格如下表所示：（2）本次试验中，2K的观测值20(60504050)200 2.02 6.63510010011090k ⨯-⨯⨯=≈<⨯⨯⨯.所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了概率.易错点是计算观测值.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2【解析】（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆. 【详解】（1）由()22a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.所以由余弦定理，得222cos 122a b c C ab +-==.又因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得4sin sin 0c A b C -+=.由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =. 所以ABC ∆的面积113sin 143222S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19．如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，平面SAD ⊥平面ABCD ，SAD ∆是等边三角形.（1）求证：AD SB ⊥；（2）若SAD ∆的面积为3C 到平面SAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）4155【解析】（1）取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，结合等边三角形和菱形可证明SO AD ⊥，BO AD ⊥，从而可证明AD ⊥平面SOB ，进而可证AD SB ⊥.（2）由SAD ∆的面积为43SAD ∆的边长为4，由平面SAD ⊥平面ABCD 可知，SO ⊥平面ABCD ，则分别求出,ABC SAB ∆∆的面积以及SO 的长，利用S ABC C SAB V V --=可求出点C 到平面SAB 的距离. 【详解】（1）证明：取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，BD . 因为SAD ∆是等边三角形，O 是AD 的中点，所以SO AD ⊥.因为四边形ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，所以ABD ∆是等边三角形，所以BO AD ⊥. 因为SO BO O ⋂=，且SO ⊂平面SOB ，BO ⊂平面SOB ，所以AD ⊥平面SOB . 又因SB ⊂平面SOB ，所以AD SB ⊥.（2）解：设AD a =2343=4a =. 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，SO AD ⊥，所以SO ⊥平面ABCD . 记点C 到平面SAB 的距离为h ，则1133S ABC C SAB ABC SAB V V S SO S h --∆∆=⇔⋅⋅=⋅⋅. 易知3SO =3OB =在Rt SOB ∆中，由23OS OB ==，得2226SB SO OB +=SAB ∆边SB 22166102SB SA ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以126102152SAB S ∆=⨯=而13444322∆=⨯⨯⨯=ABC S ， 所以11432321533h ⨯=⨯.解得4155h =.即点C 到平面SAB 的距离为155. 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了棱锥体积的求解.证明线线垂直，可利用矩形的临边垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理证明，也可先证明线面垂直，进而可证线线垂直.在求点到平面的距离时，常用的思路有两个：一是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解；二是结合几何体的体积进行求. 20．已知函数21()ln 2f x mx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1m 时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）⎤⎥⎦【解析】（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；（Ⅱ）构造函数()y f x xlnx =-，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，21()ln 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1()2ln 2f x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 所以(1)2f '=. 又1(1)2f =，故所求切线方程为12(1)2y x -=-，即322y x =-.（Ⅱ）依题意，得21ln ln 2mx x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 即21ln ln 02mx x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立. 令21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()(21)(ln 1)g x mx x '=-+. ①当0m ≤时，因为1(1)02g m =≤，不合题意. ②当01m <≤时，令()0g x '=，得112x m =，21e x =，显然112em >. 令()0g x '>，得10x e <<或12x m>；令()0g x '<，得112x e m <<.所以函数()g x 的单调递增区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是11,2e m ⎛⎫⎪⎝⎭.当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，20mx x -<，ln 0x <，所以21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()221ln 02mx x x mx =-+>， 只需1111ln 02428g m m m m ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，所以m >， 所以实数m的取值范围为⎤⎥⎦. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.21．已知抛物线C ：22y px =（0p >）.（1）若抛物线C 的焦点到准线的距离为4，点A ，B 在抛物线C 上，线段AB 的中点为(3,2)D ，求直线AB 的方程；（2）若圆C '以原点O 为圆心，1为半径，直线l 与C ，C '分别相切，切点分别为E ，F ，求||EF 的最小值.【答案】（1）240x y --=；（2）【解析】（1）由距离为4可求出4p =进而可求出抛物线C 的方程.设()11,A x y ，()22,B x y ，代入到抛物线方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出AB 的斜率，结合直线的点斜式，可求出直线的方程.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠），与抛物线、圆的方程联立，结合相切，可求22pmt =-，221m t +=.设()00,E x y ，通过切点既在直线上又在抛物线上，可求出0y pm =，2002pmx my t =+=，从而2222220024||||||14EF OE OF x y m m =-=+-=++，结合基本不等式，可求出EF 有最小值. 【详解】解：（1）由抛物线C 的焦点到准线的距离为4，得4p =.所以抛物线C 的方程为28y x =.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112228,8.y x y x ⎧=⎨=⎩，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y y y x x -+=-.因为线段AB 的中点D 的坐标为(3,2)，所以124y y +=且12x x ≠.所以12121282y y x x y y -==-+.故直线AB 的方程为22(3)y x -=-，即直线AB 的方程为240x y --= 经检验240x y --=符合题意.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠）.代入22y px =，得2220y pmy pt --=.（）由直线l 与抛物线相切可知，22480p m pt ∆=+=，故22pm t =-.①又直线l 与圆221x y +=1=，即221m t +=.②联立①②，得24214p m m =+，故()22441m p m+=. 设()00,E x y ，解（）式可得，0y pm =，从而2002pmx my t =+=.故222220||||||1EF OE OF x y =-=+-24222241484p m p m m m=+-=++≥，当且仅当||m =EF有最小值，为【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了中点弦问题，考查了直线与圆锥曲线相切，考查了基本不等式.本题的难点在于计算量较大.对于中点弦问题，一般设出弦端点的坐标，带回方程，两式相减，通过整理，可得到弦的斜率和中点坐标的关系.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求11||||MP MQ +的值．【答案】（1）l ：20x =，C 方程为 2233144x y -=；（2）11|||||MP M Q +【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 【详解】(1)曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），两式相加得到4m x y =+，进一步转换为2233144x y -=． 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1，则(cos cos sin sin )133ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x =．（2）将直线的方程转换为参数方程为2212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233144x y -=得到23160t ++=（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），所以12t t +=-12163t t ⋅=，所以11|||||MP M Q +＝1212||||||||t t MP MQ MP MQ t t ++==． 【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23．已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由xyzx y z++＝13, 得1113yz xz xy++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥4当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴44xyz>，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵xyzx y z++＝13，即1113yz xz xy++=．∵1122 yz yzyz yz+⋅=，1122xz xzxz xz+⋅=，1122xy xyxy xy+⋅=，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴1116 xy yz xzxy yz xz+++++，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。
2021年高考全国乙卷数学(文科)试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2，3，4}2. 设iz =4+3i ，则z =( )A. −3−4iB. −3+4iC. 3−4iD. 3+4i3. 已知命题p ：∃x ∈R ，sinx <1；命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∧qC. p ∧￢qD. ￢(p ∨q)4. 函数f(x)=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( )A. 3π和√2B. 3π和2C. 6π和√2D. 6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4,x −y ≤2,y ≤3,则z =3x +y 的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. cos 2π12−cos 25π12=( )A. 12B. √33C. √22D. √327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( )A. 34B. 23C. 13D. 168. 下列函数中最小值为4的是( )A. y =x 2+2x +4B. y =|sinx|+4|sinx| C. y =2x +22−xD. y =lnx +4lnx9. 设函数f(x)=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( )A. f(x −1)−1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( )A. π2B. π3C. π4D. π611. 设B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A. 52B. √6C. √5D. 212.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，若a⃗//b⃗ ，则λ=______ ．14.双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y−8=0的距离为______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥2√s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM ． (1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ；(2)若PD =DC =1，求四棱锥P −ABCD 的体积．19. 设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n =na n 3，已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和.证明：T n <S n 2．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值．21.已知函数f(x)=x3−x2+ax+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】A【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2，3，4}，∴∁U(M∪N)={5}．故选：A．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由iz=4+3i，得z=4+3ii =(4+3i)(−i)−i2=−3i2−4i=3−4i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p：∃x∈R，sinx<1，当x=0时，sinx=0<1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y=e x为单调递增函数，故e|x|≥e0=1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢(p∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin x 3+cos x 3=√2sin(x 3+π4)， ∴T =2π13=6π．当sin(x3+π4)=1时，函数f(x)取得最大值√2； ∴函数f(x)的周期为6π，最大值√2． 故选：C ．化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =3x +y =4，解得A(1,3)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×1+3=6． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：cos 2π12−cos 25π12=1+cos π62−1+cos 5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 故选：D ．直接利用二倍角的余弦化简求值即可．本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7.【答案】B【解析】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为12−0=12， 构成该事件的区域长度为13−0=13， 所以取到的数小于13的概率P =1312=23．故选：B ．我们分别计算出区间(0,12)和(0,13)的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案． 本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8.【答案】C【解析】解：对于A ，y =x 2+2x +4=(x +1)2+3≥3， 所以函数的最小值为3，故选项A 错误；对于B ，因为0<|sinx|≤1，所以y =|sinx|+4|sinx|≥2√|sinx|⋅4|sinx|=4， 当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sinx|=2时取等号， 因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y =|sinx|+4|sinx|>4，故选项B 错误；对于C ，因为2x >0，所以y =2x +22−x =2x +42x ≥2√2x ⋅42x =4，当且仅当2x =2，即x =1时取等号， 所以函数的最小值为4，故选项C 正确；对于D ，因为当x =1e 时，y =ln 1e +4ln 1e=−1−4=−5<4，所以函数的最小值不是4，故选项D 错误． 故选：C ．利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，考查了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB 与AD 1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】A【解析】解：B 是椭圆C ：x 25+y 2=1的上顶点，所以B(0,1)，点P 在C 上，设P(√5cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)，所以|PB|=√(√5cosθ−0)2+(sinθ−1)2=√4cos 2θ−2sinθ+2 =√−4sin 2θ−2sinθ+6=√−4(sinx +14)2+254，当sinθ=−14时，|PB|取得最大值，最大值为52． 故选：A ．求出B 的坐标，设P(√5cosθ,sinθ)，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化求解距离的最大值即可．本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x =a 或x =b ，即x =a 及x =b 是f(x)的两个零点， 当a >0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a <b ；当a <0时，由三次函数的性质可知，要使x =a 是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：因为a⃗=(2,5)，b⃗ =(λ,4)，a⃗//b⃗ ，所以8−5λ=0，解得λ=85．故答案为：85．根据题意，由a⃗//b⃗ ，可得关于λ的方程，再求出λ即可．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】√5【解析】解：双曲线x24−y25=1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x+2y−8=0的距离为d=√12+22=√5．故答案为：√5．求出双曲线的右焦点的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB=P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；(2)解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P−ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD=BC=2a，取CP的中点为F.连接MF，AF，EF，AE，可得MF//PB，EF//DP，那么AM⊥MF.且EF=12.AE=√14+4a2，AM=√a2+1，AF=√EF2+AE2．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP=√2+4a2，则MF=√2+4a22；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2=AF2，解得a=√22．底面ABCD的面积S=√2，则四棱锥P −ABCD 的体积V =13⋅ℎ⋅S =13×1×√2=√23．【解析】(1)通过线面垂直即可证明；即只需证明AM ⊥平面PBD ．(2)根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD 即为四棱锥P −ABCD 的高，利用体积公式计算即可． 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(1)∵a 1，3a 2，9a 3成等差数列，∴6a 2=a 1+9a 3，∵{a n }是首项为1的等比数列，设其公比为q ，则6q =1+9q 2，∴q =13，∴a n =a 1q n−1=(13)n−1， ∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ． (2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ，∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1， T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，①∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，② ①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1，∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．20.【答案】(1)解：由题意知，p =2，∴y 2=4x ．(2)由(1)知，抛物线C ：y 2=4x ，F(1,0)，设点Q 的坐标为(m,n)，则QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−m,−n)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(9−9m,−9n)∴P 点坐标为(10m −9,10n)，将点P 代入C 得100n 2=40m −36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =n m =10n 25n 2+9=1025n+9n ≤13，当n =3时取最大值． 故答案为：13．【解析】(1)根据焦点F 到准线的距离为2求出p ，进而得到抛物线方程，(2)设出点Q 的坐标，按照向量关系得出P 点坐标，再代入抛物线方程中，利用基本不等式即可求出最值．本题考查抛物线的性质，考察基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−2x +a ，△=4−12a ，①当△≤0，即a ≥13时，由于f′(x)的图象是开口向上的抛物线，故此时f′(x)≥0，则f(x)在R 上单调递增；②当△>0，即a <13时，令f′(x)=0，解得x 1=1−√1−3a 3,x 2=1+√1−3a 3， 令f′(x)>0，解得x <x 1或x >x 2，令f′(x)<0，解得x 1<x <x 2，∴f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)单调递增，在(x 1,x 2)单调递减；综上，当a ≥13时，f(x)在R 上单调递增；当a <13时，f(x)在(−∞,1−√1−3a 3),(1+√1−3a 3,+∞)单调递增，在(1−√1−3a 3,1+√1−3a 3)单调递减． (2)设曲线y =f(x)过坐标原点的切线为l ，切点为(x 0,x 03−x 02+ax 0+1),f′(x 0)=3x 02−2x 0+a ，则切线方程为y −(x 03−x 02+ax 0+1)=(3x 02−2x 0+a)(x −x 0)，将原点代入切线方程有，2x 03−x 02−1=0，解得x 0=1，∴切线方程为y =(a +1)x ，令x 3−x 2+ax +1=(a +1)x ，即x 3−x 2−x +1=0，解得x =1或x =−1， ∴曲线y =f(x)过坐标原点的切线与曲线y =f(x)的公共点的坐标为(1,a +1)和(−1,−a −1)．【解析】(1)对函数f(x)求导，分a ≥13及a <13讨论导函数与零的关系，进而得出f(x)的单调性情况；(2)先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线y =f(x)联立，即可求得公共点坐标．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1，⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)． (2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0，圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33， 所以切线方程为y =±√33(x −4)+1， 因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|={−2x −2,x ≤−34,−3<x <12x +2,x ≥1，∵f(x)≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3<x <1 4≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤−4或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x −a|+|x +3|≥|x −a −x −3|=|a +3|，若f(x)>−a ，则|a +3|>−a ，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−3，2,+∞)．即a的取值范围是(−32【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(一)文科数学
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，{}2650B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3,42．下列函数中是奇函数，且在()0,+∞上单调递增的是（ ）.A 1y x =.B y x = .C 2x y = .D 3y x =3．已知函数()[]()()221,0,1,1,3x x f x x b x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，5(0)2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数b =（ ）A ．1B ．52C ．3D ．44．已知：函数()()22f x x k x =+-是[)1,+∞上的增函数，则k 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞5．方程2=-x e x 在实数范围内的解有（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 36．已知352a =，253b =，135c -=，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．函数()()213log 6f x x x =-++的单调递减区间为（ ）A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形9．当),0(+∞∈x 时,幂函数352)1(----=m x m m y 为减函数, 则实数m 的值为( ).A 2=m .B 1-=m .C 21=-=m m 或 .D 251±≠m 10．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．关于函数()3sin(2)13f x x π=-+（x ∈R ），下列命题正确的是A ．由12()()1f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成3cos(2)16y xπ=++ C ．()y f x =的图象关于点(,1)6π对称D ．()y f x =的图象关于直线34x π=对称 12．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R x ∈都有()()4+=x f x f ，当()2,0∈x 时,若()x x f 2=,则(2015)(2012)f f +的值为（）.A 2- .B 1- .C 12.D 32+第II 卷（非选择题）二、填空题（每空5分，共20分）13．函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 。
2021届全国天一大联考新高考模拟考试(十)数学(文)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟考试（十）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，集合{}2B x x =<，则A B =( ) A. RB. ∅C. [1,2]D. [1,2) 【答案】D【解析】【分析】先分别求得集合A 和集合B ，再计算A B ，即可得到答案.【详解】由集合{A x y ==得10x -≥，解得1x ≥， ∴[)1,+A =∞， 由集合{}2B x x =<得2x <，解得22x -<<， ∴()2,2B =-，∴[)1,2A B ⋂=.故选：D.【点睛】本题考查了集合的描述法以及集合的交集运算，属于基础题.2.若复数z 在复平面内的对应点为()1,1-，则1i z +的虚部为（ ） A. i -B. 1-C. 0D. 1 【答案】B【解析】 【分析】由题得1z i =-，化简1iz i =-+，即得复数的虚部. 【详解】由题得1z i =-，所以21(1)21i 1(1)(1)2z i i i i i i i ---====-+++-. 所以1iz +的虚部为1-. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.有一枚旅游纪念币如图所示，经过测量，其直径为22毫米，为了测算图中长城和山部分的面积，现向硬币内随机投掷20粒芝麻，若恰好有8粒芝麻落在长城和山内，可估计长城和山部分的面积大约是（ ）A. 2242mm 5πB. 2363mm 10πC. 2363mm 20πD. 2726mm 5π 【答案】A【解析】【分析】由条件求出芝麻落在长城和山内的概率为82205P ==,设长城和山部分的面积为S ，则22115S π=⨯⨯，可得答案.【详解】由向硬币内随机投掷20粒芝麻，若恰好有8粒芝麻落在长城和山内可得芝麻落在长城和山内的概率为82205P ==. 设长城和山部分的面积为S ，则222511S S P r ππ===. 所以222421155S ππ=⨯⨯= 故选：A【点睛】本题考查几何概率问题，根据几何概率估算面积，几何概率注意有面积型、长度型和体积型，，本题重点在于转化思想的应用，属于中档题.4.函数()2lg x f x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】采用排除法，根据函数奇偶性，可知该函数为奇函数，然后取特殊值2x =，可知结果.【详解】由题可知：函数的定义域为{}0x x ≠由()()22lg lg --==--x x f x x x ，所以()()f x f x -=- 故该函数为奇函数，排除A,C取特殊值2x =，则()lg 42lg 202==>f ，故D 正确，B 错 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的性质判断函数的大致图像，此种题型常考虑：定义域、奇偶性、单调性、对称性、最值、特殊值，考验对问题的分析能力，属基础题.5.若sin 3sin 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 310 B. 310- C. 34 D. 34- 【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】sinx ＝3sin （x-π2）＝﹣3cosx ， 解得：tanx ＝﹣3，所以：cosxcos （x π2+）＝﹣sinxcosx=222sinxcosx tanx sin x cos x 1tan x ﹣-=++=310， 故选A ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式,同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：4x =交C 于A ，B 两点，则ABF 的周长等于（ ）A. 16B. 18C. 20D. 26【答案】B【解析】【分析】联立24y x =和4x =，求出A ，B 两点坐标，则ABF 的周长可求.【详解】解：()1,0F ，把4x =代入24y x =，得()()4,4,4,4,4y A B =±-，由对称性知，5AF BF ===，8AB =，则ABF 的周长等于18故选：B .【点睛】考查求直线和抛物线交点以及两点间的距离，同时考查学生的运算求解能力；基础题. 7.程序框图如下图所示，运行此程序，输出的i 值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】模拟运行程序，即可得出答案. 【详解】72036,2,36602s i =+==<123648,3,48606s i =+==<724854,4,546012s i =+==<725457.6,5,57.66020s i =+==<7257.660,6,606030s i =+===，满足条件，输出6i =故选：C【点睛】本题主要考查了循环结构框图计算输出值，属于中档题.8.对于函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以下四个结论：①最小正周期是π； ②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数； ④一个对称中心为,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】对①，该函数的最小正周期为22T ππ==，故①正确； 对②，当3x π=时，2sin sin 1362y πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则该函数的一条对称轴为3x π=，故②正确； 对③，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故③错误； 对④，当12x π=时，sin 066y ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则该函数的一个对称中心为,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故④正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2e f x f x +=-（其中e 2.7182=…），且在区间[]0,e 上是增函数，令eln3a =，eln 4b =，eln5c =，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系为（ ） A . ()()()f b f a f c >>B. ()()()f b f c f a >>C. ()()()f a f b f c >>D. ()()()f a f c f b >>【答案】C【解析】【分析】 根据题意可画出()f x 的简图，进而分析可得函数在区间[],2e e 上的单调性，进而得出()f a ，f b ，()f c 的大小关系即可.【详解】因为()()2f x e f x +=-，所以()()()42f x e f x e f x +=-+=，即()f x 周期为4e .因为()f x 为奇函数且()()2e f x f x +=-，作一个周期[]2,2e e -内的示意图，易得()f x 在[]0,e 单调递增，在[],2e e 上单调递减.又ln3ln 4ln52e e e e e <<<<，故()()()f a f b f c >>.故选：C【点睛】函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T ,则()()f x f x T =+10.在ABC 中，1AB =，2AC =，若0AB AC ⋅=，动点D ，E 满足1AD =且DE EC =，则BE 的最大值为（ ） A. 212 B. 2212 C. 3212 D. 312【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到AB AC ⊥，以A 点为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，求出点E 的轨迹方程，再由定点与圆位置关系，即可求出结果.【详解】因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，以A 点为坐标原点，以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为1AB =，2AC =，则()10B ,，()0,2C ，()0,0A ， 又动点D ，E 满足1AD =且DE EC =，设()00,D x y ，(),E x y ，则22000010222x y x x y y ⎧⎪+=⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，所以2200001222x y x x y y ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，因此()224221x y +-=，即()22114x y +-=， 因此点E 的轨迹是以()0,1为圆心，以12r =为半径的圆， 又()0,1与点()10B ,的距离为()()2201102d =-+-=， 所以max 122BE d r =+=+. 故选：A.【点睛】本题主要考查求向量模的最值问题，利用建系的方法，将其转化为求定点到圆上距离的最值问题即可，属于常考题型.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若60A ∠=︒，1b >，12c a =+，当ABC 的周长最短时，b 的值为（ ）A. 22B. 2C. 212+D. 12+【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21241-+=-b b a b ，计算周长可得()()3931212-++-b b ，然后使用基本不等式并得到周长取最小值的条件，可得结果.【详解】由题可知：60A ∠=︒，12c a =+ 则2222cos a b c bc A =+-， 所以2221122⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+a a b a b ， 又1b >，所以21241-+=-b b a b ，记ABC 的周长为l 则21242112-+=++=⋅+-+b b l a b c b b 则()()39993121222=-++≥=+-l b b当且仅当()()3311212-=⇒=+-b b b 或12-（舍）取等号 所以当ABC 的周长最短时，b 的值为12+故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到21241-+=-b b a b ，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题. 12.设n *∈N ，函数()ln n x f x x =，函数()e xn g x x =（0x >）.若函数()y f x =与函数()y g x =的图象分别位于直线1y =的两侧，则n 的取值集合为（ ）A. {}1,2B. {}2,3C. {}1,3D. {}1,2,3【答案】A【解析】【分析】由(1)1(1)f g <<，故有()1()f x g x <<，先用导数研究函数的单调性求得()f x 的最大值，()g x 的最小值，再max min ()1()f x g x <<，求得n 的取值范围，又*n N ∈，求出n 的取值范围. 【详解】由ln ()n x f x x=，11ln ()(0)n n x f x x x +-'∴=>， 由 ()0,f x '> 可得 10,n x e << 由()0,f x '<可得1n x e >，则函数()f x 在 10,n e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,n e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 上单调递減， 则1nx e = 时，函数()f x 有最大值11n f e ne ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 由(),(0),x n e g x x x => 得1()()(0)xn x n e g x x x +-'=>， 由 ()0,g x '> 可得 ,x n >由()0,g x '<可得0x n <<则函数 ()f x 在 (0,)n 上单调递減 ,(,)n +∞ 上单调递增，则x n = 时，函数()g x 有最小值()ne g n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭由(1)1(1)f g <<，由题定有11n e ne n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得1n e e <<，又*n N ∈， 故n 为1,2.故选：A【点睛】本题考查了函数与导数的应用，利用导数研究函数的单调性并求得函数的最值，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知()2log ,0,21,0,x x x f x x ->⎧=⎨-+<⎩则方程()3f x =的解是x =______. 【答案】8【解析】【分析】采用分类讨论进行求解，结合对数方程以及指数方程的解法，可得结果. 【详解】由题可知：①208log 3x x x >⎧⇒=⎨=⎩，②0213x x x -<⎧⇒∈∅⎨-+=⎩故方程()3f x =的解是8x = 故答案为：8【点睛】本题考查根据分段函数解析式，给出函数值求解，关键在于分类讨论方法的使用，审清题意，细心计算，属基础题.14.在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12A A AB ==，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的体积为______.【答案】3【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再设三棱柱外接球的球半径为R ，利用在直角三角形ADO 中的边的关系求出球半径，最后利用球的体积公式计算即可求出结果.【详解】解：设三棱柱外接球的球心为O ，球半径为R .因为AC BC ⊥，取AB 中点D ,11A B 中点1D ,则ABC 外接圆的圆心为D ，如图： 在直三棱柱111ABC A B C -中，1DD ⊥面ABC ， 因为12A A AB ==，1112OD A A ==,112AD AB ==, 所以2222OA OD AD =+=,即R =则这个三棱柱的外接球的体积为34V 33R π=⨯=.故答案为：3【点睛】本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查计算能力,属于基础题.15.在等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且112m a a -=，则{}n a 的通项公式为n a =______. 【答案】218n -+ 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式以及性质得出1413S m S m +==-奇偶，从而得出4,m a 的值，再求出1,a d ，即可得出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d()113121140222m m m a a m m S a a a a ++++=++⋯+=⋅==奇 ()21241121130222m m m a a m m S a a a a --++--=++⋯+=⋅==偶1413S m S m +∴==-奇偶，解得7m =，且410a = 1712a a -=()111310612a d a a d +=⎧∴⎨-+=⎩，解得1162a d ==-⎧⎨⎩162(1)218n a n n ∴=--=-+故答案为：218n -+【点睛】本题主要考查了求等差数列奇数项或偶数项的和，等差数列通项公式的基本量的计算，属于中档题.16.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，AB OB ⊥，BF //OA （O 为坐标原点），若C 的焦距为4，则C 的方程为______.【答案】2213x y -=【解析】 【分析】根据BF //OA ，可知直线BF 的方程并可得B 点坐标，由AF x ⊥轴可得A 点坐标，然后计算,AB OB 坐标，利用=0⋅AB OB 以及,,a b c 关系可得结果. 【详解】由题可知：2c = 由AF x ⊥轴，设,bc A c a ⎛⎫⎪⎝⎭又BF //OA ，直线BF 的方程为()by x c a=- ()22b c y x c x a bc b y y x a a ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩，则,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以3,,22,22⎛⎫=--= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭c bc c bc AB OB a a 又AB OB ⊥，所以=0⋅AB OB ，则22223044-+=c b c a ，所以2222231==-⇒=b a c b b 所以23a =，则C 的方程为2213x y -=故答案为：2213x y -=【点睛】本题考查双曲线方程的求解，关键在于找到,,a b c 之间的等式关系，圆锥曲线的方程，离心率是常考题型，审清题意，寻找,,a b c 之间的等式关系，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 2nn a =;(2) ()1122n n T n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）由题意结合递推关系式可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =. （2）由题意结合(1)的结论可得2nn b n =⋅.错位相减可得数列{}n b 的前n 项和()1122n n T n +=-⋅+.【详解】（1）22n n S a +=①1122n n S a --∴+= ()2n ≥ ②①-②得1122n n n n n S S a a a ---=-=，则12nn a a -= ()2n ≥， 在①式中，令1n =，得12a =.∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴ 2n n a =.（2）2n n b n =⋅. 所以123122232n T =⋅+⋅+⋅+ ...+ ()1122n n n n --⋅+⋅，③则 2n T = 231222...⋅+⋅++ ()122n n --⋅+ ()1122n n n n +-⋅+⋅，④ ③-④得， 23222n T -=++ 11...222n n n n -++++-⋅，()1212212nn n +⋅-=-⋅-()12122n n n +=-⋅--⋅()1122n n T n +∴=-⋅+.【点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．18.千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息.在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛传知；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则.使得“千里眼”“顺风耳”变为现实……此时此刻，5G 的到来即将给人们的生活带来颠覆性的变革，“5G 领先”一方面是源于我国项层设计的宏观布局，另一方面则来自于政府高度重视、企业积极抢滩、企业层面的科技创新能力和先发优势.某科技创新公司基于领先技术的支持，丰富的移动互联网应用等明显优势，随着技术的不断完善，该公司的5G 经济收入在短期内逐月攀升，业内预测，该创新公司在第1个月至第7个月的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如下表：时间（月份） 1 2 3 4 5 6 7 收入（百万元） 6 11213466101196根据以上数据绘制散点图：（1）为了更充分运用大数据、人工智能、5G 等技术，公司需要派出员工实地考察检测产品性能和使用状况，公司领导要从报名的五名科技人员A 、B 、C 、D 、E 中随机抽取3个人前往，则A 、B 同时被抽到的概率为多少？（2）根据散点图判断，y ax b =+与xy c d =⋅（a ，b ，c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你判断结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程；（3）请你预测该公司8月份的5G 经济收入. 参考数据：71i i y =∑71lg ii y=∑71i ii x y =∑71i ii x v=∑0.45100.5410462 10.78 2711 50.12 2.823.47其中设lg v y =，lg i i v y = 参考公式：对于一组具有线性相关系的数据(),i i x v （1i =，2，3，…，n ），其回归直线v x βα=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni i i nii x v nxvxnxβ==-=-∑∑，v x αβ=-.【答案】（1）()310P Q =；（2）0.253.4710x y =⨯；（3）347百万元. 【解析】 【分析】（1）这是一个古典概型，先列出从报名的科技人员A 、B 、C 、D 、E 中随机抽取3个人则所有的基本事件数，再找出A 、B 同时被抽到的基本事件数，代入公式求解.（2）根据散点图的图形特征，可判断，xy c d =⋅适宜作为5G 经济收入y 关于月代码x 的回归方程类型；然后两边同时取常用对数()1111xgy g c dgc gd x =⋅=+⋅，再令1gy v =，利用最小二乘法求解回归方程.（3）将8x =代入（2）中的回归方程，可得8月份的预测值.【详解】（1）从报名的科技人员A 、B 、C 、D 、E 中随机抽取3个人则所有的情况为：{},,A B C ，{},,A B D ，{},,A B E ，{},,A C D ，{},,A C E ，{},,A D E ，{},,B C D ，{},,B C E ，{},,B D E ，{},,C D E ，共10种.记“A 、B 同时被抽到”为事件Q ，则事件Q 包含基本事件{},,A B C ，{},,A B D ，{},,A B E ，基本事件共3种， 故()310P Q =. （2）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为5G 经济收入y 关于月代码x 的回归方程类型； x y c d =⋅，两边同时取常用对数得：()1111xgy g c dgc gd x =⋅=+⋅；设1gy v =，11v gc gd x ∴=+⋅，()1123456747x =++++++=， 7711111lg 10.78 1.54777i i i i v v y ==∴===⨯=∑∑，72222222211234567140i i x ==++++++=∑， 7172221750.1274 1.547lg 0.2514074287i i i i i x v x yd x x==--⨯⨯∴====-⨯-∑∑，把样本中心点()4,1.54代入11v gc gd x =+⋅，得：1.54lg 0.254c =+⨯， lg 0.54c ∴=， 0.540.25v x ∴=+，lg 0.540.25y x ∴=+，∴y 关于x 的回归方程：0.540.250.2510 3.4710x x y +==⨯.（3）当8x =时，0.540.250.25810 3.4710347x y +⨯==⨯=， 所以预测8月份的5G 经济收入为347百万元.【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法，拟合函数以及回归方程的求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AD AB ⊥，//AD BC ，2BC AD =，AEB △为等边三角形，点F 为棱EB 上的点.（1）若F 为中点，求证：//AF 平面DEC ；（2）若2AB BC ==，5DE F DEC -的体积为36，求EF FB 的值.【答案】（1）见解析；（2）13. 【解析】 【分析】（1）取EC 中点M ，连结FM ，DM ，易得ADMF 是平行四边形，则//AF DM ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）易知222EA AD ED +=，则AD AE ⊥，又AD AB ⊥，利用线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面ABE ，再由//AD BC ，得到平面BEC ，即A 、D 到平面BEC 距离相等，再利用等体积法F DEC D FEC A FEC C FEA V V V V ----===解得EF 即可.【详解】（1）如图所示：取EC 中点M ，连结FM ，DM////AD BC FM ，12AD BC MF ==， 所以ADMF 是平行四边形，//AF DM ∴AF ⊄平面DEC ，DM ⊂平面DEC ， //AF ∴平面DEC .（2） 因为2AB BC ==，5DE ，2BC AD =，AEB △为等边三角形， 所以2,1EA AD ==222EA AD ED ∴+=，AD AE ∴⊥，又AD AB ⊥，AB AE A =，AD ∴⊥平面ABE ，又//AD BC ， 所以CB ⊥平面ABEAD ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，//AD ∴平面BEC ，即A 、D 到平面BEC 距离相等， 所以F DEC D FEC A FEC C FEA V V V V ----===1112233226AEF S BC EF =⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=△ 解得12EF =， 所以1121322EF FB ==-. 【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直的判定定理以及等体积法的应用和分点问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点为()0,1F ，以原点O 为圆心，椭圆E 的短半轴长为半径的圆与直线3 450x y ++=相切. （1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，点P 的坐标为()0,2，直线PM 与x 轴交于A 点，直线PN 与x 轴交于B 点，求证：PA PB =.【答案】（1）2212y x +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切列出对应方程，再结合椭圆的基本知识计算求解即可；（2）先讨论l 与y 轴重合时的情况，再在l 与y 轴不重合的情况下，设()11,M x y ，()22,N x y ，l 的方程为1y kx =+，将之与椭圆方程联立，得到韦达定理.解法一：利用韦达定理化简证明0PA PB k k +=，从而证明出PA PB =；解法二：设()3,0A x ，()4,0B x ，PA ：1122y y x x -=+，PB ：2222y y x x -=+，然后根据方程求出34,x x ，再结合韦达定理证明340x x +=，从而证明出PA PB =.【详解】（1）由已知得1b ==，1c =，因此a =所以椭圆E 的方程为2212y x +=.（2）解法一：①当l 与y 轴重合时，由题意知PA PO PB ==.②当l 与y 轴不重合时，设l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则10x ≠，20x ≠，直线PA ，PB 的斜率之和为121222PA PB y k x x y k --+=+， 由111y kx =+，221y kx =+得()121212121222PA PB x x x x x k k k xx k x x x -+++==-，将1y kx =+代入2212y x +=，得()222210k x kx ++-=，()222442880k k k ∆=++=+>，所以12222k x x k +=-+，12212-=+x x k ， 所以PA PB k k +=122212222222012k x x k k k k x k x k -++-=-=-=-+， 从而0PA PB k k +=，故PA ，PB 的倾斜角互补， 所以OAP OBP ∠=∠，因此PA PB =. 综上所述，PA PB =. 解法二：①当l 与y 轴重合时，由题意知PA PO PB ==.②当l 与y 轴不重合时，设l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则10x ≠，20x ≠，将1y kx =+代入2212y x +=得()222210k x kx ++-=.()222442880k k k ∆=++=+>，所以12222k x x k +=-+，12212-=+x x k .设PA ：1122y y x x -=+，PB ：2222y y x x -=+，()3,0A x ，()4,0B x 易知12y ≠，22y ≠， 在1122y y x x -=+中，令0y =得13122x x y =--， 在2222y y x x -=+中，令0y =得24222x x y =--， 于是()()()1221121234121222222222x y x y x x x x x x y y y y +-++=--=-----， 由111y kx =+，221y kx =+得()()()()()()122112121234121222222222x y x y x x kx x x x x x y y y y +-+-++=-=-----， 由于()1212221222022k kx x x x kk k --+=+=++，因此340x x +=， 所以点A 与点B 关于原点O 对称，而点P 在y 轴上，因此PA PB =.综上所述，PA PB =.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的综合运用，解题关键是将线段问题进行转化，从而利用坐标表示，进而结合韦达定理化简求解.需要学生具备一定的计算分析能力，有一定难度. 21.已知函数()21ln 2a f x x x =--. （1）若函数()f x 在()()22f ,处的切线斜率为2，试求a 的值及此时的切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]1,e （其中 2.71828e =…为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）8a =，214ln 20x y ---=；（2）{4a a ≤或22(e 1)}a >-.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义求解即可；（2）讨论参数a 的值，确定函数()f x 在区间[]1,e 的单调性，从而根据零点的个数，得出实数a 的取值范围.【详解】（1）由()24222a x a x x x xf ='-=-，（0x >）. 由已知()4422f a =-='. 可得：8a =又此时()414ln 24223ln f =--=-.所以所求的切线方程为：()()34ln 222y x --=-.即：214ln 20x y ---= （2）()24222a x a x x x xf ='-=-，其中[]1,x e ∈ ①当4a ≤时，0f x 在区间[]1,e 恒成立，() f x 在区间[]1,e 单调递增又∵()10f =，∴函数()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，符合题意.②当24a e ≥时，()0f x '≤在区间[]1,e 恒成立，()f x 在区间[]1,e 单调递减又∵()10f =，∴函数() f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，符合题意.③当244a e <<时（i ）12x ≤<时，0f x ，()f x 单调递减又∵()10f =，()10f f ∴<=⎝⎭，∴函数()f x 在区间⎡⎢⎣⎦上有唯一的零点（ii x e <≤时，0f x ，()f x 单调递增∴要使()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点，只有当()0f e <时符合题意 即2102a e --<，即()221a e >- ∴()22214e a e -<<时，函数()f x 在区间[]1,e 上有唯一的零点； ∴综上a 的取值范围是{4a a ≤或22(e 1)}a >-. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-，直线1l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），2παπ<<，点A 为直线1l 与曲线C 在第二象限的交点，过O 点的直线2l 与直线1l 互相垂直，点B 为直线2l 与曲线C 在第三象限的交点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程及直线1l 的普通方程；（2）若OA OB =，求OAB 的面积.【答案】（1）244y x =+，tan y x α=.（2παπ<<）；（2）12OAB S =-△.【解析】【分析】（1）根据cos x ρθ=，222x y ρ=+得出曲线C 的直角坐标方程，消掉参数t 得出直线1l 的普通方程；（2）根据极坐标中极径的意义以及三角形的面积公式，即可得出OAB 的面积.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程化为cos 2ρρθ=+，cos x ρθ=，222x y ρ=+∴曲线C 的直角坐标方程为244y x =+.直线1l 的普通方程为tan y x α=.（2παπ<<）（2）射线OA 的极坐标方程为θα=，（2παπ<<），则21cos OA α=- 射线OB 的极坐标方程为2πθα=+，（2παπ<<），则 221sin 1cos 2OB παα==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 由OA OB =得221cos 1sin αα=-+，2παπ<<，解得：34πα=故2114122212OAB S OA OB ===-⎛+ ⎝⎭△【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，利用极坐标求三角形的面积，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.【答案】（1）{}03I x x =<<；（2）见解析.【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，求出各段的范围，然后取并集，可得结果.（2）根据不等式2++≥≤a b a b ，化简式子，可证明该结果. 【详解】（1）当1x ≤时，原不等式化简为323-<x ，即01x <≤；当12x <≤时，原不等式化简为13<，恒成立，即12x <≤；当2x >时，原不等式化简为233x -<，即23x <<. 综上，原不等式的解集{}03I x x =<<.（2）当a ，b ，c I ∈时，a ，b ，c ，3a -，3b -，3c -均为正数， 令111111111333=+++++---T a b b c c a则≤T ()()()33394444+-+-+-≤++=a b b c c a T . 当且仅当32===a b c 时，取等号 【点睛】本题考查绝对值不等式解法以及基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法（或零点分段法），同时善于观察，识记基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等，属中档题.。