第三章测度论

第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。

几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。

（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 nE R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。

下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E = 思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =+⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。

（3）次可数可加性**11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑证明：对任意的0ε>,由外测度的定义知，对每个n A 都有 一列开区间（即用一开区间{}nm I 列近似替换n A ）12,,,,n n nm I I I 使得1n nm m A I ∞=⊂⋃且**1||2n nm n nm m A I m A ε∞=≤≤+∑从而111n nm n n m A I ∞∞∞===⋃⊂⋃⋃，且**,11111||||()2nmnm n n nn m n m n n II m A m A εε∞∞∞∞∞======≤+≤+∑∑∑∑∑可见**1111()||n nm n n n m n m A I m A ε∞∞∞∞====⋃≤≤+∑∑∑由ε的任意性，即得**11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界（2）外测度的次可数可加性的等号即使,A B 不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:若(,)0d A B >则*()()()m A B m A m B **⋃=+当区间i I 的直径很小时候，区间i I 不可能同时含有A ，B 中的点从而把区间列i I 分成两部分，一部分含有A 中的点，一部分含有B 中的点.例2 对任意区间I ，有||m E I *=.思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？ 此例说明Lebesgue 外测度某种程度是区间长度概念的推广例3 Cantor 集的外测度为0.证明：令第n 次等分后留下的闭区间为()1,2,2n n iI i =从而222**()()11112()()||033nnnnn n i i n i i i m P m I I ===⎛⎫≤⋃≤≤=→ ⎪⎝⎭∑∑0m P *=故注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.——————————————————————————————作业：P75 1, 2练习题1 如果将外测度的定义改为“有界集E 的外测度是包含E 的闭集的测度的下确界.”是否合理？2 设A B ⋂=∅，问在什么条件下有**()m A B m B +=3 对于有界集1E R ⊂，是否必有*m E <+∞？4设E 是直线上的一有界集，0m E *>，则对任意小于m E *的正数c ，恒有子集1E ，使1m E c *=§2 可测集合教学目的1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.2、掌握并能运用可测集的性质.本节要点 学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.本节难点 用Caratheodory 条件验证集合的可测性. 授课时数 4学时——————————————————————————————Lebesgue 外测度(外包)11inf{||:i ii i i m E I E I ∞∞*===⊂⋃∑且I 为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使n A 两两不交) **11()n n n n m A m A ∞∞==⋃≤∑一、可测集的定义若,nT R ∀⊂有*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂（Caratheodory 条件），则称E 为Lebesgue 可测集，此时E 的外测度称为E 的测度，记作mE .注：Lebesgue 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法.例1：零集E 必为可测集证明：nT R ∀⊂，有***()()()()()cm T m T E m T E m E m T m T ***≤⋂+⋂≤+≤ 从而*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂即E 为可测集。

二、Lebesgue 可测集的性质（1）集合E 可测（即*,()()ncT R m T m T E m T E **∀⊂=⋂+⋂有,,c A E B E ⇔∀⊂⊂有*()()()m A B m A m B **⋃=+证明：(充分性）n T R ∀⊂，,c A T E B T E =⋂=⋂令即可(必要性)令T A B =⋃（2）若,,i A B A 可测，则下述集合也可测11,,,,,ci i i i A A B A B A B A A ∞∞==⋃⋂-⋂⋃即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭； 若A B ⋂=∅，则nT R ∀⊂，有*(())()()m T A B m T A m T B **⋂⋃=⋂+⋂注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得 若i A 两两不交，则（测度的可数可加性）11()i i i i m A mA ∞∞==⋃=∑若,A B 可测，,,A B mA ⊂<+∞则有可减性()m B A mB mA -=-证明：由可测集的定义：n T R ∀⊂有*()()cm T m T E m T E **=⋂+⋂ 易知c A 可测若A B ⋃可测已证明，则易知()cc cA B A B ⋂=⋃，c A B A B -=⋂也可测。

若当i A 为两两不交时，1i i A ∞=⋃可测已证明，则通过令11n n n i i B A A -==-⋃可把一般情形转化为两两不交的情形，通过取余即可证明1ni i A =⋂下面证明若,A B 可测，则A B ⋃可测 证明：nT R ∀⊂，有*(())(())c m T m T A B m T A B **≤⋂⋃+⋂⋃**((1)(2))((3)(4))m m m m **≤+++ *((1)(2))((3)(4))m m *=⋃+⋃（B 可测）*((1)(2)(3)(4))m =⋃⋃⋃（A 可测）*()m T =从而*(())(())cm T m T A B m T A B **=⋂⋃+⋂⋃ 下面证明若i A 两两不交，则11()i ii i m A mA ∞∞==⋃=∑证明：nT R ∀⊂，有*11(()(())nnc i i i i m T m T A m T A **===⋂⋃+⋂⋃*11(()(())nc i i i i m T A m T A ∞*==≥⋂⋃+⋂⋃*11()(())nc i i i i m T A m T A ∞*===⋂+⋂⋃∑从而*11()(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≥⋂+⋂⋃∑*11(())(())c i i i i m T A m T A ∞∞*==≥⋂⋃+⋂⋃ （*）另外显然有 *11(())(())c i i i i m T m T A m T A ∞∞**==≤⋂⋃+⋂⋃从而1i i A ∞=⋃可测，并用1i i T A ∞==⋃代入（*）式，即得结论例2：设[0,1]中可测集12,,,n A A A 满足条件11ni i mA n =>-∑，则1ni i A =⋂必有正测度。