《实变函数》第三章_测度论

第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）

教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集

本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集

诸如面积体积等概念进行比较.

§1、外测度

教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.

2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.

本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时

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一、引言

(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）

||||0

1

()()lim

()n

b

i

i

a

T i R f x dx f x ξ→==?∑?，1i

i i x

x x -?=-，1i i i x x ξ-≤≤

积分与分割、介点集的取法无关。

几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。 （2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）

记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则

[,]

1

()()lim n

i i a b i L f x dx mE δξ→==∑?

问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和

上积分（外包）（达布上和的极限）

||||0

1

()lim

n

b

i

i

a

T i f x dx M x →==?∑?

下积分（内填）达布下和的极限

||||0

1

()lim

n

b

i

i

a

T i f x dx m x →==?∑?

二、Lebesgue 外测度(外包)

1．定义：设 n

E R ?，称非负广义实数*({})R R ?±∞=

1

1

inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞

∞

*

===??∑为开区间}

为E 的Lebesgue 外测度。 下确界：

（1）ξ是数集S 的下界，即x S ?∈，x ξ≤

（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε?>?∈使得x ξε≤+

1

1

inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞

∞

*

===??∑为开区间}

0,ε?>?开区间列{},i I 使得1

i i E I ∞

=??且

*

*1

||i i m E I m E ε∞

=≤≤+∑

即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E

例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令

123[0,1]{,,,}E Q r r r =?=

0,ε?>作开区间

1

1

(,),1,2,3,

2

2i i i i i I r r i ε

ε

++=-

+=

则1i i E I ∞

=??且

1

1

1

||2i i i i I ε

ε∞∞

+====∑∑

，

从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*

0m E = 思考：

１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0

提示：找一列包含有理点集的开区间

112212((,),1,2,3,

i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =?∈?=

2.平面上的x 轴的外测度为0

提示：找一列包含x 轴的开区间

1

1

(1,1)(,),1,2,3,

2

2

i i i i i i I r r r Z i ε

ε

++=-+?-

∈=，

3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.

注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质

（1）非负性：0m E *

≥，当E 为空集时，0m E *

=

（2）单调性：若A B ?，则m A m B **

≤

证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。 （3）次可数可加性*

*11

()n n n n m A m A ∞

∞

==?≤

∑

证明：对任意的0ε>,由外测度的定义知，对每个n A 都有 一列开区间（即用一开区间{}nm I 列近似替换n A ）12,,

,

,n n nm I I I 使得1

n nm m A I ∞

=??且

*

*1

||2n nm n n

m m A I m A ε

∞

=≤≤+

∑

从而1

11

n nm n n m A I ∞∞∞

===????，且

*

*,1

11

1

1

||||()2

nm

nm n n n

n m n m n n I

I m A m A ε

ε∞

∞∞∞

∞

======≤+

≤+∑∑∑∑∑

可见

**1

11

1

()||n nm n n n m n m A I m A ε∞∞∞

∞

====?≤≤+∑∑∑

由ε的任意性，即得*

*1

1

()n n n n m A m A ∞

∞

==?≤

∑

注：（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界

（2）外测度的次可数可加性的等号即使,A B 不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:若(,)0d A B >则

*()()()m A B m A m B **?=+

当区间i I 的直径很小时候，区间i I 不可能同时含有A ，B 中的点从而把区间列i I 分成两部分，一部分含有A 中的点，一部分含有B 中的点.

例2 对任意区间I ，有||m E I *=.

思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？ 此例说明Lebesgue 外测度某种程度是区间长度概念的推广

例3 Cantor 集的外测度为0.

证明：令第n 次等分后留下的闭区间为()1,2,

2n n i I i =

从而

222**()()

1

1

112()()||033

n

n

n

n

n n i i n i i i m P m I I ===??

≤?≤≤=→ ???∑∑

0m P *=故

注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.

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作业：P75 1, 2

练习题

1 如果将外测度的定义改为“有界集E 的外测度是包含E 的闭集的测度的下确界.”是否合

理？

2 设A B ?=?，问在什么条件下有

**()m A B m B +=

3 对于有界集1

E R ?，是否必有*

m E <+∞？

4设E 是直线上的一有界集，0m E *>，则对任意小于m E *

的正数c ，恒有子集1E ，

使1m E c *=

§2 可测集合

教学目的1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.

2、掌握并能运用可测集的性质.

本节要点 学会用Caratheodory 条件验证集合的可测性.

本节难点 用Caratheodory 条件验证集合的可测性. 授课时数 4学时

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Lebesgue 外测度(外包)

1

1

inf{||:i ii i i m E I E I ∞

∞

*

===??∑且I 为开区间}

0,ε?>?开区间列{},i I 使得1

i i E I ∞

=??且*

*1

||i i m E I m E ε∞

=≤≤+∑

即：用一开区间列“近似”替换集合E 次可数可加性(即使n A 两两不交) *

*11

()n n n n m A m A ∞

∞

==?≤

∑

一、可测集的定义

若,n T R ??有*()()c m T m T E m T E **=?+?（Caratheodory 条件），则称E 为Lebesgue 可测集，此时E 的外测度称为E 的测度，记作mE .

注：Lebesgue 开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法.

例1：零集E 必为可测集

证明：n

T R ??，有***()()()()()c m T m T E m T E m E m T m T ***≤?+?≤+≤ 从而*()()c m T m T E m T E **=?+?即E 为可测集。

二、Lebesgue 可测集的性质

（1）集合E 可测（即*,()()n c T R m T m T E m T E **??=?+?有

,,c A E B E ????有*()()()m A B m A m B **?=+

证明：(充分性）

n T R ??，,c A T E B T E =?=?令即可

(必要性)令T A B =?

（2）若,,i A B A 可测，则下述集合也可测

1

1

,,,,,c

i i i i A A B A B A B A A ∞∞

==??-??

即可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭；

若A B ?=?，则n

T R ??，有

*(())()()m T A B m T A m T B **??=?+?

注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得 若i A 两两不交，则（测度的可数可加性）

1

1

()i i i i m A mA ∞

∞

==?=∑

.

若,A B 可测，,,A B mA ?<+∞则有可减性

()m B A mB mA -=-

证明：由可测集的定义：n

T R ??有*()()c m T m T E m T E **=?+? 易知c

A 可测

若A B ?可测已证明，则易知()c c c A B A B ?=?，c

A B A B -=?也可测。 若当i A 为两两不交时，1

i i A ∞

=?可测已证明，则通过令1

1

n n n i i B A A -==-?可把一般情形转化

为两两不交的情形，通过取余即可证明1

n

i i A =?

下面证明若,A B 可测，则A B ?可测 证明：n

T R ??，有

*(())(())c m T m T A B m T A B **≤??+??

**((1)(2))((3)(4))m m m m **≤+++

*

((1)(2))((3)(4))m m *

=?

+?（B 可测）

*((1)(2)(3)(4))m =???（A 可测）

*()m T =

从而*(())(())c

m T m T A B m T A B **=??+?? 下面证明若i A 两两不交，则11

()i i

i i m A mA ∞

∞

==?=

∑

证明：n

T R ??，有

*

1

1

(()(())n

n

c i i i i m T m T A m T A **

===??+??*

1

1

(()(())n

c i i i i m T A m T A ∞

*

==≥??+??

*

1

1

()(())n

c i i i i m T A m T A ∞

*

===?+??∑

从而

*

1

1

()(())c i i i i m T m T A m T A ∞

∞

*

*

==≥?+??∑

*

1

1

(())(())c i i i i m T A m T A ∞

∞

*

==≥??+?? （*）

另外显然有 *

1

1

(())(())c i i i i m T m T A m T A ∞

∞

**

==≤??+??

从而1

i i A ∞=?可测，并用1

i i T A ∞

==?代入（*）式，即得结论

例2：设[0,1]中可测集12,,

,n A A A 满足条件1

1n

i i mA n =>-∑，则1

n

i i A =?必有正测度。

证明：1

1

1()((()))([0,1]())n

n

n

c c

c i i i i i i m A m A m A ===?=?=-?

1

1

([0,1])([0,1])()n

n

c

c i i i i m A m m A ===-?=-?

11([0,1])n

i i m A =≥--∑

1

1

1(1)(1)0n

n

i i i i mA mA n ===--=-->∑∑

单调可测集列的性质

(1) 若n A 是递增的可测集列，则(lim )lim n n n n m A mA →∞

→∞

=

(2) 若n A 是递减的可测集列且1mA <+∞，(lim )lim n n n n m A mA →∞

→∞

=则

注：（1）左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，(2)中的条件1mA <+∞不可少，如(),n A n =+∞

注：（2）若n A 是递减集列，1lim n n n n A A ∞

→∞

==?

若n A 是递增集列，1

lim n n n n A A ∞

→∞

==?

12111

()()n n n n A A A A A A ∞

-=?=?-?

?-?

若A B ，可测，,A B mA ?<+∞，则()m B A mB mA -=-

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作业：P75 5, 6

练习题

1 设0m E *=，能否断定E 可测？能否断定E 的任一子集可测？

2 设{}n E 是可测集列，且

1

n

n mE

∞

=<+∞∑，则(lim )0n n m E →∞

=

3 证明：任意点集E 的外测度等于包含它的开集G 的测度的下确界，即

inf{:,}m E mG E G G *=?为开集

4 设,A B 是n R 的子集，A 可测，证明等式

()()()()m A B m A B m A m B ****?+?=+

§3 可测集类

教学目的1、熟悉并掌握用开集、闭集、G δ型集、F σ型集刻画可测集的几个定理，弄清

可测集类和Borel 集类之间的关系.

2、了解一些集合可测的充要条件.

本节要点 可测集类和Borel 集类之间的关系. 本节难点 可测集类和Borel 集类之间的关系. 授课时数 4学时

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一、可测集

例1 区间I 是可测集，且||mI I =

注：（1）零集、区间、开集、闭集、G δ型集（可数个开集的交）、F σ型集（可数个闭集的并）.

Borel 型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。

（2）开集、闭集既是G δ型集也是F σ型集； 有理数集是F σ型集，但不是G δ型集；

无理数集是G δ型集，但不是F σ型集。

有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；

通过取余G δ型集与F σ型集相互转化（并与交，开集与闭集互换） 二、 可测集与开集、闭集的关系

（1）若E 可测，则0ε?>，存在开集G ，使得E G ?且()m G E ε-<

即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。

（2）若E 可测，则0ε?>，存在闭集F ，使得F E ?且()m E F ε-<

证明：（1）当mE <+∞时，由外测度定义知

0,ε?>存在开区间列{}i I ，使得1

i i E I ∞

=??且*

*1

||i i m E I m E ε∞

=≤≤+∑

令1

,i i G I ∞

==?则G 为开集，E G ?，且1

1

||i

i

i i E mG mI I

mE ε∞∞

==≤≤

≤<+∑∑

从而（这里用到mE <+∞ ）()m G E mG mE ε-=-< (2)当mE =+∞时，

这时将E 分解成可数个互不相交的可测集

1

()i i i E E mE ∞

==?<+∞

对每个i E 应用上述结果，存在开集i G ，使得

i i E G ?且()2i i i

m G E ε

-<

令1i i G G ∞

==?，则G 为开集，E G ?，且

1

1

1

1

()()(())i i i i i i i i m G E m G E m G E ∞∞∞∞

====-=?-?=?-?

1

1

1

(())(()2i i i i i

i i i m G E m G E ε

ε∞∞

∞

===≤?-≤-≤<∑∑

若(1)已证明，由c

E 可测可知

0ε?>，存在开集G ，使得c E G ?且()c m G E ε-<.

取c

F G =，则F 为闭集F E ?且

()()c m E F m E F -=?(())()c c c c c m E F m F E =?=-()c m G E ε=-<

例2 设n E R ?，若0,ε?>?开集G ，使得E G ?且()m G E ε*

-<，则E 是可测集.

证明：对任意的

1n

， n G ?（开集），使得n E G ?且1()n m G E n *

-<

令1

n n O G ∞

==?，则O 是G δ型集且E O ?

1

()(),1,2,3,n m O E m G E n n

**-≤-≤

=

故()0m O E *-=

从而()E O O E =--为可测集.

例3：设E 为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E 只相差一小测度集的开集和闭集。

123{,,,}E r r r =

开集：11

221(,)i i i i

i G r r εε

++∞

==?-+

闭集：空集.

例4：设*

E 为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与*

E 只相差一小测度集的开集和闭集。 开集: (0,1)

闭集：11

221[0,1](,)i i i i

i F r r εε

++∞==-?-+

三、 可测集与G δ集和F σ集的关系

(1).若E 可测，则存在G δ型集O , 使E O ?且()0m O E -= 可测集可由G δ型集去掉一零集，或F σ型集添上一零集得到。 (2).若E 可测，则存在F σ型集H , 使()0H E m E H ?-=且

证明：若(1)已证明，由c

E 可测可知 G δ?型集O ，使得c

E O ?且()0c

m O E -= 取c

H O =，则H 为F σ型集 ，H E ?且

()()c m E H m E H -=?(())()()0c c c c c c m E H m H E m O E =?=-=-=

(1).若E 可测，则存在G δ型集O , 使()0E O m O E ?-=且

证明：对任意的

1n

，存在开集n G ，使得n E G ?且1()n m G E n -<

令1

n n O G ∞

==?，则O 为G δ型集，且E O ?

1()(),1

,2,3,n n m O E m G E n -≤-<=

故()0m O E -=

例5：设E 为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E 只相差一 零测度集的G δ型集或F σ型集。

G δ型集：111111,22i i i i n i n n O r r ∞∞++==???? ? ?=-+ ? ? ? ?

? ??

??? F σ型集：空集

注：上面的交与并不可交换次序.

例6：设*

E 为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与*

E 只相差一零测度集的G δ型集或

F σ型集。

(0,1)G δ型集：

F σ型集：

111111[0,1],22i i i i n i n n H r r ∞∞++==??

?? ? ?=-??-+ ? ? ? ?

? ??

??? 类似可证：若n E R ?，则存在G δ型集O 使得E O ?且mO m E *

=（称O 为E 的等测包）

证明: 由外测度定义知

1,n ??{}ni I ，使得1ni i E I ∞=??且*

*1

1||ni i m E I m E n ∞=≤≤+∑

令1

,n ni i G I ∞

==?则n G 为开集，n E G ?且

*

*1

1

1

||n ni ni i i m E mG mI I m E n

∞∞

==≤≤≤<+

∑∑ 令1

n n O G ∞

==?，则O 为G δ型集，且*

,O E mO m E ?=

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作业：P75 8, 9, 11

练习题

1设,A B 是n R 的子集，证明不等式

()()()()m A B m A B m A m B ****?+?≤+

2 试证有界集()n E R ?可测的充要条件是

0ε?>，存在开集G E ?及闭集F E ?，使得()m G F ε-<.

3 证明()n

E R ?可测的充要条件是：存在开集1G E ?及2G CE ?，使

12()m G G ε?<

§4 不可测集

教学目的 了解不可测集的构造思路和步骤. 本节要点 无. 本节难点 无. 授课时数 2学时

存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay 证明不可测集存在 蕴涵选择公理）

（利用Cantor 函数和不可测集构造） 参见：《实变函数》周民强 , p87