第三章_测度论
实变3-4
m( limE n） limm( E n )。 ≥
n →∞ n →∞
证明： En = ∩ ∪ En，由于{ ∪ En：k ∈ N }为递减集列，则 lim
n →∞ k ≥1 n ≥ k n ≥k k ≥1 n ≥ k
∩ ∪ En = lim ∪ En；而当k充分大时（k ≥ k 0），m( ∪ En） m( ∪ En） +∞, ≤ <
k →∞ n ≥ k n≥k n ≥ k0 n →∞ k →∞ n ≥ k k →∞ n ≥ k k ≥k 0
⇒ 由可测集列的上连续性知：m( limEn） m( lim ∪ En ) = m( lim ∪ En ) = = lim m( ∪ En ) = limm( ∪ En ) ≥ limm( Ek ) = limm( En ).
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞
9.
设E ⊆ R，则m( E ) > 0, 则存在x0 , x1 ∈ E使得：x1 − x0.为无理数。 证明：显然E不是至多可数集， G = {x − x0. | x ∈ E}, ⇒ 显然， = E > ℵ0 , 故G中至少含一个无理数y，即∃x1 ∈ E , x1 − x0. = y. G
而由习题 2 知： m ( G 1 ∪ G 2 ) + m ( G 1 ∩ G 2 ) = m ( G 1 ) + m ( G 2 )；
∗ 而 m（ A ∪ B ） m ∗ ( A ∩ B ) +
≤ m (G1 ∪ G 2 ) + m (G1 ∩ G 2 ) = m (G1 ) + m (G 2 )
2.R n空间中lebesgue测度的常见性质： 空间中lebesgue测度的常见性质： （定义中10条除外） （定义中10条除外）
第三章 测度论
第三章 测度论教学目的：1.掌握外测度定义及其性质.2.掌握可测集及其性质. 重点难点：要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.引 入Lebesgue 测度是长度、体积、重量的推广，对于区间],[b a ，a b -是区间长度，对于矩形 ，ab S =是面积.问题:对任意一个集合R E ⊂,能否定义一个“长度”的概念?不妨记其为E ,这就是本章的内容.上一章我们由个数推广到基数,由开区间推广到开集,此处如何推广?对两个区间 ,其“长度”为每个区间长度之和,三个区间类似,那么可数个区间呢?如开集),(1n n n b a G ∞== ,则长度∑∞=-=1)(n n n a b G (长度允许无穷大)可见开集可以定义长度.到此为止并不满意,因开集、闭集都行,但一般集合怎么办?如何定义 “长度”? 即:要考虑对任意集E ,?=E 希望nn E E ∞==1 ,n E E ∑=,而且定义的长度需满足一定的条件,如空集φ的长度为0等等.为此先介绍广义实数. 称λ为一个广义实数,如果R ∈λ或+∞=λ或-∞=λ.即广义实数全体就是在R 中加入了两个新“数”∞+和∞-.(i)广义实数的加法和减法: 若R a ∈,规定±∞=+±∞=±∞+a a )()(; ∞=±∞- )(a ;±∞=-±∞a )(; ±∞=±∞+±∞)()(;±∞=±∞+±∞)()(没有意义. (ii) 广义实数的乘法和除法: 若R a ∈,规定[]][2a 1b 1a 2b⎪⎩⎪⎨⎧∞∞±=⋅±∞=±∞⋅0)()( a a 000=<>a a a(注意此处不要与数分中不定式∞⋅0混同,0lim =n x , ±∞=n y lim ,那么?lim =n n y x 不确定,但此处的∞±指广义实数而不是变量) ;±∞=±∞⋅±∞)()(;-∞=∞⋅±∞)()( ;01=∞±;)(1±∞⋅=∞±a a )0(≠a (iii)广义实数的大小关系:规定+∞<∞-,此外对任何实数R a ∈,+∞<<∞-a .§3.1 引言若I 是一个有界区间,则I 的长度定义为它的两个端点的距离,记为)(I l ;若I 是一个无界区间,则定义I 的长度为∞,也记成)(I l .这样()()1)1,0(]1,0[==l l ,()∞=-∞]0,[l ,()∞=+∞],1[l .我们的目的是希望把上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集上去.不妨设上述的长度概念推广到R 上的一个集族Ω上.对任何Ω∈E (即E 是R 的一个子集),我们把它的长度记为)(E m .对Ω,我们希望满足下面三个条件:)(1Ω所有区间都是Ω中的元；)(2Ω若Ω∈E ,则Ω∈-=E R E c ；)(3ΩΩ中任意至多可数个元的并是Ω中的元.而对m ,我们希望它满足下面三个条件:)(1m 对每一个Ω∈E ,)(E m 是一个非负广义实数,即)(E m 或者是一个非负实数,或者是∞；)(2m 对每一个区间I ,)()(I l I m =；)(3m 若{}1≥n n E 是Ω中任何一列两两不相交的元,则)()(n n E m E m ∑= .注:),(m Ω是一起出来的,是一个关系.显然Ω可以构造,如Ω是R 的子集全体,但无m 满足的三条)(1m ～)(3m .现在R 上随便拿一个集合E ,有开集包含它(如取R G =),则)()(G m E m ≤,而对于开集G ,我们知道∑∞=-=1)(n n n a b G ,所以≤)(E m ∑∞=-1)(n n na b,于是)(E m 可以定义为∑∞=-1)(n n na b的下确界,即包含E 的所有开集G 的长度的下确界.这是一种办法.还有另一种办法:对任意集合R E ⊂,可否拿来闭集F ,使F E ⊃?可以(如取E 中一点作为F ),则)()(E m F m ≤.这样,所有包含在E 里的闭集F 的长度取上确界得)(E m .但G E F ⊂⊂所定义的长度是否满足三条)(1m ～)(3m ?若)(F m 的上确界与)(G m 的下确界相等,则由两边夹就可能定义)(E m .§3.2 Lebesgue 外测度外测度即)(G m 的下确界. 对R E ⊂)(*E m {}nn n n n n I E I I l ⊂∑=≥是一列开区间并且1}{:)(inf称为E 的Lebesgue 外测度,其中)(n I l 是开区间n I 的长度 (由于开集G是至多可数个两两不相交的开区间的并,所以以上直接用开区间.(我们希望)(*E m 就是前面的m ,满足三条,但不行) .例:设{}1≥n n r 是有理数全体(即{}1≥=n n r Q ),求)(*Q m .解:任取0>ε,)2,2(11+++-=n n n n n r r I εε,则nn I Q ∞=⊂1 ,εε=∑=∑∞=∞=nn n n I l 2)(11所以)(*Q m ε=∑≤∞=)(1n n I l由ε的任意性, 0)(*=Q m .可见,从测度(长度)的观点来说,虽然Q 密密麻麻,但其外测度却是0.由上例可知，R 中任何至多可数子集的外测度为0。
第三章测度论
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 nE R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E = 思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =+⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
实变函数与泛函分析
开 G n ， 集 E 使 G n 且 m ( G 得 n E ) 1 n
令O
n 1
Gn
,则 O为 G型集， EO 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 , L
故m(OE)0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O 且 m (O E )0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E 且 m (EH )0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
(2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使F 得 E且 m(EF)
(1)若 E可测 ， 则 0,开G 集 ， (2)若 E可测 ， 0 则 ,闭F 集 ， 使E 得 G且 m(GE) 使F 得 E且 m(EF)
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0 , 开 G ， 集 E c 使 G 且 m ( G 得 E c )
令 O n 1 G n ， 则 O 为 G 型 集 ， E O 且
m ( O E ) m ( G n E ) 1 n ,n 1 ,2 ,3 ,
故m(OE)0 从 而 E O (O E ) 为 可 测 集
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小
测度集的开集和闭集。E{r1,r2,r3,}
取F=G c，则F为闭集 FE
且 m (EF )m (E F c)
m (E (c)c F c)m (F cE c)m (G E c)
可测集类
(1).若E可测，则存在Gδ 型集 O, 使 E ⊂ O且m(O − E ) = 0 若 可测 可测， (2).若E可测，则存在 Fσ 型集 使 H ⊂ E且m( E − H ) = 0 若 可测 可测， 型集H,
证明： 已证明， 证明：若(1)已证明，由Ec可测可知 已证明
∃Gδ 型 O，使得 E c ⊂ O且 m (O − E c ) = 0
∀ 1 , ∃ 开区间列 { I ni }, 使得 E ⊂ ∪ I ni 且 m * E ≤ n
i =1 ∞
∑
i =1
∞
| I ni | ≤ m * E +
1 n
令 G n = ∪ I n i , 则 G n 为 开 集 ， E ⊂ G n， 且
i =1
∞
m*E ≤ mGn ≤
∞
∑
∞
i =1
m I ni ≤
( 2 ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ， 使得 F ⊂ E 且 m ( E − F ) < ε
(1) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 开集 G ， ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ， (2 使得 E ⊂ G 且 m ( G − E ) < ε
∃开集Gn，使得E ⊂ Gn且m (Gn − E ) <
∞ n =1
∗
1 n
令 O = ∩ G n， 则 O 为 G δ 型 集 ， E ⊂ O 且
m∗ (O − E ) ≤ m∗ (Gn − E ) ≤ 1 , n = 1,2,3,L n
故m (O − E ) = 0
从而E = O − (O − E )为可测集
H 取H=O c，则H为Fσ 型集 ， ⊂ E 且 为
实变函数第三章测度论习题解答
实变函数第三章测度论习题解答第三章测度论习题解答1.证明：若E 有界，则+∞<="" m="" p="">证明 E 有界，必有有限开区间E 使得I E ?,因此+∞<≤I m E m **.2.证明可数点集的外测度为零证明设E ，对任意0>ε，存在开区间i I ，使得i i I x ∈，且i i I 2ε=（在p R 空间中取边长为pi2ε的包含i x 的开区间i I ），所以E Ii i∞= 1，且ε=∑∞=1i i I ，由ε的任意性得0*=E m 。
3.设E 是直线上一有界集合0*>E m ，则对任意小于E m *的正数c ，恒有E 的子集1E ，使c E m =1*。
证明设x b x a Ex Ex ∈∈==sup ,inf ，则[]b a E ,?，令[]E x a E x ,?，b x a ≤≤，)(x f =x E m *是[]b a ,上的连续函数；当0>?x 时，x x x m E E m E m E m x f x x f x x x x x x ?=?+≤-≤-=-?+?+?+),()()()(****于是当0→?x用类似方法可证明，当0>?x ，0→?x 时，)()(x f x x f →?-，即)(x f 是[]b a ,上的连续函数。
由闭区间上连续函数的介值定理)(a f ={}0)(**==a E m E m a ，)(b f =[]E m b a E m **),(= ，因此对任意正数c ，E m c *<，存在[]b a x ,0∈，使c x f =)(0，即[]c E x a m E m x ==),(0**0 ，令[]E E x a E ?= 01,，则c E m =1*。
4.设n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，n i S E i i ,,2,1, =?，求证 n n E m E m E m E E E m *2*1*21*)(+++=证明因为n S S S ,,,21 是一些互不相交的可测集合，由§2定理3 推论1，对任意T有∑===ni i ni i S T m S T m 1*1*)()( ，特别取 ni i S T 1==，则i i nj j i E S E S T === )(1，i in i i ES T 11)(===，所以∑∑=======ni i ni i ni i ni i E m S T m S T m E m 1*1*1*1*)())(()( 。
《实变函数》第三章_测度论
第三章 测 度 论（总授课时数 14学时）教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时——————————————————————————————一、引言(1) Riemann 积分回顾（分割定义域）||||01()()lim()nbiiaT i R f x dx f x ξ→==∆∑⎰，1ii i xx x -∆=-，1i i i x x ξ-≤≤积分与分割、介点集的取法无关。
几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。
（2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手）记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则[,]1()()lim ni i a b i L f x dx mE δξ→==∑⎰问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和上积分（外包）（达布上和的极限）||||01()limnbiiaT i f x dx M x →==∆∑⎰下积分（内填）达布下和的极限||||01()limnbiiaT i f x dx m x →==∆∑⎰二、Lebesgue 外测度(外包)1．定义：设 n E R ⊂，称非负广义实数*({})R R ⋃±∞=11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}为E 的Lebesgue 外测度。
下确界：（1）ξ是数集S 的下界，即x S ∀∈，x ξ≤（2）ξ是数集S 的最大下界，即0,,x S ε∀>∃∈使得x ξε≤+11inf{||:,i i i i i m E I E I I ∞∞*===⊂⋃∑为开区间}0,ε∀>∃开区间列{},i I 使得1i i E I ∞=⊂⋃且**1||i i m E I m E ε∞=≤≤+∑即：用一开区间列{}i I “近似”替换集合E例1 设E 是[0,1]中的全体有理数，试证明E 的外测度为0. 证明：由于E 为可数集，故不妨令123[0,1]{,,,}E Q r r r =⋂=0,ε∀>作开区间11(,),1,2,3,22i i i i i I r r i εε++=-+=则1i i E I ∞=⊂⋃且111||2i i i i I εε∞∞+====∑∑，从而*m E ε≤ ，再由ε的任意性知*0m E =思考：１. 设E 是平面上的有理点全体，则E 的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间112212((,),1,2,3,i i i i i i i I r r r r r r Q Q i =⨯-∈⨯=2.平面上的x 轴的外测度为0提示：找一列包含x 轴的开区间11(1,1)(,),1,2,3,22i i i i i i I r r r Z i εε++=-+⨯-∈=，3. 对Lebesgue 外测度，我们用可数个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor 集的余集的构成区间） 2．Lebesgue 外测度的性质（1）非负性：0m E *≥，当E 为空集时，0m E *= （2）单调性：若A B ⊂，则m A m B **≤证明:能覆盖B 的开区间列也一定能覆盖A ，从而能覆盖B 的开区间列比能覆盖A 的开区间列要少，相应的下确界反而大。
第三章测度
第三章可测集合一、内容结构在R积分的情形，被积函数的定义域是区间或简单区域, 定义域的度量有明确的意义——长度、面积或体积。
在实变函数论中，被积函数的定义域是可测点集，推广积分的概念，首先要定义一般点集的度量，就是本章讨论的集合测度。
测度理论的建立有多种方法，不同的实变函数教材引入的方法有所不同，本章为了更直观、更好地理解掌握L积分，通过测度理论的建立推广R积分的数学思想与方法，直接从L测度的引入建立测度理论。
对于可测集合性质，主要讨论可测集合的充要条件、零测度集及其性质、可测集合的运算性质、可测集合与Gδ型集、Fδ型集的关系、最常用的可测集类型。
主要内容：勒贝格外测度的定义及其基本性质；勒贝格可测集及其基本性质；勒贝格可测集类；开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集、Borel集之间的联系。
基本要求：理解勒贝格可测集的定义及其几何意义、勒贝格测度及其基本性质，特别是可数可加性；掌握怎样用开集、闭集、Gδ型集、Fδ型集刻画勒贝格可测集；可测集合的类型与充要条件。
二、主要的数学思想与方法1、从长度、面积、体积到一般点集测度概念由内、外测度建立的思想与方法。
2、Lebesgue当初首先引入外测度m* 与内测度 m*,然后通过条件m* A = m*A 定义可测集， Caratheodory 给出的可测集的导入法：m*T = m * (T∩E ) + m *(T∩CT) (∀T)称E可测，把m*E称为E的测度，记为mE。
两种定义引入的背景、相互间的关系、在学习讨论可测集相关性质等问题时的意义与作用。
3、合列极限定义的思想与方法。
4、零测集的引入及其在实变函数学习中的意义与作用。
5、一般可测集由Gδ集、Fδ集、零测集构成的思想与方法。
三、疑难点学习方法（一）直线上有界点集的测度点集的测度更着重于直线上有界点集的测度。
用构造的方法来讲解点集的测度，从中我们可以学到一种成套理论的模型。
先从最简单的开集测度出发，再学习闭集的测度、一般点集的内测度与外测度及可测集合。
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勒贝格测度公理：
设有实数直线上的一部分集合族 ，使得每一个E ，都 对应一个实数 m（在 上定义了一个实函数 m(E) ，满足
（1）非负性：m(E) 0
（2）可列可加性：如果 E1, E2,..., En ,... 两两不相交，那么 m(E1 E2 ... En ...) m(E1) m(E2 ) ... m(En ) ...
例题 5：对于区间I 有 mI I
3、勒贝格外测度涵义 优点：任何集合都有外测度。
缺点：外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性。
对外测度加以限制，设法在Rn 中找出某一集合类 ，在 上满足
（1）封闭性： 对某些运算应该封闭；
（2）可数可加性：
m
Ei
m (Ei )
i 1
一般有不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数
集，它的下确界（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简
称L外测度或外测度，即
mE inf
| Ii |
E Ii i1
i1
例题 1：有限点集的外测度是0.
例题 2：可数点集的外测度为0.
设E为[0,1]中的全体有理数，则 mE 0
i1 i1
（3）正则性： 包含在 Rn 中的所有有限开区间。
问题：如何从 Rn 中挑出集合类 呢？
如下构造：从可加性条件加以思考，附加一个判断 Rn 中 集合属于 的条件即可。
设 E Rn ，如果 E ，由于 Rn 中任何开区间I都属于 ，由 的运算封闭性，则 (I E) , (I ðE) ,
（2）S可测 ðS 可测。
（3）设S1
,
S
可测，则
2
S1
S2 也可测，并且当S1
S2
,对于任
意集合T总有 m T S1 S2 m(T S1) m (T S2 )
n
推广：设 Si (i 1, 2,..., n)可测，则 i1 Si也可测，并且当 Si S j ,
第三章 测度论
引言
§1 外测度
§2 可测集
§3 可测集类
引言：
19世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的 局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积 分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所 以积分概念的推广，自然要想到对Rn中的点集给于一种度量，使之成 为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。
↓ 开集
取包含E的那些开集的测度的下确界→外测度
当格子越来越密时，小正方形的面积趋于0，过剩和不足近似值能够
趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。
↓
外测度和内测度相等→可测
§1 外测度
1、勒贝格外测度
设E为Rn 中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间 Ii E ，
i 1
做出它的体积总和 | Ii （| 可以等于 ，不同的区间列
可得到：有理数所成之集是零测集。
Hale Waihona Puke 2、勒贝格外测度性质 （1） m 0 （2）非负性：mE 0
（3）单调性：设 A B，则 mA mB
（4）次可数可加性
m
Ai
m Ai
i1 i1
例题 3：可数个零测积之和集是否为零测集？
例题 4：康托集是零测集。
（4）可列可加性：设{Ei}
是一列互不相交的可测集
m
Ei
mEi
i1 i1
§3 可测集类
1、零测集 凡外测度为0的集合都是可测集，称为零测集。 零测集性质： （1）零测度集的任何子集都为零测度集。 （2）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。
2、常见可测集
（1）区间I（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合， 且 mI I （2）凡开集、闭集皆可测。
Si
lim
n
Sn
，则
mS
lim
n
mSn
（8）设{Si} 是一列递降的可测集：S1 S2
Sn
令
S
i 1
Si
lim
n
Sn
，则当
mS1
时，
mS
lim
n
mSn
3、勒贝格测度性质
（1）m() 0
（2）非负性：m E 0
（3）单调性：设A, B 可测，且 A B ，则 mA mB
（6）设{Si} 是一列互不相交的可测集，则 Si 也是可测集，且
i 1
m
Si
mSi
i1 i1
推广：设 {Si}是一列可测集，则
Si
，
Si 也是可测集。
i 1
i 1
（7）设{Si} 是一列递增的可测集：S1 S2 Sn
令
S
i 1
（2）有限可加性：如果E1, E2,..., En两两不相交，那么
m(E1 E2 ... En ) m(E1) m(E2 ) ... m(En )
（3）正则性：m([0,1]) 1
该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的 长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如[0,1]中有理数集合的长度 或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。
i j, 对于任意集合T总有
m
T
n
Si
n
m (T Si )
i1 i1
（4）设 S1, S2 可测，则 S1 S2也可测。
n
推广：设 Si (i 1, 2,..., n) 可测，则 Si 也可测。 i 1
（5）设 S1, S2 可测，则 S1 S2 也可测。
（3）正则性：m([a,b]) b a
问题：是否每一个集合都有测度？
内填外包法（测量不规则图形的面积）→集合E
内填：内部填满图形的那些格子的面积之和中的最大者，
即不足近似值。 ↓
↓ 闭集
用来填上E的内部的闭集的测度的上确界→内测度
外包：外部包围图形的那些格子的面积之和中的最小者，
即过剩近似值。 ↓
(I E) (I ðE) I , (I E) (I ðE) ,
所以有
mI m(I E) m (I ðE)
（1)
反之，如果存在某个开区间I，使上式不成立，则E自然不应该属于
引理：设 E Rn，则(1)是对 Rn 中任何开区间都成立的充要 条件是对 Rn 中的任何点集T都有
测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可 少的工具。
实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要 的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
长度公理：
设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每 一个E ，都对应一个实数m （在 上定义了一个实函数m(E)
使得
（1）非负性：m(E) 0
mT m(T E) m (T ðE)
§2 可测集
1、勒贝格测度
设E为Rn 中的点集，如果对任一点集T都有
mT m (T E) m (T ðE)
则称E是L可测的，这时E的L外测度 mE 即称为E的L测度， 记为 mE
2、勒贝格测度运算性质
（1）集合E可测 对于A E, B ðE ,总有 m A B mA mB