山东财经大学概率论与数理统计复习
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点解析
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点解析概率论与数理统计是山东省考研数学中的一个重要部分，学好这一部分内容对于考研的顺利通过至关重要。
本文将对山东省考研数学复习资料中概率论与数理统计的重点进行解析，帮助考生更好地备考。
一、概率论的重点内容1.基本概念与基本规则- 随机试验及其基本概念- 事件与事件关系- 概率的基本性质与运算规则2.条件概率与独立性- 条件概率的定义与性质- 乘法定理- 全概率公式与贝叶斯公式3.随机变量及其分布律与数学期望- 随机变量及其分布函数- 离散型随机变量与连续型随机变量- 期望的定义与性质4.随机变量的函数的分布- 随机变量的函数的分布函数的求法- 随机变量的线性变换与标准化5.多维随机变量及其分布律- 多维随机变量的概念与联合分布函数- 边缘分布函数与条件分布函数- 相互独立的随机变量二、数理统计的重点内容1.抽样分布及极限定理- 抽样分布的概念与性质- 大数定律与中心极限定理2.参数估计- 点估计及其性质- 基本思想与方法- 矩估计与最大似然估计3.假设检验与区间估计- 假设检验的基本概念与步骤- 常用的假设检验方法- 信赖区间的概念与构造4.多元统计分析的基本方法- 样本协方差矩阵与相关系数矩阵- 多元正态分布- 多元正态总体的统计推断以上为山东省考研数学复习资料中概率论与数理统计的重点内容分析。
考生可以根据这些内容，有针对性地进行复习与备考。
在学习过程中，还应该注重理论联系实际，通过做题与练习巩固所学知识。
只有经过系统的学习与练习，才能真正掌握概率论与数理统计的重点知识，提高在考试中的应对能力。
为了更好地复习概率论与数理统计，建议考生使用多种复习资料，包括教材、习题集、考研真题等，多角度地对知识点进行加深理解和掌握。
同时，考生还可以参加相关的考研辅导班或自习室，与同学们一起学习和讨论，相互促进进步。
总之，山东省考研数学复习资料中的概率论与数理统计是一个重要的考点，考生要充分重视并进行有计划、有针对性的复习。
山东财经大学概率论与数理统计复习PPT学习教案
(5)错，其它对.
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9、设X1, X2是来自正态总体N (, 2 )的样本，若
cX1
1 2013
X 2是的一个无偏估计量则c
（
）.
2012 2013
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10、对正态总体的期望进行检验, 如果在显著水平
0.05下接受H0 : 0 ,那么在显著水平0.01下，( )
(A)必拒绝H
;
0
B
(B)必接受H
;
0
(C)可能接受，也可能拒绝H0 .
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山东财经大学概率论与数理统计复习
会计学
1
随机变量(X ,Y ,
分布列
D.r
.v.
常见分布
)
非D.r .v .
其他类型
C
.r .v .
密度函数f 常见分布
(
x)
r.v.的分布函数F ( x)
随机变量函数的分布
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联合分布/密度
二维随机分布布/密度 独立性
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7、设ˆ1 ,ˆ2是总体参数的两个估计量,ˆ1比ˆ2有效
是指（）.
( A)Dˆ1 Dˆ2; (B)Eˆ1 Eˆ2 E ,且Dˆ1 Dˆ2 .
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判断8、(1)总体均值的95%置信区间的意义是指 这个区间以95%的概率含的真值；
(2)置信区间不唯一； (3)置信区间的长度越小，估计越精确； (4)置信度越大，估计越可靠； (5)在样本容量一定时，同时提高估计的
随机向量函数的分布
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随机变量的数学期望 数字特征 随机变量的方差
概率论与数理统计复习“小技巧”
概率论与数理统计复习“小技巧”概率论与数理统计是大多数学科中一门非常重要的基础课程，对于理解和应用统计方法有着重要的意义。
然而，由于其内容广泛，理论较多，所以学习起来可能有一定的难度。
下面将分享一些复习技巧，帮助大家更好地掌握概率论与数理统计。
1.理解基本概念：在学习概率论和数理统计之前，必须首先理解基本概念。
概率、随机变量、概率分布、样本空间等是概率论和数理统计中的基础概念。
弄清楚这些概念的含义和相互关系，可以为后续学习打下坚实的基础。
2.制定学习计划：复习概率论与数理统计时，不要盲目地阅读教材。
应该提前制定一个复习计划，并按照计划进行学习。
可以根据自己的理解程度和时间安排，将内容分为几个阶段，逐个击破，确保每个阶段都能够掌握。
3.多做例题：概率论与数理统计是一门非常注重实际应用的学科，在学习的过程中，要多做例题。
通过做例题，可以帮助我们更好地理解和应用相关的概念和方法。
可以选择一些典型的例题进行尝试，同时也可以寻找一些辅助教材或者网上资源，多做一些相关的习题。
4.注重理论与实践相结合：概率论与数理统计的学习不仅仅局限于理论知识的掌握，还需要将所学的理论知识应用到实际问题中。
在学习的过程中，要多关注实际问题的分析和解决方法。
可以通过一些案例和实例来巩固所学的知识。
5.关注核心内容：在学习概率论与数理统计的时候，要有所侧重，注重理解一些核心的概念和方法。
这样可以避免被琐细的理论内容所困扰，更好地掌握主要的知识点。
要善于将抽象概念转化为具体的问题，通过问题的实质来理解和运用相关的知识。
6.做好笔记：在学习的过程中，要做好笔记。
可以将重点、难点和要点等内容进行归纳和整理，形成系统的笔记。
这样可以帮助我们更好地回顾和巩固所学的知识，并在复习的时候提供方便。
7.理论与实际结合：概率论与数理统计这门学科的一个重要特点是理论与实际的结合，在学习的过程中要善于将理论与实际问题相结合。
可以通过阅读相关的案例和实例，从实际问题的角度出发，探讨和应用相关的概率和统计方法。
《概率论与数理统计》综合复习资料全
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。
3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。
，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。
A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。
A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。
概率论与数理统计复习资料要点总结--学生
《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。
考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。
1、 会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、 能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、 掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、 能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。
5、 理解随机变量的概念，掌握离散性随机变量分布率的性质及求法,掌握(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。
6、 理解分布函数的概念及性质，理解并掌握连续型随机变量的概率密度及性质。
7、 掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布8、 会求特殊的一维随机变量函数分布的分布律或概率密度。
9、 会求分布中的待定参数。
会求区间的概率.10、 会求边缘分布律、边缘密度函数，会判别随机变量的独立性。
11、 掌握二维连续型随机变量未知参数的计算,落在区域概率的计算。
12、 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，掌握二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，掌握二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。
13、 会求二维离散型随机变量函数的分布率.14、 掌握数学期望和方差的定义及性质,会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。
会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。
15、 较熟练地求协方差与相关系数.16、 会用独立正态随机变量线性组合性质解题。
17、 理解总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。
18、 理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。
19、 掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。
概率论与数理统计复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k nk k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3） 全概率公式： ∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑ii p =1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i i i p D X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i i i p x F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y gy gf y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计期末复习公式总结
概率论与数理统计期末复习公式总结概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=?，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
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随机变量 (X,Y,L
)
? ???非D.r ? ?
.v.
? 其他类型
? ?? C ?
.r
.v.
?密度函数 ??常见分布
f
(
x
)
? ?
r
.v.的分布函数
F
(
x
)
?随机变量函数的分布
?联合分布/密度 二维随机向量???离连续散型型??????条边独件缘立分分性布布/密度
??随机向量函数的分布
?随机变量的数学期望 数字特征??随机变量的方差
n
?
, b=
n
?
.
7、设??1 ,??2是总体参数 ?的两个估计量 ,??1比??2有效
是指（）.
( A)D??1 ? D??2; ( B)E??1 ? E??2 ? E? , 且D??1 ? D??2 .
判断8、(1)总体均值?的95% 置信区间的意义是指 这个区间以95% 的概率含?的真值；
X3 ),
T2 ? X1 ? X2e X3 , T5 ? X1 ? X2 ? 2? ,
是
T4 ? max( X1, X2 , X3 ),
T6
?
1 ?2
(X1Biblioteka 2?X22
?
X32 ).
不是
2、(判断 )设 r .v. X 和 Y都服从标准正态分布 ,则 (1) X +Y 服从正态分布 ;
(2) X 2 +Y 2服从 ? 2分布 ; (3) X 2和 Y 2都服从 ? 2分布 ;
??随机向量的数字特征
?
?贝努力大数定律
??大数定律??切比雪夫大数定律
? ?
??辛钦大数定律
????中心极限定理???棣独莫立弗同尔分-拉布普中拉心斯极中限心定极理限定理
了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。
?总体和样本
抽样分布????????????统抽计样量分?????布样样 样?????上正?本本本2(分态均方矩双布总值差)侧、体分t常分位用布数分、布F分布
10、对正态总体的期望进行检验 ,如果在显著水平
0.05下接受H 0 : ? ? ? 0 ,那么在显著水平 0.01下，( )
(A)必拒绝H 0;
B
(B)必接受H 0;
(C)可能接受，也可能拒绝 H 0 .
(C ) (n -1) X ~ t(n -1);
D
S
nX 2 ( D) S 2 ~ F (1, n -1);
4、设r
.v.X
~t(n)(n>1),则Y=
1 X2
~(
F (n,1) ).
5、设X1,X2 ,X3 ,X4是来自总体 X ~N (0，? 2 )的样本 ,
则(1)
Y=
(X1 +X2 )2 (X3 -X4 )2
(随机)试验(重复性、明确性、随机性)
? 样本空间? 随机事件（A,B,L ）??事件间的关系
?? 事件间的运算律
?定义（古典、统计、公理化）
概率
? ? ??概型 ? ?
?古典概型 ??几何概型 ?? 独立试验概型：事件的独立性
??条件概率
??全概率公式和贝叶斯公式
?
?分布列
? ?
D.r
.v.
??常见分布
??参数假设检验???
?? ???
2已知 2未知
U检验法 t检验法
? ?
??? 2：? 2检验法
1、设 X1, X2 , X3是来自总体 N (? ,? 2 )的一个样本 , 其中 ? 为已知 , ? 2 为未知 , 判断下列各式哪
些是统计量 , 哪些不是 ?
T1 ? X1,
T3
?
1 3
(
X1
?
X2 ?
~(
F (1,1) ).
(2) Y=(X1 +X2 )-(X3 +X4 ) ~ ( N(0,4? 2 )).
6、设X1 , X2 ,L Xn来自总体X ~ N (1,? 2 )的样本, X为样
本均值，已知 Y ? aX ? b ~ N (0,1), 求a , b的值.
a=
n
?
, b=-
n
?
,或者a =-
?典型模式
?
?
?无偏性
? ?
??评价标准??有效性
参数估计???????点估计????????矩最估大计似然??估相计合性（一致性）
???区间估计???正置态信总区体间的区间估计
?
?原(零)假设
??基本概念??对立(备择)假设
? ?
??显著性水平?
假设检验????基两本类原错理误：弃真、纳伪
?
?
(4) X 2 /Y 2服从 F 分布 ; (5) X/Y 2服从 t分布 .
(3)正确，其它均错 .
3、设样本X1 , X2 ,L Xn来自总体X ~ N (0,1), X和S 2 分别为其样本均值和样本方差，则 ( ).
( A)nX ~ N (0,1)；
(B)nS 2 ~ ? 2 (n)分布；
(2)置信区间不唯一； (3)置信区间的长度越小，估计越精确； (4)置信度越大，估计越可靠； (5)在样本容量一定时，同时提高估计的
可靠度和精确度是可能的 .
(5)错，其它对 .
9、设X1 ,
X
是来自正态总体
2
N(?
,?
2
)的样本，若
cX1 ?
1 2013
X2是?的一个无偏估计量则
c
?（
）.
2012 2013