2021考研数学(二)真题(含详细解析)
2k 1 1 2n n
lim
n
n k 1
f
k
1
n
1
f (x)dx .选（B）.
0
（8）二次型 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）
（A）2,0
（B）1,1
（C）2,1
（D）1,2
【答案】B
【解析】方法 1： f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3 ，其二
）
（A）
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
（B）
lim
n
n k 1
f
2k 1 1 2n n
（C）
lim
n
n k 1
f
k 1 2n
1 n
【答案】B
（D）
lim
n
n k 1
f
Hale Waihona Puke k 2 2n n【解析】由于
k n
k
2k 1 2n
k 1 n
，则 lim n
n k 1
f
t 1 1)et
t2
确定，则
d2y dx2
t0
.
【答案】 2 3
【解析】利用参数方程的求导公式
dy dx
yt xt
' '
4tet 2t 2et 1
，
d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
4tet 2et
2t 1
d dt
4tet 2et
2t 1
dt dx
(4et
4tet
2)(2et (2et
1 0 1
（10）设矩阵
A
2
1
1
，若存在下三角可逆矩阵
P
和上三角可逆矩阵 Q
，使得
PAQ
为对角矩
1 2 5
阵，则 P,Q 可以分别取（
）
1 0 0 1 0 1
（A）
0
1
0
,
0
1
3
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
（B）
2
1
0
,
0
1
0
3 2 1 0 0 1
【答案】C
【解析】方法 1：当 x 0 时，
x2 0
(et3
1)dt
'
2x(ex6
1)
2x7 ，故 x2 (et3 1) dt 是 x7 的高阶无穷小. 0
方法 2： lim
(e x2 t3
0
1)dt
2x(ex6 lim
1)
lim 2x7
0 ，故
x2 (et3 1)dt 是 x7 的高阶无穷小.选（C）
1 0 1
A|
E
2
1
1
1 2 5
1 0 0 1 0 1
0
1
0
0
1
3
0 0 1 0 2 6
1 0 0
2
1
0
1 0 1
1 0 1 1 0 0
1 0 0
0
1
3
2
1
0
PA
|
P
，则
P
2
1
0
.
0 0 0 3 2 1
3 2 1
1 0 1 1 0 0
0
再由
PA E
方法 2： f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3
2(x22 x1x2 x2x3) 2x1x3
2
x2
1 2
x1
1 2
x3
2
1 2
x12
1 2
x32
x1x3
2
x2
1 2
x1
1 2
h5
（4）设函数 f (x) ax b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（
）
a
（A） (e, )
（B） (0, e)
（C） (0, 1) e
（D） (1 , ) e
【答案】A
【解析】显然定义域为 (0, ) ，令 f '(x) a b 0 x b 为驻点，因为函数有两个零点，故 b 0 ，
.
【答案】 1 ln 3
【解析】 | x |3x2 dx x3x2 dx 0 x3x2 dx
0
x3x2 dx t3t2 dx 2 x3x2 dx
0
0
0
3x2 d (x2 ) 3x2
1
.
0
ln 3 ln 3
0
（12）设函数
y
y(x)
由参数方程
x
y
2et 4(t
0 1 1
次型矩阵为
A
1
2
1
，故特征多项式为
1 1 0
1 1 1 1
2 1 1 1
| E A | 1 2 1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 0 1 1
( 2)( 1) 1 2 ( 3)( 1) 0 ，
解得特征值为-1,3,0，故正惯性指数与负惯性指数依次为 1,1.选 B.
f
'
2
.
【答案】
f
'
2
2
1 u3
cos udu
2
cos 2
cos
2
.
2
【解析】不妨假设 t 1，对题干中的积分交换积分次序可得
t
xx
t
t
x
f (t) dx sin dy dy sin dx
1
1
y
1
y2
y
1
t
y cos
t y
cos
y dy
t
t
y cos dy
1 0 0 1 0 1
（C）
2
1
0
,
0
1
3
3 2 1 0 0 1
【答案】C
1 0 0 1 2 3
（D）
0
1
0
,
0
1
2
1 3 1 0 0 1
【解析】显然首先对 A 进行初等行变换变为上三角矩阵，即 PA B 为上三角矩阵，继续对 A 进行初等列
变换变为对角矩阵， PAQ BQ .由
x0
x7
x0 7x6
x0 7x6
0
（2）函数
f
(x)
ex
1
,
x
x
0 ，在
x
0
处（
）
1, x 0
（A）连续且取极大值 （B）连续且取极小值 （C）可导且导数为 0 （D）可导且导数不为 0
【答案】D
【解析】因为 lim f (x) lim ex 1 1 f (0) ，故 f (x) 在 x 0 处连续.
x3
2
1 2
x1
x3
2
令
y1
x2
1 2
x1
1 2
x3
，
y2
x1
x3
，则
f
( y1,
y2 ,
y3 )
2 y12
1 2
y22
，因此，所求二次型的正惯性指数
与负惯性指数分别为 1 和 1，即选项（B）为正确选项.
（9）三阶矩阵 A (1,2,3) ， B (1, 2, 3) .若向量组1,2,3 可由 1, 2 线性表出，则（ ）
f1 '(1,1) 2 f2 '(1,1) 2 .
联立
f1 '(1,1) f1 '(1,1)
f2 '(1,1) 1 2 f2 '(1,1)
2
，解得
f1 '(1,1) 0 ，故 df f2 '(1,1) 1
(1,1)
f1 '(1,1)dx
f2
'(1,1)dy
dy
.选（C）.
1
（7）设函数 f (x) 在区间[0,1] 上连续，则 f (x)dx （ 0
x
a
a
即b
0 ，此时
lim
x0
f
(x)
，
lim
x
f
(x)
，且
f
b a
a
b a
b ln
b a
0 ，故 b 1 ln
b a
0，
1 ln b 0 ln b 1 b e ，选（A）.
a
a
a
（5）设函数 f (x) sec x 在 x 0 处的 2 次泰勒多项式为1 ax bx2 ，则（
x0
x0 x
又因为 lim f (x) f (0) lim ex 1 x lim ex 1 1 f '(0) 1 ，故选 D.
x0 x 0
x0
x2
x0 2x 2
2
（3）设有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2cm / s ， 3cm / s ,当底面半径为 10cm ,高为
5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（
1) 1)2
(4tet
2t)2et
1 2et 1
.
将
t
0
代入得
d2y dx2
2. 3
t0
（13）设函数 z z(x, y) 由方程 (x 1)z y ln z arctan(2 xy) 1 确定，则 z
2021年考研数学二真题及答案
2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。
∫√x+2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln (xxx )|2+∞=+∞； ∫xxx +∞2xx=−∫x +∞2xx −x=−xx−x|2+∞+∫x −x +∞2xx=2x−2−x−x |2+∞=3x −2，因此(D)是收敛的。
综上所述，此题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。
综上所述，此题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)
dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（ ） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2
21考研数学二试题及答案
21考研数学二试题及答案试题：一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母标号涂在答题卡上。
）1. 设函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，则方程 \( f(x) = 0 \) 的实根个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，若\( \lim_{x \to 0} [3x + f(x)] = 0 \)，则 \( \lim_{x \to 0}f(x) \) 的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -33. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \) 的行列式值为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 84. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值为（）。
A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{8} \)5. 设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，若\( P(X = 1) = 0.1 \)，则 \( \lambda \) 的值为（）。
A. 0.1B. 1C. 10D. 100二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案填写在答题纸上指定位置。
）6. 若 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x \)，则 \( y = \int (3x^2 - 2x) dx \) 的一个原函数是 \( y = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
2021考研数学二真题及答案解析
2021考研数学二真题及答案解析考研数学二对于很多考生来说是一个重要的挑战，它涵盖了众多的知识点和题型，需要考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。
接下来，我们就一起详细地分析一下 2021 年考研数学二的真题及答案。
先来看选择题部分。
第一题考查了函数的基本性质，要求判断函数的奇偶性。
这需要考生熟练掌握奇偶函数的定义和判断方法。
第二题则涉及到极限的计算，对于这类题目，考生需要掌握常见的极限运算规则和方法。
比如其中有一题，给出了一个复杂的函数表达式，让求其在某一点的极限值。
这就需要我们运用等价无穷小替换、洛必达法则等方法来进行求解。
在解题过程中，要注意对函数进行合理的变形和化简，避免盲目计算导致出错。
再看填空题部分。
填空题通常考查一些较为基础但容易被忽略的知识点。
比如其中有一题是关于定积分的计算，这就要求考生对定积分的基本公式和运算方法有清晰的掌握。
另外，还有一题考查了曲线的切线方程，需要先求出函数的导数，然后代入切点的坐标来确定切线的斜率，进而得出切线方程。
这部分题目虽然难度相对不大，但需要考生在计算过程中保持细心和准确。
接下来是解答题部分。
这部分题目综合性较强，对考生的知识运用能力和解题思路要求较高。
比如有一道关于多元函数求极值的问题。
首先要对函数求偏导数，然后令偏导数等于零，解出可能的极值点。
接着，通过判断二阶偏导数的正负来确定是极大值还是极小值。
这道题不仅考查了考生对多元函数求极值方法的掌握，还考验了其计算能力和逻辑推理能力。
还有一道关于常微分方程的题目。
需要先判断方程的类型，然后运用相应的解法来求解。
在解题过程中，要注意初始条件的运用，确保答案的完整性和准确性。
总的来说，2021 年考研数学二的真题难度适中，既考查了基础知识的掌握，又注重了对综合能力的检验。
对于准备考研数学二的同学来说，通过对这套真题的分析和研究，可以明确考试的重点和方向。
在复习过程中，要注重基础知识的巩固，多做练习题，提高解题的熟练度和准确性。
2021考研数学二答案真题解析
2021考研数学试卷答案速查（数学二）
一、选择题
（1）（C）（2）（D）（3）（C）（4）（A）（5）（D）
（6）（C）（7）（B）（8）（B）（9）（D）（10）（C）
二、填空题
（11）（12）（13）
（14）（15）
（16）
三、解答题
（17）【解析】原式（2分）
（4分）
（7分）
（9分）
（10分）
（18）【解析】，.（4分）
凹区间：；凸区间：（6分）
，垂直渐近线：.（7分）
，,（9分）
，,（11分）
斜渐近线：和.（12分）
（19）【解析】等式左右两边对求导，，（2分）
长度（5分）
.（7分）
面积（10分）
.（12分）
（20）【解析】（1）求解微分方程：，（1分）
则：，（4分）
且，故：，.（6分）
（2）设点的坐标为：，法线：，
过点的法线方程为：，（8分）
时，轴上的截距：，（9分）令，得驻点：，唯一的极值点为最值点，（11分）
则最小时，的坐标为.（12分）
（21）【解析】
（6分）
（9分）
.（12分）
（22）【解析】
（2分）（1）当时，，相似于对角矩阵，则，（4分）
，
，
令可逆矩阵，使得.（7分）
（2）当时，，相似于对角矩阵，则，（9分）
，
，
令可逆矩阵，使得.（12分）。
2021年考研数学二真题
2021考研数学二真题 一选择题1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与kcx x x x f 3sin sin 3)(-=A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(limx x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知A )0(2f '-B )0(f '-C )0(f ' D03.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为A0 B1 C2 D34.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλxx e e y y A )(x x e e a λλ-+ B)(xx e e ax λλ-+ C )(x x be ae x λλ-+ D)(2x x be ae x λλ-+ 5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f6.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J I A I<J<K B I<K<J C J<I<K D K<J<I7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A= A 21P P B 211P P - C 12P P D 112PP - 8设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为A31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα二填空题9.=+→x x x 10)221(lim10.微分方程===+'-y y x e y y x的解满足条件0)0(cos 11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________12.设函数{,)(0,0,0>=>≤-λλx x x f ，则=⎰+∞∞-dx x xf )(13.设平面区域D 由y=x,圆y y x 222=+及y 轴所组成，则二重积分⎰⎰=Dxyda ________14.二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为________________ 三解答题15.已知函数αx dt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围。
2021年考研(数学二)真题试卷 (含答案解析)
选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为03.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/26.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )（A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，29.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）填空题---为题目类型11.12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则14.已知函数f(t)＝15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．16.多项式f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限18.已知f(x)＝19.f(x)满足y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(20.求y(x).21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求24.设矩阵A＝选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小【正确答案】C【试题解析】2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为0【正确答案】D【试题解析】＝1＝f(0)，故f(x)在x＝0处连续．又f′(0)＝3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s【正确答案】C【试题解析】设圆柱体底面半径是R，高为h，则R′＝2，h′＝－3．体积V＝πR2h、表面积S＝2πRh+2πR2，故V′＝2πR·R′h+R2πh′，S′＝2πR′h+2πRh′+4πR·R′，即V′|R＝10,h＝5＝﹣100π，S′|R＝10,h＝5＝40π．4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)【正确答案】A【试题解析】f(x)＝ax－b㏑x的定义域为x>0，则f′(x)＝a－．令f′(x)＝0，有x＝．欲使函数f(x)在(0，)，(，+∞)有两个零点，必有f()<0，即b－b㏑()＜0．从而有5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/2【正确答案】D【试题解析】设，f(x)＝secx，则f(x)在x＝0处的二阶泰勒展式为f(x)＝f(0)+f′(0)x+6.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy【正确答案】C【试题解析】函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，则f′1+e x f′2＝(x+1)2+2x(x+1)．令x＝0，则有f′1(1，1)+f′2(1，1)＝1．①由f(x，x2)＝2x2㏑x，则f′1+f′2·2x＝4x㏑x+2x．令x＝1，则有f′1(1，1)+2f′2(1，1)＝2．②结合①式，②式可得：f′2(1，1)＝1，f′1(1，1)＝0．故df(1，1)＝f′1(1，1)dx+f′2(1，1)dy＝dy．7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】B【试题解析】f(x)在[0，1]上连续，故∫01f(x)dx存在．将[0，1]平均n等分：[0，1]＝，取各区间中点ξk＝k/n－1/2n. 故8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( ) （A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，2【正确答案】B【试题解析】作变换，记A＝，则|A|＝0，故变换不可逆．二次型展开得：f(x1，x2，x3)＝x22+2x1x2+x22+2x2x3+2x1x3，故二次型矩阵为B＝，|λE－B|＝9.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解【正确答案】D【试题解析】由条件知(α1，α2，α3)＝(β1，β2，β3)P，即A＝BP．故A T＝P T B T．从而B T x＝0的解是A T x＝0的解．10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】C【试题解析】代入验证：A．PAQ＝为非对角矩阵；B．PAQ＝为非对角矩阵；C．PAQ＝为对角矩阵；D．PAQ＝填空题---为题目类型11.【正确答案】【试题解析】12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则【正确答案】2/3【试题解析】由x＝2e t+t+1可知，＝2e t+1；由y＝4(t－1)e t+t2可知，＝4te t+2t，故. 令t＝0，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则【正确答案】1【试题解析】将y＝2代入，得(x+1)z+2㏑z－arctan4x＝1．对x求导得：z+(x+1)将x＝0代入，得z＝1，故14.已知函数f(t)＝【正确答案】【试题解析】15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．【正确答案】y＝C1e x+【试题解析】特征方程为λ3－1＝(λ－1)(λ2+λ+1)＝0，则特征根λ1＝1，λ2＝，λ3，故方程通解为y＝C1e x+16.多项式f(x)＝【正确答案】-5【试题解析】f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限【正确答案】18.已知f(x)＝【正确答案】(I)f(x)＝当x≥0时，f′(x)＝1－，f″(x)＝＞0；当－1＜x＜0时，f′(x)＝－1，f″(x)＝＜0；当x＜－1时，f″(x)＝－＞0．故当x∈(0，+∞)时，曲线y＝f(x)是凹的，x∈(－1，0)时，曲线y＝f(x)是凸的；当x ∈(－∞，－1)时，曲线y＝f(x)是凹的．(Ⅱ)1°当x＝－1时，无定义，且f(x)＝－∞，故x＝-1为垂直渐近线．2°由f(x)＝+∞，f(x)＝+∞，故f(x)无水平渐近线．3°由＝－1，故y＝x－1为正向渐近线，由19.f(x)满足【正确答案】y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(【正确答案】20.求y(x).【正确答案】原方程整理为y′＝y－，故通解为y＝＝Cx6+1．由y(√3)＝10，知C＝，故特解为y＝21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．【正确答案】设P点坐标为(x，1+x6)，则过P点的法线方程为：Y－(1+x6)＝－(X －x)．令X＝0，得Y＝I p＝+x6+1．由Y′(x)＝23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求【正确答案】曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)的极坐标方程为r＝区域D＝{(θ，r)|0≤θ≤π/4，0≤r≤}. 引入极坐标x＝rcosθ，y＝rsinθ，24.设矩阵A＝【正确答案】由|λE－A|＝＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0，得特征值λ1＝1，λ2＝3，λ3＝b．由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3．1°若b＝1．因为A 可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1．(A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(1，－1，0)T，ξ2＝(0，0，1)T．(A－3E)X＝0的基础解系为ξ3＝(1，1，1)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1．(A －E)X＝0的基础解系为ξ1＝(－1，1，1)T，(A－3E)X＝0的基础解系为ξ2＝(0，0，1)T，ξ3＝(1，1，0)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝。
2021年数学二真题及答案解析
(3)设函数 具备2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
(4)曲线 上相应于 点处曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6)设函数 在有界闭区域 上持续，在 内部具备2阶持续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
(12)曲线 极坐标方程是 ，则 在点 处切线直角坐标方程是__________.
(13)一根长为1细棒位于 轴区间 上,若其线密度 ,则该细棒质心坐标 __________.
(14)设二次型 负惯性指数为1，则 取值范畴为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.
【答案】A
【解析】 .
记 ， ， .若 线性无关，则 ，故 线性无关.
举反例.令 ，则 线性无关，但此时 却线性有关.
综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关必要非充分条件.
故选A
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
(A) 最大值和最小值都在 边界上获得
(B) 最大值和最小值都在 内部上获得
(C) 最大值在 内部获得，最小值在 边界上获得
(D) 最小值在 内部获得，最大值在 边界上获得
(7)行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8)设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组
线性无关 （ ）
【解析】由于 ，因此
2021考研数学二真题及答案解析 (1)(1)
x ( )2x 2 3 2 x 3 x4⎰ x ⎰ ⎰0 02021 考研数学真题（数学二）一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上． 1.当 x → 0+ 时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）A. x (e t 2 -1)dt 0B. ⎰0ln(1+ t 3 )dt C. sin xsin t 2dt 01-cos x D. 0sin 3tdt解析：本题选 D.考查了无穷小量的阶的比较，同时考查了变上限积分的函数的求导方法、洛必达法则等。
用求导定阶法来判断。
在 x → 0+ 时，(⎰x(e t 2 -1)dt )'= e x 2 -1 x 2 ； (⎰xln(1+ t 3 )dt )'= ln(1+x 3) 3x2 ；(⎰sin xsin t 2dt )'= sin (sin x )2cos x x2；(⎰1-cos xsin 3 tdt )' =sin 3(1- cos x ) sin x。
2.函数f (x ) =1e x -1ln(1+ x )(e x -1)(x - 2)的第二类间断点的个数为（）A.1B.2C. 3D.4解析：本题选 C.本题考查了间断点的概念与分类、极限的计算。
间断点有 x = -1, 0,1, 2 ，由于1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = ∞ ；x →-1+x →-1+ (e x-1)(x - 2) 1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = - 1；x →0 x →0 (e x -1)(x - 2) 2e1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = ∞ ；x →1+x →1+ (e x-1)(x - 2) 1lim f (x ) = lim e x -1ln(1+ x ) = ∞x →23. ⎰1x →2 (e x -1)(x - 2)x = ( )x (1- x ) π 2ππA.B.C.D.4848∂2f ∂x ∂y 0 -⎨ ⎩⎩⎩解析：本题选 A 。
2021考研数学二历年真题及详解
2021考研数学二历年真题及详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。
A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小答案【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。
2.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0答案【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。
因为故f′（0）＝1/2，故选D项。
3.有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，－3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。
A．125πcm3/s，40πcm3/sB．125πcm3/s，－40πcm3/sC．－100πcm3/s，40πcm3/sD．－100πcm3/s，－40πcm3/s答案【答案】C【考点】复合函数求导；【解析】由题意知，dr/dt＝2，dh/dt＝－3，有V＝πr2h，S＝2πrh＋2πr2，则当r＝10，h ＝5时，dV/dt＝－100π，dS/dt＝40π，故选C项。
4.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。
A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）答案【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得：在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。
即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a－bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。