东南大学15-16-2 几何与代数B期末试题A
东南大学高等数学期中期末试卷15页
第 1 页东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）课程名称 高等数学（非电） 考试学期 04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟一. 填空题（每小题4分，共20分） 1．函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x x f 11的间断点 是第 类间断点.2. 已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()=x f . 3.()()=-+⎰--x x x x xd e e1112005.4. 设()t u u x f xtd d 10sin 14⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,则()=''0f . 5. 设函数()()01d 23>+=⎰x tt x f x x,则当=x 时,()x f 取得最大值.二. 单项选择题(每小题4分,共16分)1. 设当0x x →时,()()x x βα,都是无穷小()()0≠x β,则当0x x →时,下列表达式中不一定为无穷小的是[ ] (A)()()x x βα2 (B)()()xx x 1sin22βα+ (C)()()()x x βα⋅+1ln(D)()()x x βα+2. 曲线()()211arctane 212+-++=x x x x y x的渐近线共有[ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条第 2 页3. 下列级数中收敛的级数是[ ] (A)∑∞=121n n(B) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n (C) ()nn nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=111(D)∑⎰∞=+1104d 1n n x xx4. 下列结论正确的是[ ](A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln limx t t t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x x x .5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设b a <<0,求证()ba ab a b +->2ln. xln第 3 页六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111<=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn n n n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分2 3. 原式=()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x第 4 页4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x xx=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x x π5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x xy -=,原方程的通解为x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e ),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e =ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f第 5 页()1,0112≥≥-=''t tt t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证. 分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时, ())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xtt f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式 闭考试时间长度 150分钟第 7 页4.下列结论正确的是 [ ]一．填空题（每小题4分，共20分） 1．设121-=x y ，则)10(y （1）＝ 。
东南大学线性代数几何代数历年试题
《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
线性代数与解析几何__东南大学(5)--08-09-3线性代数期末考试试卷A
2. 假 设 A = (aij )nﾴn 是 n ﾴ n 实 对 称 矩 阵 ， li (1 ﾣ i ﾣ n) 是 A 的 特 征 值 。 证 明 ：
n
nn
� �� li2 =
ai2j 。
i =1
i=1 j=1
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秩相同，并且， b3 可以由a1,a2 线性表示。求参数 m, n 的值。
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1. 当参数 a 满足什么条件时，齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解？ 2. 当 Ax = 0 有非零解时，求其基础解系。
2. （10%）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 - 4x1x2 + 3x22 + 4x2 x3 + kx32 ， g(z1, z2 , z3 ) = z1z3 。 1. 求一可逆线性变换 x = Cy 将 f 化成标准型。 2. 问：当参数 k 满足什么条件时，存在可逆线性变换将 f 变成 g ？
弊
；
7. 如果 2 阶矩阵 A 的特征值是 2 和 3，则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值是
；
此 答 卷
�1 -1 1 �
8.
若 2 是 A = ����-x3
4 -3
y 5
����的二重特征值，且
A
相似于对角阵，则
(
x,
y)
=
；
无
9. 如果二次型 x12 + tx22 + 4tx1x2 是正定的，则参数 t 满足条件
满足条件
；
场
2.
设
k
>
0
，向量 a
=
(k, 0,
k )T
东南大学11-12-2 几何与代数B期末试题A与答案A
4．
过点
P(1,
2,
0)
且与直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ −
2 y
y−z + 3z
= =
1 0
垂直的平面的方程是
；
5． 若向量组 (1, −1, 2), (1, k, −3), (3, 0,1) 线性相关，则 k =
；
6． 设 A 是 4 × 3 阶矩阵，若齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系只含一个解向量，则
；
⎛4 2 0 ⎞
10．
矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 0
k +1 k
k
k +
⎟ 1⎟⎟⎠
正定，则参数
k
满足
。
abc d a −1 b +1 c d
二、（10%）计算行列式
a−2 b c+2 d a−3 b c d +3 .
⎛0 0 1⎞
三、（12%）设矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
−3
0
⎟ ⎟
，求矩阵方程
AXA−1
+
A−
2
⎟ ⎟
，特征向量 η3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
⎜⎝ 2⎟⎠
⎛ 1/ 2
令正交矩阵 Q
⎛ = ⎜⎜⎝
η1 η1
,
η2 η2
,
η3 η3
⎞⎜
⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1
0 /
2
1/ 18 −4 / 18 1/ 18
2 / 3⎞ ⎟
1/3⎟ ， 2 / 3⎟⎟⎠
则正交变换 x = Qy 将二次型化为标准形： f ( y1, y2 , y3) = 7 y12 + 7 y22 − 2 y32 （2）变换 x = Qy 将二次曲面 f (x1, x2, x3) = −1的方程化为： 7 y12 + 7 y22 − 2 y32 = −1，
【东南大学】《几何与代数》总复习资料资料
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
加法和数乘 一 AB: 交换律消去律 转置: (AB)T=BTAT 般
秩: r(A)=行(列)秩 矩 分块运算: 分块转置
阵 初等行(列)变换
Ak , f(A) |A|: Rnn R tr(A)=aii: Rnn R 方 A1: AB=BA=E A*=(Aji): AA*=|A|E 阵
n
i为特征值
①秩
①② ③
Rnn
P可逆, s.t.
B PT AP
实对称
Ep Eq
O
③r,p,q, 对称性, 正定性 ①秩
《几何与代数》复习要点
二次曲面
一般方程表示的二次曲面
f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0
作直角系的旋转变换
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
r
B
r
A O
O
B
n,
if r A n
9)
设A是n(2)阶方阵, 则
r
A*
1,
if r A n 1
0, if r A n 2
作用 初等变换 终止矩阵
结果
秩
行变换 阶梯阵
极大无 关组(基)
阶梯阵 行变换
行最简形
东南大学12-13-2 几何与代数B期末答案A
所以，1, 2 , 3 是1,2 ,3,4 的极大无关组当且仅当1, 2 , 3 线性无关….2
当且仅当 D 0 ，即 p 1, 2 ， q 可以任意取值。….…………………….2
2. 当 p, q 取何值时，1, 2 是这个向量组的极大线性无关组？并在这时将3 , 4 表
0
0
1
1 3 1
Q
0 2
3 2
0
……………………………………………………………………..4
4
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1 1 p 1
四.
（15%）已知向量组 1
1
,
2
p
,
3
1
,
4
4
。
p
1
1
q
1. 当 p, q 取何值时，1, 2 , 3 是这个向量组的极大线性无关组？
或 6x 3y 2z 17 0 ………………………………………….2
共4页
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3 2 2 六. （15%）已知矩阵 A k 1 k 与对角阵相似。求参数 k 的值，并求可逆矩阵 P
4 2 3 及对角阵 ，使得 P 1 AP 。
解： E A ( 1)( 1)2 。所以， A 的特征和值是1， 1（二重）。……………….6 如果 A 相似于对角阵，则相应于特征值 1， A 有两个线性无关特征向量， 即 r( A E) 1 ，于是 k 0 。………………………………………………………….3
0
1
1 0
1 1
；
2.
若
2
阶方阵
A
( ,
东南大学05-06学年第二学期《几何与代数》期终试卷
东南大学05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷一. (24%)填空题1. 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为 ；2. 过点(1,0,1)P 且与直线1211x y z -==垂直的平面的方程为 ； 3. 设0110P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1011Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1010P AQ =⎛⎫ ⎪⎝⎭；4. 若33⨯矩阵A 的秩为2, 123,,ααα是线性方程组Ax b =的解向量 ,并且()12,3,4T α=,()232,4,6T αα+= , 则线性方程组Ax b =的通解是 ；5. 设α是(1)n n >维列向量，则n 阶方阵T A αα=的行列式A 的值为 ；6. 设A 是33⨯矩阵，若矩阵,2,23I A I A I A +--均不可逆，则行列式A = ；7. 若3是n n ⨯矩阵A 的特征值,2A =,*A 是A 的伴随矩阵，则矩阵*A 的一特征值为 ；8. 若222221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面，则k 满足条件 。
二（12%）设1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，101021001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，132011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭， 求11,A B --以及矩阵X ，使A O C X O B O ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
式中的O 均指相应的零矩阵。
三（10%）设向量组 123,,ααα线性无关 , 问: 参数,l m 满足什么条件时, 向量组 12l αα+，23m αα+ ，13αα+也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：1:21x y z π++=,2:2x y z πλ++=,3:1x y z πλλ++=+1. 问：当λ取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？2. 当它们交于一直线时，求直线的方程。
五（12%）已知33⨯矩阵10023302A a a a a -⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪--+⎝⎭有一个二重特征值。
东南大学04-05学年第二学期《几何与代数》期终试卷
东南大学04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；2． 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。
若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ； 5． 已知向量111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；6． 假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ． 二、 （8%）计算行列式121111x x x x xx x x x x ．三、 （10%）假设200110102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 求矩阵方程3X B XA =+的解．四、 （14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==： 相交。
高等代数下期终考试题及答案B卷
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 .3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A()-n P[x]=,的核(0)=1A A A4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭，则A （λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D 3 =_______________.5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形J=6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分)1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 42. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C)A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -34.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=(D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.2.( ）12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ijn nA a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（ ）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
东南大学高等数学B期末考试试卷A参考答案及评分标准
08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案及评分标准09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1.曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u=(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A ； 4.设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰Ñ的值是2-；5.设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分¼(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =；6.二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7.设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sx y z S ++⎰⎰Ò的值是44R π；8.设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰；9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散. 二.计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z z x x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂，（3分）21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂（4分） 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰（1+1+3+2分）12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（3+2+3分） 13.（本小题满分8分）求密度均匀分布的立体 的质心坐标.解0x y ==（1分）)22cos 3400122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1+1+2+2+1分）三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而3120001l mn-=，即30l m --=（1），（2分）又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++=（2）（2分）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==--（2分） 四（15）。