4旋转曲面的面积
由曲线 y=f (x),直线x=a, x=b
y y=f(x)
以及 x 轴所围成的平面图形,
称为曲边梯形.
Oa
bx
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下面讨论曲边梯形的面积.
作法：
y y=f(x)
（ｉ）分割
在区间 [ a, b] 内任取n-1个分点，它们 O
a x1 xi-1 xi xnb
x
依次为 a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－１＜xn=b,
(3) 以ｄΦ＝f（x）dx作为被积表达式，得到所求量
的积分表达式:
Φ＝
b
f ( x )dx.
a
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用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为微元法
（或元素法）,其中ｄΦ＝f(x)dx为所求量的元素. 在实际问题中，若所求量为面积，则称ｄΦ＝f(x)dx
为面积元素,所求量为功，则称ｄΦ＝f（x）dx为功元素.
△Φ≈ f(x)△x， 且当△x 趋于零时,△Φ－f(x)△x =o(△x). 从而ｄΦ＝f(x)dx.
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对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线 弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为:
△Ｖ≈A（x）△x，并有dV= A（x）dx；
△A≈ y △x，并有dA= y dx；
△s≈ 1 y2△x，并有ds= 1 yd2x.
分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭
带.当△x很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，
即，
△s≈ f x f x x x2 y2
= 2 f ( x ) y
1
y x
2
x
其中，△y=f(x+△x)-f(x).
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由于
lim y 0, lim
x0
x0
1
y 2 x
= 2
b f x
dx2 dy2 = 2
y( t )ds
T 0 i 1
a
f ( x )dx.
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引入问题：上述过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个 实际问题如何直接利用定积分表示呢？
我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是 第二步. 这一步是确定的近似值. 完成了这一步，再求和 取极限，从而求得Φ的精确值. 在实际应用中, 为简便起见
省略下标i，用△表示[a，b]上任一小区间[x，x+△x]上的
这些点把[a,b]分割成n个小区间[xｉ－１,xi], i=1,2,… n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1
把曲边梯形分割成n个小曲边梯形.
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（ii）近似求和
y
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 i ,
作以f( i)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形.
y=f(x)
当分割[a,b]的点分点较多,又分割
O
a b x1 xi-1i xi xn
x
得较细密时,由于f为连续函数,它在每个小
区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似
替代相应小曲边梯形的面积. 于是, n 个小矩形面积之
和就可作为该曲边梯形面积S的近似值,即
n
S f (i )xi ( xi xi xi1 ). i 1
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（iii）取极限
Φ= ∑△Φ≈∑ f（x）dx
取极限, 得：
lim T 0fຫໍສະໝຸດ (x)dx
b
a
f
(
x
)dx .
首页 ×
一般地，我们归纳出所求量Φ的积分表达式的步骤.
(1) 选取积分变量及变化区间；
(2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小
区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的
部分量△Φ的近似值 ｄΦ＝f（x）dx；
窄曲边梯形的面积:
Φ= ∑△Φ
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取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ
的近似值为以点x处的函数值 f (x)为高,△x为底的矩形面
积，即
△Φ ≈ f (x)△x = f (x)dx.
由于当△x趋于零时,△Φ - f(x)△x = o(△x ),根据微分
定义知， dA=f(x)dx.于是,
(3)
首页 ×
如果光滑曲线Ｃ由参数方程 x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]
且 y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得
旋转曲面的面积为
S 2
y(t )
x2(t ) y'2(t )dt.
(4)
事实上，由（２）知，
S
2
b
a
f
x
1
f
2
xdx
=
b
2 a
f
x
1 ( dy )2 dx dx
注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a, b]
的分割,又与所有中间点 i( i=1,2,…，n）的取法
有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a, b]无限细 分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi,
中间 i 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯
形的面积S.
lim n
b
S
f ( i ) xi
§4 旋转曲面的面积
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似 求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式.但为简 便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”. 本节将采 用此法来处理.
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一、微元法
为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义 时引入的例子——求曲边梯形的面积问题.
设 f 为闭区间[a，b]上的连续函数，且 f（x）≥0.
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二、旋转曲面的面积
这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式. 设平面光滑曲线C的方程为 y f (x), x [a,b] （不妨设 f(x)≥0）这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面.
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下面用微元法导出它的面积公式.
（1） 积分变量x, 变化区间[a,b];
（2） 任取[a, b]上小区间[x, x+△x],通过x轴上点x与x+△x
1 f '2 (x)
以及 f '(x) 连续，可以保证：
2 f (x) y
1
y x
2
x
2
f
x
1 f 2(x)x ox.
所以得到， dS
2
f
x
1 f 2 xdx.
（3） 以 dS 2 f x 1 f 2 xdx, 为被积表达式，
得旋转曲面的面积公式
S=
2
b
a
f
x
1 f 2 x dx.
显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限”三 个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量 满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？
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可以用微元法的条件： （1） 所求量Ф关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间
[a,b]分成许多部分区间，则所求量Ф也相应地分成许多
部分量，且所求量等于部分量之和Φ= ∑△Φ； （2） 能把Ф的微小增量△Ф 近似地表示为△x的线性形式
利用微元法求旋转曲面面积的研究
利用微元法求旋转曲面面积的研究
旋转曲面是二维曲面向三维曲面旋转转换过程，它包括很多基本曲线，经过细
心整合可以用于建立几何形体之后实现详细的丰富外观效果。
旋转曲面的面积计算和其他曲面不同，一般而言，只有通过微元法才能够求解准确的面积。
微元法是分析数字分析旋转曲面的面积的一种数值方法，基本思想是将复杂的
旋转曲面拆分成多个小的微元，然后计算每个微元的面积，进而累加以获得整体的面积。
微元法求旋转曲面面积的研究，可帮助我们更好地了解旋转曲面的特性，有助
于准确估计面积大小，当我们评估曲面形状、体积和特性时，微元法就被广泛应用。
然而，这种方法有一定的缺陷，如计算时间长，易出错等，需要在理论研究和实际应用中进行改进。
总之，微元法求旋转曲面面积的研究在许多工程领域都有着重要意义。
它能够
有效解决很多复杂的计算问题，为工程设计批量生产提供精确的指导，更好地满足用户的需求。
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
利用形心坐标计算旋转体的体积和表面积
2 形心的坐标为： x c =
0 x 2dx = 4 / 5 = 3 。
A
4/3 5
故所求体积：V = 2π 3 ⋅ 4 = 8π 53 5
5. 结论
在平面图形形心已知和平面曲线形心已知的情况下，用古鲁金定理求旋转体的体积和 表面积，运算非常简单。因此，第二古鲁金定理适于求圆、半圆、三角形、矩形、梯形绕其 平面内不相交的直线旋转所得立体之体积；第一古鲁金定理适于求圆、半圆、三角形、梯形、 矩形、直线段绕其平面内某直线旋转所得立体之表面积。
R
⋅2R
+
2π
π
− π
2
R
⋅π
R
= 2π 2 R 2
例 7：求圆锥的侧面积。已知圆锥的高为 H, 底圆半径为 R。
解：示意图如图 11，圆锥可以看成直线绕 y 轴旋转而成。直线段的长为
形心坐标为 x c
=
1 2
R 。故所求侧面积为：
A = 2π R ⋅ R 2 + H 2 = π R R 2 + H 2 2
1. 重心与形心
在图 1 中，设总重力作用在 C( x c , y c )，它对原点的力矩必须等于诸分力对原点的力
矩之和，即：
∑ ∑ P xc =
pi xi =
ρi gxi∆si
∑ ∫∫ ∫∫ ∴ x c =
pixi = P
xdp
S
=
dp
S
xρ gds
S
ρ gds
S
这就是重心 x 的坐标公式[1]。
A
=
2π
xc
⋅π
R
=
4π
R2
，所以： xc
=
2R π
第十章定积分的应用
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积如果一块图形是由连续曲线()1y f x =，()2y f x =以及x a =，())x b a b =<所围成，那么这块图形的面积的计算公式为()()[()()]b b baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰。
例：求2y x =，2x y =所围的面积S 。
例：求sin 1y x =+，cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。
若所给的曲线方程为参数形式：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的面积S的公式为||()S y dx t βα=⎰（αβ<）。
例：求旋轮线：()(sin )0(1cos )x a t t a y a t =-⎧>⎨=-⎩一个拱与x 轴所围的图形的面积。
例：求椭圆cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩（0a >，0b >）的面积S 。
设曲线的极坐标方程是：()r r θ=，αθβ≤≤，()[,]r C θαβ∈，则由曲线()r r θ=，射线θα=及θβ=所围的扇形面积S 等于21()2S r d βαθθ=⎰。
例：求双纽线222cos 2r a θ=所围图形面积S 。
例：求由2sin3r θ=，02θπ≤≤，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S 。
§2 曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。
设平面曲线l 由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤）给出，设01{,,,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线l 上所对应的点为000((),())M x t y t =，111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。
§4旋转曲面的面积
(3)
首页
×
如果光滑曲线Ｃ由参数方程 x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β] 且 y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得 旋转曲面的面积为
S 2 y(t ) x 2 (t ) y'2 (t )dt .
(4)
事实上，由（２）知，
S 2 f x 1 f
lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b T 0
首页
×
一般地，我们归纳出所求量Φ的积分表达式的步骤. (1) 选取积分变量及变化区间； (2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小 区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的 部分量△Φ的近似值
ｄΦ＝f（x）dx；
b a 2
x dx = 2 a f x
b
dy 2 1( ) dx dx
= 2 f x dx dy = 2 y( t )ds
b 2 2 a
= 2
2 '2 = 2 y( t ) x ( t ) y ( t )dt .
首页
dx 2 dy 2 y( t ) ( ) ( ) dt dt dt
S f (i )xi ( xi xi xi 1 ).
i 1
首页
n
×
（iii）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a, b] 的分割,又与所有中间点 i( i=1,2,…，n）的取法
有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a, b]无限细
分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi, 中间 i 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯 形的面积S.
旋转曲面的面积
作业
P255：1，2，3.
0
2
64 a2
3
例3 已知
y
星形线
x y
a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
4
0
a
sin3
积 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx
很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面
积，取其为面积元素，dS 2 f (x) 1 f '2 xdx
旋转曲面的面积为
S
2
b
a
f
x
1 f '2 xdx
若曲线由参数方程
x y
xt y t
,
t
x x(t)
y
y(t)
( t )给出，则侧面积公式为：
A 2
y (t )
x'2 (t) y'2 (t)dt
若曲线段由极坐标方程
( ) ( )给出，则侧面积公式为
A 2
( ) sin
2 ( ) '2 ( )d
,
定义，且
y
t
0,
则由弧
微分只是推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得曲面的面积
S 2 y t x' 2 t y' 2 t dt
旋转曲面的面积公式推导
旋转曲面的面积公式推导要推导旋转曲面的面积公式，我们首先需要了解旋转曲面的定义和特征。
旋转曲面是由一个平面曲线围绕其中一轴旋转一周形成的曲面。
在数学中，我们通常将轴称为旋转轴，将平面曲线称为母线。
一般来说，旋转曲面的面积可以通过将曲面切分成无数个微小的扇形面元来进行计算。
每个小扇形面元的面积可以近似地看作一个扇形的面积。
现在，让我们来具体推导旋转曲面的面积公式：假设我们的旋转曲面是由一个平面曲线y=f(x)（母线）绕x轴旋转一周得到的。
首先，我们将曲线分成n个小段，并将每个小段切分成微小的线段。
第i个小段的长度为Δl_i，小段的起点和终点分别为(x_i,y_i)和(x_i+1,y_i+1)。
现在，我们来推导一个微小线段的扇形面积。
根据旋转曲面的特征，我们可以得知旋转轴到任意点(x_i,y_i)的距离可以表示为r_i=y_i。
因此，我们可以将微小线段的长度Δl_i转化为弧长Δs_i=r_i*Δθ_i。
其中，Δθ_i可以通过微积分中的极限求解方法得到，即Δθ_i = lim(θ_i+1 - θ_i) 当Δx_i -> 0 时根据微积分的定义，我们知道tan(Δθ_i) = Δy_i / Δx_i。
当Δx_i -> 0 时，tan(Δθ_i) 可以近似地等于 dy_i / dx_i，即微分形式。
因此，Δθ_i等于 dy_i / dx_i。
由于我们是围绕x轴旋转的，因此弧长Δs_i可以表示为：Δs_i = r_i * Δθ_i = y_i * dy_i / dx_i然后，我们根据扇形面积的公式，将Δs_i和Δl_i相乘，得到扇形面积的微分形式。
dA_i = (Δs_i * Δl_i) = (y_i * dy_i / dx_i) * Δl_i我们可以将Δl_i表示为微小线段的长度Δx_i。
由于我们是将曲线分成了n个小段，将所有扇形面积的微分形式相加得到曲面的面积。
A = ∑(i=1 to n) dA_i= ∑(i=1 to n) (y_i * dy_i / dx_i) * Δx_i当我们令n趋向于无穷大时，即Δx_i趋向于0时，我们可以将上式改写为定积分的形式：A = ∫(x=a to b) y(x) * sqrt(1 + y'(x)^2) dx这就是旋转曲面的面积公式推导的结果。
绕y旋转曲面的面积公式
绕y旋转曲面的面积公式
绕y旋转曲面是一种常见的几何曲面，它是由一个曲线（一般为抛物线、圆弧或者椭圆）绕着y轴旋转得到的曲面。
它是一种被广泛应用于工程设计中的几何曲面，比如可以用来制作喷嘴、叶轮、鼓风机、冷却器等。
绕y旋转曲面的面积计算有两种方法，一种是旋转体积公式，另一种是极限区域公式。
旋转体积公式是指将一个曲线绕着y轴旋转后，求得的曲面的面积公式。
极限区域公式是指将一维曲线的极限区域求和，求得曲面面积的公式。
旋转体积公式可以用以下公式来表示：面积=π∫ (y2 - y1)f (y) dy 。
其中，y1和y2是绕y旋转曲面的曲线的两个端点，f (y)是曲线的函数表达式，π是圆周率。
极限区域公式可以用以下公式来表示：面积=2π∫ (y2 - y1) dy。
其中，y1和y2是绕y旋转曲面的曲线的两个端点，π是圆周率。
绕y旋转曲面的面积计算公式是几何学中非常重要的一部分，它被广泛用于工程设计中，为工程师提供了一种计算曲面面积的有效方法。
两种计算曲面面积的公式都可以很容易地得出正确的结果，但是旋转体积公式更加简单明了，而且容易理解，因此更受欢迎。
绕y旋转曲面的面积公式不仅被用于工程设计，而且也是几何学中非常重要的一部分，它可以极大地提高我们对几何学的理解。
只要掌握了绕y旋转曲面的面积公式，我们就可以计算出曲面的面积，从而更好地理解几何学中的基本概念。
心形线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积
心形线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积1. 心形线：从浪漫到数学的奇妙旅程1.1 心形线的神秘魅力大家一定听说过心形线吧？它那浪漫的名字，听上去就像是从情诗里走出来的。
心形线在数学里可不仅仅是个浪漫的符号。
你可以想象它像一条小路，在平面上蜿蜒曲折，像是在为爱情谱写一首动人的旋律。
这条线其实就是一种特殊的曲线，它的方程可以用来描述这条线的每一个点，就像用笔画出了一颗心的轮廓。
无论你是在纸上画出它，还是在计算机上模拟它，它都让人觉得心里暖暖的。
1.2 从心形线到旋转曲面现在，咱们的心形线已经不是单单躺在平面上了。
假如你把它绕一个极轴旋转，就会发现一件有趣的事情。
想象一下，你把这条心形线当成一根长长的细丝，然后把它绕着一个固定的轴旋转。
这就像你把一条心形的长带放到旋转木马上，随着旋转，它的轨迹会形成一个漂亮的曲面。
这个曲面其实就像是心形线的立体化身，颇具几何美感。
2. 旋转曲面的神秘计算2.1 旋转曲面的面积计算要计算这个旋转曲面的面积，可不是件简单的事情。
就像是在厨房里做一道复杂的菜肴，你得有足够的耐心和技巧。
我们可以用数学工具来解决这个问题，具体来说，就是用积分来计算。
简单来说，你需要将旋转曲面划分成无数个小的薄片，然后逐个计算这些薄片的面积，最后把它们加在一起。
这个过程虽然繁琐，但最终的结果却是令人满意的。
计算出来的面积，就是这条心形线在旋转过程中所形成的整个曲面的总面积。
2.2 数学的奇妙与实用虽然数学中的这些计算听上去有点让人头疼，但它们其实在很多实际应用中都非常重要。
比如，在建筑设计中，工程师们需要用这些计算来确保建筑物的稳定性和美观性。
在计算机图形学中，旋转曲面的面积计算也常常被用来生成逼真的三维模型。
可以说，心形线绕极轴旋转产生的曲面，不仅仅是一种数学上的奇妙现象，它还在实际中发挥着重要作用。
3. 生活中的曲面与美感3.1 曲面与艺术说到这里，大家也许会发现，数学和艺术之间的界限其实并没有那么分明。
10.4旋转曲面的面积
y( t )
( dx )2 ( dy )2 dt
dt
dt
= 2
y( t )
x2 ( t ) y' 2 ( t )dt .
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例1 计算圆 x2 y2 R2 在 [x1, x2 ] [R, R] 上的
弧段绕 x 轴旋转所得球带的面积.
解 对曲线 y = R2 x2 在区间[x1, x2]上应用公式(3)，
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
x a cos t , y bsin t , 0 t π.
令 c2 a2 b2, e c ,则 a
S 2π
π
bsin t
a2 sin2 t b2 cos2 tdt
0
π
4πb 2 sin t a2 (a2 b2 )cos2 tdt 0 π
2πb b
arcsin a2 b2
a
.
特别当 a b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
S 4πa2 2 sin tdt 4πa2 cos t 0 4πa2 .
0
π/2
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例4 求心形线 r a(1 cos ) 绕极轴旋转所得曲
面的面积. 解 将曲线用参数方程表示:
得到
S 2
x2
x1
R2 x2
1
x2 R2
x2
dx
=2 R
x2 dx 2 R
x1
x2 x1
.
特别当x1=-R, x2=R 时，得球的表面积 S球= 4πR.