高中数学 矩阵及逆矩阵 试题及解析
高三数学矩阵试题
高三数学矩阵试题1.已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．【答案】．【解析】根据矩阵特征值，特征向量的意义：可设特征向量为对应的特征值为，则，即;再由逆矩阵的有关运算：，转化为，即，得到一组方程即可求出：．试题解析：设特征向量为对应的特征值为，则，即因为，所以． 5分因为，所以，即，所以，解得．综上，． 10分【考点】1.特征值和特征向量的意义;2.逆矩阵的运用2.求矩阵N＝的特征值及相应的特征向量．【答案】特征值为λ1＝－3，λ2＝8，【解析】矩阵N的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，当λ1＝－3时一个解为故特征值λ1＝－3的一个特征向量为；当λ2＝8时一个解为故特征值λ2＝8的一个特征向量为.3.已知矩阵M＝有特征向量＝，＝，相应的特征值为λ1，λ2.(1)求矩阵M的逆矩阵M－1及λ1，λ2；(2)对任意向量＝，求M100.【答案】（1）λ1＝2，λ2＝－1.（2）【解析】(1)由矩阵M＝变换的意义知M－1＝，又M＝λ1，即＝λ1，故λ1＝2，同理M＝λ2，即＝λ2，故λ2＝－1.(2)因为＝＝x＋y，所以M100＝M100(x＋y·)＝xM100＋yM100＝x＋yλ2100＝.4.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．【答案】【解析】将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.5.已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0),(1)求实数a的值.(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.【答案】(1)3 (2) 矩阵M的属于特征值4的特征向量为(t≠0)【解析】(1)由=,得2-2a=-4⇒a=3.(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4.令λ2-3λ-4=0,得矩阵M的特征值为-1或4.当λ=-1时,⇒x+y=0,∴(x,y)="(t,-" t),当t≠0时,矩阵M的属于特征值-1的特征向量为(t≠0);当λ=4时,⇒2x-3y=0,∴矩阵M的属于特征值4的特征向量为(t≠0).6.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量.(2)求逆矩阵M-1以及椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程.【答案】(1) 特征值为2和3,对应的特征向量分别为及(2) M-1= x2+y2=1【解析】(1)由条件得矩阵M=,它的特征值为2和3,对应的特征向量分别为及.(2)M-1=,椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1.7.已知2×2矩阵M=有特征值λ=-1及对应的一个特征向量e=.1(1)求矩阵M.(2)设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2+2y2=1,求曲线C的方程.【答案】(1) (2) 22x2+4xy+y2=1【解析】(1)依题意得,=(-1),即解得所以M=.(2)设曲线C上一点P(x,y)在矩阵M的作用下得到曲线x2+2y2=1上一点P'(x',y'), 则=,即又因为(x')2+2(y')2=1,所以(2x+y)2+2(3x)2=1,整理得曲线C的方程为22x2+4xy+y2=1.8.已知M=.(1)求逆矩阵M-1.(2)若向量X满足MX=,试求向量X.【答案】(1) (2)【解析】(1)设M-1=,依题意有=,即=,故∴∴M-1=.(2)∵向量X满足MX=,∴向量X=M-1==9.若=,求α的值.【答案】α=2kπ,k∈Z【解析】==,所以,则α=2kπ,k∈Z.10.已知在一个2×2矩阵M的变换作用下,点A(1,2)变成了点A'(4,5),点B(3,-1)变成了点B'(5,1).(1)求2×2矩阵M.(2)若在2×2矩阵M的变换作用下,点C(x,0)变成了点C'(4,y),求x,y.【答案】(1) M= (2) x=2,y=2【解析】(1)设该2×2矩阵为M=,由题意得=,=,所以解得a=2,b=1,c=1,d=2,故M=.(2)因为==,解得x=2,y=2.11.如果曲线x2+4xy+3y2=1在2×2矩阵的作用下变换为曲线x2-y2=1,试求a+b的值.【答案】2【解析】设(x,y)是x2+4xy+3y2=1上任意一点,在矩阵变换作用下的对应点为(x',y'),有=得因点(x',y')在曲线x2-y2=1上,故(x+ay)2-(bx+y)2=1,即(1-b2)x2+(2a-2b)xy+(a2-1)y2=1,此方程与x2+4xy+3y2=1相同,从而解得从而a+b=2.12.已知曲线C1:x2+y2=1,对它先作矩阵A=对应的变换,再作矩阵B=对应的变换得到曲线C2:+y2=1,求实数b的值.【答案】b=±1【解析】从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵BA==,在曲线C1上任意选一点P(x,y),设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'(x',y'),则有=,故解得代入曲线C1方程得,y'2+(x')2=1,即曲线C2方程为:(x)2+y2=1,与已知的曲线C2的方程:+y2=1比较得(2b)2=4,所以b=±1.13.已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.（1）求矩阵的逆矩阵；（2）计算【答案】（1）;（2）【解析】（1）因为已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.通过特征向量与特征值的关系，可求矩阵A中的相应参数的值，再通过逆矩阵的含义可求出矩阵A的逆矩阵.同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论. （2）因为向量可由向量及向量表示，所以即可转化为矩阵A的特征向量来表示.即可求得结论.同样也可以先求出A3，再运算即可.试题解析：(1)法一:依题意,..所以法二:的两个根为6和1,故d=4,c=2. 所以-(2)法一:=2－A3=2×63－13=法二:A3=【考点】1.矩阵的性质.2.矩阵的运算.14.已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.【答案】【解析】解设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝15.已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.【答案】【解析】A2＝＝，设α＝，由A2α＝β得，＝，从而，解得所以α＝16.已知矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量．【答案】（1）（2）【解析】(1)设M－1＝.则＝＝，∴解得∴M－1＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝17.．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.设向量β＝，试计算A5β的值．【答案】【解析】由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝.矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(α1)＋α2＝3×25＋35＝18.若点A(1,1)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－1,1)，求矩阵M的逆矩阵．【答案】【解析】M＝，即＝，所以得所以M＝.由M－1M＝，得M－1＝.19.设矩阵M＝ (其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，且M＝.则MM－1＝.所以＝.所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1，则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C 的方程为x2＋y2＝1，故又a>0，b>0，所以20.各项都为正数的无穷等比数列，满足且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列各项和的数值是 _________.【答案】32【解析】本题增广矩阵的线性方程组为，其解为，即，因此，，故无穷递缩等比数列的和为．【考点】无穷递缩等比数列的和．21.各项都为正数的无穷等比数列，满足且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列各项和的数值是 _________.【答案】32【解析】本题增广矩阵的线性方程组为，其解为，即，因此，，故无穷递缩等比数列的和为．【考点】无穷递缩等比数列的和．22.已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量并有特征值λ2=-1及属于特征值-1的一个特征向量(1)求矩阵M.(2)求M5α.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据特征值λ1=4即特征向量列出关于的方程组.同样根据特征值λ2=-1即特征向量列出列出关于的方程组.通过解四元一次方程组可得.从而求出矩阵M.（2）由矩阵可表示为特征向量即所以.即填.试题解析：(1)设M=则∴①又∴②由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M= 4分(2)易知∴ 7分【考点】1.矩阵的特征向量的表示.2.矩阵的乘法运算.23.已知矩阵，，求矩阵.【答案】【解析】设矩阵的逆矩阵为，则，即，∴，，，，从而，的逆矩阵为，∴.【考点】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力.24.已知，则cos2α=．【答案】﹣【解析】∵cos（）=cos[2π﹣（﹣）]=cos（）=sin=﹣∴cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（﹣）2=cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣故答案为：﹣【考点】二倍角的余弦；诱导公式的作用点评：此题考查了二倍角公式和诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题．25.求使等式成立的矩阵．【答案】【解析】解：设，则由（5分）则，即. （10分）【考点】矩阵点评：主要是考查了矩阵的求解的运用，属于基础题。
高考数学压轴专题人教版备战高考《矩阵与变换》难题汇编含答案
【高中数学】数学《矩阵与变换》试卷含答案一、151．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．【详解】解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==；矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．2．用行列式解方程组231231x y z x y az ay z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，并加以讨论.【答案】当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，方程组无解；当1a =时，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【解析】 【分析】分别得到D ，x D ，y D ，z D ，然后分别得到它们等于0，得到相应的a 的值，然后进行讨论. 【详解】()()2131225101D a a a a-=-=-+--，()()1133211111x D a a a a--=--=-+-，()2131321011y D a a --=-=---，()2111235101z D a a-=--=-当1a ≠且52a ≠-时，原方程有唯一解1125225525a x a y a z a +⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩；当52a =-时，原方程等价于2315232512x y z x y z y z ⎧⎪+-=-⎪⎪--=-⎨⎪⎪---=⎪⎩，方程组无解；当1a =时，原方程组等价于231231x y z x y z y z +-=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，方程组有无穷多解，解为()11,x t y t t R z t =-⎧⎪=+∈⎨⎪=⎩【点睛】本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.3．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1．【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422a b +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦， 所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．4．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积.【答案】312【解析】 【分析】解法一：用行列式求解，面积公式为112233111ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用12ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可. 【详解】解法一：行列式求解，11223315013113312121ABC x y S x y x y ∆-==-=； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：3353y x +-=-，即：5360x y +-=，点A 到直线BC 的距离d ===，BC ==所以1131222ABC S BC d ∆=⋅⋅==. 【点睛】本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.5．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b .（1）求字母b 的代数余子式的展开式；（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系. 【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-即可求解；（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a cc b a a c b ，所以字母b 的代数余子式的展开式为：()()()246111b a b c b a c ba bc b-+-+-222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b=， 由正弦定理：sin sin c C b B= 所以sin sin c C b c b B a b-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.6．已知关于,x y 的方程组421mx y x y +=⎧⎨+=⎩. （1）求,,x y D D D ；（2）当实数m 为何值时方程组无解；（3）当实数m 为何值时，方程组有解，并求出方程的解. 【答案】（1）4,2,2x y D m D D m =-=-=- （2）4m =（3）4m ≠方程组有唯一解2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】（1）根据方程组得解法求得4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由线性方程组解得存在性，当||0A =时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m 的值（3）由当4011m ≠，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解． 【详解】（1）42111m x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 4D m =-，2x D =-，2y D m =-（2）由411m A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当||0A =， 即44011m m =-=，解得：4m =， ∴当4m =，方程组无解（3）当4011m ≠，解得：4m ≠，方程组有唯一解， 由421mx y x y +=⎧⎨+=⎩①②，①4-⨯②解得：24m y m -=-，代入求得24x m -=-，∴方程的解集为：2424x m m y m -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩．【点睛】本题主要考查方程组解得存在性，考查方程组的解与||A 的关系，行列式的展开，考查计算能力，属于中档题．7．已知矩阵2101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；（2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r，求3M αv.【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r（2）91⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r可得33312M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即可. 【详解】（1）矩阵M 的特征多项式为21()01f λλλ--=-(2)(1)λλ=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，当1λ=，时由二元一次方程0000x y x y --=⎧⎨+=⎩. 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤=⎢⎥⎣⎦； 当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=⎧⎨+=⎩.得0y =，令1x =，所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r；（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u ur u u r rQ ，33312M M M ααα∴=+u u ru u rr331212αα=+u u ru u r311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.8．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9．解关于x ，y ，z 的方程组()1213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪++=⎨⎪-++=⎩.【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪⎪=⎨+⎪⎪-++=⎪-++⎩；（2）2m =或1m =-时，无解.【解析】 【分析】先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪⎪=⎨+⎪⎪-++=⎪-++⎩；（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．10．变换T 1是逆时针旋转2π角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）点P(2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y －x ＝y 2. 【解析】试题分析：（1）先写出旋转矩阵M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y －x ＝y 2.试题解析：解：(1)M 1＝0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦， M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P(2,1)在T 1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2). (2)M ＝M 2⋅M 1＝1110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是000{x y x x y -==即00{y y x x y =-=所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. 考点：旋转矩阵，矩阵变换11．已知向量102112A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】先求得1A -u r，以及其特征多项式()fλ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定义求解即可. 【详解】 设1A-u ra b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1A-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 则其特征多项式()()1? 1?122? f λλλλλ+==+-，令()0fλ=，可得特征值为121,2λλ==-.设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由11A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可得矩阵1A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.12．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；（2）求2A .【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩（2）216709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。
高中数学矩阵检测试题(含答案)
高中数学矩阵检测试题〔含答案〕一．单项选择题1. 设为阶矩阵，且，那么〔 C 〕〔A〕均不可逆; 〔B〕不可逆，但可逆〔C〕 , 均可逆;〔D〕可逆,但不可逆2．设都是阶非零矩阵，且，那么的秩〔 B 〕〔A〕必有一个等于零〔B〕都小于〔C〕一个小于，一个等于〔D〕都等于3．假设为阶可逆矩阵，那么以下结论不正确的选项是〔 D 〕．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕．4．设为阶矩阵，以下结论正确的选项是〔 D 〕〔A〕〔B〕〔C〕假设，那么〔D〕假设，那么5．均为三阶可逆矩阵，那么以下等式成立的是〔 A 〕．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕．6．设，那么必满足〔 D 〕．〔A〕三阶子式全为零；〔B〕至少有一个四阶子式不为零；〔C〕二阶子式全为零；〔D〕至少有一个二阶子式不为零．7．，，秩〔B 〕．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕．8．设为阶矩阵，是伴随矩阵，，那么〔 C 〕．〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕．9．设均为阶矩阵，与等价，以下结论不正确的选项是〔 A 〕．〔A〕假设，那么〔B〕假设，那么存在可逆矩阵使得〔C〕假设与等价，那么是可逆矩阵〔D〕存在可逆矩阵，使得10．设阶矩阵，其中，假设，那么应满足〔 B 〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕11．设均为矩阵，， ,假设方程组有解，无解，且，那么〔 D 〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二．填空题1．假设，，那么．2．为三阶矩阵，，，那么 2 ．3．，，那么．4．假设均为阶矩阵，且，那么 3E ．5．是三维列向量，，那么 3 ．6．假设为阶可逆矩阵，是的伴随矩阵,那么 = ．三．判断题〔正确打V，错误打〕1．的充分必要条件是．〔〕2．不可逆．〔 V 〕3．假如，那么．〔 V 〕4．为阶非零矩阵，假设那么．〔 V 〕5．为阶可逆矩阵，假设的每行元素之和全为，那么的每行元素之和全为．〔 V 〕6．假设为阶可逆矩阵，是的伴随矩阵,那么〔〕四．设矩阵，求．五．讨论参数的取值，求矩阵的秩．六．设，是否存在可逆阵使 ,假设存在，求出。
高一数学二 二阶行列式与逆矩阵试题
高一数学二二阶行列式与逆矩阵试题1.（2013•上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．点评：本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．2.（2010•宜春模拟）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．3.（2005•朝阳区一模）定义运算，则符合条件的复数z为（）A．3﹣i B．1+3i C．3+i D．1﹣3i【答案】A【解析】根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z== =3﹣i．故选A．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．4.（2013•虹口区二模）已知，则cos2（α+β）= ．【答案】【解析】通过二阶行列式的定义，求出cos（α+β），利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．解：因为，所以cosαcosβ﹣sinαsinβ=，即cos（α+β）=．∴cos2（α+β）=2cos2（α+β）﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查二阶行列式的定义、三角函数的和角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．5.（2013•徐汇区一模）方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．6.（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T= ．【答案】π【解析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．7.在三阶行列式中，5的余子式的值为．【答案】﹣21【解析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．8.将式子b2﹣4ac表示成行列式．【答案】【解析】根据行列式的定义，可写出满足题意的行列式．解：根据行列式的定义得，故答案为．点评：本题以代数式为载体，考查行列式的定义，属于基础题．9.不等式的解集为．【答案】[0，1]【解析】利用，将不等式等价转化为一元二次不等式，可解．解：由题意，x2﹣x≤0，∴0≤x≤1，故答案为[0，1]点评：本题主要考查二阶行列式的定义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．10.若规定，则不等式的解集是．【答案】（x﹣1）＜﹣1，再利用对数函数的单调性【解析】根据二阶行列式的定义原不等式可化为：log2去掉对数符号得出关于x的整式不等式，即可求解．解：原不等式可化为：（x﹣1）＜﹣1，log2即：⇒0＜x﹣1＜，⇒1＜x＜，故答案为：．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二阶行列式的定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．。
高三数学矩阵行列式试题
高三数学矩阵行列式试题1.矩阵与变换：已知a，b∈R，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求的逆矩阵．【答案】【解析】根据矩阵乘法求变换：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得：其与完全一样得则矩阵则解：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得： 3分其与完全一样得则矩阵 6分则 10分【考点】矩阵变换，逆矩阵2.已知矩阵，点，．求线段在矩阵对应的变换作用下得到线段的长度．【答案】【解析】先根据逆矩阵公式求逆矩阵：，即，再根据矩阵运算求出对应点的坐标，由，，知点，最后根据两点间距离公式求长度，．设，则，所以，解得，即．由，，知点，所以．【考点】逆矩阵，矩阵运算3.关于方程的解为．【答案】2【解析】原方程为，即，，所以，．【考点】行列式，指数方程．4.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算. 试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.5.已知，，则y=．【答案】1【解析】由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．【考点】二阶行列式的定义点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题6.对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）．【答案】相反数的相反数是它本身，集合A的补集的补集是它本身，一个复数的共轭的共轭是它本身，等等.【解析】一个非零向量的反向量的反向量是它本身；一个命题的否命题的否命题是它本身；一个函数的反函数的反函数是它本身。
书后习题：逆矩阵的证明题
14. 设n阶方阵A满足：A3 4 A2 + 3 A E = 0 阶方阵A满足： 试证A可逆， 试证A可逆，并求 证： 由
A1
A3 4 A2 + 3 A E = 0 ，得到
A( A2 4 A + 3E ) = E
故A可逆， 且 可逆，
A = A 4 A + 3E
B A B = B
K 1 1
B A = B B A = 5K
K K
1
5）设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 是 k ≠0
作业： ）、2 ）、4 ）、10、13、 作业：1（2）、2（1）、4（2）、10、13、16 （1）、19（4）、22（2、5）、24、30（1） ）、19（ ）、22（ ）、24、30（
∴ ( A ) 1 = ( A1 )
20．填空：1）设A、B是两个 阶方阵， A = 1, B = 2 ．填空： ） 是两个3阶方阵 、 是两个 阶方阵， 则：2( A B ) = 2 A B
T 3 T 1 2 1 2
=8 A
T 2
B
1 2
=8 A
2 1 2 B
= 8 ×1 × 1 = 2 4
1 A = 16 , B = 2 A1 (2 A) 1 2）设A、B是两个4阶方阵， 是两个4阶方阵，
A 1 ( A 3E ) = E 2
Байду номын сангаас
A1 = 1 ( A 3 E ) 2
2. 若 AK = 0 ，则 ( E A) 1 = E + A + A2 + + AK 1 证明： 证明： 因
( E A)( E + A + A + + A
高中矩阵练习题及讲解详细解析
高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。
解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。
解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。
逆矩阵练习题
逆矩阵练习题矩阵是线性代数中一个重要的概念，而逆矩阵则是在矩阵运算中扮演着至关重要的角色。
逆矩阵的概念十分重要，它不仅有助于解决方程组和求解线性方程，还在其他数学领域中有着广泛的应用。
本文将为你提供一些关于逆矩阵的练习题，帮助你更好地理解和应用逆矩阵。
1. 给定矩阵A = [3 1; 2 5]，求其逆矩阵A^-1。
解析：首先，我们需要使用矩阵的公式来计算逆矩阵。
对于一个2x2的矩阵A，其逆矩阵的计算公式如下：A^-1 = (1/|A|) × adj(A)其中，|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。
根据公式，我们可以先计算矩阵A的行列式：|A| = 3 × 5 - 1 × 2 = 13然后，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算方法是，将矩阵A的元素按照特定顺序组成一个新的矩阵，并保持原矩阵的行列关系。
对于2x2的矩阵A来说，其伴随矩阵的计算方法如下：adj(A) = [d -b; -c a]其中，a、b、c、d分别表示矩阵A的元素。
根据上述公式和计算步骤，我们可以得出矩阵A的逆矩阵A^-1为：A^-1 = (1/13) × [5 -1; -2 3]2. 给定矩阵B = [4 7 2; 1 6 3; 5 2 2]，求其逆矩阵B^-1。
解析：同样地，我们可以使用矩阵的公式来计算逆矩阵。
对于一个3x3的矩阵B，其逆矩阵的计算公式如下：B^-1 = (1/|B|) × adj(B)首先，计算矩阵B的行列式：|B| = 4 × (6 × 2 - 2 × 2) - 7 × (1 × 2 - 2 × 5) + 2 × (1 × 2 - 6 × 5) = 8然后，计算矩阵B的伴随矩阵：adj(B) = [e f g; h i j; k l m]其中，e、f、g、h、i、j、k、l、m分别表示矩阵B的元素。
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高中数学矩阵及逆矩阵试题一．选择题（共13小题）1．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．2．定义＝a1a4﹣a2a3，若f（x）＝，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y＝2sin（x﹣）B．y＝2sin（x+）C．y＝2cos x D．y＝2sin x3．给出一个算法＝x1y2﹣x2y1，如果，那么实数a的值等于（）A．0B．1C．2D．34．设行列式＝n，则行列式等于（）A．m+n B．﹣（m+n）C．n﹣m D．m﹣n5．设＝，n∈N*，则n的最小值为（）A．3B．6C．9D．126．函数的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．7．有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC 8．定义运算＝ad﹣bc，则函数图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．9．已知矩阵A＝，C＝，若AC＝BC，则矩阵B＝（）A．B．C．D．，其中a，c为任意实数10．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，则矩阵A的特征值为（）A．﹣1B．4C．﹣1，4D．﹣1，3 11．矩阵的逆矩阵是（）A．B．C．D．12．矩阵A＝的逆矩阵为（）A．B．C．D．13．设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|＝（）A．|A|B．C．|A|*D．|A|n﹣1二．填空题（共22小题）14．若＝0，则x＝．15．若θ∈R，则方程＝0的解为．16．增广矩阵（）的二元一次方程组的解（x，y）＝．17．已知矩阵A＝，矩阵B＝，计算：AB＝．18．N＝，则N2＝．19．若行列式＝1，则x＝．20．二阶行列式的运算结果为．21．若复数z满足（i是虚数单位），则||＝．22．已知矩阵A＝，B＝，满足AX＝B的二阶矩阵X＝．23．二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣y＝4，求l的方程．24．设矩阵A＝，B＝，若BA＝，则x＝．25．若A＝，且AB＝，则B＝．26．已知矩阵A＝，向量＝．求向量，使得A2＝．27．矩阵A＝的逆矩阵为．28．已知矩阵A＝，则矩阵A的逆矩阵为．29．矩阵的逆矩阵是．30．已知A＝，B＝，则（AB）﹣1＝．31．已知矩阵A＝，B＝，则矩阵A﹣1B＝．32．已知矩阵﹣1＝，则a+b＝．33．已知矩阵M＝，N＝，且（MN）﹣1＝，则ad+bc＝．34．设矩阵的逆矩阵为，a+b+c+d＝．35．已知矩阵A＝，则A的逆矩阵是．三．解答题（共12小题）36．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．37．已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B﹣1＝，求矩阵AB的逆矩阵．38．设点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y）．（1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵M﹣1（2）若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'：y2＝4x，求曲线C的方程．39．已知矩阵，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到的点P1（1，4）（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵．40．已知m∈R，矩阵A＝的一个特征值为﹣2．（1）求实数m；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．41．已知矩阵A＝，，．（1）求a，b的值；（2）求A的逆矩阵A﹣1．42．已知矩阵A＝，B＝，求A﹣1B43．已知x，y∈R，若点M（1，1）在矩阵A＝对应变换作用下得到点N（3，5），求矩阵A的逆矩阵A﹣1．44．已知矩阵M＝．（1）求逆矩阵M﹣1；（2）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．45．已知矩阵A＝的逆矩阵为A﹣1，求A﹣1的特征值．46．已知矩阵A＝，二阶矩阵B满足AB＝．（1）求矩阵B；（2）求矩阵B的特征值．47．设矩阵M＝，N＝，若MN＝，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D＝．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2．定义＝a1a4﹣a2a3，若f（x）＝，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y＝2sin（x﹣）B．y＝2sin（x+）C．y＝2cos x D．y＝2sin x【分析】利用行列式定义将函数f（x）化成y＝2sin（x+），f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为y＝2sin x，即可得出结论．【解答】解：f（x）＝＝sin（π﹣x）﹣cos（π+x）＝sin x+cos x ＝2sin（x+），∴f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为y＝2sin x，故选：D．【点评】本小题考查三角函数图象与性质及图象变换等基础知识；解答的关键是利用行列式定义将函数f（x）化成一个角的三角函数的形式，以便于利用三角函数的性质．3．给出一个算法＝x1y2﹣x2y1，如果，那么实数a的值等于（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：3a﹣2＝4，得a＝2．故选：C．【点评】此题考查了二阶行列式，弄清题中的新定义是解本题的关键．4．设行列式＝n，则行列式等于（）A．m+n B．﹣（m+n）C．n﹣m D．m﹣n【分析】利用二阶行列式展开法则进行求解．【解答】解：∵＝n，∴m＝a11a22﹣a21a12，n＝a13a21﹣a23a11，∴＝a11（a22+a23）﹣a21（a12+a13）＝a11a22﹣a21a12﹣（a21a13﹣a23a11）＝m﹣n．故选：D．【点评】本题考查二阶行列式的计算，是基础题，解题时要注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．设＝，n∈N*，则n的最小值为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由题意，＝＝，可得cos＝1，sin＝0，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，＝＝，∴cos＝1，sin＝0，∴n的最小值为12．故选：D．【点评】本题考查二阶矩阵，考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．6．函数的最小正周期是（）A．2πB．πC．D．【分析】先利用二阶行列式的定义，化简函数，再求函数的最小正周期．【解答】解：由题意，＝sin2x+2，从而最小正周期π，故选：B．【点评】本题主要考查二阶行列式的定义，考查三角函数最小正周期，属于基础题．7．有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．AC B．BAC C．ABC D．AB﹣AC 【分析】利用矩阵的乘法，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB＝D3×3，ABC是DC＝E3×3，故选：C．【点评】本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础．8．定义运算＝ad﹣bc，则函数图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．【分析】根据题中的定义可把函数的解析式化简，再利用二倍角的三角函数化简后，根据余弦函数的对称轴求出x的值，即可得到正确答案．【解答】解：由题中的定义可知，函数＝2cos2x﹣1＝cos2x，函数的对称轴为2x＝kπ，解得x＝（k∈Z）所以函数的一条对称轴为x＝故选：A．【点评】此题考查学生会进行二阶矩阵的运算，掌握余弦函数图象的对称轴，是一道综合题．9．已知矩阵A＝，C＝，若AC＝BC，则矩阵B＝（）A．B．C．D．，其中a，c为任意实数【分析】假设二阶矩阵，利用矩阵的乘法，结合AC＝BC，可求．【解答】解：设矩阵B＝，则AC＝∵AC＝BC，∴b＝1，d＝0∴B＝故选：D．【点评】本题以二阶矩阵为载体，考查矩阵的乘法与矩阵的相等，关键是利用矩阵的乘法公式．10．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，则矩阵A的特征值为（）A．﹣1B．4C．﹣1，4D．﹣1，3【分析】利用AA﹣1＝E，建立方程组，即可求矩阵A；先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）＝0解方程可得特征值．【解答】解：设A＝，则由AA﹣1＝E得•＝，即有解得，即A＝，则矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6＝λ2﹣3λ﹣4，令f（λ）＝0，则λ＝﹣1或4．故矩阵A的特征值为﹣1，4．故选：C．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵特征值的计算等基础知识，属于基础题．11．矩阵的逆矩阵是（）A．B．C．D．【分析】本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵．【解答】解：设矩阵的逆矩阵为，则，∴，∴，∴矩阵的逆矩阵为．故选：A．【点评】本题考查的是逆矩阵的定义，还可用逆矩阵的公式求解，本题属于基础题．12．矩阵A＝的逆矩阵为（）A．B．C．D．【分析】根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad﹣bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．【解答】解：∵矩阵A＝∴A﹣1＝＝故选：A．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩阵的公式，代入数据时，不要出错．13．设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|＝（）A．|A|B．C．|A|*D．|A|n﹣1【分析】由A为n阶可逆矩阵，由伴随矩阵的定义，AA*＝|A|E，A*也可逆，|AA*|＝||A|E|＝|A|n，即可求得|A*|＝|A|n﹣1．【解答】解：A为n阶可逆矩阵，∴|A|≠0AA*＝|A|E，A*也可逆，又|AA*|＝||A|E|＝|A|n，|A||A*|＝|A|n，∴|A*|＝|A|n﹣1，故选：D．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵及伴随矩阵的性质，考查矩阵性质的证明，属于基础题．二．填空题（共22小题）14．若＝0，则x＝1．【分析】根据行列式的展开，则4x﹣2×2x＝0，即可求得x的值．【解答】解：＝4x﹣2×2x＝0，设2x＝t，t＞0，则t2﹣2t＝0，解得：t＝2，或t＝0（舍去）则2x＝t＝2，则x＝1，故答案为：1．【点评】本题考查行列式的展开，考查计算能力，属于基础题．15．若θ∈R，则方程＝0的解为或，k∈Z．【分析】由已知条件得sin2θ＝，由此能求出结果．【解答】解：∵θ∈R，方程＝2sin2θ﹣1＝0，∴sin2θ＝，∴2θ＝2k或2θ＝2kπ+，k∈Z，∴或，k∈Z．故答案为：或，k∈Z．【点评】本题考查方程的解法，是基础题，解题时要注意二阶矩阵、三角函数知识点的合理运用．16．增广矩阵（）的二元一次方程组的解（x，y）＝（2，1）．【分析】利用增广矩阵得到相应的行列式的值，再根据公式法求出方程组的解，也可以恢复成两个二元一次方程组成的方程组的形式，消元解方程组得到本题结论．【解答】解：∵二元一次方程组的增广矩阵，∴D＝＝1×（﹣1）﹣2×2＝﹣5，D x＝＝4×（﹣1）﹣2×3＝﹣10，D y＝＝1×3﹣2×4＝﹣5，∴＝﹣，＝＝1，故答案为：（x，y）＝（2，1）．【点评】本题考查了用行列式法解二元一次方程组，本题难度不大，属于基础题．17．已知矩阵A＝，矩阵B＝，计算：AB＝．【分析】利用矩阵的乘法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵已知矩阵A＝，矩阵B＝，∴AB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的乘法的意义，是一道考查基本运算的基础题．18．N＝，则N2＝．【分析】根据根据矩阵乘法法进行二阶矩阵乘法运算即可．【解答】解：∵N＝，则N2＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了二阶矩阵的求解，同时考查计算能力，属于基础题．19．若行列式＝1，则x＝1．【分析】利用，由行列式＝1，能求出x．【解答】解：∵＝x2﹣2（x﹣1）＝1，∴x＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二阶行列式的计算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．20．二阶行列式的运算结果为﹣2．【分析】按照运算法则＝ad﹣bc，将二阶行列式转化为实数的乘法与减法运算．【解答】解：根据题意，得＝3×6﹣4×5＝18﹣20＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】解答本题的关键就是弄清楚题中给出的运算法则，将二阶矩阵计算问题转化为一般运算．21．若复数z满足（i是虚数单位），则||＝．【分析】先利用行列式进行化简运算，然后解方程，求出复数z，最后求其共轭复数的模即可．【解答】解：∵∴zi+2z＝3﹣i，即z（2+i）＝3﹣i，所以z＝＝＝＝1﹣i，∴||＝|1+i|＝；故答案为：．【点评】用好行列式的运算法则，方程变形后，复数化简，计算准确，本题是基础题．22．已知矩阵A＝，B＝，满足AX＝B的二阶矩阵X＝．【分析】由X＝A﹣1B＝，能求出二阶矩阵X．【解答】解：∵A＝，∴A﹣1＝，∵AX＝B，∴X＝A﹣1B＝＝．故答案为：．【点评】本题考查二阶矩阵X的求法，是基础题，解题时要注意矩阵方程的性质的合理运用．23．二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）．（1）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣y＝4，求l的方程．【分析】（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；（2）在所求的直线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵M的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可．【解答】解：（1）设M＝，则有＝，＝，所以且解得，所以M＝．（2）任取直线l上一点P（x，y）经矩阵M变换后为点P’（x’，y’）．因为，所以又m：x'﹣y'＝4，所以直线l的方程（x+2y）﹣（3x+4y）＝4，即x+y+2＝0．【点评】本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题．24．设矩阵A＝，B＝，若BA＝，则x＝2．【分析】由题意，根据矩阵运算求解．【解答】解：∵A＝，B＝，BA＝，∴4×2﹣2x＝4；解得，x＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了矩阵的运算，属于基础题．25．若A＝，且AB＝，则B＝．【分析】求出A的逆矩阵，利用矩阵与向量乘法，即可得出结论．【解答】解：∵A＝，且AB＝，∴B═﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵与向量乘法，考查学生的技术能力，比较基础．26．已知矩阵A＝，向量＝．求向量，使得A2＝．【分析】先计算A2，再利用A2＝，求向量，．【解答】解：∵A＝，∴A2＝＝，设＝，则A2＝＝，∴，∴，∴＝．【点评】本题考查二阶矩阵与平面向量的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．27．矩阵A＝的逆矩阵为．【分析】利用[A|I）→（A﹣1|I），能求出矩阵A的逆矩阵．【解答】解：∵矩阵A＝，∴（A|I）＝→→→．∴矩阵A＝的逆矩阵A﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．28．已知矩阵A＝，则矩阵A的逆矩阵为．【分析】利用[A|I）→（A﹣1|I），能求出矩阵A的逆矩阵．【解答】解：∵矩阵A＝，∴[A|I）＝→→，∴A﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的变换的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．29．矩阵的逆矩阵是．【分析】先设矩阵的逆矩阵是：，再根据MM﹣1＝E，求得M的逆矩阵即可．【解答】解：设矩阵的逆矩阵是：，则：＝，∴﹣c＝1，﹣d＝0，a＝0，b＝1，∴＝，∴矩阵的逆矩阵是：故答案为：．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．30．已知A＝，B＝，则（AB）﹣1＝．【分析】先求出AB＝，由此利用矩阵的变换能求出AB的逆矩阵（AB）﹣1．【解答】解：∵矩阵，∴AB＝＝，∵→→∴AB的逆矩阵（AB）﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查矩阵乘积的逆矩阵的求法，考查矩阵的乘积、逆矩阵等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．31．已知矩阵A＝，B＝，则矩阵A﹣1B＝．【分析】先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，再计算矩阵A﹣1B．【解答】解：矩阵的行列式为＝﹣2，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1＝，∴A﹣1B＝＝．故答案为：．【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．32．已知矩阵﹣1＝，则a+b＝0．【分析】求出＝a﹣4，可得矩阵M的逆矩阵，即可得出结论．【解答】解：由题意，＝a﹣4，∴﹣1＝，∵矩阵﹣1＝，∴a＝3，b＝﹣3，∴a+b＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查矩阵M的逆矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．33．已知矩阵M＝，N＝，且（MN）﹣1＝，则ad+bc＝．【分析】根据矩阵M和N，计算出MN，再根据（MN）﹣1＝，列出关于a，b，c，d的方程组，分别解出a，b，c，d，即可求得ad+bc的值．【解答】解：∵M＝，N＝∴MN＝＝∴（MN）﹣1＝＝则∴ad+bc＝×+（﹣）×（﹣）＝．故答案为：．【点评】本题以矩阵为载体，考查矩阵的变换以及逆矩阵，考查了计算能力，难度不大．属于基础题．34．设矩阵的逆矩阵为，a+b+c+d＝0．【分析】利用矩阵与逆矩阵的积为单位矩阵，建立方程组，求出a，b，c，d的值，即可求得结论．【解答】解：∵矩阵矩阵的逆矩阵为，∴＝∴，∴，∴a+b+c+d＝＝0故答案为：0【点评】本题考查矩阵与逆矩阵，考查学生的计算能力，属于基础题．35．已知矩阵A＝，则A的逆矩阵是．【分析】由矩阵A，求出|A|＝﹣，A*＝，再由A﹣1＝，能求出A 的逆矩阵．【解答】解：∵矩阵A＝，∴|A|＝＝﹣，∵A*＝，∴A的逆矩阵A﹣1＝＝．故答案为：．【点评】本题考查逆矩阵的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式、伴随矩阵、逆矩阵的性质的合理运用．三．解答题（共12小题）36．已知矩阵M＝的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】写出矩阵M的特征多项式f（λ），根据题意知f（4）＝0求出t的值，写出矩阵M，再求它的逆矩阵．【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1）﹣3t；因为矩阵M的一个特征值为4，所以方程f（λ）＝0有一根为4；即f（4）＝2×3﹣3t＝0，解得t＝2；所以M＝，设M﹣1＝，则MM﹣1＝＝，由，解得；由，解得；所以M﹣1＝．【点评】本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题，是基础题．37．已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B﹣1＝，求矩阵AB的逆矩阵．【分析】设B＝，由BB﹣1＝E，结合矩阵的乘法，解方程可得a，b，c，d，求得AB，设矩阵AB的逆矩阵为，由逆矩阵的定义和矩阵的乘法可得x，y，z，w的方程，解方程即可得到所求矩阵．【解答】解：设B＝，由BB﹣1＝E，即＝，可得a＝1，﹣a+2b＝0，c＝0，﹣c+2d＝1，解得a＝1，b＝，c＝0，d＝，则AB＝＝，设矩阵AB的逆矩阵为，可得＝，即有x+z＝1，﹣z＝0，y+w＝0，﹣w＝1，解得x＝1，z＝0，y＝，w＝﹣1，则矩阵AB的逆矩阵为．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，注意运用方程思想和逆矩阵的定义，考查运算能力，属于基础题．38．设点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y）．（1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵M﹣1（2）若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'：y2＝4x，求曲线C的方程．【分析】本题第（1）题可根据两个坐标的特点得出矩阵M，然后根据矩阵M是主对角阵得到它的逆矩阵M﹣1；第（2）题可在曲线C上任取一点（x，y），在矩阵M 对应变换作用下得到点（x0，y0），然后根据已知的曲线C′的方程可得到曲线C的方程．【解答】解：（1）由题意，可知：∵点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y），∴矩阵M＝．又∵det（A）＝9≠0，∴M存在逆矩阵．∴根据逆矩阵公式，可得：M﹣1＝．（2）在曲线C上任取一点（x，y），在矩阵M对应变换作用下得到点（x0，y0）．由（1），可知：x0＝3x，y0＝3y在曲线C′上，又∵，∴（3y）2＝4×3x．∴曲线C的方程为：．【点评】本题第（1）题主要考查根据根据两个坐标的特点得出变换对应的矩阵以及逆矩阵的求法；第（2）题主要考查已知变换对应的矩阵及其中一条曲线方程的情况下求另一条曲线方程．本题属中档题．39．已知矩阵，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到的点P1（1，4）（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵．【分析】本题第（1）题可根据两个对应点的坐标及矩阵A写出相应的算式，然后可转化成线性方程组求出实数a，b的值；第（2）题可通过先求伴随矩阵的方法求出矩阵A的逆矩阵．【解答】解：（1）由题意，可知：，即：＝．∴，解得：．（2）由（1），可知：A＝．则矩阵A对应的行列式，又∵A*＝．根据公式A﹣1＝，可得：．【点评】本题第（1）题主要考查根据两个对应点的坐标及矩阵写出相应的算式再求出参数的值；第（2）题主要考查求一个矩阵的逆矩阵．本题属基础题．40．已知m∈R，矩阵A＝的一个特征值为﹣2．（1）求实数m；（2）求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【分析】本题第（1）题可根据特征值﹣2写出相应的特征多项式值为0，得出相应的实数m的值；第（2）题可用伴随矩阵的方法求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：（1）由题意，可知：∵﹣2E﹣A＝﹣＝．∴|﹣2E﹣A|＝＝2﹣m＝0∴m＝2．（2）由（1），可知：A＝．∵|A|＝＝﹣2≠0，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1存在．又∵A*＝．∴A﹣1＝＝﹣＝．【点评】本题第（1）题主要考查特征值和特征多项式的相关概念；第（2）题主要考查用伴随矩阵的方法求逆矩阵．本题属中档题．41．已知矩阵A＝，，．（1）求a，b的值；（2）求A的逆矩阵A﹣1．【分析】本题第（1）题可先用矩阵乘法算出A•B，然后根据矩阵相等的概念与AB 进行比较即可得到a，b的值；第（2）题可先设A﹣1＝．然后根据逆矩阵公式AA﹣1＝E计算出a、b、c、d的值，即可得到A﹣1．【解答】解：（1）由题意，可知：AB＝A•B＝•＝＝．∴，解得：．（2）由（1），可知：A＝．由题意，可设A﹣1＝．则由逆矩阵公式AA﹣1＝E，可得：•＝，即：＝．∴，解得：．∴A﹣1＝．【点评】本题第（1）题主要考查矩阵乘法的计算及矩阵相等的概念；第（2）题主要考查根据逆矩阵公式求一个矩阵的逆矩阵．本题属基础题．42．已知矩阵A＝，B＝，求A﹣1B【分析】根据矩阵乘法法则计算．【解答】解：设A﹣1＝，∵AA﹣1＝，∴，即，∴A﹣1＝，∴A﹣1B＝．【点评】本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．43．已知x，y∈R，若点M（1，1）在矩阵A＝对应变换作用下得到点N（3，5），求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【分析】由，求出，法1：设，则，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1；法2：由，能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：因为，即，即，解得，所以，……（5分）法1：设，则，即，……（7分）解得，所以．……（10分）法2：因为，且，所以．……（10分）注：法2中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣2分．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，考查矩阵的乘法法则、矩阵的行列式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．44．已知矩阵M＝．（1）求逆矩阵M﹣1；（2）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．【分析】本题（1）可以利用逆矩阵公式求出M的逆矩阵；（2）利用特征多项式对应方程的根，求出矩阵的特征值，再结合对应方程，得到特征值对应的特征向量．【解答】解：（1）|M|＝4×（﹣1）﹣2×（﹣3）＝﹣4+6＝2，．（2）矩阵M的特征多项式为，令f（λ）＝0，解得λ1＝1，λ2＝2，当λ1＝1时，得，当λ2＝2时，得．【点评】本题考查的是逆矩阵、矩阵的特征值、特征向量，本题思维量不大，属于基础题．45．已知矩阵A＝的逆矩阵为A﹣1，求A﹣1的特征值．【分析】先求A﹣1，再求A﹣1的特征值．【解答】解：设A﹣1＝则即＝故，解得，所以A﹣1＝．因为f（λ）＝＝λ2﹣8λ+1，令f（λ）＝0，解得，．【点评】本题考查了矩阵的逆变换和逆矩阵，属于基础题．46．已知矩阵A＝，二阶矩阵B满足AB＝．（1）求矩阵B；（2）求矩阵B的特征值．【分析】（1）由矩阵的逆矩阵的公式，计算可得所求B；（2）求得矩阵B的特征多项式，可令其为0，解方程可得特征值．【解答】解：（1）由矩阵的逆矩阵，得B＝A﹣1＝．（2）矩阵B的特征多项式f（λ）＝＝（λ+1）（λ﹣1），令f（λ）＝0，解得λ＝1或﹣1，所以矩阵B的特征值为1或﹣1．【点评】本题考查矩阵的逆矩阵的求法，以及矩阵的特征值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．47．设矩阵M＝，N＝，若MN＝，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【分析】先求出MN＝，由MN＝，列出方程组求出M＝，由此能求出矩阵M的逆矩阵M﹣1．【解答】解：∵M＝，N＝，∴MN＝，∵MN＝，∴，解得x＝4，y＝3，∴M＝，∵（A|I）＝→→．∴矩阵M的逆矩阵M﹣1＝．【点评】本题考查逆矩阵的求法，涉及到矩阵与矩阵相乘、矩阵变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．。