离散傅里叶变换与z变换的关系
z变换 傅里叶变换 联系和差别
一、引言在数学和工程领域中，z变换和傅里叶变换是两个重要的概念。
它们在信号处理、控制系统、电路分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨z 变换和傅里叶变换的联系和差别，帮助读者更好地理解这两个概念。
二、z变换的概念和用途1. z变换是一种离散时间信号的转换方法，可以将离散时间域中的信号转换为z域中的信号。
它在数字滤波、数字信号处理等领域有着重要的应用。
2. z变换可以将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程，从而简化系统的分析和设计。
3. z变换的应用范围广泛，涉及数字滤波器的设计、控制系统的稳定性分析、信号的频域分析等多个领域。
三、傅里叶变换的概念和用途1. 傅里叶变换是一种连续时间信号的频域分析方法，可以将时域中的信号转换为频域中的信号，展现信号的频谱特性。
2. 傅里叶变换在通信、电子电路、光学等领域有着广泛的应用，可以用于信号的滤波、频谱分析、信号合成等方面。
3. 傅里叶变换可以将时域中的信号分解为不同频率的正弦和余弦信号，从而更直观地理解信号的频谱特性。
四、z变换和傅里叶变换的联系1. z变换和傅里叶变换都是一种信号分析的方法，z变换主要针对离散时间信号，而傅里叶变换主要针对连续时间信号。
2. 在频域中，z变换和傅里叶变换都可以将时域中的信号转换为频域中的信号，为信号的分析提供了重要手段。
3. 在数字信号处理中，z变换可以用于数字滤波器的设计和频域特性分析，而傅里叶变换可以用于时域信号的频谱分析和频率特性展现。
五、z变换和傅里叶变换的差别1. z变换是一种离散时间信号的频域分析方法，可以将差分方程转换为代数方程，而傅里叶变换是一种连续时间信号的频域分析方法，可以将时域信号分解为频域信号。
2. z变换适用于数字信号处理和数字系统分析，而傅里叶变换适用于模拟信号处理和连续系统分析。
3. z变换和傅里叶变换在数学形式上有所不同，z变换主要通过z域中的复平面上的积分来表示，而傅里叶变换主要通过复指数函数的积分来表示。
第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
2.2 z变换
定义： X ( z ) = ΖT [ x (n) ]
注意符号：时域小写 x 变换域大写 X
＝ ∑ x(n)z − n
n =−∞ ∞
∞
=
n =−∞
∑ x(n)r
− n − jω n
e
复变量： z = re jω ，复平面上的点 r = z 幅度，到原点的距离 ω 数字角频率, 与水平轴之间的夹角
重叠区域。一般缩小，个别扩大
十一、时域乘积定理 x(n) ⋅ h(n) ←⎯ → X ( z) ∗ H ( z) Rx − Rh− < z < Rx + Rh + 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ X (ν )H ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠ 1 ⎛ z ⎞ −1 = ⎟ν dν ∫ H (ν )X ⎜ 2π j C ν ⎝ ⎠
Rx − < z < Rx +
Rx − < z < Rx +
2.4 z变换的基本性质和定理
若
ZT x(n) ←⎯→ X ( z)
Rx − < z < Rx +
五、共轭序列 x *(n) ←⎯ → X * ( z *)
Rx − < z < Rx +
六、翻摺序列
⎛1⎞ → X ⎜ ⎟, x(− n) ←⎯ ⎝z⎠ 1 1 < z < Rx + Rx −
实用公式——根据极点的阶，用相应的公式求留数
若zr 是X ( z )z n -1 的多重极点（l 阶极点），则该点处的留数
n -1 ⎤ X z Res ⎡ ( )z ⎣ ⎦ z = zr
1 d l −1 ⎡ l = ⋅ l −1 ( z − zr ) X ( z )z n -1 ⎤ ⎦ z = zr ( l－1)! dz ⎣
z变换与傅里叶变换关系
z变换与傅里叶变换关系
Z变换和傅里叶变换都是信号处理中常用的数学工具，它们之间
有一定的关系。
具体来说，Z变换可以看作是傅里叶变换在离散时间下的扩展。
我们知道，傅里叶变换是将一个连续时间信号转换到连续频域的过程，而Z变换则是将一个离散时间信号转换到离散频域的过程。
因此，在
一定条件下，可以将一个离散时间信号通过Z变换得到它的频域表达式，然后将其转换为连续频域表达式，即得到该信号的傅里叶变换表
达式。
具体地，假设一个离散时间信号为x[n]，其Z变换为X(z)，则
有以下关系：
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}
而其傅里叶变换为X(\omega)，则有以下关系：
X(\omega)=X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-
j\omega n}
其中，e^{-j\omega n}是傅里叶变换中的复指数函数，与z^{-n}的形
式类似。
需要注意的是，Z变换和傅里叶变换的应用场景是不同的。
Z变
换主要用于处理离散时间信号，而傅里叶变换主要用于处理连续时间
信号，不能混淆使用。
z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
az
n 1
1 az
az 1 z 1/ a
an zn
n0
1 1 az1
az1 1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X(z)不存在
当a
1时，X (z)
az 1 az
1
1 az
1
z(1 a2 ) (1 az)(z a)
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
1）有限长序列
x(n)
x(n) 0
n1 n n2 其它n
n2
其Z变换：X (z) x(n)zn
n n1
Roc至少为： 0 z
j Im[z]
Re[z] 0
• 除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外，整个z 平面均收敛。
X (z) x(n1)zn1 x(n1 1)z(n11) x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(n2 1)z(n21) x(n2 )zn2
[n]ZT 1,0 z
δ [n]zn 1 n
收敛域应是整个z的闭平面
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = RN (n)zn
n
n
N 1
=
zn
1 zN 1 z1
n0
zN 1 z N 1(z 1)
n2 qn qn1 qn2 1
n n1
z
4
4
z
z n 1
z
1/
4
z
4
4n2
15
x(n) 4n u(n 1) 4n2 u(n 2)
15
15
j Im[z]
C
数字信号处理教程2z变换与离散时间傅里叶变换2
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max(Rx1, Ry1) < z < min(Rx2, Ry2 )
某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
浙江理工大学 2010
2.4 z变换的基本性质和定理
例1 已知x(n) = cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。
解： 由 得
( ) cos
= lim[x(n +1)] = lim x(n)
n→∞
n→∞
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2.4 z变换的基本性质和定理
九．有限项累加特性
若 x(n)为因果序列，即x(n) = 0, n < 0；X (z) = Z[x(n)]
∑ 则
n
Z[ x(m)] =
z
X (z),
m=0
z −1
z
>
max[
R x
−
,1]
y(n) = anu(n − 1) ↔ Y (z) = a
z−a
z>a z>a
x(n) − y(n) = δ(n) ↔ X (z) − Y (z) = 1
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
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2.4 z变换的基本性质和定理
二．序列的移位
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
⎦
| z |>| e± jω0 | = 1
=
1[ 2 1−
1 e jω0
z −1
+ 1 ] − jω0 −1 1 − e z 浙江理工大学 2010
=
1−
1− z −1 cos ω0 2z −1 cos ω0 +
1离散傅里叶变换的定义及物理意义2离散傅里叶变换的基本
的主值序列。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X (k ) 确定，因此： X(k) 实质上是 x(n) 的周期延拓序列 x((n)) N 的频谱特性 观察 DFT[R4(n)]4= 4δ(k)。 根据DFT第二种物理解释可知，DFT[R4(n)]4 表示 R4(n)以4为周期的周期延拓序列R4((n))4的频谱特性，因 为R4 ((n))4是一个直流序列，只有直流成分（即零频率 成分），所以， DFT[R4(n)]4 = 4δ(k) 。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
|X(ejω)| (a)R4(n)的幅频特性图
4 3 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
|X(k)|
(b)4点DFT的幅频特性图
5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
|X(k)|
ω/π
ω/π
图3.1.3 例3.1.2程序运行结果
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
3.2
3.2.1 线性性质
若x1(n)、x2(n)是两个有限长序列，长度为N1、N2，且
y(n)=ax1(n)+bx2(n)
a、b为常数，取N=max[N1, N2]，则 y(n) 的 N 点DFT为
Y(k) = DFT[y(n)]N = aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1 其中 X1(k) 和 X2(k) 分别为 x1(n) 和 x2(n) 的N点DFT
x(n) x((n)) N
（3）最后取 x(n m) 的主值序列 x((n+m)) NRN(n) 得到有限长序列 x(n) 的循环移位序列 y(n)。
z变换和离散傅里叶变换的关系
z变换和离散傅里叶变换的关系在信号处理的领域中，z变换和离散傅里叶变换(DFT)是两个非常重要的概念。
这两个概念在数字信号处理中都有着广泛的应用。
虽然它们的定义和使用不同，但是它们之间存在着密切的关系。
我们来了解一下z变换和离散傅里叶变换的定义。
z变换是一种数学变换，它将离散信号在z平面上进行变换，得到一个复变量函数。
z变换的定义式为：X(z) = Σ[n=-∞,∞] x[n]z^-n其中，x[n]是离散时间信号，X(z)是z变换后的结果。
而离散傅里叶变换是一种信号分析方法，它将离散时间信号在频域上进行分析，得到离散频谱。
离散傅里叶变换的定义式为：X[k] = Σ[n=0,N-1] x[n]e^(-j2πnk/N)其中，x[n]是离散时间信号，X[k]是离散频谱的第k个频率分量。
虽然z变换和离散傅里叶变换的定义看起来很不一样，但是它们之间存在着一种紧密的联系。
实际上，离散傅里叶变换可以看作是z 变换在单位圆上的取样结果。
具体来说，我们可以通过z变换和离散傅里叶变换之间的关系来解释这个问题。
首先，我们可以将z变换的复变量z表示为单位圆上的点：z = e^(jω)其中，ω表示单位圆上的角度。
将z代入z变换的定义式中，我们得到：X(e^(jω)) = Σ[n=-∞,∞] x[n]e^(-jωn)这个式子看起来很像离散傅里叶变换，但是它是关于复变量e^(jω)的函数。
如果我们在单位圆上取N个等间距的点，例如：e^(j2πk/N)其中，k=0,1,2,...,N-1。
将这些点代入上面的式子，我们得到：X(e^(j2πk/N)) = Σ[n=0,N-1] x[n]e^(-j2πkn/N)这个式子就是离散傅里叶变换的定义式！因此，我们可以将离散傅里叶变换看作是z变换在单位圆上取样的结果。
离散傅里叶变换的N个频率分量对应着z变换在单位圆上的N个采样点。
需要注意的是，离散傅里叶变换和z变换之间的关系只在单位圆上成立。
数字信号处理期末重点复习资料答案
1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字信号。
2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。
3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。
4、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L ≥8 时，二者的循环卷积等于线性卷积。
5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是 ()n h n ∞=-∞<∞∑6、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要（N 2）16*16＝256_次复乘法，采用基2FFT算法，需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32 次复乘法。
7、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型_和 并联型_四种。
8、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中并联型的运算速度最高。
9、数字信号处理的三种基本运算是：延时、乘法、加法10、两个有限长序列 和 长度分别是 和 ，在做线性卷积后结果长度是__N 1＋N 2－1_。
11、N=2M 点基2FFT ，共有 M 列蝶形，每列有N/2 个蝶形。
12、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对13、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法14、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。
16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。
17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。
18、单位脉冲响应分别为 和 的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表达式分别是h(n)=h1(n)*h2(n),=H1(ej ω)×H2(ej ω)。
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yl[k]= x1[k]*x2[k]
k
yc[k] x1[k] 5 x2[k]
k
yc[k ] x1[k ] 6 x2[k ]
k
yl[k]= x1[k]*x2[k]
k
yc[k ] x1[k ] 7 x2[k ]
=yl[k]
k
yc[k ] x1[k ] 8 x2[k ]
=yl[k]
k
例：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , 计算 (1) x1[k]和x2[k]的线性卷积 (2) x1[k]和x2[k]的4点循环卷积 (3) x1[k]和x2[k]的5点、6点和7点循环卷积
在线性卷积中，yl[k] 不为零长度是多少？
yl[k] 不为零长度是N1+N2-1
设：x1[k] 0 k N1 1 x1[k]的长度为N1 x2[k] 0 k N2 1 x2[k]的长度为N2
令N max[N1, N2] 不足的部分补零
N点循环卷积：
yc [k
]
x1[k ]
N 1 k 0
qk
1 N
N 1
1 qN
X [m]
m0
1 q
1 qN N1 X [m]
N m0 1 q
X (z) 1 zN
N
N 1 X [m] m0 1 WNm z1
2.4 利用DFT计算序列线性卷积*
两个有限长序列的线性卷积 利用DFT计算序列线性卷积的步骤 长序列和短序列的线性卷积
离散傅里叶变换与z变换的关系
由序列z变换表达序列DFT 由序列DFT表达序列z变换
已知有限长序列x[k]，k=0,1,2,…,N-1，存在三 种形式变换：
N 1
1. z变换：X (z) x[k]zk x[k ]zk
k
k 0
收敛域(ROC) |z|>0
2. DTFT变换：X (e j )
x[k]z k
2π jm
jm
ze N
k 0
ze N
N 1
2π - j km
x[k]e N
k 0
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样
jIm(z)
2 N
m
j
z平面
2 N
-1 单位圆
0
1
Re(z)
2 ( N 1) N
-j
由序列DFT表示序列z变换Fra bibliotekN 1
X (z) x[k]z k k 0
已知DFT 求ZT=？
N 1
x[k] X [m] x[k]WNmk
k 0
x[k]
1 N
N 1
X [m]WNmk
m0
X
(z)
N 1 k 0
x[k ]zk
N 1 k0
1 N
N 1 m0
X [m]WNmk
zk
1 N
两个有限长序列的线性卷积
问题提出： DFTx1[k] x2[k] X1[m]X2[m]
实际需要： LTI系统响应 y[k]=x [k]h[k] 可否利用DFT计算线性卷积？
有限长序列的线性卷积与循环卷积* 设：x1[k] 0 k N1 1 x1[k]的长度为N1 x2[k] 0 k N2 1 x2[k]的长度为N2
N
x2 [k ]
N 1
x1[n]x2[(k
n)N
]
RN
[k]
n0
N 1
x2 [n ]x1[(k
n)N
] RN
[k ]
x2 [k ]
N
x1[k ]
n0
讨论循环卷积和线性卷积之间的关系：
对x1[k]和x2[k]补零，使其长度均为N点
对x2[k]周期延拓： x%2[k] x2[(k)N ] x2[k rN ]
N 1
x[k ]e jk x[k ]e jk
k
k 0
3.
DFT变换：
X
[m]
N 1
x[k ]e
j 2 N
mk
k 0
问题提出
ZT 单位圆上 DTFT
X(z)
X(ej)
?
DFT X[m]
序列DFT与z变换的关系
N 1
X [m] X (z) 2
r
循环卷积：yc
[k
]
N
1
x1[n]x2[(k
n)N
]
RN
[k
]
n0
代入x2[k] 周期延拓
N 1
x1[n]
x2[k rN n] RN [k]
n0
r
交换求和次序
N 1 x1[n]x2[k rN n] RN [k ]
能否用循环卷积代替有长序列的线性卷积？
线性卷积：
N1 1
yl [k] x1[k]* x2[k] x1[n]x2[k n]
n0
为什么不同？
N2 1
x2[n]x1[k n] x2[k]* x1[k]
n0
设：x1[k] 0 k N1 1 x1[k]的长度为N1 x2[k] 0 k N2 1 x2[k]的长度为N2
N 1
X[m]
x[k
]W
km N
k 0
X [m] X (z) j 2 m ; m 0,1 N 1 ze N
X [m] IDFT x[k] Z变换 X (z)
X (z) (1 z N ) N1
N m0
X [m] 1 z 1WNm
(内插公式)
N 1 m0
X
[m]
N 1
WN
k 0
mk
z
k
X
z
1 N
N 1 m0
X
[m]
N 1
WN
k 0
mk
z
k
q WNm z1 qN WNkN zN zN
X
z
1 N
N 1 m0
X
[m]
r n0
yl [k rN ] RN [k ]
r
yc
[k
]
yl [k rN ] RN [k ]
r
N点循环卷积yc[k]是线性卷积yl [k]以N为周期
的周期延拓序列的主值序列。
而yl [k]的长度为N1 N2 1
只有当N N1 N2 -1时，yl [k]以N为周期进行周期延拓 才无混叠现象
即 当循环卷积长度N N1 N2 1时， N点循环卷积能代表线性卷积
x1[k ] N x2[k ] x1[k ]* x2[k ]
0
N
N1 N2 k N1 N
1 2
2
例如: x1[k]
x2[k]
x1[k]的长度为3
k
x2[k]的长度为5
k
yl[k] 不为零长度是7