《离散傅里叶变换》PPT课件
合集下载
第2章 离散傅里叶变换和快速算法.ppt
真正的傅里叶变换有4种： CTFS给连续周期信号用， CTFT给连续非周期信号用， DTFS给离散周期信号用， DTFT给离散非周期信号用。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )
N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r
yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系
yC (n) yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )
N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r
yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系
yC (n) yL (n rL) RN (n) r
《DTFT变换》PPT课件
精选PPT
3
D T F T[x(n)]X(ej) x(n)ejn n
ID[X T (ej) F ]x ( T n ) 2 1 X (ej)ej n d
X (ej)ej n d [ x (m )e j m ]ej n d m
x(m)
ej(nm)d
m
ej(nm )d2(nm )
实序列的DTFT的模是偶函数，相位为 奇函数。
对于实序列，一般只需分析 0 之间的 离散时间傅里叶变换。
精选PPT
29
2.10 离散系统的系统函数、系统的频率响应
2.10.1 传输函数与系统函数
设系统初始状态为零，输出端对输入为单 位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲 响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω)
式中a, b为常数
3. 乘以指数序列 DT[a FnxT (n)]X(1ej) a
精选PPT
12
4. 时移与频移 设X(e jω)=DTFT［x(n)］， 那么 FT[x(nn0)]ejn0X(ej) FT[ej0nx(n)]X(ej(0))
x(n)乘以复指数序列，也称调制性
精选PPT
13
5. 时域卷积定理
精选PPT
14
6. 频域卷积定理
设 y(n)=x(n)·h(n) ，
则
Y ( e j ) 2 1 X ( e j ) * H ( e j ) 2 1 X ( e j ) H ( e j( ) ) d
证明：Y(ej) x(n)h(n)ejn
n
x(n)[ 1
H(ej)ejnd]ejn
对照z变换定义，z变换收敛域应满足：| h(n)zn | n
比较得：|z|=1 ，即系统稳定要求收敛域包含单位圆。
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
函数正交变换与离散傅里叶变换_图文_图文
因此采样序列通过理想低通滤波器就可以恢复出原始信号 其它为0
满足定常映射条件
2.2离散系统和连续系统的等效性
给出几个正交展开的实例，并且判断是否符合定常映射条件 即连续系统离散化时，通常利用的方法是采样（也是正交展开的一种）， 还可以利用符合定常映射条件的展开方法。 例2：时限函数对复指数函数序列的展开
DFT变换长度选择的原则
(1)若已知信号的最高频率 ；
，为防止混叠，选采样频率
(2)根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度
(3) 和N确定以后，即可确定相应所需要的模拟信号的时间
长度，。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT变换长度选择的原则
在变换时尽量截取信号的完整周期，否则会引入新的频率 成分。并不是截取的信号越长越好
1、 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2、 相当于频谱
在
范围内实施了等间隔采
样，采样间隔为
离散傅立叶反变换(IDFT)
2.3离散傅里叶变换及性质
据DFT和IDFT的定义知：
∴有限长序列的DFT是 的周期序列，周期为N； IDFT所求得的 也变成了一个周期为N的周期序列， 即通过IDFT将原 进行了周期延拓。
若对傅立叶变换频域0～2π取样，点数N> 信号长度L，信号才能恢复
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的定义
在
上从0开始等间隔的取N个点，相应的
（k=0,…,N-1),则上式变为：
定义 式
其中 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的意义
有限长序列 的离散傅立叶变换（简称DFT）的意义：
f(t)对规范正交逼近基底的正交展开收敛于原f(t)
满足定常映射条件
2.2离散系统和连续系统的等效性
给出几个正交展开的实例，并且判断是否符合定常映射条件 即连续系统离散化时，通常利用的方法是采样（也是正交展开的一种）， 还可以利用符合定常映射条件的展开方法。 例2：时限函数对复指数函数序列的展开
DFT变换长度选择的原则
(1)若已知信号的最高频率 ；
，为防止混叠，选采样频率
(2)根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度
(3) 和N确定以后，即可确定相应所需要的模拟信号的时间
长度，。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT变换长度选择的原则
在变换时尽量截取信号的完整周期，否则会引入新的频率 成分。并不是截取的信号越长越好
1、 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2、 相当于频谱
在
范围内实施了等间隔采
样，采样间隔为
离散傅立叶反变换(IDFT)
2.3离散傅里叶变换及性质
据DFT和IDFT的定义知：
∴有限长序列的DFT是 的周期序列，周期为N； IDFT所求得的 也变成了一个周期为N的周期序列， 即通过IDFT将原 进行了周期延拓。
若对傅立叶变换频域0～2π取样，点数N> 信号长度L，信号才能恢复
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的定义
在
上从0开始等间隔的取N个点，相应的
（k=0,…,N-1),则上式变为：
定义 式
其中 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的意义
有限长序列 的离散傅立叶变换（简称DFT）的意义：
f(t)对规范正交逼近基底的正交展开收敛于原f(t)
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
《离散傅里叶变换》课件
$X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
离散傅里叶变换(DFT)PPT课件
其中：RN(n)为矩形序列。 符号 ((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。 即 n mod N： n M n 1 ,N 0 n 1 N 1
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
DSP离散傅里叶变换PPT课件
(kmN )
(2) X(k)隐含的周期性 N(周期为NN)
K,m,N均为整数
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
(3) 序列x(n)隐含的周期性( 周n期0 为N)
n0
N 1
(4)当N足够大时，|X(k)|的包络可逼 近|X(ejw)|曲线；
(
5
)
|
X
(
k
)
|
表
示
w
k
=
2
k
/
N
频
点的幅
第7页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.3 DFT的隐含周期性
在DFT变换的定义对中， x(n)与X(k)均为有限长序列。 (1) 旋转因子WknN的周期性(周期为N)
W W , k,m, N k
x(n)WNkn X (k)
n0
x(n+mN)=x(n)
第8页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而 x(n)则是 的一个周期， 即:
~~
x(n) x(n mN )
mm
(3.1.5)
x(n)• • 0 •• •
离散傅里叶变换(DFT) 本章主要内容
• 离散傅里叶变换的定义 • 离散傅里叶变换的基本性质 • 频率域采样 • 离散傅里叶变换的应用举例
第1页/共71页
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以式(3.1.1) 中， X(k)满足
N1
X(k mN) x(n)WN(kmN)n
n0 N1
x(n)WNkn X(k)
n0
同理可证明式(3.1.2) 中
x(n+mN)=x(n)
.
任何周期为N的周期序列 x n 都可以看做长度为N的有限长 序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)是 x n 的一个周期
XkXkRNk
结论：与DFT定义比较，可见有限长序列x(n)的DFT即X(k)是x(n)的
周期延拓序列
xn N
的离散傅里叶. 级数系数
X
K
的主值序列。
例3. 1 求有限长序列 的DFT，其中a=0.8，N=8。 解：
因此得
X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987
.
傅里叶变换的各种形式
➢ 连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
➢ 连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的. 。
➢ 离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
.
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
Matlab实现 fft1.m
X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)= 0.50746+j0.40597 X(7)= 0.71063+j0.92558
.
关于离散傅里叶变换(DFT)：
➢ 序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变 换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x7 x7 x0 7
x8 x8 x1 7
由此对长度为N的序列x(n)，且xnxn ，则 N
的DFS为
N1
N1
N1
XkxnWN knxnNWN kn xnWN kn
n0
n0
n0
xn N 1N n01XkWN knN 1N n01XkWN kn
式中，WN
j 2
eN
，
N称为DFT变换区间长度,
N≥M，
通常称
(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
Note:有限长序列x(n)的DFT即X.(k)仍是有限长序列。
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT.
解：
设变换区间N=8， 则
7
X (k)
证明：
N 1
N 1
Y k D F T y n x n m N R N n W N k n x n m N W N k n
.
(k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。
说明：序列x(n)的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取 样，如图3.4(a)。序列x(n)的DFT是其FT在区间[0,2π]上的N点等 间隔取样。如图3.4(b)。
.
3.2.3 DFT的隐含周期性
DFT变换对中
W N kW N (km N), k,m ,N均为整数
.
3.1 离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散
傅里叶变换为
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn, k=0,1,&,N-1(3.1.1)
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] N 1 N n 0 1X ( n ) W N k n ,k = 0 ,1 ,& ,N - 1 ( 3 .1 .2 )
3.2 离散傅里叶变换的性质
DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念 联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。 设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。 1．线性 设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则
➢ n为时域变量，k为频域变量。 ➢ DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
.
3
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
.
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 , ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注 意此时DFT与未补零的DFT不相等。
.
2．循环移位性质 a) 序列的循环移位： 一个长度为N的序列x(nபைடு நூலகம்的循环移位定义为
循环移位分3步计算：
(1)将x(n)延拓成周期为N的周期序列
；
(2)将
移位得
或 x((n+m))N；
(3)对 x((n+m))N 取主值得 x((n+m))N·RN(n)。
这个过程如下图所示。 .
从图中两虚线之 间的主值序列的 移位情况可以看 出，当主值序列 左移m个样本时， 从右边会同时移 进m个样本，而 且好像是刚向左 边移出的那些样 本又从右边循环 移了进来。因此 取名“循环移 位”。 显然，循环移位 不同于线性移位
.
.
.
b) 时域循环移位定理 对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
x n x n mN m
x n x n RN n
(3.1.5) (3.1.6)
.
定义：
的主值区间：周期序列
中从n=0到N-1的范围
的主值序列：主值区间上的序列
为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
xn N
表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。 .
N1
X(k mN) x(n)WN(kmN)n
n0 N1
x(n)WNkn X(k)
n0
同理可证明式(3.1.2) 中
x(n+mN)=x(n)
.
任何周期为N的周期序列 x n 都可以看做长度为N的有限长 序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)是 x n 的一个周期
XkXkRNk
结论：与DFT定义比较，可见有限长序列x(n)的DFT即X(k)是x(n)的
周期延拓序列
xn N
的离散傅里叶. 级数系数
X
K
的主值序列。
例3. 1 求有限长序列 的DFT，其中a=0.8，N=8。 解：
因此得
X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987
.
傅里叶变换的各种形式
➢ 连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
➢ 连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的. 。
➢ 离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
.
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
Matlab实现 fft1.m
X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)= 0.50746+j0.40597 X(7)= 0.71063+j0.92558
.
关于离散傅里叶变换(DFT)：
➢ 序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变 换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x7 x7 x0 7
x8 x8 x1 7
由此对长度为N的序列x(n)，且xnxn ，则 N
的DFS为
N1
N1
N1
XkxnWN knxnNWN kn xnWN kn
n0
n0
n0
xn N 1N n01XkWN knN 1N n01XkWN kn
式中，WN
j 2
eN
，
N称为DFT变换区间长度,
N≥M，
通常称
(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
Note:有限长序列x(n)的DFT即X.(k)仍是有限长序列。
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT.
解：
设变换区间N=8， 则
7
X (k)
证明：
N 1
N 1
Y k D F T y n x n m N R N n W N k n x n m N W N k n
.
(k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。
说明：序列x(n)的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取 样，如图3.4(a)。序列x(n)的DFT是其FT在区间[0,2π]上的N点等 间隔取样。如图3.4(b)。
.
3.2.3 DFT的隐含周期性
DFT变换对中
W N kW N (km N), k,m ,N均为整数
.
3.1 离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散
傅里叶变换为
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn, k=0,1,&,N-1(3.1.1)
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] N 1 N n 0 1X ( n ) W N k n ,k = 0 ,1 ,& ,N - 1 ( 3 .1 .2 )
3.2 离散傅里叶变换的性质
DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念 联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。 设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。 1．线性 设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则
➢ n为时域变量，k为频域变量。 ➢ DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
.
3
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
k) k)
,k
0,1, , 7
8
.
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 , ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注 意此时DFT与未补零的DFT不相等。
.
2．循环移位性质 a) 序列的循环移位： 一个长度为N的序列x(nபைடு நூலகம்的循环移位定义为
循环移位分3步计算：
(1)将x(n)延拓成周期为N的周期序列
；
(2)将
移位得
或 x((n+m))N；
(3)对 x((n+m))N 取主值得 x((n+m))N·RN(n)。
这个过程如下图所示。 .
从图中两虚线之 间的主值序列的 移位情况可以看 出，当主值序列 左移m个样本时， 从右边会同时移 进m个样本，而 且好像是刚向左 边移出的那些样 本又从右边循环 移了进来。因此 取名“循环移 位”。 显然，循环移位 不同于线性移位
.
.
.
b) 时域循环移位定理 对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
x n x n mN m
x n x n RN n
(3.1.5) (3.1.6)
.
定义：
的主值区间：周期序列
中从n=0到N-1的范围
的主值序列：主值区间上的序列
为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
xn N
表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。 .