湖南省师大附中2014-2015学年高一第一学期第三次阶段性检测 数学(扫描版)
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习数 学时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 【分析】利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的集合的元素个数即可得到结果．【解析】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素； 满足题意的可能是梯形． 故选：D ．2．集合{}24A x x =≤<，{}3782B x x x =-≥-，则A B =（ ）A ．{}34x x ≤<B ．{}2x x ≥C ．{}14x x ≤<D ．{}3x x ≥【分析】先分别求出集合A ，B ，由此能求出A B ．【解析】解：集合{|24}A x x =<， {|3782}{|3}B x x x x x =--=， {|34}AB x x ∴=<．故选：A ．3．下列各式正确的个数是（ ） ①{}{}00,1,2∈； ①{}{}0,1,22,1,0⊆； ①{}0,1,2∅⊆；①{}0∅=；①{}(){}0,10,1=；①{}00=．A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其∅的意义即可判断出正误． 【解析】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此{0}{0∈，1，2}，不正确，应该为{0}{0，1，2}；②{0，1，2}{2⊆，1，0}，正确； ③{0∅⊆，1，2}，正确； ④∅不含有元素，因此{0}∅；⑤{0，1}与{(0,1)}的元素形式不一样，因此不正确；⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0{0}∈，因此不正确． 综上只有：②，③正确． 故选：B ．4．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >且0ab <，则11a b> D ．若22a b >且0ab >，则11a b> 【分析】根据不等式的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项通过举反例进行一一验证． 【解析】解：A ．若a b >，则22ac bc >（错)，若0c =，则A 不成立；B ．若a bc c>，则a b >（错)，若0c <，则B 不成立； C ．若33a b >且0ab <，则11a b >（对)，若33a b >且0ab <，则00a b >⎧⎨>⎩D ．若22a b >且0ab >，则11a b >（错)，若00a b >⎧⎨>⎩，则11a b <，∴D 不成立． 故选：C ．5．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．94a >-B ．4a >C ．24a -<<D ．2a >-【分析】命题“0[1x ∃∈-，1]，2030x x a -++>”为真命题 等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，构造函数2()3f x x x =-求最大值代入极即可．【解析】解：命题“0[1x ∃∈-，1]，2030x x a -++>”为真命题 等价于23a x x >-在[1x ∈-，1]上有解，令2()3f x x x =-，[1x ∈-，1]，则等价于()min a f x f >=（1）2=-，2a ∴>-， 故选：D ．6．不等式02xx <-成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．02x << B ．01x << C ．13x << D ．1x ≥-【分析】求出不等式02xx <-的解集，根据题意判断符合条件的选项即可．【解析】解：解不等式02xx <-等价于解(2)0x x -<得，02x <<，∵{}{}021x x x x <<≥-所以选项A 是充要条件，选项B 是充分不必要条件，选项C 是必要不充分条件，选项D 是既不充分也不必要条件． 故选：D ． 7．若不等式11014m x x +-≥-对104x x x ⎧⎫∈<<⎨⎬⎩⎭恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得1114x x+-的最小值为9，据此分析可得答案．【解析】解：根据题意，1(0,)4x ∈，则140x ->，则1141414(14)44(1[4(14)]()552914414414414x x x x x x x x x x x x -+=+=+-+=+++⨯----，当且仅当142x x -=时等号成立， 则1114x x+-的最小值为9， 若不等式11014m x x+--对1(0,)4x ∈恒成立，即式1114m x x +-恒成立，必有9m 恒成立， 故实数m 的最大值为9；故选：C ．8．在R 上定义运算：()1a b a b ⊕=+．已知12x ≤≤时，存在x 使不等式()()4m x m x -⊕+<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m << 【分析】由a ⊕b 的定义，化简可得当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，由二次函数的最值求法可得24x x -+在[1，2]的最大值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．【解析】解：()m x -⊕()4m x +<，即为22(1)()4m x m x m x m x -++=-++<， 当12x 时，存在x 使不等式224m m x x +<-+成立，等价为22(4)max m m x x +<-+，由221154()24x x x -+=-+，可得2x =时，24x x -+取得最大值，且为6，所以26m m +<，解得32m -<<， 故选：C ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知集合A ={1，2，2a }，B ={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【分析】利用集合交集的定义，得到B A ⊆，再利用子集的定义求解即可． 【解析】解：因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +， 所以22a +=或22a a +=， 解得0a =或2a =或1a =-， 当1a =-时，不满足集合的互异性， 所以0a =或2a =． 故选：BD ． 10．若0a b <<，110c d<<，则下面四个不等式成立的有（ ） A ．11a b> B ．c d > C ．a b c d > D ．a ba cb d>++ 【分析】利用不等式的性质求解即可． 【解析】由0a b <<可得0a b >>，∴11a b>，故A 正确； 由110c d <<可得110c d >>，且0d c <<，∴c d <，故B 不正确； 由于a a b b c c d d =>=，∴a bc d >，故C 正确； 由于()()a ba b d b a c ad bc a c b d>⇔+>+⇔>++，且ad ad bc bc =>=，故D 正确；故选：ACD ．11．下列说法正确的有（ ）A ．命题“若3x >，则29x >”的否定是“若3x >，则29x ≤”B ．命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”C ．命题“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则实数a 的取值范围为{}62a a -≤≤D ．命题“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则实数m 的取值范围为1322m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】直接利用命题的否定，命题真假的判定，集合间的关系判断A 、B 、C 、D 的结论．【解析】命题“若3x >，则29x >”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“3x ∃>，则29x ≤，故A 不正确；命题“x M ∃∈，()p x ⌝”的否定是“x M ∀∈，()p x ”，故B 正确；“0x ∃∈R ，()200310a x ax -+->”是假命题，则它的否定“x ∀∈R ，()2310a x ax -+-≤”是真命题，则有30a -<，()200310a x ax -+->且△()2430a a =+-≤，解得62a -≤≤，故C 正确；“x ∀∈R ，221m m x x -<++”是真命题，则()22min1m m x x -<++，又221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭．则234m m -<，解得1322m -<<，故D 正确．故选BCD ．12．已知1x y +=，0y >，0x ≠，则121x x y ++的可能取值有（ ） A ．54B ．34C ．12D ．14【分析】先得到1x <，再分类讨论，并利用基本基本不等式求出1||32||14x x y ++即可． 【解析】解：1x y +=，0y >，0x ≠，10y x ∴=->，1x ∴<且0x ≠， ①当01x <<时，则 1||121211522||12142442444x x x x x x x x y x y x x x x +--+=+=+=+++=++--， 当且仅当242x xx x-=-，即23x =时取等号， ②当0x <时，则 1||12121322||1214244244x x x x x x x x y x y x x x x --+---+=+=+=-++-+=+-+----， 当且仅当242x xx x --=--，即2x =-时取等号， 综上，1||32||14x x y ++， 故选AB ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________． 【分析】因为原命题为全称命题，结合全称命题的否定为特称命题求解． 【解析】解：原命题：全等三角形的面积一定都相等，为全称命题，∴它的否定为：存在两个全等三角形的面积不相等，故答案为：存在两个全等三角形，它们的面积不相等14．已知0x >，则123x x--的最大值是________． 【分析】由函数123x x --（0x >）变形为123x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再由基本不等式求得13x x +≥=1232x x--≤-【解析】解：13x x +≥=当且仅当13x x=，即x =时取等号∴1232x x --≤-故123x x--的最大值是2-故答案为：2-15．已知函数()21f x mx mx =--．若对于{}13x x x ∈≤≤，()5f x m <-恒成立，则实数m 的取值范围为________．【分析】由已知可得当[1x ∈，3]时2(6)0max mx mx m -+-<，再结合二次函数性质求m 的取值范围．【解析】由()5f x m <-可得260mx mx m -+-<， 由已知260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立， 所以当[1x ∈，3]时，2(6))0max mx mx m -+-<，当0m >时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向上，对称轴为12x =的抛物线， 所以当3x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为76m -，所以760m -<，由此可得607m <<，当0m <时，函数26y mx mx m =-+-的图象为开口向下，对称轴为12x =的抛物线，所以当1x =时，26([1,3])y mx mx m x =-+-∈取最大值，最大值为6m -， 所以60m -<，由此可得0m <，当0m =时，260mx mx m -+-<对于[1x ∈，3]恒成立，综上，67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭． 故答案为：67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ①女学生人数多于教师人数； ①教师人数的两倍多于男学生人数．（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________； （2）该小组人数的最小值为________． 【分析】①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，进而可得答案；【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人， 若教师人数为4， 则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分10分） 设a ，b ∈R ，集合P ={1，a }，Q ={1-，b -}，若P =Q ． （1）求a b -的值；（2）集合{}210A x x cx =++<，(){}B x a x a b =-<<-+，若B A ⊆，求实数c 的取值范围． 【分析】（1）利用集合P Q =元素相等，可得a 、b 的值，从而求a b -的值； （2）利用集合之间的关系求解． 【解析】 解：（1）设a ，b R ∈，{1P =，}a ，{1Q =-，}b -，若P Q =，则1a =-，1b =-，故0a b -=； （2）由（1）可知：{}12B x x A =<<⊆，则210x cx ++<在12x <<上恒成立，记()21f x x cx =++，则只需要()()1020f f ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，52c ⇒≤-．18．（本大题满分12分） （1）设0x y <<，试比较()()22x yx y +-与()()22xy x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且11a b>，x y >，求证：x y x a y b >++． 【分析】（1）方法一：利用作差法，即可比较两式的大小；方法二：根据题意，利用作商法，也可以比较两式的大小；（2）利用作差法，即可证明x yx a y b>++． 【解析】（1）解：方法一：2222()()()()x y x y x y x y +---+222()[()()]x y x y x y =-+-+ 2()xy x y =--；因为0x y <<，所以0xy >，0x y -<， 所以2()0xy x y -->，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；方法二：0x y <<，所以0x y -<，22x y >，0x y +<， 所以22()()0x y x y +-<，22()()0x y x y -+<； 所以22222222()()01()()2x y x y x y x y x y x y xy+-+<=<-+++，所以2222()()()()x y x y x y x y +->-+；（2）证明：()()x y bx ayx a y b x a y b --=++++， 因为11a b>且a ，(0,)b ∈+∞，所以0b a >>；又因为0x y >>，所以0bx ay >>，所以x yx a y b >++． 19．（本大题满分12分）对于由有限个自然数组成的集合A ，定义集合(){},S A a b a A b A =+∈∈，记集合()S A 的元素个数为()()d S A ．定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =． （1）若A ={0，1，2}，求()S A ，()T A ；（2）若集合A ={1x ，2x ，3x ，…，n x }，123x x x <<<…n x <，n ∈N ，证明：“()()21d S A n =-”的充要条件是“2132x x x x -=-=…1n n x x -=-”． 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可；（2）根据充分条件和必要条件，结合等差数列的性质进行证明． 【解析】 解：（1）若集合{0A =，1，2}，则S （A ）T =（A ）{0=，1，2，3，4}． （2）令1{A x =，2x ，}n x ⋯．不妨设12n x x x <<⋯<． 充分性：设{}k x 是公差为(0)d d ≠的等差数列．则111(1)(1)2(2)(1i j x x x i d x j d x i j d i +=+-++-=++-，)j n且22i j n +．所以i j x x +共有21n -个不同的值．即(d S （A ）)21n =-．必要性：若(d S （A ）)21n =-．因为1122i i i i x x x x ++<+<，(1i =，2，⋯，1)n -． 所以S （A ）中有21n -个不同的元素：12x ，22x ，⋯，2n x ，12x x +，23x x +，⋯，1n n x x -+． 任意(1,)i j x x i j n +的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1i =，2，⋯，2n -． 所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0 20．（本大题满分12分） 已知258x y +=． （1）当0x >，0y >时，求xy 的最大值； （2）当1x >-，2y >-时，若不等式2101412m m x y +≥+++恒成立，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出xy 的最大值；（2）先由基本不等式求出10112x y +++的最小值，然后由不等式恒成立转化为2101()412min m m x y ++++，解二次不等式可求． 【解析】 解：（1）∵0x >，0y >，258x y +=．∴()()221112518825251021025x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅≤⋅=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当254x y ==时取等号，即2x =，45y =时取等号， 所以xy 的最大值为85；（2）因为258x y +=，1x >-，2y >-， 即2(1)5(2)20x y +++=， 所以 1011101150(2)2(1)19()[2(1)5(2)](25](2520)1220122012204y x x y x y x y x y +++=++++=+++=++++++，当且仅当50(2)2(1)12y x x y ++=++且258x y +=即173x =，23y =-时取等号，此时10112x y +++取得最小值94，因为不等式2101412m m x y ++++恒成立， 所以2944m m +，解得，9122m-，∴实数m 的取值范围：为91{|}22m m -．21．（本大题满分12分） 党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入()I x （单位：万元）与售价量x （单位：万盒）之间满足关系式()2562,010*******17.6,10x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩． （1）写出利润()F x （单位：万元）关于销售量x （单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本）（2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分010x <≤，10x >两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【解析】解：（1）当010x <≤时，()()222456224232F x xI x x x x x x x =-=--=-+， 当10x >时，()()2328144014402417.624 6.4328F x xI x x x x x x x x⎛⎫=-=+--=--+ ⎪⎝⎭， 故()2232,01014406.4328,10x x x F x x x x ⎧-+<≤⎪=⎨--+>⎪⎩． （2）当010x <≤时，()()2223228128F x x x x =-+=--+，故当8Fx =时，()F x 取得最大值，且最大值为128， 当10x >时，()144014406.4328 6.4328328136F x x x x x ⎛⎫=--+=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当14406.4x x =，即15x =（负值舍去）时，等号成立，此时()F x 取得最大值，且最大值为136，由于136128>，所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元． 22．（本大题满分12分）已知二次函数()2ax bx c f x =++．（1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<；（2）若对任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求ba c+的最大值； （3）已知4b =，a c >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x ∈R ，使得2000ax bx c ++=成立，求2242a c a c+-的最小值．【分析】（1）依题意，得0a <，34b a -+=-，34cb a a-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，故()222302150bx ax c b x x +-+<⇔--<，解之即可；（2）由△240b ac =-<，00a c >⇒，得到2ac b ac -，再利用基本不等式可求得ba c+的最大值； （3）依题意，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩，即04a ac >⎧⎨⎩，由存在0x R ∈，使得200ax bx c ++=成立可得△16404ac ac =-=⇒=，利用基本不等式即可求得2242a c a c+-的最小值．【解析】 解：（1）20ax bx c ++>的解集为{|34}x x -<<，0a ∴<，34b a -+=-，34cb a a-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，()()222230215002150bx ax c b ax ax a a x x +-+<⇔-++<<⇔--<，∴解集为(3,5)-；（2）对任意x R ∈，()0f x 恒成立，∴△240b ac =-，即24b ac ，又0a >，0c ∴， 故2ac b ac -，∴21b ac a ca c a c a c +=+++，当c a =，2b a =时取“=”， ∴b a c+的最大值为1， （3）由()0f x 对于一切实数x 恒成立，可得01640a ac >⎧⎨=-⎩即04a ac >⎧⎨⎩，由存在0x R ∈，使得200ax bx c ++=成立可得△1640ac =-， ∴△1640ac =-=， 4ac ∴=，∴2222(24(2)168222a a c a c a c a c a -+-+==---， 当且仅当24a c -=时，等号成立，∴2242a c a c+-的最小值为8．。
2022-2023学年湖南师大附中高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析
所以，函数 是周期为 的周期函数，且该函数的图象关于直线 对称，
令 ，可得 ，则函数 在区间 上的零点之和为函数 与函数 在区间 上图象交点横坐标之和，如下图所示：
由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点 对称，
因此，函数 在区间 上的所有零点之和为 .
“ ”是“ ”的必要不充分条件
故答案为：必要不充分
14、8
【解析】在同一坐标系中，分别画出函数 ， 及函数 的图像，如图所示：
由图可知，两个函数的图象共有8个交点
故答案为8
点睛：解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．
15．已知函数 ，给出下列四个命题：
①函数 是周期函数；
②函数 的图象关于点 成中心对称；
③函数 的图象关于直线 成轴对称；
④函数 在区间 上单调递增.
其中，所有正确命题的序号是___________.
16．函数 的图象一定过定点P，则P点的坐标是______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
，解得 ．且f（0）＝1． c=1
∴f（x）＝x2﹣x+1
(2)不等式f（x）＞2x+5，即x2﹣x+1＞2x+5，化为x2﹣3x﹣4＞0
化为（x﹣4）（x+1）＞0，解得x＞4或x＜﹣1
∴原不等式的解集为
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.
湖南省长沙市2025届高三上学期阶段性检测(一)数学试题含答案
长沙市2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷（答案在最后）时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1A x x =<，集合{B x y ==，则A B = （）A.()1,1- B.()0,1 C.[)0,1 D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】根据题意，可得{}{}11,0A x x B x x =-<<=≥，故{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<=.故选：C .2.已知复数z 满足i 12i =-+z ，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则、结合共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征进行求解即可.【详解】i 12i =-+z 212i (12i)i2i i iz -+-+⋅⇒===+2i z ⇒=-，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D3.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件A B +有8个样本点，则()P AB =（）A.23B.12C.13D.16【答案】D 【解析】【分析】依题意计算可得()12P A =，()13P B =，()23P A B +=，再由概率的加法公式计算即可得1()6P AB =.【详解】根据概率公式计算可得()61122P A ==，()41123P B ==，()82123P A B +==；由概率的加法公式可知()()()()P A B P A P B P AB +=+-，代入计算可得1()6P AB =故选：D4.已知等差数列{}n a 的前5项和535S =，且满足5113a a =，则等差数列{a n }的公差为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意得到5151035S a d =+=，511413a a d a =+=，解得答案.【详解】5151035S a d =+=；511413a a d a =+=，解得3d =，11a =.故选：D5.已知()512my x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中24x y 的系数为80，则m 的值为（）A.2- B.2C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+-⎪⎝⎭，利用二项式展开式的通项公式1C r n r rr n T ab -+=求出24x y 的项的系数，进而得出结果.【详解】55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，在51(2)x y x-的展开式中，由155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅，令424r r -=⎧⎨=⎩，得r 无解，即51(2)x y x -的展开式没有24x y 的项；在5(2)my x y -的展开式中，由555155(2)()(1)2rrr r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅，令5214r r -=⎧⎨+=⎩，解得r =3，即5(2)my x y -的展开式中24x y 的项的系数为35335(1)240mC m --⋅=-，又5(2)()x my x y +-的展开式中24x y 的系数为80，所以4080m -=，解得2m =-.故选：A.6.如图，正方形ABCD 中，2,DE EC P = 是直线BE 上的动点，且(0,0)AP x AB y AD x y =+>>，则11x y+的最小值为（）A. B. C.43+ D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定图形，用,AB AE 表示向量AD，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.【详解】正方形ABCD 中，2DE EC =，则2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=- ，而AP xAB y AD =+ ，则(22)()33A B x AE A x P AB y AB y E y A --=++=，又点,,B P E 共线，于是2()13x y y -+=，即13y x +=，而0,0x y >>，因此313111)(444()333x y x x y y x y x y ++=+=+++≥+，当且仅当3x y y x =，即3332y -==时取等号，所以当33,22x y ==时，11x y +取得最小值43+.故选：C 7.设3103a =，ln1.03b =，0.03e 1=-c ，则下列关系正确的是（）A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()e 1,0xf x x x =--≥.利用导数判断单调性，证明出0.03e 10.03->.构造函数()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.利用导数判断单调性，证明出ln1.030.03<，得到c b >；构造函数()()()ln 1,01xh x x x x =+-≥+.利用导数判断单调性，证明出3ln1.03103>，即为b a >.即可得到答案.【详解】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为()e 1xf x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为()11011x g x x x-'=-=<++，所以在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以c b >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+.因为()()()2211111x h x x x x '=-=+++，所以当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以b a >.综上所述：c b a >>.故选：C8.已知()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，tan tan 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭παβ，则()cos 44+=αβ（）A.7981-B.7981C.4981-D.4981【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.【详解】()1tan 1tan tan 622tan 2⎛⎫ ⎪--⎡⎤-+-= ⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭αβαβαβαβ，222612tan 2tan 21tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫ ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭-.()()2221tan 2tan 2cos 2261n2si ta n αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()221tan 2cos 21s 6ta i 2n n αβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，()()()2cos 16c sin os αβαβαβ-⨯=--，()1sin 3αβ-=，1sin cos cos sin 3αβαβ-=，又因为tan tan 32⎛⎫-=⎪⎝⎭παβ，所以sin cos 3cos sin αβαβ=，则11cos sin ,sin cos 62αβαβ==，所以()2sin sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=()()241cos 12sin 129922αβαβ=-=-⨯=++.()()2179cos 442cos 221218181αβαβ+=+-=⨯-=-.故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B.八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D.记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为a n ，则数列{a n }是等比数列【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.81.510n n a +=，所以 4.81.5(1)6.31.511010n n n a ++++==所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{a n }是等比数列，故D 正确；故选：ACD10.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①120PF PF ⋅=；②1260F F P ∠=︒；③PO 平分12F PF ∠；④点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，能使双曲线Ｃ的离心率为1+）A.①②B.①③C.②③D.②④【答案】AD 【解析】【分析】对各个选项进行分析，利用双曲线的定义找到a,c 的等量关系，从而确定离心率.【详解】③PO 平分12F PF ∠且PO 为中线，可得12PF PF =，点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：120PF PF ⋅=，1260F F P ∠=︒，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；若选②④：1260F F P ∠=︒，点P 关于原点对称的点为Q ，且12PQ F F =，可得四边形12F QF P 为矩形，即12PF PF ⊥，122F F c =可得2PF c =，1PF =，2c a -=，即离心率为1c e a ===+，成立；故选：AD11.如图，ABCD 是底面直径为2高为1的圆柱1OO 的轴截面，四边形1OO DA 绕1OO 逆时针旋转()0θθπ≤≤到111OO D A ，则（）A.圆柱1OO 的侧面积为4πB.当0θπ<<时，11DD AC ⊥C.当3πθ=时，异面直线1A D 与1OO 所成的角为4πD.1A CD 【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由圆柱的侧面积公式可得；对于B ，由线面垂直的判定定理和性质定理可得；对于C ，由题知，11DO D 为正三角形，根据异面直线所成的角的定义计算得解；对于D ，作1D E DC ⊥，由线面垂直的判定定理和性质定理得1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=【详解】对于A ，圆柱1OO 的侧面积为2112ππ⨯⨯=，A 错误；对于B ，因为0θπ<<，所以11DD D C ⊥，又111DD A D ⊥，所以1DD ⊥平面11A D C ，所以11DD AC ⊥，B 正确；对于C ，因为111//A D OO ，所以11DA D ∠就是异面直线1A D 与1OO 所成的角，因为113DO D π∠=，所以11DO D 为正三角形，所以1111DD A D ==，因为111A D DD ⊥，所以114DA D π∠=，C 正确；对于D ，作1D E DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，所以DC ⊥平面11A D E ，所以1A E DC ⊥.在11Rt A D E 中，1A E ==≤=1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯= ，所以()1maxA CD S = ，D 错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.如图，某景区共有,,,,A B C D E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有____________种不同的检测顺序.【答案】32【解析】【分析】将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，分析可得只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，再用列举法列出所有可能结果，即可得解.【详解】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可.①走BA 路线：3126547，3126745，3147526，3147625，3156247，3157426，共6种；②走BC 路线：4137526，4137625，4265137，4267315，4562137，4573126，共6种；③走BE 路线：7513426，7543126，7621345，7624315，共4种；综上，共有()266432⨯++=种检测顺序.故答案为：3213.已知函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值的集合为______.【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2π42n T ω==+，由函数在π7π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数可得12ω≤，然后对ω的取值逐一验证，然后可得π12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭取值.【详解】由π3π244f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，3πππ2442T nT +=-=，得π,21T n n =∈+Z ，所以2π42n Tω==+，又函数()()sin f x x ωω=∈R 在π7π,212⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，所以7πππ212212T ≥-=，即6πT ≥，所以12ω≤，所以，ω的可能取值为2,6,10±±±.当0ω>时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，经检验，2,6,10ω=时不满足题意；当0ω<时，由ππ2π2π22k x k ω-+≤≤+解得π2ππ2π,22k k x k ωωωω+≤≤-+∈Z ，经检验，2,6ω=--时满足题意.所以，12f π⎛⎫-⎪⎝⎭的可能取值为ππ1ππsin ,sin 11262122f f ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定ω的可能取值，再通过验证即可求解.14.斜率为1的直线与双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）交于两点,A B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC BC ⊥，OAC 和OBC △的重心分别为,P Q ，ABC V 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为1k ，2k ，3k ，若1238k k k =-，则双曲线E 的离心率为______.【解析】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值22b a ，取,AC BC 的中点,M N ，得到2122AC BC b k k k k a ⋅=⋅=，再由AC BC ⊥，22OR b k a=，结合所以1238k k k =-，求得b a =c e a ==.【详解】若直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=有两个交点,G H ，设,G H 的中点为K ，联立方程组22221y kx mx y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222222222()20b a k x a kmx a m a b ----=，可得22222G H a km x x b a k +=-，则22222G H K x x a kmx b a k+==-，又由(,)K K K x y 在直线y kx m =+上，可得22222222K a km b my m b a k b a k=+=--，所以22K OKK y b k x ka ==，所以22GH OK b k k a⋅=，即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值22b a，如图所示，取,AC BC 的中点,M N ，因为OAC 的重心P 在中线OM 上，OBC △的重心Q 在中线ON 上，所以1OP OM k k k ==，2OQ ON k k k ==，可得22OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=，即2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=，又由AC BC ⊥，可得1AC BCk k ⋅=-，可得22122()b k k a⋅=-因为AC BC ⊥，且ABC V 的外心为点R ，则R 为线段AB 的中点，可得22OR ABb k k a ⋅=，因为1AB k =，所以22OR b k a=，所以2321238()b k ak k =-=-，所以b a =，所以c e a ===.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e 的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设函数()()2ln f x x ax x a =-++∈R .（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.（其中e 是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）e11,e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求导可得()f x '，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得ln x a x x =-，构造函数()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，转化为最值问题，即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()2ln ,f x x x x f x =-++的定义域为()0,∞+，()212121x x f x x x x-++=-++='，令()0f x '>，则2210x x --<，解得01x <<，令()0f x '<，则2210x x -->，解得1x >.∴函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.【小问2详解】令()2ln 0f x x ax x =-++=，则ln xa x x=-.令()ln x g x x x =-，其中1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2221ln ln 11x x x x x g x x x ⋅-+-=-='.令()0g x '>，解得1e x <≤，令()0g x '<，解得11ex ≤<.()g x ∴的单调递减区间为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,e ，()min ()11g x g ∴==.又()111e ,e e e e e g g ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，a ∴的取值范围是e 11,e ⎛⎤-⎥⎝⎦.16.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，四边形11CC D D 为矩形，平面11CC D D ⊥平面,ABCD E 为线段1CD 的中点，且BE CE =.（1）求证：AD ⊥平面11BB D D ；（2）若4,2AB AD ==，直线1A E 与平面11BB D D 所成角的正弦值为155，求二面角1D AB D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质和平行线的性质得到1D B BC ⊥，再根据面面垂直和线面垂直的性质定理结合平面11CC D D ⊥平面ABCD 得到1AD D D ⊥，最后根据线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设()10DD t t =>，利用已知条件和线面角的坐标公式求出t ，再利用面面角的坐标公式求解即可.【小问1详解】在1BCD 中，E 为线段1CD 的中点，且BE CE =，所以1D E CE BE ==，所以112BE CD =，1BCD 为直角三角形，且190CBD ∠=︒，所以1D B BC ⊥，因为底面ABCD 为平行四边形，AD BC ∥，所以1AD D B ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，所以1D D DC ⊥，因为平面11CC D D ⊥平面ABCD ，平面11CC D D 平面1,ABCD DC D D =⊂平面11CC D D ，所以1D D ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以1AD D D ⊥，因为11111,,D D D B D D D D B =⊂ 平面11BB D D ，所以AD ⊥平面11BB D D .【小问2详解】因为AD ⊥平面11,BB D D BD ⊂平面11BB D D ，所以AD BD ⊥，由（1）知11,D D AD D D ⊥⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1D D BD ⊥，所以1,,DA DB DD 两两垂直，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt ADB △中，4,2AB AD ==，所以DB ==，设()10DD t t =>，则()()()()10,0,0,2,0,0,2,0,,,0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()1,2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，易知平面11BB D D 的一个法向量为D =2,0,0，设直线1A E 与平面11BB D D 所成的角为θ，则111sin cos ,5A E DAA E DA A E DAθ⋅====，解得t =，所以((110,0,,2,0,D AD =-，设平面1ABD 的法向量为 =s s ，则12020AB m x AD m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =)m = ，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ，则cos,5m nm nm n⋅===，易知二面角1D AB D--是锐角，故二面角1D AB D--的余弦值为5.17.软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中60a≤.认真完成不认真完成总计男生5a a女生总计60若根据小概率值0.10α=的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数.（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++++++.α0.100.050.01xα2.7063.841 6.635【答案】（1）20（2）分布列见解析，()85E X=【解析】【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出a 的值，可得女生人数；（2）由分层抽样确定两组人数，根据X 的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.【小问1详解】根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得()()2244802060555516 2.7066020801580a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--，得57.38a >.易知a 为5的倍数，且60a ≤，所以60a =，所以该培训机构学习软笔书法的女生有806020-=（人）.【小问2详解】因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为24:163:2=，所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有310632⨯=+（人），学习行书的有210432⨯=+（人），所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，()46410C 1510C 21014P X ====，()3164410C C 8081C 21021P X ====，()2264410C C 9032C 2107P X ====，()1364410C C 2443C 21035P X ====，()44410C 14C 210P X ===.X 的分布列为：X01234P114821374351210所以()1834180123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()12,,2,3F F A 为椭圆C 上一点，且到1F ，2F 的距离之和为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段AB （不含端点）相交于点Q ，与椭圆C 相交于点,M N ，若2MNAQ BQ⋅为常数，求AQM V 与AQN △面积的比值.【答案】（1）2211612x y +=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，表示出直线MN 的方程，联立与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后代入弦长公式，即可得到结果.【小问1详解】由椭圆的定义得1228AF AF a +==，所以4a =.又()2,3A 为椭圆C 上一点，所以22491a b+=，将4a =代入，得212b =，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.【小问2详解】因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以()2,3B --，直线AB 的方程为32y x =.设()()2,311Q t t t -<<，则直线MN 的方程为()32y t k x t -=-，联立得()221161232x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，可得()()()222243832432480k x kt k x t k ++-+--=，由点Q 在椭圆内，易知Δ0>，不妨令()()1122,,,M x y N x y ，则()12282343kt k x x k -+=+，()221224324843t k x x k --⋅=+，所以()()()()()()()2222222221212122248116123211443k k t k MNkx x k x x x x k ⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+.又()()()()()2222222332233131AQ BQ t t t t t ⋅=-+-+++=-，所以()()()()2222222248116123213431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-为常数，则需满足()22221612321k t k t+---为常数，（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即()22161232k k +=-，解得12k =-.将12k =-代入()12282343kt k x x k -+=+，可得124x x t +=，得1222x x t +=，所以Q 为MN 的中点，所以1AQM AQNS MQ S NQ== .【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，以及椭圆中三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于结合弦长公式以及将面积比转化为边长比.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项na（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项na （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k-=--（2）()()*1,211n na n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101kk a q a a a q-++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题
B. ab a b 0 D. ab 0 a b
1
【详解】思路：求出
log0.30.2 , 1
log0.32 ,得到 1
1
地范围,进而可得结果．
a
b
ab
详解：. a log0.20.3, b log 20.3
1 log0.30.2 , 1 log0.32
a
5
5
所以 sin cos 5 , 5
故选：D. 3. 设命题 p：所有正方形都是平行四边形,则 p 地否定为（ ） A. 所有正方形都不是平行四边形 B. 有地平行四边形不是正方形 C. 有地正方形不是平行四边形 D. 不是正方形地四边形不是平行四边形
【结果】C
【思路】
【思路】全称命题地否定是特称命题,把所有改为存在,把结论否定
得结果
【详解】因为 t 0 时,盛水筒 M 与水面距离为 2.25 米,
所以 2.25 2sin 5 ,即 sin 1 ,
4
2
又
0,
π 2
,则
π 6
,
所以
H
2 sin
π 60
t
π 6
5 4
,
当t
40 时,
H
2
sin
π 60
40
π 6
5 4
9 4
,
9
故结果为： ．
4 7
15. 已知 sinθ＋cosθ＝ ,θ∈(0,π),则 tanθ＝________.
由图易得 a 1 ,0 a1 1。取特殊点 x 0 1 y loga b 0 ,
1 log 1 log b log 1 0 ,0 a1 b 1．选 A．
湖南师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(含解析)
16．已知函数
f
x
2, x m
x
2
4
x
2,
x
，若方程
m
f
x
x有
3
个不等实根，则实数
m
的取值范围是
____________．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知集合 A
x 5x 3 4x
，集合 B
x
x2 m
值域也是a,b ，则称函数 F x 是区间 D 上的“优函数”，区间a,b 称为 F x 的“等域区间”．
（1）已知函数 f x 3 x 2 是区间0, 上的“优函数”，求 f x 的“等域区间”；
（2）是否存在实数 k，使函数 g x x2 k 是区间 , 0 上的“优函数”？若存在，求 k 的取值范围；
当 x 0 时， f (x) x(2 x) x(x 2) ，由图知， f (x) 单调递减，选 A．
4
7．C 【解析】法一：因为 f ( 2) 2, f (2) 2 ，则 f [ f ( 2)] 2 ，所以 a 2 ，选 C．
法二：令 f f (a) t ，则 f (t) 2 ．因为当 t 0 时， f (t) t2 0 ，所以 t2 t 2(t 0) ，
m 1 2m 1, 若 B ，则 m 1 2, 解得 2 m 3 ，所以 m 的取值范围是 (, 3]，选 A．
2m 1 5,
9．B 【解析】因为函数 y 1 的定义域是 (, a) (a, ) ，且在区间 (a, ) 上是减函数，则 xa
a 0 ，且 (1, ) (a, ) ，所以 0 a 1，选 B．
2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高一下学期第一次阶段性检测数学试题的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则( )A.B. C.D.3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )A. B.C.D.4.函数的图象与直线为常数的交点最多有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x 的值为A. 1B.C. 1或D.或6.下列命题：①若，则②若，，则③的充要条件是且④若，，则⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中真命题的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，，，，则向量的模为( )A. B. 2 C. D. 48.设函数，则的最小正周期( )A. 与a有关，且与b有关B. 与a有关，但与b无关C. 与a无关，且与b无关D. 与a无关，但与b有关二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，，且，下列结论正确的是( )A. B.C. D. 的最小值为810.要得到函数的图象，可以将函数的图象得到( )A. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位B. 先将各点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位C. 先将各点横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位D. 先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍11.已知，下列关系可能成立的有( )A. B. C. D.12.下列论断中，正确的有( )A. 中，若A为钝角，则B. 若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数C. 若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象也关于直线对称D. 向量，，满足，则或三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中考试生物试卷
湖南师大附中 2023—2024 学年度高一第一学期期中考试生物学时量:75 分钟满分:100 分一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2016年世界自然保护联盟(IUCN)宣布将大熊猫由“濒危”降为“易危”，但其受威胁程度依然严重，未来100年内仍有18个大熊猫种群的灭绝风险高于50%，15个大熊猫种群的灭绝风险高于90%。
下列相关叙述正确的是A.科学家以种群为单位研究大熊猫，因为种群是最基本的生命系统的层次B.大熊猫和它的生存环境一起形成群落，不同群落的集合就是生态系统C.大熊猫以细胞增殖、分化为基础的生长发育说明细胞是生命活动的基本单位D.保护大熊猫，需要从分子和原子开始对生命系统的各个层次展开研究2.“鱼香肉丝”是我国空间站内航天员的食物之一，由猪肉、胡萝卜、木耳、青椒等烹饪而成。
下列叙述正确的是A.“鱼香肉丝”中含有的多糖都能被航天员的消化系统消化吸收B.“鱼香肉丝”能为航天员提供葡萄糖、氨基酸等营养物质C. 可以通过调整食谱增加非必需氨基酸来增加宇航员体内的蛋白质种类D.“鱼香肉丝”中的蛋白质已变性失活，不能与双缩脲试剂发生紫色反应3.“秋天的第一杯奶茶”成为年轻人表达情感的网络热词。
奶茶中一般都加了蔗糖，有的还添加了奶油。
奶油分为植物奶油和动物奶油，植物奶油是由植物脂肪经过特殊工艺加入添加剂制作出来的，而动物奶油主要从天然新鲜牛奶中提取纯天然油脂。
下列叙述错误的是A.长期大量饮用奶茶，过剩的糖类可转变成脂肪使人变肥胖B.脂肪不仅是储能物质，还是构成细胞膜的重要成分C.植物脂肪大多含有不饱和脂肪酸，在室温时呈液态4.下图所示的图解表示构成细胞的元素、化合物及其作用，a、b、c、d、e代表不同的小分子物质，A、B、C、E代表不同的生物大分子，下列分析不正确的是A.在动物细胞内与 A 作用最相近的物质是糖原C. e和c的区别是空间结构不同D.在人体细胞中物质 e共有4种5.下列关于氨基酸和蛋白质的叙述，错误的是A.酪氨酸几乎不溶于水，而精氨酸易溶于水，这种差异是由R 基的不同引起的B.甲硫氨酸的 R 基是−CH₂−CH₂−S−CH₃,则它的分子式是C₅H₁₁O₂NSC. n个氨基酸共有m 个氨基(m>n)，则这些氨基酸缩合成的一条肽链中的氨基数为m—nC₁₃H₁₆O₅N₂,，则甜味肽一定是一种二肽6.下表表示某种植物无土栽培的一种培养液配方。
湖南省师大附中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题
湖南省湖南师大附中2012-2013学年高一第一学期期中考试数学试题时量：120分钟满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）命题人：高一备课组试卷Ⅰ一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7},{2,5,8}M N ==，则()U M N = ð( ) A.{5} B. {2,8} C. {1,3,7} D. {4,6}2. 函数()312f x ax a =+-在区间(1,1)-上存在一个零点，则a 的取值范围是 （ ） A. 115a -<<B. 15a >C. 115a a ><-或 D. 1a <- 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A. 2y x -= B. 1y x -= C.22y x =- D.12log y x =4． 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是（ ）A. 2xy = B. 14xy -= C. 222y x x =++ D. |lg |y x =5．设322555223(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. a b c >>B. c a b >>C. a b c <<D. b c a >>6． 函数lg(2)y x =-的定义域是（ ）A. [0,2)B. [0.1)(1,2)C. (1,2)D. [0,1)7． 已知函数3()|log |f x x =，若a b ≠时，有()()f a f b =，则（ ）A. 1a b <<B. 1a b >>C. 3ab =D. 1ab =二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.计算 421log 36log 92-= . 9.若幂函数()y f x =的图像经过点(27,3)，则(8)f 的值是 .10.函数2()21f x x ax =-+在区间[1,2]-上的最小值是(2)f ，则a 的取值范围是 . 11.用二分法求方程ln 20x x -+=在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点32c =，则下一个含根的区间是 .12.给出下列四个命题：①函数()1,f x x R =∈是偶函数；②函数()f x x =与2()1x xg x x -=-是相同的函数；③函数)(3N x x y ∈=的图像是一条直线； ④已知函数)(x f 的定义域为R ， 对任意实数1x ，2x ，当≠1x 2x 时，都有1212()()0f x f x x x -<-，则)(x f 在R 上是减函数．其中正确命题的序号是 ．（写出你认为正确的所有命题序号）13. 设函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ， 则()f x 是 函数(填奇、偶、非奇非偶)，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14．（本小题满分11分） 解关于x 的不等式：623(0,xx a a a -+>>且1)a ≠.15．（本小题满分12分）已知函数2()21xf x m =-+是R 上的奇函数， （1） 求m 的值；（2） 先判断()f x 的单调性，再证明之. 16．（本小题满分12分）已知函数23()log (82)f x x x =--，设其值域是M ， （1）求函数()f x 的值域M ； （2）若函数1()42xxg x m +=--在M 内有零点，求m 的取值范围.试卷Ⅱ一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数41()2x xf x -=在区间[,](0)a a a ->上的最大值与最小值分别是,M m ，则m M +的值为 .A.0B. 1C. 2D. 因a 的变化而变化二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2. 已知二次函数2()f x ax bx =+（a ，b 是常数，且0a ≠）有零点2，且方程()f x x =有两个相等的实数根．则()f x 的解析式是 .三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.（本小题满分13分）已知函数212(),03()11,02x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩ .（1）请在直角坐标系中画出函数()f x 的图象，并写出该函数的单调区间； （2）若函数()()g x f x m =-恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围。