湖南省高中数学竞赛试题及答案
精品解析：湖南省长沙市长郡湘府中学2022-2023学年高二下学期数学竞赛试题(解析版)
长郡湘府中学2023年高二第二学期数学竞赛试题（时量：120分钟，满分：150分）一、单选题（每小题5分，共40分）1. 设实数0a >，则“22a >”是“1log 02a a+> ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由22a >，可得1a >，由1log 02a a+> ，可得1a >或102a <<，再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由22a >，可得所以1a >； 由1log 02a a+>，可得1log log 12a a a+>， ∴1112a a > +>或01112a a <<+< ， ∴1a >或102a <<； 因此“22a >”是“1log 02a a+>”的充分不必要条件. 故选：A.2. 若函数()22f x x a x =++，x R ∈在区间[)3+∞，和[]21−−，上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 11,33−−B. []6,4−−C. 3, −−D. []4,3−−【答案】B 【解析】【分析】易知()f x 为R 上的偶函数，因此只需考虑函数()f x 在()0+∞，上的单调性即可，结合题设条件分析可得函数的对称轴须满足[]232a−∈，，进而求得a 的取值范围. 【详解】由题意知函数()f x 为偶函数，对称轴为2ax =−，所以()f x 在[)3+∞，上为增函数，在[]12，上为减函数， 故须满足[]232a−∈，，解之得[]6,4a ∈−−. 故选：B .【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和转化思想，属于常考题. 3.4sin 40tan 40− （ ）A.B.C.D. 1【答案】A 【解析】【分析】先通过切角化弦后再通分，再利用二倍角公式，同角三角函数关系及诱导公式即可求出结果. 【详解】方法一：sin 404sin 40cos 40sin 402sin 80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos 40cos 40cos 40−−−−sin 802cos 60sin 20sin 80sin 204sin 40tan 40cos 40cos 40++∴−=()()sin 5030sin 5030sin 80sin 204sin 40tan 40=cos 40cos 40++−+∴−=方法二：sin 404sin 40cos 40sin 402sin 80sin 404sin 40tan 404sin 40=cos 40cos 40cos 40−−−−()1sin102cos10sin 3010224sin 40tan 40=cos 40cos 40 − −+ ∴−1sin10224sin 40tan 40=cos 40 −∴−故选：A4. 如果函数f (x )＝(2)1,1,1xa x x a x −+<≥，满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x −−>0成立，那么实数a 的取值范围是（ ） A. (0，2) B. (1，2)C. (1，＋∞)D. 3,22【答案】D 【解析】【分析】根据函数f (x )是R 上的增函数，由()201211a a a a −>> −×+≤求解. 【详解】因为函数满足对任意x 1≠x 2，都有1212()()f x f x x x −−>0成立，所以函数f (x )是R 上的增函数，所以()201211a a a a −>> −×+≤， 解得322a ≤<， 故选：D5. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（ ）A. ()2ln xf x x= B. ()2ln xf x x = C. ()211f x x =− D. ()2||1x f x x =− 【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域和奇偶性进行判断即可.【详解】首先由函数的图象可知：函数是偶函数，定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)−∞−∪−∪∪+∞.A ：因为()()2ln xf x f x x −−==−−，所以函数不是偶函数，不符合题意； B ：因为01ln 0x x x ≠ ⇒≠±≠且0x ≠，所以定义域符合图象； 因为()()2ln xf x f x x−==−，所以函数是偶函数； C ：2101x x −≠⇒≠±，所以函数的定义域不符合图象； D ：2101x x −≠⇒≠±，所以函数的定义域不符合图象， 最后可以确定只有B 符合题意， 故选：B6. 已知关于x 的方程12a x x =+有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是 A. (),0-∞ B. ()0,1C. ()1,+∞D. ()0,+∞【答案】C 【解析】 【分析】【详解】由题意，问题可转化为12y x =+与||y a x =的图象有3个交点，显然0a >， 只需保证0x <时，12y x =+与||y a x =的图象有2个交点即可， 即12ax x −=+在(,0)−∞有2个根，也即是2210(0)ax ax a ++=>在(,0)−∞有2根， 所以02010aa a∆> −< > ，解得1a >7. 已知函数(),0ln ,0x xe x f x x x ≤= >，若()()g x f x ax =−有四个不同的零点，则a 的取值范围为（ ）A.10,eB. 1,1eC. [)1,eD. [),e +∞【答案】A 【解析】【分析】讨论0x ≤、0x >，应用导数研究单调性，要使()0g x =有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a 的范围即可.【详解】由题意知：()()g x f x ax =−有四个不同的零点，∴,0()ln ,0x xe ax x g x x ax x −≤= −> ，则()0g x =有四个不同的解，当0x ≤时，()()0x g x x e a =−=，其零点情况如下： 1）当0a ≤或1a =时，有0x =；2）当01a <<或1a >时，0x =或ln x a =； 当0x >时，1()g x ax′=−，则有如下情况： 1）当0a ≤时()0g x ′>，即()g x 单调递增，不可能出现两个零点，不合题意； 2）当0a >时，在10x a<<上()0g x ′>，()g x 单调递增，在1x a >上()0g x ′<，()g x 单调递减，而0x +→有()g x →−∞，x →+∞有()g x →+∞，所以只需1()ln 10g a a=−−>，得1a e <时，()g x 必有两个零点.∴综上，有10a e<<时，()g x 在0x ≤、0x >上各有两个零点，即共有四个不同的零点. 故选：A.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围. 8. 已知0.02e a −=，b =0.01，c =ln1.01，则（ ） A. c >a >b B. b >a >cC. a >b >cD. b >c >a【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断,a b ，构造函数()e 1x f x x −−，由导数确定单调性得(0.01)(0)f f >，再由对数性质得,b c 大小，从而得结论．．【详解】由指数函数的性质得：10.022ee0.01−−>=>>， 设()e 1x f x x −−，则e ()10x f x ′−>在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，()f x 是连续函数，因此()f x 在[0,)+∞上是增函数， 所以(0.01)(0)f f >，即0.01e 10.010−−>，即0.01e 1.01>，所以0.01ln1.01>， 所以a b c >>． 故选：C ．二、多选题（每小题5分，共20分）9. 若01a <<，1b c >>，则（ ）A. 1ab c >B.c a cb a b−>− C. 11a a c b −−< D. log log c b a a <【答案】AD 【解析】【分析】运用不等式的性质，对四个选项逐一分析【详解】对于A ，1b c >> ，1b c ∴>，01a << ，则1ab c >，故A 错误； 对于B ，若c a cb a b−>−，则bc ab cb ca −>−，即()0a c b −>，这与1b c >>矛盾，故B 错误；对于C ，01a << ，10a ∴−<，1b c >> ，则11a a c b −−>，故C 错误； 对于D ，1b c >> ，log log c b a a ∴<，故D 正确. 故选：AD【点睛】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式的性质即可，属于基础题．10. 下列式子等于cos 6x π −的是（ ）A. 5cos 6x π−B. 2sin 3x π −C.D. 22cos 1122x π−−【答案】CD 【解析】【分析】根据诱导公式，即可判断A ，B 不正确；根据三角恒等变换，即可判断C 正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D 正确，由此即可得到答案.详解】5cos cos cos cos 6666x x x x πππππ−=+−=−+≠−，故A 不正确；2sin sin cos cos 36266x x x x πππππ−=−−=−−≠−，故B 不正确；1sin cos 26x x x π +=−，故C 正确；22cos 1cos cos 12266x x x πππ −−=−=−，故D 正确. 故选：CD.11. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=−，且当(0,1]x ∈时，()1f x x =−，则（ ） A. ()f x 是周期函数B. ()f x 在（－1，1)上单调递减C. ()f x 的图象关于直线3x =对称D. ()f x 的图象关于点（2，0)对称【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用周期的定义判断，对于B ，根据题意求出()f x 在[1,0)x ∈−的解析式，然后判断，.【对于C ，利用函数的周期和奇函数的性质可得(3)(3)f x f x +=−，从而可求得其对称轴，对于D ，利用函数的周期和奇函数的性质可得()(4)0f x f x +−=，从而可求得其对称中心 【详解】对于A ，因为定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=−， 所以(22)(2)f x f x ++=−+，(0)0f =，所以(4)[()]()f x f x f x +=−−=， 所以()f x 是周期为4的周期函数，所以A 正确，对于B ，当[1,0)x ∈−时，(0,1]x −∈，则()1()1f x x x −=−−=+， 因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−， 所以()1f x x −=+，所以()1f x x =−−， 所以当[1,0)x ∈−时，()1f x x =−−为减函数，且当0x →时，()1f x →−，当(0,1]x ∈时，()1f x x =−为减函数，且当0x →时，()1f x →，所以()f x 在（－1，1)上不是单调递减，所以B 错误，对于C ，因为()f x 是周期为4的周期函数，所以(6)(2)()()f x f x f x f x +=+=−=−， 所以(36)[(3)]f x f x −+=−−，即(3)(3)f x f x +=−，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，所以C 正确，对于D ，因为(4)()()f x f x f x +==−−，所以(4)()0f x f x ++−=， 所以(44)[(4)]0f x f x −++−−=，所以()(4)0f x f x +−=，所以()f x 的图象关于点4,02对称，即()f x 的图象关于点（2，0)对称，所以D 正确，故答案为：ACD12. 已知函数()21exx x f x +−=，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 存在两个不同的零点 B. 函数()f x 既存在极大值又存在极小值C. 当e 0k −<≤时，方程()f x k =有且只有两个实根D. 若[),x t ∈+∞时，()2max 5ef x =，则t 的最小值为2 【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．详解】对于A ，由()0f x =，得210x x +−=，∴x =，故A 正确； 对于B ，()()()2122e e x xx x x x f x +−−−′=−=−， 当()(),12,x ∈−∞−+∞ 时，()0f x ′<，当()1,2x ∈−时，()0f x '>， ∴()f x 在(),1−∞−，()2,+∞上单调递减，在()1,2-上单调递增，∴()1f −是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，故B 正确；对于C ，当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)e f −=−，再根据单调性可知，当e 0k −<≤时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC.【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知集合{|13}Ax x =<<，{|21}B x m x m =<<−，若A B =∅ ，则实数m 的取值范围是________. 【答案】[)0,∞+【解析】【【分析】根据A B ∩=∅可讨论B 是否为空集：B =∅时，21m m − ；B ≠∅时，212311m mm m <− −或 ，解出m 的范围即可． 【详解】解：A B =∅ ；∴①B =∅时，21m m − ； ∴13m ；②B ≠∅时，132311m m m <− 或 ； 解得103m； 综上得，实数m 的取值范围是[)0,∞+． 故答案为：[)0,∞+．【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，交集的定义及运算，空集的定义，属于基础题． 14. 已知π02α−<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα−的值为________． 【答案】257【解析】【分析】将1sin cos 5αα+=的两边同时平方可得242sin cos 25αα=−，结合角α的范围即可求得7cos sin 5αα−=，即可计算出22125cos sin 7αα=−. 【详解】由题意1sin cos 5αα+=，两边同时平方可得112sin cos 25αα+=， 即242sin cos 25αα=−， 所以()249cos sin 12sin cos 25αααα−=−=，又因为π02α−<<，所以sin 0α<，cos 0α>，所以7cos sin 5αα−=，可得()()221125cos sin cos sin cos sin 7αααααα==−+−． 故答案为：25715. 已知函数()12yf x =+−为奇函数，()211x g x x −=−，且()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则126126x xx y y y ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=______．【答案】18 【解析】【分析】由题意得函数f （x ）与g （x ）的图像都关于点()1,2对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】函数()12y f x =+−为奇函数，∴函数()y f x =关于点()1,2对称，()211211x g x x x −==+−− ，∴函数()y g x =关于点()1,2对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称， ()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ,两两关于点()1,2对称，126126x x x y y y ∴++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 323418=×+×=.故答案为18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.16. 函数2ln y x x =−上的点到直线2y x =−的最短距离是________．【解析】【分析】由题意知：平行于2y x =−且与2ln y x x =−相切直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.【详解】要使2()ln f x x x =−上的点到直线2y x =−的最短，则该点切线平行于2y x =−，由1()2f xx x =−′且0x >，令1()21f x x x′=−=， ∴2210x x −−=，解得12x =−（舍）或1x =， ∴切点为(1,1)=. 的四、解答题（共6小题，共70分）17 已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求： （1）xy 的最小值； （2）x +y 的最小值.. 【答案】（1）64 （2）18 【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28x y xy +=变形为分式型281y x+=，利用“1”的代换和基本不等式可得结果. 【小问1详解】∵0x >，0y > ， 280x y xy +−=，∴28xy x y =+≥=，当且仅当28x y =时取等号，8≥∴64xy ≥，当且仅当416x y ==时取等号， 故xy 的最小值为64. 【小问2详解】∵28x y xy +=，则281y x+= ， 又∵0x >，0y > ，∴2828()()101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=， 当且仅当212x y ==时取等号， 故x y +的最小值为18.18. 已知函数()()π4sin sin 103f x x x ωωω=+−>的最小正周期为π． （1）求ω及()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 图象的对称中心．.【答案】（1）ω = 1，增区间为()πππ,π63k k k−++∈Z（2）ππ,0122k+，k ∈Z ． 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到π()2sin(2)6f x x ω=−，利用函数的最小正周期为π得到ω，然后再利用正弦函数的基准增区间即可求解； （2）令π2π6x k −=，k ∈Z ，解之即可求解. 【小问1详解】()214sin sin 12sin cos 12f x x x x x x x ωωωωωω =+−=+− π1cos 2212cos 22sin 26x x x x x ωωωωω=−+−=−=−．∵最小正周期为π，∴2ππ2ω=， ∴1ω=，∴()π2sin 26f x x=−， 令πππ2π22π262k x k −+≤−≤+，∈Z ， 解得ππππ63k x k −+≤≤+，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为()πππ,π63k k k−++∈Z ．【小问2详解】 令π2π6x k −=，k ∈Z ， 解得ππ122k x =+，k ∈Z ， ∴()f x 图象的对称中心为ππ,0122k+，k ∈Z ． 19. 已知定义域为R 函数()()1xxf x a k a −=−−⋅（0a >且1a ≠）是奇函数． （1）求实数k 的值；（2）若()10f <，判断函数()f x 的单调性，若()()220f m f m −+>，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2（2）在R 上单调递减，()2,1− 【解析】【分析】（1）根据题意，利用()00f =，求得2k =，结合函数奇偶性的定义，即可求解；（2）由()10f <，求得01a <<，得到()xxf x a a−=−在R 上单调递减，把不等式转化为()()22f m f m −>−，结合单调性，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()1xxf x a k a −=−−⋅的定义域为R 的奇函数，可得()()()001110f a k a k =−−=−−=，解得2k =， 经验证：当2k =时，()xxf x a a−=−，可得()()()xxxxf x a a a a f x −−−=−=−−=−， 则()f x 为奇函数，符合题意， 所以2k =． 【小问2详解】解：由（1）知，()xxf x a a−=−（0a >且1a ≠），因为()10f <，即10a a−<， 又因为0a >，且1a ≠，所以01a <<，而x y a =在R 上单调递减，x y a −=−在R 上单调递减，故由单调性的性质可判断()xxf x a a−=−在R 上单调递减，不等式()()220f m f m −+>可化为()()22f m f m −>−，可得22m m −<−，即220m m +−<，解得21m −<<， 所以实数m 的取值范围是()2,1−．20. 已知22sin 2sin 12αα=−.（1）求sin cos cos 2ααα+的值； （2）已知()0,απ∈，0,2πβ ∈，且2tan 6tan 1ββ−=，求2αβ+的值.【答案】（1）15；（2）74π. 【解析】 【分析】（1）先求出1tan 2α=−，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+−+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=−，再求出tan(2)1αβ+=−，求出52,23παβπ+∈，即得解. 【详解】（1）由已知得2sin cos αα=−，所以1tan 2α=−222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+−+−+===++ （2）由2tan 6tan 1ββ−=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==−−，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ−−++===−−−×. 因为0,2πβ∈，所以()20,βπ∈，又1tan 23β=−>52,6πβπ ∈ ， 因为()0,απ∈，1tan 2α=−>， 则5,6παπ∈，则52,23παβπ +∈， 所以724παβ+=.【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ+∈.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小. 21. 设()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =−+−−，R a ∈，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】答案见解析 【解析】【分析】求出()g x ′，因式分解得()()()sin g x x a x x ′=−−，先说明()sin h x x x =−的单调性，再分类讨论0a >，0a =及a<0时，()g x 的增减性和极值情况即可． 【详解】因为()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =−+−−， 所以()()()()()()2cos sin cos sin sin g x x ax x x a x x x x a x a x x a x x ′=−+−−−=−−−=−−，令()sin h x x x =−，则()1cos 0h x x ′=−≥， 所以()h x 在R 上单调递增，因为()00h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <． （1）当a<0时，()()()sin g x x a x x ′=−−，当(),x a ∈−∞时，0x a −<，()0g x ′>，()g x 单调递增； 当(),0x a ∈时，0x a −>，()0g x ′<，()g x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，0x a −>，()0g x ′>，()g x 单调递增． 所以，当x a =时，()g x 取到极大值，极大值是()31sin 6g a a a =−−， 当0x =时，()g x 取到极小值，极小值是()0g a =−．（2）当0a =时，()()sin g x x x x ′=−， 当(),x ∈−∞+∞时，()0g x ′≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(),−∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值． （3）当0a >时，()()()sin g x x a x x ′=−−，当(),0x ∈−∞时，0x a −<，()0g x ′>，()g x 单调递增； 当()0,x a ∈时，0x a −<，()0g x ′<，()g x 单调递减．当(),x a ∈+∞时，0x a −>，()0g x ′>，()g x 单调递增．所以，当0x =时，()g x 取到极大值，极大值是()0g a =−；当x a =时，()g x 取到极小值，极小值是()31sin 6g a a a =−−． 综上，当a<0时，()g x 在(),a −∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，极大值是()31sin 6g a a a =−−，极小值是()0g a =−；当0a =时，()g x 在(),−∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(),0∞−和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，极大值是()0g a =−，极小值是()31sin 6g a a a =−−． 22. 已知函数()ln 3()f x a x ax a R =−−∈． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点()2,(2)f 处的切线的倾斜角为45°，对于任意的[]1,2t ∈，函数32()()2m g x x x f x ′=+⋅+在区间(),3t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)37 ,93−−【解析】【详解】【试题分析】(1)求出函数的定义域,对函数求导后,对a 分类讨论函数的单调区间.(2)倾斜角为45 ,斜率为1,根据斜率为1可求得a 的值.化简()g x 的表达式,求出()g x 的导数,将函数在区间上不是单调函数的问题,转化为函数导数在区间上有变号零点问题来求解. 【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－＝1，即a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝.∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，∴当g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0对任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；由g′(3)＞0，即m＞－373.所以－373＜m＜－9.即实数m的取值范围是37,93−−.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调区间,考查不是单调函数的转化方法,考查了分类讨论的思想方法,和化归与转化的数学思想方法. 求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,第19页/共19页。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）A ．6B ．3C ．1D ．2 3.设函数()2c o s ,fx x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）A ．0B ．116π C ．18π D ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-++-=即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）答案：B ． 提示：z n i z m i n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=．又110,022<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n Cr -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠；②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是 ．答案：28.x ≤≤。
高中数学竞赛试题及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。
A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。
A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。
答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。
答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。
答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。
答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。
当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。
当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。
当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。
10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3、解题书写不要超出装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。
）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。
下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。
请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。
答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。
六年湖南省高中数学竞赛B卷试题
二 00 六年湖南省高中数学比赛 B 卷试题（含参照答案及评分标准）一、选择题（本大题共 10 个小题，每题 6 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1、已知函数 yf 1( x) 的图象过点（1,0 ），则 f ( 1x 2) 的反函数必定过点（）3A 、（ 1,6 ）B 、（6,1 ）C 、（ 0,6 ）D 、（6,0 ）2、已知在矩形 ABCD 中， AB ＝2，BC ＝ 3，则ABBCAC 的模等于（）A 、0B 、5C 、 13D 、2 133、已知 sincos7，且 tan α>1，则 cos α＝（）5A 、－3B 、－4C 、3D 、455554 、在等差数列 { a n } 中，若 a ＋ a ＋ a ＋ a ＋ a ＝ 80，则 a － 1 a 的值为246810782（ ）A 、4B 、6C 、8D 、 105、 tan70 cos10 ( 3 tan 20 1) 等于（）A 、1B 、2C 、－ 1D 、－ 26、设函数 f 9x)a |x| (a 0且a1) ， f （－ 2）＝ 9，则 （）A 、f （－ 2）＞ f （－ 1）B 、f （－ 1）＞ f （－ 2）C 、f （1）＞ f （2）D 、f （－ 2）＞ f （2）7、已知 AB (k,1) ， AC(2,3) ，则以下 k 值中能使△ ABC 是直角三角形的一个值是（）A 、3B 、1－ 2C 、1－ 3D 、－ 528、已知 x, y ( 2,2) ，且 xy ＝ 1，则2242 的最小值是（）x 4y2A 、20B 、12C 、16 4 2D 、16 4 277779、四边形各极点位于一长为1 的正方形的各边上， 若四条边的平方和为 t ，则 t的取值区间是（）A 、[1 ，2]B 、[2 ，4]C 、[1 ，3]D 、[3 ，6]10、旭日电器厂和红星电器厂 2005 年元月份的产值相等，旭日电器厂的产值逐月增添且每个月增添的产值同样， 红星电器厂的产值也逐月增添， 且每个月增添的百分率同样，已知 2006 年元月份两厂的产值又同样， 则 2005 年 7 月份，产值高的工厂是（ ）A 、旭日电器厂B 、红星电器厂C 、两厂同样D 、没法确立二、填空题（本大题共 4 个小题，每题6 分，共 24 分，请将正确的答案填在横线上）11、若△ ABC 的三条中线 AD 、BE 、CF 订交于点 M ，则 MA M B MC ＝12、关于实数 x ，当且仅当 n ≤x ＜n ＋1（n ∈N ＋）时，规定 [x] ＝n ，则不等式4[ x]2 36[ x] 45 0 的解集为13、在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a n a n 1 1(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为14、在△ ABC 中， AB ＝ 30 ，AC ＝6 ，BC ＝15 ，有一个点 D 使得 AD 均分 BC而且∠ ADB 是直角，比值则m ＋n ＝SSADBABC能写成m的形式，这里 m,n 是互质的正整数，n三、解答题（本大批题共 5 小题，共 66 分，要求解答有必需的过程）15、（本大题 12 分）在△ ABC 中，怭 sin A cos 2Csin C cos 2A 3sin B 在，求22 2cosA C2 sin B的值2216、（本大题 12 分）已知函数 f ( x) 2x 24x a，x ∈ (1, ＋∞ ]x（1）当 a ＝ 2 时，求函数 f （ x ）的最小值；（2）若对随意 x ∈ (1, ＋∞ ] ，f （x ）＞ 0 恒建立，试务实数 a 的取值范围17 、（本大题12 分）已知 向量 a (cos 3 x, sin 3 x) ， b (cos x , sin x) ，且, 3] 2222x [22（1）求 | a b | 的取值范围；（2）求函数 f ( x) a b | ab |的最小值，并求此时 x 的值18、（本大题15 分）设 { a n } 是正数数列，其前 n 项和 S n 知足 S n 1(a n 1)(a n 3)4（1）求数列 { a n } 的通项公式；（2）令1，试求 { b n } 的前 n 项和nb nTS n19、（本大题 15 分） 2006 年 8 月中旬，湖南省资兴市碰到了千载难逢的洪水灾害。
2022年湖南省高中数学竞赛试卷(含详解)
2022年湖南省高中数学竞赛试题说明:1、评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次给分.一、填空题(本大题共10小题, 每小题7分,满分70分).1.已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈在区间21(,)33--内为减函数,在区间1(,)3-+∞内为增函数,则a = 2 .【解析】因由题可知,2()321f x x ax '=++,且13x =-是函数()f x 的极值点,即1()03f '-=得2a =.2.设A B 、是两个集合,称(,)A B 为一个“对子”.当A B ≠时,将(,)A B 与(,)B A 视为不同的“对子”.满足条件{1,2,3,4}A B =的不同的对子(,)A B 的个数为 81 .【解析】分类讨论:①当A =Φ时,则{1,2,3,4}B =只有一种情形;②当A 为单元集时(有14C 种),如取{1}A =时,则{2,3,4},B =或{1,2,3,4}B =两种,其个数相当于是{1}的子集个数2,故由分步办事乘法原理知,此时有1428N C =⨯=种;③当A 为双元集时(有24C 种),如取{1,2}A =时,则B 除含有元素3,4外,可含或不含{1,2}A =中元素.其情况相当于是{1,2}的子集个数224=,故由分步办事乘法原理知,此时有24424N C =⨯=种;④同理,当A 为三元集时有334232C ⨯=种),当{1,2,3,4}A =时有444216N C =⨯=种;综上可知,由分类办事加法原理得共有,1824321681N =++++=种. 如图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( B )3.设函数2()()f x x x m m R +=++∈,若()0f t <,则你对函数()y f x =在区间(,1)t t +中零点存在情况的判断是 1 . 【解析】由于()0f t <,且抛物线开口向上,可知其与x 轴有两个交点12,x x ,且12x t x <<,而又由于211x x -=,可知21t x t <<+,显然(1)0f t +>,且图象在(,1)t t +上单调递增,故只有一个零点.4.已知椭圆22:12x C y +=的两个焦点分别为12,,F F 点00(,)P x y 满足2200012x y <+≤,则12||||PF PF +的取值范围是.【解析】由题知点00(,)P x y 在椭圆内部(含边界),故有122||||2c PF PF a ≤+≤,即求.5.已知复数1z 满足1(2)(1)1(z i i i -+=-为虚数单位),复数2z 的虚部为2,则12z z ⋅为实数的条件是2z =42i + .【解析】 由1(2)(1)1z i i -+=-得12z i =-,又设22()z a i a R =+∈,所以12(22)(4),z z a a i =++-又12z z ⋅为实数,所以得4a =,即242z i =+.6.已知数列{}n a 满足递推关系式1221(),n n n a a n N ++=+-∈且{}2n na +λ为等差数列,则λ的取值是1λ=-.【解析】由已知得,112(1)2n n n a a +-=-+,两边同除以12n +得,11111222n n n n a a ++--=+,显然数列1{}2n n a -是公差为12的等差数列.或者由1111221212222n n n n n n n n n n n a a a a +++++λ+λ+-+λ+λ--λ-=-=为常数,所以1λ=-,即求. 7. 过函数()cos f x x x x =+的图象上一点的切线的斜率为k ,则k 的取值范围是 [-1,3]【解析】由()1sin 12sin()[1,3]3f x x x x π'=-=-+∈-8.已知平面内三点A B C 、、满足||3,||4,||5AB BC CA ===,则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值为-25 .【解析】由条件知AB BC ⊥,所以2()25AB BC BC CA CA AB CA AB BCCA ⋅+⋅+⋅=⋅+=-=-. 9.边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成060的二面角,则BC 中点与A的距离为【解析】取BD 中点O ,容易证明ACO ∆是边长为,所以AC =.设BC 中点为M ,在ACB ∆中AM ==10.规定一又筷子由同色的2支组成.现有黑、白、黄筷子各8只,不用眼睛看,任意地取出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 11 只筷子才能做得到. 【解析】因为11只筷子中必有2支筷子同色,不妨设它是黄色的一双筷子,则黑色或白色的筷子至少有3只,其中必有一双同色,即同为黑色或白色,故11只筷子足以保证成功.但少于11只不行,如只取10只筷子,就可能出现8只黄色，黑色和白色各1只的情形,不合要求.二、解答题(大本题共4个小题,满分80分) 11. (本小题满分20分)如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条件下,平面内2022条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作判断,并证明你的结论. 【解析】不能.证明如下:因为每条抛物线有一条对称轴,所以2022条抛物线至多有2022条对称轴.……8分.在平面上任作一条不平行于每一条对称轴的直线,l 则直线l 和至多2022条对称轴相交至多得2022个交点.……12分这至多2022个交点将直线l 截割若干段,其中2条为射线,其它的为线段,位于抛线线内部的至多只有2022条线段.……16分所以,抛物线不能盖住平面上的直线l ,当然不能盖住整个平面.……20分. 12. (本小题满分20分)设22221111,12(1)1k a k k k k =+++++++-求证:20102011222011(,)a a ∈.【证明】:易知k a 的表达式共有21k +项,分别考察其前k 项的和与后1k +项的和.……4分因为2222211111,1211k k k k k k k k k ++++>=+++-++ 又当2k ≥时,2222211111,121k k k k k k k k ++++<=+++-所以, 22221111111121k k k k k k k<++++<++++- ①……8分同理可证2222111111112(1)1k k k k k k k k<++++<++++++- ②……12分 由①+②,可得221k a k k<<+由此得11112k k k a a ++<<……16分 取2010k =,得201020111201112a a <<,即20102011222011a a <<所以,20102011222011(,)a a ∈……20分.13.(本小题满分20分)(Ⅰ)设实数0t >,求证:2(1)ln(1)2t t++>.(Ⅱ)从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取1张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p ,求证:21p e<.【证明】:(Ⅰ)构造函数2()ln(1),2xf x x x =+-+……2分则22()(1)(2)x f x x x '=++,当0x >时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上为增函数……6分所以()(0)f t f >,即2ln(1)02t t t +->+,变形即得2(1)ln(1)2t t++>……10分 (Ⅱ)由条件知20100999881100p ⨯⨯⨯⨯=……14分又222998190,988290,918990,⨯<⨯<⨯<所以199()10p <.………16分在(1)的结论中令19t =,得19210101912(),99n e >>即19291()10e <.所以,21p e<……20分.14.(本小题满分20分)如图所示,已知由ACB ∆的顶点A 引出的两条射线AX AY 、分别交BC 于点X Y 、.求证:22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅成立的充要条件是BAX CAY ∠=∠. 【证明】:(Ⅰ)先证充分性若BAX CAY ∠=∠,如图所示,,BAX CAY ∠=∠=α又作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,则sin sin ABX ACY S AB AX BX ADS AC AY CY AD∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅α⋅……2分 由此得AB AX BXAC AY CY⋅=⋅ ①……6分 同理AB AY BY AC AX CX⋅=⋅ ②……8分 由①×②得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅,变形整理,即得22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅……10分 (Ⅱ)再证必要性作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,不妨设,,BAX CAY XAY ∠=α∠=β∠=θ,则 sin sin ABX ACY S AB AX BX AD S AC AY CY AD ∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅β⋅,所以sin sin AB AX BXAC AY CY⋅⋅α=⋅⋅β ③……12分同理,sin()sin()AB AY BYAC AX CX⋅⋅α+=⋅⋅β+θθ ④……14分 由③×④得22sin sin()sin sin()AB BY BX AC CX CY α⋅α+⋅=⋅β⋅β+⋅θθ,由题设得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅ 所以得sin sin()sin sin()α⋅α+=β⋅β+θθ……16分即sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )α⋅α+α=β⋅β+βθθθθ所以,22(sin sin )cos (sin cos sin cos )sin 0α-β+αα-ββ=θθ1(sin sin )(sin sin )cos (sin 2sin 2)sin 02α+βα-β+α-β=θθ12sin cos 2cos sin cos 2cos()sin()sin 022222α+βα-βα+βα-β⋅⋅⋅⋅+⋅α+β⋅α-β⋅=θθ即sin()sin()cos cos()sin()sin 0α+β⋅α-β⋅+α+β⋅α-β⋅=θθsin()[sin()cos cos()sin ]sin()sin()0α-βα+β+α+β=α-βα+β+=θθθ因为α+β+∠θ=BAX 是ACB ∆的一个内角,所以上式中只能是sin()0α-β= 则,α=β,即BAX CAY ∠=∠……20分.。
高中数学竞赛赛题精选(带答案)
高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。
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要证 ，可转化为证明：
由 可得
由 可得
两式联立，得 进一步，得
设 ，则 ， 下面证只须证明：
，即证 当 时恒成立．
设函数 ，则
故函数 在 上为增函数，
所以， 当 时恒成立，即
16．已知互异的正实数 满足不等式 。
求证：从 可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。
证明：由于 ，故从 中任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形，即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形．下面用反证法给出证明：
答案：B．
提示： 表示以 为焦点的椭圆且 表示以 为焦点的双曲线的一支．由 ，知 故双曲线 的一支靠近点 ．
5.给定平面向量 ，那么，平面向量 是将向量 经过变换得到的，答案是（）
A．顺时针旋转 所得B．顺时针旋转 所得
C．逆时针旋转 所得D．逆时针旋转 所得
答案：C．
提示：设两向量所成的角为 ，则 又
答案；
提示：由题意知，抛掷小正方体向上的数为 的概率为 ，向上的数为 的概率为 ，向上为 的概率为 ，如下表所示：
第一次抛掷
第二次抛掷
0
1
2
0
1
2
于是所得向上的数之积的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ布列为：
0
1
2
4
10．观察下列等式：
；
；
；
。。。。。。
由以上等式推测出一般的结论：
对于
答案：
11．方程 的解的集合是
答案： ．
提示：当 时， ，当且仅当 时取“ ”．而 ，当且仅当 时取“ ”号．于是，当 时，方程只有一个解 由奇函数的性质可知， 是方程的另一个解．故方程的解集合为
，所以 ．又 ，所以 正确．
6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）
A．0B．1C．2D．3
答案：B．
提示：设这3名选手之间比赛的场数是 ，共 名选手参赛，依题意有
，即
因为 ，所以分4种情况讨论：
解：（1）由经过点 ，得 由离心率为 ，得 ，得
故椭圆 的方程为
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 轴，则 为矩形，由对称性知，直线 与 相交于 的中点 ，由此猜想直线 与 相交于定点
证明：设 直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程消去 得 ，即 又因为 ，当 时，
，
即点 在直线 上．
同理可证，点 在直线 上，所以，当直线 的倾斜角变化时，直线 与 相交于定点
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 ，在 上定义运算“ ”为： ，其中 为 被 除的余数， 则满足关系 的 的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
答案：B．
提示：因为 ，设 ，所以 即 ，故 或
答案：A．
2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“”的数字是（）
A．6B．3C．1D．2
3.设函数 是公差为 的等差数列， 则 （）
A． B． C． D．
答案：D．
提示：因为 是公差为 的等差数列，且
即 ，所以
即
记 ，则
，
即 在 为增函数，有唯一零点 ，所以
所以
4.设 为非零实数， 为虚数单位， ，则方程 与方程 在同一复平面内的图形（其中 是焦点）是（）
12．当一个非空数集 满足条件“如果 ，则 ，且当 时， ”时，我们称 就是一个数域。以下四个关于数域的命题：
① 是任何数域的元素；②若数域 有非零元素，则 ；③集合 是一个数域；④有理数集是一个数域。
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）
答案：①②④．
提示：根据数域的定义判断，①②④均正确．取 ，则 ，但 ，即③错误．
若存在某三个数为边长的不能构成三角形，由对称性可知不妨设这三个数为 ，且满足 因为
由 ，知 ，并设 ，得
由条件，得 ，即 事实上，当 时，
这与上面所得结论矛盾．所以，原命题成立．
三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）
13．（本小题满分16分）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，经过椭圆 的右焦点 交椭圆于 两点，点 在直线 的射影依次是 。
（1）求椭圆的 的方程；
（2）连接 ，试探求当直线 的倾斜角变化时，直线 与 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。
14．（本小题满分16分）已知四边形 是正方形， 是边 上一点（点 不与顶点重合），延长 与 的延长线交于点 。设 ， ， 的内切圆半径分别是 。
（1）证明： ，并指出点 在什么位置时等号成立；
（2）若 试求证： 。
证明：（1）如图所示，因为△ ∽△ ∽△ ，所以
而 ，
故 ，即 当且仅当 ，即 为 的中点时，等号成立．
的解集是．
答案：
提示：所求不等式为关于 的一元二次不等式．由 ，得 ，故 ，即
8.在三棱锥 - 中， 则三棱锥的体积的最大值为．
答案： ．
提示：设 ，根据余弦定理有 ，故 由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以 事实上，取 ，且 面 时，可以满足已知条件，此时
9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字 ，两个面上标以数字 ，一个面上标以数字 。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是
①当 时，有 ，即 ，但它没有正整数解，故 ；
②当 时，有 ，解得 ，故 符合题意；
③当 时，有 ，即 但它没有正整数解，故 ；
④当 时，有 ，即 ，但它没有正整数解，故
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）
7.规定：对于 ，当且仅当 时， ．则不等式
（2）由（1）得 ，所以有
记 ，则
令 ，则 ，且
故
它是关于 的单调递增函数，所以
即
15．已知函数
（1）当 时，求函数 的所有零点；
（2）若 有两个极值点 ，且 ，求证： 。
解：（1）当 时， 设 则 ，于是 在 上为增函数．
又 ，所以，当 时，函数 有唯一零点
（2）若 有两个极值点 ，则导函数 有两个零点