湖南省高一数学周考试题(含答案)

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湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷含答案

2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高一上期中考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B = （）A.(]2,3- B.()2,0- C.(]0,1 D.(]1,3【答案】C 【解析】【分析】由交集的运算法则求解即可.【详解】解：{}{}2103A x x B x x =-<≤=<≤ ，，{}01A B x x ∴⋂=<≤，故选：C.2.函数1()2f x x =+-的定义域为（）A.2|2}3{x x x >≠且 B.2{|2}3x x x <>且C.3{|2}2x x ≤≤ D.3{|2}2x x x ≥≠且【答案】D 【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数1()2f x x =+-的意义，则230x -≥且20x -≠，解得32x ≥且2x ≠，所以原函数的定义域为3{|2}2x x x ≥≠且.故选：D 3.已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()4f =（）A.3 B.2C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式列式求解即可.【详解】由题意可得：()()46651f f ==-=.故选：C.4.设x ∈R ，则“2x ≤”是“11x -≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】从充分性和必要性两个方面考虑.【详解】先说充分性：当2x ≤，比如2x =-，此时：12131x -=--=≤不成立，所以“2x ≤”不是“11x -≤”的充分条件；再说必要性：11x -≤⇒111x -≤-≤⇒02x ≤≤，所以2x ≤成立，所以“2x ≤”是“11x -≤”的必要条件.故“2x ≤”是“11x -≤”的必要不充分条件.故选：B5.若不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.52t ≥B.52t >C.2t ≥D.103t ≥【答案】D 【解析】【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t 的取值范围．【详解】因为不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，所以211x t x x x+>=+在区间132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，由对勾函数的性质可知函数1y x x =+在区间112⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()13，上单调递增，且当12x =时，15222y =+=，当3x =时，110333y =+=，所以1103x x +<，故103t ≥，故选：D6.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是A.6B.3C.4D.23【答案】B 【解析】【分析】根据22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，将等式转化为不等式，求x y +的最大值.【详解】()22211x y xy x y xy ++=⇒+-=,22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()2212x y x y +⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭，解得()2314x y +≤，x y ≤+≤x y ∴+故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.7.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.b a c<< C.b c a<< D.a b c<<【答案】B 【解析】【分析】根据题意先求出函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数且关于直线1x =对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B.8.幂函数()()22251m m f x m m x+-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】由已知条件求出m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数()()22251m m f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x =；当1m =-时，()6f x x -=．因为函数()f x 在()0,∞+上是单调递增函数，故()3f x x =．又0a b +>，所以a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，则()()0f a f b +>．故选：A ．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.{}0∅∈B.集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈C.集合{}{}3,44,3= D.集合22{|}{|}x y x y y x ===【答案】BC 【解析】【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可.【详解】解：对于A ，{}0∅⊆，故A 错误；对于B ，由Z 2x ∈，可得x 为偶数，所以集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈，故B 正确；对于C ，集合{}{}3,44,3=，故C 正确；对于D ，集合2{|}R x y x ==，2{|}{|0}y y x y y ==≥，故D 错误.故选：BC.10.已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（）A.>0B.不等式20cx bx a ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1234b b ++的最小值是83D.当2c =时，()236f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[]3,1-，则21n n -的取值范围是[]2,4【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，B ，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C ，利用基本不等式求最值，对D ，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果.【详解】对于A ，由题意可知：2,3-是关于x 的方程B 2+B +=0的两个根，且0a <，故A 错误；对于B ，由题意可知：16bac a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得,6b a c a =-=-，0a <.不等式20cx bx a ++<化为：260ax ax a --+<，由0a <可得2610x x +-<，解得1123x -<<，所以不等式20cx bx a ++<的解集为1123⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故B 正确；对于C ，因为=-b a ，0b >，可得()121214483434343333b b b b +=++-≥-=++，当且仅当()12134343b b =++，即23b =时，等号成立，所以1234b b ++的最小值是83，故C 正确；对于D ，当2c =时，13b a =-=，则()222362(1)1f x ax bx x x x =+=-+=--+，当=1时，()f x 取到最大值()11f =，由()3f x =-得，=−1或3x =，()[]212,36f x ax bx x n n =+∈，的值域是[]3,1-，因()f x 在[]12,n n 上的最小值为3-，最大值为1，从而得121,13n n =-≤≤或1211,3n n -≤≤=，因此2124n n ≤-≤，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当>0时，()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()02f =-B.()f x 的单调递增区间为()1,0-，()1,+∞C.当0x <时，()21f x x x=+-D.()0xf x <的解集为()()1,00,1-⋃【答案】BCD 【解析】【分析】由奇函数()f x 在=0处有定义，可得()00f =，可判断A ；由>0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得0x <时的函数解析式，可判断C ；判断>0时的()f x 的单调性，可得0x <时的()f x 的单调性，不等式()0xf x <等价为>0且()0f x <，0x <且()0f x >，结合()()110f f -==，解不等式可判断D ；由()y f x =的图象与=op 的图象特点，结合单调性可判断B.【详解】对于A ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，故A 错误；对于C ，当>0时，()21f x x x =-+，设0x <，则0x ->，()21f x x x-=---，又−=−，所以0x <时，()21f x x x=+-，故C 正确；对于D ，由>0时，()21f x x x =-+，可得1=0，又y x =和21y x =-+在()0,∞+递增，可得()f x 在()0,∞+递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得()f x 在(),0∞-递增，且()10f -=，所以()0xf x <等价为>0op <0=o1)或<0op >0=o −1)，解得01x <<或10x -<<，故D 正确；对于B ，因为()f x 在(),0∞-和()0,∞+上递增，且()()110f f =-=，由()y f x =的图象可看做=op 的图象位于x 轴上方的图象不变，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，所以()y f x =的递增区间为()1,0-，1,+∞，故B 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a =，b =，则a ______b ．(填“>”或“<”)【答案】<【解析】【分析】对,a b 进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果.【详解】a ==b ==，>0+>，<<所以a b <.故答案为：<13.已知()5311f x ax bx cx x=-+++，且()35f -=-，则()3f =__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()2f x f x -+=，结合()35f -=-即可求解.【详解】()5311f x ax bx cx x=-+++，则()()531()()1f x a x b x c x x ⎛⎫-=---+-+-+ ⎪⎝⎭5311ax bx cx x ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭则有()()2f x f x -+=，若()35f -=-，则()()3257.f =--=故答案为：7.14.定义{},min ,=,>a a b a b b a b≤⎧⎨⎩，若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为________.【答案】74.【解析】【分析】根据定义作出函数()=y f x 的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.【详解】根据定义作出函数()=y f x 的图像如图:(实线部分的曲线).其中()()1,13,3A B 、,即23|3|,13()=3+3,1<<3x x x f x x x x --≤≥-⎧⎨⎩或.当()34f x =时,当1x ≤或3x ≥时,由3334x --=,解得：34C x =或214G x =;当()74f x =时,当13x <<时,由27334x x -+=解得：52E x =.由图像知,若函数()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为537244E C x x -=-=.故答案为：74四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(1)计算：111224127()10()()20024-+⨯⨯（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.【答案】（1）25；（2）9.【解析】【分析】（1）（2）利用指数性质、运算法则直接求解.【详解】（1）原式131144221103(1)151025.2++=+⨯⨯-=+-+=（2）由11223x x-+=，得129x x -++=，则17x x -+=，2247x x -+=，所以22124729272x x x x --+--==+--.16.若关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.（1）求a 的值；（2）设集合=2<<1−，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）−2（2）0m ≤【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求得答案；（2）由题意可得A B ⊆，由此列不等式求解，即得答案.【小问1详解】因为关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故2310ax x +-=的两根为1,12，且0a <，故11122a a⨯=-⇒=-；【小问2详解】由题意集合{}21B x m x m =<<-，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，故A B ⊆，由于112A xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，故B 不为空集，则1221121m m m m ⎧≤⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎩，解得0m ≤.17.函数()29x x ax f b--=是定义在区间()3,3-上的奇函数，且()11.4f =（1）确定()f x 的解析式，并用定义证明()f x 在区间()3,3-上的单调性;（2）解关于t 的不等式()()10.f t f t -+<【答案】（1）()229xf x x =-；证明见解析（2）12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用函数在()3,3-上有定义且为奇函数，则()00f =，求出b 的值，再由()114f =求出a 的值，即可确定()f x 的解析式；直接利用定义法证明函数()f x 在()3,3-上的单调性；（2）由奇函数的性质知()()1f t f t -<-，由函数单调性得313331t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，求解即可.【小问1详解】根据题意，函数()29ax bf x x -=-是定义在()3,3-上的奇函数，则()009bf -==，解可得0b =；又由()114f =，则有()1184a f ==，解可得2a =，则()229xf x x=-，又()()()222299x xf x f x x x --==-=----，符合题意，故()229xf x x=-.设1233x x -<<<，则()()()()()()2212211212222212122929229999x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----()()()()121222122999x x x x x x +-=--，又由1233x x -<<<，则1290x x +>，120x x -<，2190x ->，2290x ->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则函数()f x 在()3,3-上为增函数；【小问2详解】由（1）知()f x 为奇函数且在()3,3-上为增函数.则()()()()101f t f t f t f t -+<⇒-<-()()1f t f t ⇒-<-，故313331t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解可得：122t -<<，即不等式的解集为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （*,20x x ∈≤N ，单位：年）之间满足函数关系式为：228.t x x =+该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.（参考数据：70.960.751≈，80.960.721≈，90.960.693≈，100.960.665≈）【答案】（1）2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N （2）第3年（3）选第一方案较为合理，理由见解析【解析】【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到y 与x 之间的函数关系式；（2）令0y >，解一元二次不等式即可；（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可.【小问1详解】由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为228t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，可得y 与x 之间的函数关系式()225028100242100y x x x x x =-+-=-+-，()*,20x x ∈≤N ；【小问2详解】由（1）知：2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，令0y >，可得22421000x x -+->，解得212412124122x -+<<，因为1516<<，所以521322-<<，213718.22+<<因为*x ∈N ，所以318x ≤≤且*x ∈N ，故从第3年开始盈利.【小问3详解】由（1）知2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，因为22212412421002()22y x x x =-+-=--+，所以当10x =或11x =时，营利额达到最大值为120万元，使用10年后机床剩余价值为：10100(14%)66.5-≈（万元），所以按第一方案处理，总获利为12066.5186.5+=（万元）；又由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()100422h x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()020x <≤，12020x x ∀<<≤，则()()()()12121212121250100100222x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当120x x <<<时，12120,500x x x x -<-<，则()()120h x h x -<，即()()12h x h x <，因此可得ℎ在(上单调递增；1220x x <<≤时，12120,500x x x x -<->，则()()120h x h x ->，即()()12h x h x >，因此可得ℎ20⎤⎦上单调递减；又78<<，当7x =时，年平均盈利为967万元，当8x =时，年平均盈利为272万元，又962772>，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：7100(14%)75.1-≈（万元），所以按第二方案处理，总获利为96775.1171.17⨯+=（万元）.由于186.5171.1>，则选第一方案较为合理.【点睛】方法点睛：解答函数应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．19.定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数(01)αα<≤，若存在正数M ，使不等式()()1212|f x f x M x x |α-≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件.（1）判断函数y x =，3y x =在R 上是否满足1阶李普希兹条件;（2）证明函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，并求出M 的取值范围;（3）若函数y =[)1,+∞上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.【答案】（1）y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.（2）证明见解析，1M ≥（3）112α≤≤.【解析】【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解.（3）分情况讨论α的取值范围结合定义从而即可求解.【小问1详解】y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.理由：对于y x =，1212||||x x M x x -≤-，只需1M ≥，所以存在正数1M ≥，对任意1x ，2R x ∈使()()1212f x f x M x x -≤-成立，所以y x =满足1阶李普希兹条件；对于3y x =，331212||||x x M x x -≤-，不妨设12x x >，则≥12+12+22=1+22−12>()21234x x +，()[)212304y x x ∞=+∈+，，即不存在正数M ，使不等式()()1212f x f x M x x -≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，所以3y x =不满足1阶李普希兹条件.【小问2详解】证明：不妨设121x x >≥，()()12f x f x ∴-=()()()()()1212212120,1f x f x x x x x -∴=--，故1M ≥时，对1x ∀，[)21,x ∈+∞，均有()()121212()f x f x M xx -≤-，故函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，1M ≥；【小问3详解】①首先证明102α<<时不成立，假设函数y =在区间[)1+∞，上满足1(02αα<<阶李普希兹条件，12()M x x α≤-，令124x x =，则有22(4)M x x α-≤-，即122221.3M x α-≥>=取()212231x M α-=+，则1221133x M α-=+，则13M M >+，矛盾，所以假设不成立.②然后证明112α≤≤时成立，不妨设12121(x x x x >≥=时显然成立)，令212(1)x k x k =>，()()(121f x f x k ∴-==-()22122221x x k x x k x ∴-=-=-；要证函数y =在区间[)1,∞+上满足112αα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭阶李普希兹条件，只需证存在正数M12()M x x α≤-成立，即证(221(1)k M k x αα--，又1222211(1)(1)k k x k k ααα---≤--，当(k ∈时，22(1)1k k α-≥-，所以221111(1)11k k k k k α--≤=<--+；当)2k ∈时，1222(1)(1)k k α-≥-，所以211(1)k k α-≤=<-；当[)2,k ∞∈+时，121(1)(1)1(1)(1)(1)k k k k k k ααααα----=≤<-++，故取1M≥，不等式即可成立.综上，α的取值范围为1 1. 2α≤≤【点睛】难点点睛：本题考查函数新定义问题，难度大.解答时要根据题目所给α阶李普希兹条件的定义分析所给函数的结合不等式分析可解答.。

精品解析：湖南省怀化市湖天中学2024-2025学年高一上学期入学考试数学试卷(解析版)

湖天中学2024级高一入学考试试卷数学时量：70分钟满分：100分一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列等式成立的是（）A.235a b ab +=B.()326326a b a b -=-C.+= D.222()a b a b +=+【答案】C 【解析】【分析】举反例可判断A ；利用指数的运算性质可判断BC ；根据完全平方关系可判断D.【详解】对于A ，当0,1a b ==时，23350+=≠=a b ab ，故A 错误；对于B ，()()()33322363632286a ba b a b a b -=-=-≠-，故B 错误；对于C ==，故C 正确；对于D ，()222222a b a ab b a b +=++≠+，故D 错误.故选：C.2.下列不等式组2123x x x +≥⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先解不等式组，再进行判断即可.【详解】由2123x x x +≥⎧⎨<+⎩⇒13x x ≥-⎧⎨<⎩⇒13x -≤<.故选：A3.如果22()11,()7a b a b +=-=，则ab 的值是（）A.2 B.1C.2- D.1-【答案】B 【解析】【分析】利用完全平方公式展开做差可得答案.【详解】22211①++=a ab b ，2227②-+=a ab b ，-①②得4ab 4=，可得1ab =.故选：B.4.已知点()()12311,,,,4,2y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭都在抛物线224y x x c =-++上，则123,,y y y 的大小关系是（）A.231y y y >>B.123y y y >>C.213y y y >> D.132y y y >>【答案】C 【解析】【分析】将横坐标代入计算出123,,y y y 的值即可比较出它们的大小.【详解】根据题意可知()()2121416y c c =-⨯-+⨯-+=-+；2211324222y c c ⎛⎫=-⨯+⨯+=+ ⎪⎝⎭；23244416y c c =-⨯+⨯+=-+；显然36162c c c +>-+>-+，即213y y y >>；故选：C5.已知关于x 的一元二次方程()221210x m x m +---=中，m 为实数，则该方程解的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.不能确定【答案】B 【解析】【分析】判断∆的符号，进而判断根的个数.【详解】因为()()2Δ21421m m =----2445m m =++214402m ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，所以关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.故选：B6.满足213x x -++=的x 的个数为（）A.0B.2C.3D.多于3个【答案】D 【解析】【分析】分1x <-、12x -≤<、2x ≥讨论去绝对值可得答案.【详解】当1x <-时，方程化简为213x x ---=，得=1x -（不符合题意的解要舍去），当12x -≤<时，213x x -++=，x 有无数个；当2x ≥时，方程化简为213x x -++=，解得2x =；综上所述：x 有无数个.故选：D.7.已知关于x 的不等式6x a <的解也是不等式25132x a a->-的解，则a 的取值范围是（）A.611a ≥-B.611a >-C.6011a -≤< D.以上都不正确【答案】C 【解析】【分析】先解不等式可得1364a x ->，然后结合条件可得0a <，且13664a a -≥，即可得出答案.【详解】由25132x a a ->-，解得1364a x ->，对于不等式6xa<，若0a >，则不等式6x a <的解集为6x a <，若a<0，则不等式6xa<的解集为6x a >，又不等式6x a <的解也是不等式25132x a a ->-的解，所以0a <，且13664a a -≥，所以6011a -≤<.故选：C.8.在R 上定义运算“ ”：2a b ab a b =++ ，则满足)0(2x x -< 的实数x 的取值范围是（）A.(0,2)B.(2,1)- C.(,2)(1,)-∞-+∞ D.(1,2)-【答案】B 【解析】【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式)0(2x x -< ，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案【详解】根据给出在上定义运算2(2)(2)2(2)2(2)(1)-=-++-=+-=+- x x x x x x x x x x ，由)0(2x x -< 得(2)(1)0x x +-<，解之得2<<1x -，故该不等式的解集是(2,1)-．故选：B二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.有意义的x 的取值范围是__________.【答案】4x >【解析】【分析】根据二次根式被开方数非负和分式的分母不能为0，求得x 的取值范围.【详解】要使式子有意义，须有4040x x -≥⎧⎨-≠⎩⇒4x >.故答案为：4x >10.分解因式：22224x x y y xy --+-=___________.【答案】()()22x y x y -+-【解析】【分析】根据十字相乘法和提公因式法因式分解即可.【详解】2222224224x x y y xy x xy y x y--+-=---+()()()222x y x y x y =-+--()()22x y x y =-+-.故答案为：()()22x y x y -+-.11.方程210x mx +-=的两根为12,x x ，且12113x x +=-，则m =____________.【答案】-3【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求得答案.【详解】∵方程210x mx +-=的两根为12,x x ，∴()2241140m m ∆=-⨯⨯-=+≥，，由题意得：121x x ⋅=-；12x x m +=-，∵12113x x +=-，∴12123x x x x +=-，31m-=--，故3m =-，故答案为：-3.12.将4张长为a 、宽为()b a b >的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为()a b +的正方形，图中空白部分的面积之和为1S ，阴影部分的面积之和为2S ，若1235S S =，则ab的值为______.【答案】3【解析】【分析】根据题意可知内层正方形的边长为a b -，可得221S a b =+，22S ab =，结合题意列式求解即可.【详解】由题意可知：内层正方形的边长为a b -，则空白部分的面积之和为()2221142S ab a b a b =⨯+-=+，阴影部分的面积之和为21422a S ab b =⨯=，若1235S S =，即22523a b ab +=⨯，整理可得231030a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得3a b =或13a b =，且a b >，可知1>a b ，所以3ab=.故答案为：3.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文子说明､证明过程或演算步骤.13.计算；（1）101(π1)2cos455-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222441x x x x x x --+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭，其中4x =.【答案】（1）3（2）32【解析】【分析】（1）根据指数运算、根式运算、三角函数等知识求得正确答案.（2）化简代数式，进而求得正确答案.【小问1详解】原式132532=-+⨯+=+.【小问2详解】原式()()21222x x x x x x ---=⨯-()()2122x x x x x ⨯---=12x x -=-，当4x =时，原式413422-==-.14.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整.（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.【答案】（1）15件；（2）答案见解析（3）35【解析】【分析】（1）根据B 班有5件作品，且对应的圆心角为120 求解；（2）结合（1）根据总件数和A ，B ，D 班的件数求解；（3）利用古典概型的概率求解.【小问1详解】解：120515360︒÷=︒（件），即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；【小问2详解】C 班级的作品数为：153543---=（件），把图2的条形统计图补充完整如下：【小问3详解】恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率.不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为123205=.15.如图，反比例函数my x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于()()3,1,1,A B n -两点.（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M N ､分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标.【答案】（1）反比例函数：3y x=；一次函数：2y x =-（2）或(【解析】【分析】（1）根据()()3,1,1,A B n -在反比例函数my x=上，可求,m n 的值，在根据()()3,1,1,A B n -在一次函数y kx b =+上，可求,k b .（2）根据四边形OCNM 是平行四边形，可确定,M N 坐标的关系，再根据M 在反比例函数的图象上，可求M 的坐标.【小问1详解】因为m y x=过点()3,1A ，所以313m =⨯=，所以反比例函数的关系式为：3y x =.因为点()1,B n -在3y x =上，所以331n ==--.由133k b k b =+⎧⎨-=-+⎩⇒12k b ⎧⎨⎩==-，所以一次函数的关系式为：2y x =-.【小问2详解】如图：令0x =，则2y =-，所以C 点坐标为()0,2-.因为点N 在一次函数2y x =-上，可设N 点坐标为()00,2x x -，又四边形OCNM 为平行四边形，所以M 点坐标为()00,x x .又M ()00,x x 在3y x=上，所以003x x =⇒0x =M点坐标为或(.16.函数2121y x x a a=-+-（a 为常数，0a ≠）.（1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当4a =时，此函数图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点P 为x 轴下方图象上一点，过点P 作//PQ y 轴交线段BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值；（3）点(21,3)M a a ---，(0,3)N a --，连接MN ，当此函数图象与线段MN 恰有两个公共点时，求出a 的取值范围.【答案】（1）(),1a -（2）94（3）21a -<≤-【解析】【分析】（1）根据抛物线方程直接求解即可，（2）由二次函数解析求出,,A B C 三点的坐标，则可求出直线BC 的方程，设21,234P m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则1,32Q m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，然后表示出PQ ，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值，（3）由题意可得MN x ∥轴，然后分0a >和a<0两种情况分析讨论即可【小问1详解】221121()1(y x x a x a a a a=-+-=-- 为常数，0)a ≠，∴函数图象的顶点坐标为(),1a -.【小问2详解】当4a =时，21234y x x =-+，∴当0x =时，3y =，即()0,3C ，当0y =时，212304x x -+=，即()()260x x --=，解得2x =或6x =，点A 在点B 的左侧，()()2,0,6,0A B ∴，设直线BC 表达式为y kx b =+，则063k bb =+⎧⎨=⎩，解得1,23.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩132y x ∴=-+，点P 为x 轴下方图象上一点，过点P 作PQ y ∥轴交线段BC 于点Q ，设21,234P m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则1,32Q m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，其中26m <<，222111319323(3),(26)244244PQ m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-+--+=-+=--+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，104-< ，∴二次函数图象开口向下，当3m =时，函数有最大值为94，PQ ∴的最大值为94.【小问3详解】点()()21,3,0,3M a a N a -----纵坐标相等，∴连接MN 后，MN x ∥轴，根据题意，分两种情况：①当0a >时，抛物线开口向上，∴()213212(21)131210a a a a a a a a ⎧--≤---+-⎪⎪⎨--≤-⎪⎪->⎩，解得12a ≥，函数图象与线段MN 恰有两个公共点∴21213y x x a a y a ⎧=-+-⎪⎨⎪=--⎩有两个不相等的实数根，即x 2-2ax +2a 2+2a =0有两个不相等的实数根，∴Δ=(-2a )2-4⨯1⨯(2a 2+2a )=-4a 2-8a =-4a (a +2)>0，a >0，则a +2<0，即a <-2，∴此种情况不存在.②当0a <时，抛物线开口向下，∴()213212(21)131210a a a a a a a a ⎧--≥---+-⎪⎪⎨--≥-⎪⎪-<⎩，解得1a ≤-，函数图象与线段MN 恰有两个公共点，∴21213y x x a a y a ⎧=-+-⎪⎨⎪=--⎩有两个不相等的实数根，即222220x ax a a -++=有两个不相等的实数根，()()222Δ(2)412248420a a a a a a a ∴=--⨯⨯+=--=-+>，0a < ，则20a +>，即2,21a a >-∴-<≤-，综上所述，当此函数图象与线段MN 恰有两个公共点时，a 的取值范围是21a -<≤-.【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的综合问题，考查二次函数最值的求法，第（3）问解题的关键是表示出线段MN 的方程与抛物线方程联立，化简后再利用判别式大于零可求得结果，考查计算能力，属于较难题.。

湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试数学含答案

2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。

湖南省衡阳市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案

2024年高一上第一次月考数学（答案在最后）一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{2,3,4,5,7},{2,3},{3,5,7}U A B ===，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2} D.{2,3,4,7}【答案】C 【解析】【分析】由集合的交集与补集运算求解即可.【详解】因为{}{}2,3,3,5,7A B ==，所以{3}A B ⋂=，图中阴影部分表示的集合A 中除去{3}A B ⋂=，故阴影部分表示的集合为{2}.故选：C.2.下列各式正确的个数是（）①{}00=；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}(){}0,10,1=A.2 B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.【详解】对于①，元素与集合的关系用∈符号，应为{}00∈，故①错误；对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；对于④，集合{}0,1是数集，有2个元素，集合(){}0,1是点集，只有1个元素，故④错误；所以正确的个数有2个.故选：A.3.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.4.下列命题中正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则22a b >C.若0,0a b m >>>，则b m ba m a+<+D.若a b >且0ab >，则11a b<【答案】D 【解析】【分析】举反例说明AB 是错误的，利用作差法可证C 是错误的，利用不等式的性质可证D 是正确的.【详解】对A ：当0c =时，由a b >⇒22ac bc =，故A 错误；对B ：当1a =，1b =-，则满足a b >，但22a b >不成立，故B 错误；对C ：根据不等式的性质，若0,0a b m >>>，则㤵㔠㤵㔠，也就是b m ba m a+>+，故C 错误；对D ：若a b >且0ab >，则a b ab ab >即11b a>，故D 正确.故选：D 5.已知条件1:1p x<，则使得条件p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x <-B.1x ≥ C.0x <或1x > D.0x ≠【答案】A【分析】解不等式得到1x >或0x <，使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，从而得到答案.【详解】11x<，解得1x >或0x <，故使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，其中1x <-满足要求，其他选项不满足.故选：A 6.已知集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合时，则（）A.12m =B.2m =C.0m =或12m = D.0m =或2m =【答案】C 【解析】【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；【详解】因为集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合，则方程组211y x x my ⎧=-⎨=+⎩只有唯一解，所以()211y my =+-，整理可得()22210m y m y +-=，当0m =时，方程变为00y y -=Þ=，此时1x =，符合题意；当0m ≠时，()221214002m m m D =--´=Þ=，所以0m =或12m =，故选：C.7.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱【解析】【分析】根据题意设买大竹子x ，每根单价为m ，可得()()576781mx x m =+--，由078x ≤≤，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.8.对于集合A ，B ，定义A \B ={|x x A ∈且}x B ∉，则对于集合A ={|65N x x n n =+∈，}，B ={|37N y y m m =+∈，}，|C x x A=∈B 且1000}x <，以下说法正确的是（）A.若在横线上填入”∩”，则C 的真子集有212﹣1个.B.若在横线上填入”∪”，则C 中元素个数大于250.C.若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153﹣2个.D.若在横线上填入”∪N ð”，则N ðC 中元素个数为13.【答案】B 【解析】【分析】根据各个选项确定相应的集合C ，然后由集合与子集定义得结论．【详解】653(21)2x n n =+=⨯++，373(2)1y m m =+=++，集合,A B 无公共元素，选项A 中，集合C 为空集，没有真子集，A 错；选项B 中，由651000n +<得51656n <，由371000m +<得331m <，因此C 中元素个数为166331497+=，B 正确；选项C 中，C 中元素个数为166，非空真子集个数为16622-，C 错；选项D 中，()()N NN NN N NC A B A B A B ===痧痧痧，而N B A ⊆ð，因此其中元素个数为331个，D 错．故选：B ．二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.已知集合A={1，2，2a }，B={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】利用B A ⊆，可得22a +=或22a a +=，再验证即可．【详解】因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当1a =-时，不满足集合元素的互异性，所以0a =或2a =．故选：BD ．10.已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（）A.39x y <+<B.13x y -<-<C.218xy <<D.1621xy <<-【答案】ACD 【解析】【分析】由不等式的性质直接求解.【详解】因为16x <<，23y <<，则39x y <+<，218xy <<，故A 、C 正确；由题32y -<-<-，故24x y -<-<，B 错误；112y <-<，则11121y <<-，故1621xy <<-，D 正确；故选：ACD.11.已知a >0，b >0，且3a +b =2，则（）A.ab 的最大值为13B.113a b+的最大值是2C.2219a b+的最小值是18 D.12a b a b+++的最小值是2【答案】AC 【解析】【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B 要用乘1法，D 减少变量后用基本不等式.【详解】因为0,0a b >>，且32a b +=，所以2≤，所以13ab ≤，当且仅当31a b ==时，等号成立，则A 正确；由题意可得()111111313222323232⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，当且仅当3a b ==1时，等号成立，则B 错误；因为13ab ≤，所以2219618+≥≥a b ab ，当且仅当31a b ==时，等号成立，则C 正确；由32a b +=，得23b a =-，对于D ，由0230a b a >⎧⎨=->⎩，得023a <<，()()111123222222222322++=++-=+-=+--≥-++---a b a a a a a b a a a a，当且仅当()1222a a =--，当222a =±时，22223±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误.故选：AC.三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知集合{}0,1,2A =，写出一个满足{}1,0,1,2,3A B ⋃=-的集合：B =_____________.【答案】{}1,3-(答案不唯一)【解析】【分析】写出满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可.【详解】解：根据题意，只要是满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可所以B ={}1,3-故答案为：{}1,3-13.已知命题[]2:1,2,20p x x x a ∃∈--≤是假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <-【解析】【分析】写出命题的否定为真命题，得到()2min2a x x <-，求出221y x x =-≥-，得到实数a 的取值范围.【详解】由题意，命题¬ 쳌䁠쳌 䁠䁠是真命题，所以()2min2a x x<-，其中()222111y x x x =-=--≥-，当且仅当1x =时，等号成立.故答案为：1a <-.14.已知关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，则29c a b++的取值范围为______.【答案】(],6∞--【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断,,a b c 的关系及a 的符号，再结合基本（均值）不等式求式子的最大值即可.【详解】解：关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，所以0a <，且4-和1是关于x 的方程20ax bx c ++=的两实数根，由根与系数的关系知，144b ac a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3,4b a c a ==-，所以2291699434c a a a b a a a ++==+++，因为0a <，所以()9464a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭即296c a b+≤-+故答案为：(],6∞--.四､解答题（共5小题，满分77分）15.已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或．（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11x x -≤≤或}45x ≤≤（2）()0,1【解析】【分析】（1）当3a =时，求得{}15A xx =-≤≤∣，结合集合的交集的运算，即可求解；（2）根据题意，转化为A R B ð，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15xx =-≤≤∣，因为集合{|1B x x =≤或，所以{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤.【小问2详解】解：由集合{|1B x x =≤或，可得{}|14B x x =<<R ð，因为{}|22(0)A x a x a a =-≤≤+>，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”充分不必要条件，可得AR B ð，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得01a <<，即实数a 的取值范围是()0,1.16.已知函数2()2h x ax ax =++．（1）若对于任意R x ∈，不等式()1h x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a<0时，解关于x 的不等式()(1)4h x a x <-+．【答案】（1）[)0,12；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论0a =或0a ≠两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为(1)(2)0ax x -+<，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【小问1详解】()1h x >-即为230ax ax ++>，所以不等式230ax ax ++>对于任意 R 恒成立，当0a =时，得30>，显然符合题意；当0a ≠时，得2Δ120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得012a <<．综上，实数a 的取值范围是[)0,12．【小问2详解】不等式()(1)4h x a x <-+即为2(21)20ax a x +--<，即(1)(2)0ax x -+<．又a<0，不等式可化为1(2)0x x a-+>，若12a<-，即102a -<<时，得1x a <或2x >-，即解集为1{|x x a <或2}x >-；若12a=-，即12a =-时，得2x ≠-，即解集为{|2}x x ≠-；若12a >-，即12a <-时，得<2x -或1x a>，即解集为{|2x x <-或1}x a >．综上可知，当102a -<<时，解集为1{|x x a <或2}x >-；当12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；当12a <-时，解集为{|2x x <-或1}x a >．17.根据要求完成下列问题：（1）已知4x y +=，是否存在正实数x ，y 使得5x y ⋅=？若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由；（2）已知,,,R a b c d ∈，比较2222()()a b c d ++与2()ac bd +的大小并说明理由；（3）利用（2）的结论解决下面问题：已知m ，n 均为正数，且225m n +=，求2m n +的最大值．【答案】（1）不存在，理由见解析（2）22222()()()a b c d ac bd ≥+++，理由见解析（3）5【解析】【分析】（1）由基本不等式说明4x y ⋅≤即可；（2）用作差法比较大小即可；（3）由（2）的结论得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，即可求解．【小问1详解】不存在，∵0x >，0y >，∴x y +≥4x y +=，∴4≥∴4x y ⋅≤，∴不存在x 、y 使得5x y ⋅=．【小问2详解】22222()()()a b c d ac bd ≥+++，证明如下：2222222222()()()2()0a b c d ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥，当且仅当ad bc =时等号成立，∴22222()()()a b c d ac bd ≥+++．【小问3详解】由（1）得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，∴2(2)5525m n +≤⨯=，∴25m n +≤，当且仅当2m n =，即2m =，1n =时等号成立，∴2m n +的最大值为5．18.某工厂生产某种产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21204000010y x x =-+.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得.（2）求出年利润关于年产量x 的函数关系，再利用二次函数求出最大值.【小问1详解】依题意，生产每吨产品的平均成本为[]400020,150,25010y x x x x=+-∈，而400020202010x x +-≥-=，当且仅当400010x x =，即200x =时取等号，所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元.【小问2详解】设利润为()W x ，则221()24(204000)220)8401010x W x x x x =--+=--+，而150250x ≤≤，因此当220x =时，max ()840W x =，所以年产量为220吨时，最大利润为840万元.19.已知正整数集合{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ,对任意,i j a a S ∈，定义()11,i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有()21,i j d a a k≥,则称集合S 具有性质k F .记()d S 是集合中的(){},,i j i j d a a a a S ∈最大值.（1）判断集合{}1,2,3A =和集合{}4,6B =是否具有性质3F ，直接写出结论；（2）若集合S 具有性质4F ，求证：()116n d S -≥；（3）若集合S 具有性质k F ，求n 的最大值.【答案】（1）集合{}1,2,3A =具有性质3F ；集合{}4,6B =不具有性质3F ；（2）证明见解析（3）21k -【解析】【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.（2）确定()111n d S a a =-，变换()11223111111111n n nd S a a a a a a a a -=-=-+-++- ，计算得到证明.（3）确定()2,n i d a a n i k -≥，得到21i n i a k ->，确定21n i i k ->，再根据均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】{}1,2,3A =，则()()12211111,,2912d a a d a a ==-=≥；()()32231111,,6932d a a d a a ==-=≥；()()13311121,,3913d a a d a a ==-=≥，故集合{}1,2,3A =具有性质3F ；{}4,6B =，故()()1221461111,,129d b b b b d ==-=<，故集合{}4,6B =不具有性质3F ；【小问2详解】{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ，故121110n a a a >>>> ，故()max 111,i j n d a a a a =-，即()111nd S a a =-，集合S 具有性质4F ，故()161,i j d a a ≥，()11223111111111111116161616n n n n d S a a a a a a a a --=-=-+-++-≥+++= .【小问3详解】集合S 具有性质k F ，则()21,i j d a a k ≥，11a ≥，i a i ≥，*N i ∈，()211211*********,i i n i i n n i i i n n d a a a a a a a a a a a a n i k+++-=-=-=-++-≥--+ ，故21i n i a k->，又i a i ≥，故11i a i ≤，即21n i i k ->，*N i ∈，()22224i n i n k i n i +-⎛⎫>-≥= ⎪⎝⎭，当n 为偶数时当且仅当i n i =-，即2n i =时等号成立，当n 为奇数时等号不成立，()2max 14n i n i -⎡⎤-=⎣⎦，故2214n k ->，即2241n k <+，故21n k ≤-，综上所述：21n k ≤-，故n 的最大值为21k -.【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定121110n a a a >>>> ，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.。

湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题含解析

2023年下学期高一第一次月考数学（答案在最后）（时量：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“200,1x x ∃∈≠R ”的否定是（）A.2,1x x ∀∈=RB.2,1x x ∀∉=RC.200,1x x ∃∈=R D.200,1∃∉=x x R 【答案】A 【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“200,1x x ∃∈≠R ”的否定是“2,1x x ∀∈=R ”.故选：A.2.设集合A 含有2-，1两个元素，B 含有1-，2两个元素，定义集合A B ，满足1x A ∈，2x B ∈且12x x A B ∈e ，则A B 中所有元素之积为（）A.8- B.16- C.8D.16【答案】C 【解析】【分析】根据集合A B 的定义先求出集合A B ，然后再把集合中所有元素相乘即可求解.【详解】由题意{}2,1A =-，{}1,2B =-，由集合A B 的定义可知，集合A B 中有以下元素：①()212-⨯-=，②224-⨯=-，③()111⨯-=-，④122⨯=，根据集合中元素满足互异性去重得{}4,1,2A B =--e ，所以A B 中所有元素之积为()4128-⨯-⨯=.故选：C.3.若函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，则()y f x =的定义域是（）A.[]1,1- B.[]5,13- C.[]5,1- D.[]1,13-【答案】B 【解析】【分析】根据函数()31y f x =+中[]2,4x ∈-，即可得出[]315,13x +∈-，即可选出答案.【详解】因为函数()31y f x =+的定义域为[]2,4-，即24x -≤≤所以53+113x -≤≤所以()y f x =的定义域是[]5,13-故选:B.【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是x 的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.4.下列命题正确的是（）A.“a b >”是“22a b >”的充分条件B.“a b >”是“22a b >”的必要条件C.“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由a b >推不出22a b >，如0a =，1b =-满足a b >，但是22a b <，故A 错误；对于B ：由22a b >推不出a b >，如1a =-，0b =满足22a b >，但是a b <，即a b >不是22a b >的必要条件，故B 错误；对于C ：由a b >推不出22ac bc >，当0c =时220ac bc ==，故C 错误；对于D ：若22ac bc >，则20c ≠，即20c >，所以a b >，即a b >是22ac bc >的必要条件，故D 正确；故选：D5.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若A ＝{1，2}，B ＝{x |(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )等于（）A.1B.3C.5D.7【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()1C B =或()3C B =，进而讨论a 的范围，确定出()C B ，最后得到答案.【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =，由20x ax +=，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-或a >0，-a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -<<时，方程220x ax ++=无实根，若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<<或0a <<，则()2C B =，不符合题意.所以{0,S =-，故()3C S =.故选：B .【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当<0∆时，容易遗漏a =0时的情况，注意仔细分析题目.6.函数[]y x =在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如[1.5]1,[2.3]3,[3]3=-=-=．那么不等式24[]12[]50x x -+≤成立的充分不必要条件是（）A.15[,22B.[1,2]C.[1,3)D.[1,3]【答案】B 【解析】【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为24[]12[]50x x -+≤，则[]()[]()21250x x --≤，则[]1522x ≤≤，又因为[]x 表示不大于x 的最大整数，所以不等式24[]12[]50x x -+≤的解集为：13x ≤<，因为所求的时不等式24[]12[]50x x -+≤成立的充分不必要条件，所以只要求出不等式24[]12[]50x x -+≤解集的一个非空真子集即可，选项中只有[1,2]⫋[)1,3.故选：B .7.已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为（）A.54B.0C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】1x y += ，12x y ∴++=，1(1)11221441x y x y x x y x y +++∴+=++++，0,0y x >> ，10,041y x x y +∴>>+，111152144144x y x x y x y +∴+=++≥+++，当且仅当141y x x y +=+，即23x =，13y =时等号成立，故选：A8.黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当q x p =（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =.已知a ，b ，[]0,1a b +∈，则（）注：p ，q 为互质的正整数()p q >，即q p为已约分的最简真分数.A.()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C.()()()R a b R a R b +≥+ D.以上选项都不对【答案】B 【解析】【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，然后对A 选项，根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解；对B 、C 选项：分①a A ∈，b A ∈；②a B ∈，b B ∈；③a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a Bb A ∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可．【详解】解：设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，对A 选项：由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数，故选项A 错误；对B 、C 选项：①当a A ∈，b A ∈，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅；②当a B ∈，b B ∈，则()()()R a b R a R b +=+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅＝0；③当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅，所以选项B 正确，选项C 、D 错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（）A.0b <且0c >B.0a b c -+>C.0a b c ++> D.不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<【答案】ABD 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集可判断出a 的正负以及,,a b c 的关系，由此可判断各选项的对错.【详解】因为20ax bx c -+>的解集为()1,2-，解集属于两根之内的情况，所以a<0，又因为0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，所以2b ac a =⎧⎨=-⎩；A ．0,20b a c a =<=->，故正确；B ．因为()11,2∈-，所以0a b c -+>，故正确；C ．因为解集为()1,2-，所以0a b c ++=，故错误；D ．因为20ax bx c ++>即为2220ax ax a +->，即220x x +-<，解得()2,1x ∈-，故正确；故选：ABD.10.命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题，则实数m 的取值可以是（）A.1- B.0 C.1D.2【答案】ABC 【解析】【分析】先求出命题为真命题时实数m 的取值范围，然后利用补集思想求出命题为假命题时m 的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】若命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为真命题，则()2Δ242440m m =--=->，解得1m >，所以当命题:p x ∃∈R ，2220x x m ++-<为假命题时，1m £，符合条件的为A 、B 、C 选项.故选：A BC.11.设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b =,，则有：()(),,G a b A a b ≤，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H ．Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b--+=+，其中p 为有理数．如：()0.50.50.50.50.5,11a b L a b a b --+==+．下列关系正确的是（）A.()()0.5,,L a b A a b ≤ B.()()0,,L a b G a b ≥C.()()21,,L a b L a b ≥D.()()1,,n n L a b L a b +≤【答案】AC 【解析】【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.【详解】A ：()()0.5,,112a bL a b A a b +===，故A 对；B：001102(,)(,)a b ab L a b G a b a b a b --+==≤++，故B 错；C ：()222,a b L a b a b+=+，()1,2a b L a b +=，而()()()()()22222222222222122,1,22a b a b L a b a b a b L a b a b ab a b aba b +++++===≥+++++，故C 对；D ：由柯西不等式，()()()()()112111112211(,)1(,)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b L a b a b a b L a b a b a b a b++++--+--+++++==≥=++++，故D 错.故选：AC.12.已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（）A.224a b -≤B.214a b+≥C.若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D.若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD 【解析】【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【详解】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，由于0a >，所以0b >.A ，()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==时等号成立，故A 正确.B ，21144a b b b +=+≥=，当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立，故B 正确.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，那么f (x )的解析式为________.【答案】()(0,1)1xf x x x x=≠≠-+.【解析】【分析】用1x代换已知式中的x ，可得，注意x 有取值范围．【详解】解：由111f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭可知，函数的定义域为{x |x ≠0，x ≠﹣1}，用1x代换x ，代入上式得：f (x )=111x+=1x x +，故答案为：()(0,1)1xf x x x x=≠≠-+．【点睛】本题考查求函数解析式，掌握函数这定义是解题关键．求解析式时要注意自变量的取值范围．14.设集合{43}M xx =-<<∣，={+2<<21,}N x t x t t -∈R ∣，若M N N ⋂=，则实数t 的取值范围为____________．【答案】(],3-∞【解析】【分析】由M N N ⋂=可知N M ⊆，讨论N =∅与N ≠∅，即可求出答案.【详解】因为M N N ⋂=，所以N M ⊆，当N =∅时：2213t t t +≥-⇒≤，满足题意；当N ≠∅时：+2<21>34+262132t t t t t t t --≤⇒≥--≤≤⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩，无解；所以实数t 的取值范围为(],3-∞.故答案为：(],3-∞15.已知函数()2f x x =-，()()224R g x x mx m =-+∈，若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，则m 的取值范围______．【答案】54⎡⎢⎣【解析】【分析】由题意可判断(){}(){},12,45y y g x x y y f x x =≤≤⊆=≤≤，由此求出()[]2,3f x ∈，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.【详解】由题意知(){}(){},12,45y y g x x y y f x x =≤≤⊆=≤≤；当[]4,5x ∈时，()[]2,3f x ∈，故()()224R g x x mx m =-+∈需同时满足以下两点：①对[]1,2x ∀∈时，()2243g x x mx =-+≤∴12m x x≥+恒成立，由于当[]1,2x ∀∈时，1y x x=+为增函数，∴1522,24m m ≥+∴≥；②对[]1,2x ∀∈时，()2242g x x mx =-+≥，∴22m x x≤+恒成立，由于2x x+≥2x x =，即[1,2]x =时取得等号，∴2m m ≤∴≤∴54m ⎡∈⎢⎣，故答案为：54⎡⎢⎣16.若,a b R ∈，且22231a ab b +-=，则22a b +的最小值为_______.【答案】14【解析】【分析】根据a 2+2ab ﹣3b 2=1得到(a +3b )(a ﹣b )=1，令x =a +3b ，y =a ﹣b ，用x ，y 表示a ，b ，然后代入a 2+b 2，利用均值不等式求解.【详解】由a 2+2ab ﹣3b 2=1得(a +3b )(a ﹣b )=1，令x =a +3b ，y =a ﹣b ，则xy =1且a 34x y +=，b 4x y-=，所以a 2+b 2=(34x y +)2+(4x y -)22252184x y ++=≥，当且仅当x 2=，y 25=时取等号.故答案为14.【点睛】本题主要考查均值不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）17.已知全集U =R ，集合502x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，{}11,B x a x a a =-<<+∈R .（1）当2a =时，求()()U UA B ⋂痧；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(){1U UA B x x ⋂=≤痧或}5x >（2）{}34a a ≤≤【解析】【分析】（1）当2a =时，求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()()U U A B ⋂痧；（2）分析可知，BA ，利用集合的包含关系可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】因为{}50252x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬-⎩⎭，当2a =时，{}13B x x =<<，因为全集U =R ，则{2U A x x =≤ð或}5x >，{1U B x x =≤ð或}3x ≥，因此，()(){1U U A B x x ⋂=≤痧或}5x >.【小问2详解】易知集合{}11,B x a x a a =-<<+∈R 为非空集合，因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则BA ，所以，1215a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得34a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是{}34a a ≤≤.18.已知a ，b ，c 均为正实数，且1a b c ++=．（1）求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）求111a b c++的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）根据111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c 结合基本不等式即可得证；（2）根据111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++结合基本不等式即可得解.【小问1详解】原式111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()b c a c a b abc+++=222bc ac ababc≥8abc abc=8=.当且仅当13a b c ===是取等号，所以1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】原式a b c a b c a b c a b c++++++=++3b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3≥2339=⨯+=.当且仅当13a b c ===是取等号，所以111a b c++的最小值为9．19.已知x >0，y >0，且2x +8y -xy =0，求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值..【答案】（1）64（2）18【解析】【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；（2）将28x y xy +=变形为分式型281y x +=，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.【小问1详解】∵0x >，0y >，280x y xy +-=，∴28xy x y =+≥=，当且仅当28x y =时取等号，8≥∴64xy ≥，当且仅当416x y ==时取等号，故xy 的最小值为64.【小问2详解】∵28x y xy +=，则281y x+=，又∵0x >，0y >，∴2828()()101018x y x y x y y x y x +=++=++≥+=，当且仅当212x y ==时取等号，故x y +的最小值为18.20.济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时列车为满载状态，载客量为500人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为()p t .（1）求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为()()8265660p t Q t t -=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】（1）2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩；450（2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.【解析】【分析】（1）由题设，有2()500(10)p t k t =--且(2)=372p ，求k 值，进而写出其分段函数的形式即可.（2）由（1）写出()Q t 解析式，讨论210t ≤<、1020t ≤≤求最大值即可.【小问1详解】由题设，当210t ≤<时，令2()500(10)p t k t =--，又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，∴2(2)500(102)372p k =--=，解得=2k .∴2300+402,2<10()=500,1020t t t p t t -≤≤≤⎧⎨⎩，故=5t 时，2(5)5002(105)450p =-⨯-=，所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人.【小问2详解】由（1）知：25626016,2<10()=134460,1020t t t Q t t t--≤-≤≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∵210t ≤<时，()260132Q t ≤-当且仅当=4t 等号成立，∴210t ≤<上max ()(4)132Q t Q ==，而1020t ≤≤上，()Q t 单调递减，则max ()(10)74.4Q t Q ==，综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.21.已知二次函数22y ax bx =++（a ，b 为实数）（1）若1x =时，1y =且对()2,5x ∀∈，0y >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若1x =时，1y =且对[]2,1a ∀∈--，0y >恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）3a >-（2）11,44⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意求出1b a =--可得()2120y ax a x =-++>对()2,5x ∀∈恒成立，分离参数，即得2max 2x a x x -⎛⎫> ⎪-⎝⎭，令()20,3t x =-∈，则可得()123f t t t=++，利用基本不等式即可求得答案；（2）由题意()212y ax a x =-++，变更主元：令a 为主元，视x 为参数，则()()220g a x x a x =-+->，对[]2,1a ∀∈-恒成立，由此可得不等式组，即可求得答案.【小问1详解】将1x =，1y =代入得1,1a b b a +=-∴=--∴()2120y ax a x =-++>对()2,5x ∀∈恒成立，即()22a x x x ->-对()2,5x ∀∈恒成立，当()2,5x ∈时，由于2y x x =-在()2,5上单调递增，故22220x x ->->，∴2max2x a x x -⎛⎫> ⎪-⎝⎭，()2,5x ∀∈，令()20,3t x =-∈，则()()()2213232223t t f t t t t t t t ===≤=-+++-+++，当且仅当2t t=，即()0,3t =时等号成立，∴3a >-【小问2详解】由题意()()21,12b a y ax a x =-+∴=-++，变更主元：令a 为主元，视x 为参数，令()()22g a x x a x =-+-，对[]2,1a ∀∈-，()()220g a x x a x =-+->恒成立，故只需()()()2222220120g x x x g x x x ⎧-=-++->⎪⎨-=--+->⎪⎩，即2222020x x x ⎧--<⎨-<⎩，解得1111,,4444x x x ⎧⎛⎫<<+⎪∴∈ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪<<⎩.22.已知函数()f x =，()g x =．（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）已知a 为非零实数，记函数()()()x x h f g x a =-的最大值为()m a ，求()m a ．【答案】（1）[]0,2，2⎤⎦（2）12,0211(),2222a a am a a aaa⎧⎛⎫⎪-<≠⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎪=+≤≤⎨⎝⎭⎪⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩且【解析】【分析】（1）根据根式的概念可得()f x定义域，再计算()22f x=+求解可得()f x值域；（2）令2t⎤=⎦，设函数()22aF t t t a=-++，2t⎤∈⎦，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可.【小问1详解】定义域：[]0,220xxx≥⎧⇒∈⎨-≥⎩，()222f x x x=+=+-+2=+当[]0,2x∈时，()[]2110,1x--+∈，∴()[]()22,4,0f x f x∈≥，∴()2f x⎤∈⎦；【小问2详解】()h x=-2t⎤=+⎦，则22222tt-=+，设()22222t aF t t a t t a-=-=-++，2t⎤∈⎦，1°若a<0，此时二次函数对称轴10ta=<<()()max2F t F=2a=-.2°若0a >，此时对称轴：10t a =>，①当12a >即102a <<时，开口向下，则()()max 2F t F =2a =-；12a ≤≤即122a ≤≤，对称轴1t a =，开口向下，则()max 1F t F a ⎛⎫= ⎪⎝⎭12a a =+，③1a <即2a >时，开口向下，()max F t F==综上：12,0211(),2222a a a m a a a a a ⎧⎛⎫⎪-<≠ ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪=+≤≤ ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎩且.。

湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题含答案

2024年09月高一数学月考试题（答案在最后）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则U M =ðA.U B.{}1,3,5 C.{}2,4,6 D.{}3,5,6【答案】D 【解析】【详解】试题分析：因为{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，所以，{}3,5,6U M =ð故选D.考点：集合的运算.2.已知集合A={x|x (x+4)=0}，则下列结论正确的是（）A.0∈AB.-4∉A C .4∈AD.2∈A【答案】A 【解析】【分析】首先求出集合A ，即可判断元素与集合的关系；【详解】解：∵A={x|x (x+4)=0}={0，-4}，∴0∈A.故选：A【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.3.设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（）.A.N n ∀∈，22n n >B.N n ∀∈，22n n ≤C.n ∃∈N ，22n n >D.n ∃∈N ，22nn ≤【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.【详解】因为命题:p n N ∃∈，22n n >，所以p ⌝为N n ∀∈，22n n ≤.故选：B.4.已知集合M={-1，0，1，2}和N={0，1，2，3}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示的集合是（）A.{0}B.{0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2，3}【答案】C 【解析】【分析】利用交集的定义求解.【详解】由题图可知：阴影部分对应的集合为M ∩N={0，1，2}，故选：C .【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.5.下列函数中与函数y x =是同一函数的是（）A.2y =B.2n m n=C.y =D.u =【答案】D 【解析】【分析】根据同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数y x =的定义域为R ，对于A 中，因为函数2y =的定义域为[0,)+∞，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，所以A 不符合题意；对于B 中，因为函数2n m n=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，所以B 不符合题意；对于C 中，由函数y x ==的定义域为[0,)+∞，所以两函数对应关系都不相同，不是同一函数，所以C 不符合题意；对于D 中，因为u v ==的定义域为[0,)+∞，则两函数的定义域和对应关系都相同，所以两函数是同一函数，所以D 符合题意.故选：D.6.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合平行四边形与正方形的定义，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”，但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”，故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.7.设R x ∈，则“2430x x -+<”是“220x x +->”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出两个不等式对应的解集，根据解集的关系，结合充分与必要条件的概念判断即可．【详解】设{}{}{}2430(1)(3)0||13|A x x x x x x x x -+<-=-=<=<<{}{}{}2(1)(2)012|20||B x x x x x x x x x =+->==-+>><-或∴x A x B ∈⇒∈，但x B ∈推不出x A∈∴“2430x x -+<”是“220x x +->”的充分而不必要条件．故选：A ．8.命题∃x ∈R,x +1＜0的否定是A.∃x ∈R,x +1≥0 B.∀x ∈R,x +1≥0C.∃x ∈R,x +1＞0． D.∀x ∈R,x +1＞0【答案】B 【解析】【分析】根据存在性命题的否定写结果.【详解】∵∃x ∈R,x +1＜0∴∀x ∈R,x +1≥0故选：B二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.下列说法正确的是（）A.QB.若A B A B ⋃=⋂，则A B =C.若A B B = ，则B A ⊆D.若,a A a B ∈∈，则∈ a A B【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由集合间的关系以及集合的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.是无理数，Q 为有理数集，故A 错误；若A B A B ⋃=⋂，则必有A B =，故B 正确；若A B B = ，则有B A ⊆，故C 正确；如果有一个元素既属于集合A 又属于集合B ，则这个元素一定属于A B ⋂，故D 正确；故选：BCD10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（）A.0a < B.0c >C.20cx bx a ++<的解集为11x x nm ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.20cx bx a ++<的解集为1x x n ⎧<⎨⎩或1x m ⎫>⎬⎭【答案】AD 【解析】【分析】由题可得,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，利用韦达定理表示出,b c ，即可求解不等式.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，所以,m n 是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，故A 正确，则b m n a c mn a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(),b m n a c mna =-+=，因为0m >，则0n >，所以0c mna =<，故B 错误；不等式20cx bx a ++<化为()20mnax m n ax a -++<，即()210mnx m n x -++>，即()()110mx nx -->，因为0m n <<，所以11m n >，则不等式的解集为1x x n ⎧<⎨⎩或1x m ⎫>⎬⎭，故C 错误，D 正确.故选：AD.11.已知,0,260x y x y xy >++-=，则（）A.xy 的最大值为B.2x y +的最小值为4C.x y +的最小值为3-D.22(2)(1)x y +++的最小值为16【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，对不等式变形为26x y xy +=-，利用基本不等式得到6xy -≥，求出xy 的最大值；B 选项，将不等式变形为()62xy x y =-+，利用基本不等式得到()()22628x y x y +-+≤，求出2x y +的最小值；C 选项，对不等式变形为()()16y x x y +=-+，利用()()2114y x y x +++≤求解x y +的最小值；D 选项，不等式变形为()()218x y ++=，利用基本不等式求出和的最小值.【详解】由260x y xy ++-=得：26x y xy +=-，因为,0x y >，所以260x y xy +=->，所以06xy <<，由基本不等式可得：2x y +≥当且仅当2x y =时，等号成立，此时6xy -≥，解得：18xy ≥或2xy ≤，因为6xy <，所以18xy ≥舍去，故xy 的最大值为2，A 错误；由260x y xy ++-=得：()62xy x y =-+，因为,0x y >，所以()620x y -+>，所以026x y <+<，由基本不等式可得：()2224x y xy +≤，当且仅当2x y =时等号成立，即()()22628x y x y +-+≤，解得：24x y +≥或212x y +≤-，因为026x y <+<，所以212x y +≤-舍去，故2x y +的最小值为4，B 正确；由260x y xy ++-=变形为()16x y y x +++=，则()()16y x x y +=-+，由基本不等式得：()()2114y x y x +++≤，当且仅当1y x =+时等号成立，此时()()2164y x x y ++-+≤，令()0x y t t +=>，则由()2164t t +-≤，解得：3t -≥或3t -≤（舍去）所以x y +的最小值为3-，C 正确；由260x y xy ++-=可得：()()218x y ++=，从而22(2)(1)2(2)(1)2816x y x y +++≥++=⨯=当且仅当21x y +=+时，即2x =-，1y =-等号成立，故22(2)(1)x y +++最小值为16.故选：BCD ，12.已知有限集{}()12,,,2,n A a a a n n =⋅⋅⋅≥∈N ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，就称A 为“完美集”下列结论中正确的有（）A.集合{11---不是“完美集”B.若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，则1a 、2a 至少有一个大于2C.2n =的“完美集”个数无限D.若*i a ∈N ，则“完美集”A 有且只有一个，且3n =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定A 错误，B 和C 正确；设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，得到121n a a a n -⋅⋅⋅<，分2n =和3n =，两种情况分类讨论，可判定D 正确.【详解】对于A 中，((112-+-+=-，(112--+=-，集合{11--+是“完美集”，所以A 错误；对于B 中，若1a 、2a 是两个不同的正数，且{}12,a a 是“完美集”，设12120a a a a t +=⋅=>，根据根和系数的关系1a 和2a 相当于20x tx t -+=的两根，由240t t ∆=->，解得4t >或0t <（舍去），所以124a a ⋅>，所以1a 、2a 至少有一个大于2，所以B 正确；对于C 中，由B 知，一元二次方程20x tx t -+=，当t 取不同的值时，12,a a 的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以所以C 正确；对于D 中，不妨设A 中123n a a a a <<<⋅⋅⋅<，由1212n n n a a a a a a na ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+<，得121n a a a n -⋅⋅⋅<，当2n =时，即有12a <，所以11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“完美集”；当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“完美集”A 只有一个，为{}1,2,3．当4n ≥时，由()1211231n a a a n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即有()1231n n >⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，事实上，()()()()221231123222n n n n n n n n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-≥--=-+=--+>，矛盾，所以当4n ≥时不存在完美集A ，所以D 正确．故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设()1+,>0=0,=0π,<0x x x f x x x x⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则(π)f -的值为__________．【答案】-1【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】π(π)==1πf ---.故答案为：−114.命题“0x ∃∈R ，2007210x x -+≤”的否定是_____________．【答案】x ∀∈R ，27210x x -+>【解析】【分析】由存在性命题的否定可直接得到结果.【详解】由存在性命题的否定可得原命题的否定为：x ∀∈R ，27210x x -+>.故答案为：x ∀∈R ，27210x x -+>.15.若2x >，则2242x x y x -+=-的最小值为__________．【答案】6【解析】【分析】化简22442222x x y x x x -+==-++--，然后利用基本不等式求解即可【详解】因为2x >，所以()()22222424422222x x x x y x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-即=4x 时，取等号，故2242x x y x -+=-的最小值为6，故答案为：616.不等式32x x-<的解集为_______【答案】{|1x x <-或}03x <<【解析】【分析】将不等式化为2230--<x x x，则(1)(3)0x x x +-<，再根据高次不等式得解法即可得解.【详解】解：由32x x-<，得2230--<x x x，即(1)(3)0x x x +-<，解得1x <-或03x <<，所以原不等式的解集为{|1x x <-或}03x <<．故答案为：{|1x x <-或}03x <<.四．解答题（共6小题，满分70分）17.已知{}{},,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C ⊆⊆==求A ．【答案】{}2或φ【解析】【分析】,A B A C ⊆⊆，则A B C ⊆ ，可得集合A ．【详解】{}{}1,2,3,5,0,2,4,8B C ==，则{}2B C ⋂=，则{}2A =或A φ=．18.已知全集为R ，集合{}2=12+200P x x x -≤，集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或．（1）若x P ∈是x M ∈成立的充分不必要条件，求的取值范围；（2）若()R P M =∅ ð，求的取值范围．【答案】（1）10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得，集合P 是集合M 的真子集，由此即可求解；（2）先求出R M ð，再求出满足()R P M =∅ ð时的取值范围即可．【小问1详解】因为x P ∈是x M ∈成立的充分不必要条件，所以集合P 是集合M 的真子集，因为{}{}2=12+200=210P x x x x x -≤≤≤，集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或，所以10a <或221a >+，解得102a <<或10a >，故的取值范围为10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为集合{}=<>2+1(>0)M x x a x a a 或，所以{}R =2+1(>0)M x a x a a ≤≤ð，又因为()R P M =∅ ð，所以10a >或212a +<，解得102a <<或10a >，故的取值范围为10,(10,)2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．19.（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．【答案】（1）9；（2）43．【解析】【分析】（1）由于10x ->，则()114141511x x x x ++=-++--，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于01x <<，变形得()()()1433433x x x x -=⋅⋅-，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为1x >，所以10x ->，所以()11414155911x x x x ++=-++≥+=--，当且仅当()1411x x -=-，即32x =时取等号，所以1411x x ++-的最小值为9．（2）因为01x <<，所以()()()2113434433433323x x x x x x +-⎛⎫-=⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当343x x =-，即23x =时取等号，故()43x x -的最大值为43．20.科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润()p x （单位：万元）与投入的月研发经费x （1540x ≤≤，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，()2189010p x x x =-+-；当投入月研发经费高于36万元时，()0.454p x x =+．对于企业而言，研发利润率()100%p x y x =⨯，是优化企业管理的重要依据之一，y 越大，研发利润率越高，反之越小．（1）求该企业生产此设备的研发利润率y 的最大值以及相应月研发经费x 的值；（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x 的取值范围．【答案】（1）200%，30（2）{}|2536x x ≤≤【解析】【分析】（1）根据题意，利用基本不等式和函数的单调性，分别求得来年两段上最大值，比较即可得到结论；（2）由（1）得到190810 1.9x x--+≥，结合一元二次不等式的解法，即可求得x 的范围，得到答案.【小问1详解】解：由题意知，当1536x ≤≤时，2189019010810x x y x x x -+-==--+82≤-=，当且仅当19010x x =，即30x =时取等号；当3640x <≤时，0.454540.4x y x x +==+，540.4y x =+ 在(]36,40上单调递减，540.4 1.936y ∴<+=.又2 1.9> ，∴当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值200%.【小问2详解】由（1）可知，此时月研发经费1536x ≤≤，于是，令190810 1.9y x x=--+≥，整理得2619000x x -+≤，解得：2536x ≤≤．因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是{}|2536x x ≤≤．21.求函数1(0)y x x x=+<的最值.【答案】最大值为−2，没有最小值【解析】【分析】由基本不等式求解即可【详解】0x <Q 10,0x x∴->->，12x x ⎛⎫∴-+-≥= ⎪⎝⎭(当1x =-取到等号)，112x x x x ⎛⎫∴+=---≤- ⎪⎝⎭，故函数1(0)y x x x=+<的最大值为2-，没有最小值.22.已知p s px m x =++．若a ，b 均为正数，且0c d >>>，则当d x c ≤≤时，(0)b ax x x +>的最大值为b ad d +与b ac c +中的较大者．（1）若=4p ，J0，522x ≤≤，求3s x -的最小值；（2）若2217t x m x =+++，对任意m ∈R 和任意12x ≤≤，都有2212s t +≥恒成立，求实数P 的取值范围．【答案】（1）4；（2）4p ≤或5p ≥.【解析】【分析】（1）把=4p ，J0代入，利用均值不等式直接求解作答.（2）根据给定条件，变形给定的不等式，结合一元二次不等式恒成立列式，再分离参数求解最值作答.【小问1详解】当=4p ，J0时，44s x x =+，而522x ≤≤，则443=4+3=+s x x x x x x --≥，当且仅当4x x=，即=2x 时取等号，所以3s x -在=2x 处取得最小值4．【小问2详解】当p s px m x =++，2217t x m x =+++时，2222221()(7)p s t px m x m x x +=++++++，则有2222222221122()()2(7)(7)1122p p s t m px m px m x x x x x x +=+++++++++--+22222221122[()(7)]()(712)p p m px x m px x x x x x =++++++++-++，因对任意m ∈R ，都有2212s t +≥，即22102s t -+≥恒成立，因此恒有2222222111Δ=4[(++7)+(+)]8[(++7)+(+)]02p p x px x px x x x x --≤成立，整理得：2221(71p x px x x ++--≥，即有22171p x px x x ++--≥或22171p x px x x++--≤-，又12x ≤≤，于是得22161x x p x x ++≤+或22181x x p x x++≥+恒成立，令1(12)u x x x =+≤≤，有522u ≤≤，则2216441x x u u x x ++=+≥+，当且仅当2u =，即=1x 时取等号，221861x x u u x x++=++，而522≤≤，当2u =时，65u u +=，当52u =时，64910u u +=，当且仅当2u =，即=1x 时，22181x x x x +++取最大值5，所以实数P 的取值范围为4p ≤或5p ≥.。

2023-2024学年湖南省长沙一中高一(下)第三次月考数学试卷(含答案)

2023-2024学年湖南省长沙一中高一（下）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数a +3i2+i 是纯虚数，则实数a =( )A. −32B. 32C. −23D. 232.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：班级12345678得分2834343026282832则下列说法正确的是( )A. 得分的众数为34 B. 得分的中位数为28C. 得分的75%分位数为33D. 得分的极差为63.已知平面α、β，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是( )A. 若α//β，m//β，则l//m B. 若α//β，m ⊥β，则l ⊥m C. 若l//m ，α//β，则m//βD. 若l ⊥m ，m//β，则α⊥β4.已知a >0，b >0，则“a +b >1”是“ab >14”( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知正六棱柱ABCDEF−A 1B 1C 1D 1E 1F 1的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角的余弦值为( )A. 12B.64C. 14D. 06.已知cos (α+π8)+2cos(α−3π8)=0，则tan (2α+π4)=( )A. 12B. 43C. −1D. −437.已知m ∈R ，若函数f(x)=1x +1−mx−m−3(−1<x ≤0)在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m 的取值范围是( )A. (−94,−2)B. (−94,−2]C. (−114,−2)D. (−114,−2]8.已知集合I ⊆{a|a =(x,y)，x ，y ∈R}，若对于任意m ，n ∈I ，以及任意λ∈[0,1]，满足λm +(1−λ)n ∈I ，则称集合I 为“类圆集”.下列说法正确的是( )A. 集合A ={a|a =(x,y)，y ≥x 3}为“类圆集”B. 集合B ={a|a =(x,y)，y ≤lnx}为“类圆集”C. 集合C ={a|a =(x,y)，y ≥x 2}不为“类圆集”D. 若A ，B 都是“类圆集”，则A ∪B 也一定是“类圆集”二、多选题：本题共3小题，共18分。

湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期第一阶段性测试(10月)数学试题含答案

长沙市2024年下学期高一年级第一阶段性测试数学试卷（答案在最后）分量：150分时量：150分钟命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各图中，不能表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】由函数的定义知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，由选项A，C和D的图象可知，每一个x的取值，有且仅有一个y值与之对应，所以选项A，C和D错误，由选项B的图象知，存在x的取值，一个x的取值，有两个y值与之对应，所以不能表示y是x的函数，故选：B.2.已知：11(a ba b>∈R,，且0)ab≠，下列不等关系一定成立的是（）A.a b>B.a b<C.a b ab+> D.22ab a b>【答案】D【解析】【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得.【详解】对于A ，可取2,1a b =-=-，满足11a b>，但得不到a b >，故A 错误；对于B ，可取1,1a b ==-，满足11a b >，但不满足a b <，故B 错误；对于C ，可取2,1a b =-=-，满足11a b>，但32a b ab +=-<=，故C 错误；对于D ，因110()0b aab b a a b ab->⇔>⇔->，而22()ab a b ab b a -=-，故必有22ab a b >成立，即D 正确.故选：D.3.已知集合{}3,N A x x x =≤∈，{}221,,B m m m =-，{}3,,32C m m =-，若B C =，则A B ⋂的子集个数为（）A.2B.4C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】本题根据B 、C 两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m ，进而求出两个集合，再求集合A 、B 的交集，然后可求子集的个数.【详解】由题意得，{}0,1,2,3A =，又集合B C =，若213m -=，则2m =，此时{}2,3,4B =，则{}2,3A B =I ，故A B ⋂子集个数为224=；若21m m -=，则1m =，此时显然,B C 集合不成立，舍去；若2132m m -=-，1m =，同理舍去.综上得：2m =时，A B ⋂子集个数为4个；故选：B.4.已知函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则21y +=）A.[]5,5- B.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]1,5 D.35,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.【详解】()y f x = 的定义域为[]1,4-，121410x x -≤+≤⎧∴⎨->⎩，解得：312x <≤，21y +∴=的定义域为31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：B.5.已知(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 是R 上的减函数，可得3100314a a a a a -<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，求解即可.【详解】∵函数()f x 是R 上的减函数，∴3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.6.为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的QQ 群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（）A.20B.22C.26D.28【答案】B 【解析】【分析】设教师人数为，家长人数为y ，女学生人数为z ，男学生人数为t ，由题意得到46x y z t x +++≥+，再由教师人数的两倍多于男学生人数得到x 的范围求解.【详解】设教师人数为，家长人数为y ，女学生人数为z ，男学生人数为t ，x 、y 、z 、t ∈Z ，则1,12y x z y x ≥+≥+≥+，123t z y x ≥+≥+≥+，则46x y z t x +++≥+，又教师人数的两倍多于男学生人数，23x x ∴>+，解得3x >，当=4x 时，22x y z t +++≥，此时总人数最少为22.故选:B.7.若a b >，且2ab =，则22(1)(1)a b a b-++-的最小值为（）A.2B.4-C.4-D.2-【答案】D 【解析】【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立.【详解】因为2ab =，所以由题意222222(1)(1)2222a b a b a b a b aba b a b a b-++++-+++==----()()23622a b aba b a ba b-+=-=-+---，因为a b >，所以0a b ->，所以由基本不等式可得()22(1)(1)622a b a b a b a b-++=-+-≥---，当且仅当2ab a b a b=⎧⎪-=⎨⎪>⎩时等号成立，即当且仅当22a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22a b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时等号成立，综上所述，22(1)(1)a b a b-++-的最小值为2-.故选：D.【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否.8.关于函数()()1xf x x x=∈+R 的性质，①等式()()0f x f x -+=对x ∈R 恒成立；②函数()f x 的值域为()1,1-；③若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；④存在无数个0x ，满足()0011f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭其中正确结论个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式先判断函数奇偶性得①正确；再将定义域分段去掉绝对值，化简函数式后利用不等式性质分析判断②；利用函数的奇偶性和局部单调性得出函数为R 上的增函数即可判断③；分析发现函数在0x <时即满足条件，故可判断④正确.【详解】对于①，由()()11x xf x f x x x--==-=-+-+可得()()0f x f x -+=对R x ∈恒成立，故①正确；对于②，当0x >时，()()1111111x x f x x x x+-===-+++，因为0x >，所以11x +>，所以1011x <<+，所以1011x >->-+，所以11101x >->+，所以()01f x <<，当0x <时，()()1111111x x f x x x x--+===-+---，因为0x <，则11x ->，则1011x<<-，故得11101x-<-+<-，即()10f x -<<，当0x =时，()0f x =，综上，()f x 的值域为−1,1，所以②正确；对于③，当0x >时，()111f x x=-+为增函数，由①知()f x 为奇函数，因为()f x 的图象在R 上连续，所以()f x 在R 上为增函数，所以当12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠，所以③正确；对于④，当0x <时，10x<，()1x f x x =-，111111()x f x x x==--则()111(1111x x f x f x x x x-+=+==----，所以存在无数个00x <，满足()001()1f x f x +=-，所以④正确，即正确的结论共有4个，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.命题:p x ∃∈R ，210x x -+=．命题q ：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（）A.p 是真命题B.:p x ⌝∀∈R ，210x x -+≠C.q 是真命题 D.q ⌝：存在两个等边三角形，它们不相似【答案】BCD 【解析】【分析】根据根的判别式可判断命题p 的真假，根据等边三角形的性质判断命题q 的真假，从而判断AC ，根据命题的否定可判断BD.【详解】对于方程210x x -+=，()2141130∆=--⨯⨯=-<,所以x ∀∈R ，210x x -+=无解，故p 是假命题，故A 错误；:p x ⌝∀∈R ，210x x -+≠，故B 正确；任意两个等边三角形都相似，故q 是真命题，故C 正确；q ⌝：存在两个等边三角形，它们不相似，故D 正确.故选:BCD.10.已知集合{}222|80A x x a x a =++-=,{}2|(2)0B x x =+=,且A B A B = ．集合D 为a 的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（）A.2D -∈B.2D ∉C.D ∅⊆D.0D∉【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件得出A B =，再得出集合D ，最后结合元素和集合的关系判断各个选项.【详解】因为A B A B = ，所以A B =，因为{}2B =-，所以{}{}222802A xx a x a =++-==-∣，所以()()2224180a a ∆=-⨯⨯-=且224280a a -⨯+-=，所以24a =，{}2,2D =-，所以2,2,0,D D D D -∈∈∉∅⊆.故选：ACD.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数()f x 的结论中，正确的是（）A.函数()f x 满足：()()f x f x -=B.函数()f x 的值域是[]0,1C.对于任意的x ∈R ，都有()()1ff x =D.在()f x 图象上不存在不同的三个点、、A B C ，使得ABC V 为等边三角形【答案】AC 【解析】【分析】利用R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对选项A ，B 和C 逐一分析判断，即可得出选项A ，B 和C 的正误，选项D ，通过取特殊点()0,1,,,033A B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，即可求解.【详解】由于R 1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，对于选项A ，设任意x ∈Q ，则()(),1x f x f x -∈-==Q ；设任意Q x ∈R ð，则()()Q,0x f x f x -∈-==R ð，总之，对于任意实数()(),x f x f x -=恒成立，所以选项A 正确，对于选项B ，()f x 的值域为{}0,1，又{}[]0,10,1≠，所以选项B 错误，对于选项C ，当x ∈Q ，则()()()()1,11f x ff x f ===，当Q x ∈R ð，则()()()()0,01f x f f x f ===，所以选项C 正确，对于选项D ，取()330,1,,0,,033A B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时3AB AC BC ===，得到ABC V 为等边三角形，所以选项D 错误，故选：AC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知14,263x y x y -≤-≤-≤+≤，则8z x y =-的取值范围是__________.【答案】510z -≤≤【解析】【分析】利用不等式的性质可求z 的取值范围.【详解】设()()()()866x y m x y n x y m n x n m y -=-++=++-，则168m n n m +=⎧⎨-=-⎩，故12n m =-⎧⎨=⎩，因为14,263x y x y -≤-≤-≤+≤，则()()228,362x y x y -≤-≤-≤-+≤，故()()52610x y x y -≤--+≤即510z -≤≤，故答案为：510z -≤≤.13.在22{|1}1x A x x -=<+，22{|0}B x x x a a =++-<，设全集U =R ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____【答案】4a ≥或3a ≤-【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，对a 进行分类讨论，可得答案.【详解】解不等式2211x x -<+，即301x x -<+，得13x -<<，得(1,3)A =-，{|()(1)0}B x x a x a =++-<，“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，∴A 为B 的真子集，分类讨论如下：①1a a -=-，即12a =时，B =∅，不符题意；②1a a -<-，即12a >时，{|1}B x a x a =-<<-，此时需满足113a a -≤-⎧⎨-≥⎩，（等号不同时成立），解得4a ≥，满足题意，③1a a ->-，即12a <时，{|1}B x a x a =-<<-，此时，113a a -≤-⎧⎨-≥⎩，（等号不同时成立），解得3a ≤-，满足题意，综上，4a ≥或3a ≤-时，满足“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件.故答案为：4a ≥或3a ≤-14.设函数()f x 的定义域为R ，满足1(1)()2f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =--.若对任意[,)x m ∈+∞，都有8()9f x ≤，则m 的取值范围是___________.【答案】43m ≥-【解析】【分析】求得()f x 在区间(](]1,0,2,1---上的解析式，画出()f x 的图象，结合图象列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，而(]0,1x ∈时，()()1,f x x x =--所以()()()()11111f x x x x x ⎡⎤+=-++-=-+⎣⎦，又()()21f x f x +=，所以当(]1,0x ∈-时，()()()2121f x f x x x =+=-+，当(]2,1x ∈--时，()()()()()()2122111412f x f x x x x x ⎡⎤=+=-⨯+++=-++⎣⎦，作出示意图如下图所示：要使()89f x ≤，则需1x x ≥，结合上图，由()()84129x x -++=，解得143x =-，所以43m ≥-.【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的1(1)()2f x f x +=，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{}|()(2)0A x x m x =-+<，{}|0B x x m =+<.（1）当1m =时，求A B ⋂；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()2,1A B ⋂=--（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）根据条件，得到{}21A x x =-<<，{}1B x x =<-，即可求出结果；（2）根据条件得到A B ⊆，再分2m =-、2m >-和2m <-三种情况进行讨论，即可求出结果.【小问1详解】当1m =时，()(){}{}12021A x x x x x =-+<=-<<，{}{}101B x x x x =+<=<-，所以()2,1A B ⋂=--．【小问2详解】）因为A B B = ，则A B ⊆，当2m =-时，A =∅，有A B ⊆，符合题意，当2m >-时，{}{}2,A x x m B x x m =-<<=<-，由A B ⊆，则m m -≥，解得0m ≤，所以(]2,0m ∈-，当2m <-时，{}{}2,A x m x B x x m =<<-=<-，由A B ⊆，则2m -≥-，解得2m ≤，所以(),2m ∞∈--，综上所述，实数m 的取值范围是(],0-∞．16.已知函数()()2,0af x x x x x=+∈≠R ．（1）若1a =，求()f x 在{10x x ∈-≤<R 或01}x <≤上的值域；（2）证明：当0a >时，函数()f x 在区间,2∞⎛-- ⎝⎦上单调递增．【答案】（1）(),⎡-∞-⋃+∞⎣（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用基本不等式计算即可求解；（2）直接利用定义法即可判断函数()f x 的单调性.【小问1详解】当()11,2a f x x x==+，若(]0,1x ∈，则()12f x x x =+≥22x =时成立；若[)1,0x ∈-，则()112[(2)()]f x x x x x =+=--+-≤--，等号当且仅当22x =-时成立．所以()f x 在{10x x ∈-≤<R 或01}x <≤上的值域为：(),⎡-∞-⋃+∞⎣．【小问2详解】12,,2x x ⎛∀∈-∞- ⎝⎦，且12x x <，有()()()12121212122222a a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()211212121212222a x x x x x x x x a x x x x --=-+=-．由122,,2a x x ⎛∈-∞- ⎝⎦得：1222,22a a x x <-≤-．所以12120,202a x x x x a >>->，又由12x x <，得120x x -<．于是：()12121220x x x x a x x --<，即()()12f x f x <．所以，函数()2a f x x x =+在区间,2⎛-∞- ⎝⎦上单调递增．17.已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f x f x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．【答案】（1）证明见解析（2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f x f x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.18.我们知道，当0a b ≥>时，如果把2,,112a b a b a b++话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链2__________11a b a b ≥≥≥≥≥+便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题.（1）填空写出补充完整的该均值不等式链；2__________11a b a b≥≥≥≥≥+（2）如果定义：当0a b ≥>时，a b -为,a b 间的“缝隙”.2a b +间的“缝隙”为M ，2a b +与间的缝隙为N ，请问M 、N 谁大？给出你的结论并证明.【答案】（1）2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+（2）M N ≤，见解析【解析】【分析】（1）由题得2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+；（2）M N ≤（当且仅当a b =时取等号），再利用作差比较法证明即可.【详解】（1）2112a b a b a b+≥≥≥≥≥+（2）M N ≤（当且仅当a b =时取等号）证明：∵()22a b a b M N a b ⎫⎛++⎛-=--=-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭又∵()222222()22a b a b ab a b ab ⎫⎛⎫++-+=+-++⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭222a b ab ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭20=--≤⎭（当且仅当a b =时取=号）.∴22()a b +≤+⎭a b +≤+∴M N ≤（当且仅当a b =时取=号）.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查作差比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．（1）已知函数()23f x x x =--，求函数()f x 的不动点；（2）若对于任意的b ∈R ，二次函数()()218f x ax b x b =+-+-（0a ≠）恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()211f x mx m x m =-+++在区间()0,2上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1,3-（2）()0,6（3）11m -<≤或3m =【解析】【分析】（1）求函数()f x 的不动点，即求方程()00f x x =的根，即求方程20003x x x --=的解；（2）二次函数()()218f x ax b x b =+-+-（0a ≠）恒有两个相异的不动点，等价于方程()2280ax b x b +-+-=有两个不等实根，对于任意的b ∈R 恒成立，只需要不等式()()2414810b a b a -+++>恒成立，求实数a 的取值范围即可；（3）在区间0,2上，函数()()221g x mx m x m =-+++有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形.【小问1详解】设0x 为不动点，因此()00f x x =，即20003x x x --=，解得01x =-或03x =，所以1,3-为函数()f x 的不动点．【小问2详解】方程()f x x =，即()218ax b x b x +-+-=，有()2280ax b x b +-+-=，因为0a ≠，于是得一元二次方程()2280ax b x b +-+-=有两个不等实根，即判别式()()()22Δ(2)480414810b a b b a b a =--->⇔-+++>，依题意，对于任意的b ∈R ，不等式()()2414810b a b a -+++>恒成立，只需关于未知数b 的方程()()2414810b a b a -+++=无实数根，则判别式()()2Δ16116810a a =+-+<，整理得260a a -<，解得06a <<，所以实数a 的取值范围是()0,6．【小问3详解】由()()211f x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()f x 在0,2上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在0,2上有且只有一个解令()()221g x mx m x m =-+++①()()020g g ⋅<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00g =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20g =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0∆=，即()()22410m m m +-+=，解得233m =±，（i ）当233m =时，方程的根为()221222m m x m m -++=-==，满足；（ii ）当3m =-时，方程的根为()221222m m x m m -++-=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是11m -<≤或3m =．。

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详解：根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
8．A
【解析】
【分析】
将已知三棱锥补全为一个边长为2的正方体，将求三棱锥的外接球体积转化为该正方体的外接球，由正方体体对角线长度等于其外接球直径即可求得外接球的半径，进而由球体的体积公式计算即可.
是偶函数，所以图象关于轴对称，所以结论④正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数图象与性质的综合应用，难度一般.(1) 的对称中心对应的函数值为，对称轴对应的函数值为；(2)分析的单调性，可令满足的单调区间，从而可求的单调区间.
13．2
【解析】
【分析】
根据向量在的方向上的投影为，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.
20．（1）f (x)＝2sin(2x－ )．
（2）（－3，）．
【解析】
【分析】
（1）利用，再用，求出即可；（2），得，转化成，最后求出的取值范围.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，
则在的方向上的投影为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
14．
【解析】
15．
【解析】
【分析】
先利用周期公式求出，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出的表达式，即可求出的最小值．
（2）利用等腰三角形三线合一的性质得出，由平面得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面，进而利用面面垂直的判定定理可得出平面平面 .
【详解】
（1）连接交于点，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形.
因为为对角线与的交点，所以为的中点.
又因为为的中点，所以 .
又因为平面，平面，所以平面；
由得，
当时，得，故A错；
当时，得，故B错、C对；
当时，得，故D错；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题．
11．A
【解析】
【分析】
由题意，设，则，得，可得，即可求解.
【详解】
由题意，因为在为单调函数，且，
设，则，即，所以，
（2）因为，为的中点，所以 .
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面 .
又因为平面，所以 .
又因为，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面 .
【点睛】
本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查推理能力，属于中等题.
19．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系式，求得结果；
（2）平面内任意向量，都存在实数、，使得，其等价结果为向量和向量是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.
【详解】
（1）若，则有，即，
又因为，，
所以，
即，解得；
（2）对于平面内任意向量，都存在实数、，使得，
所以向量和向量是两个不共线向量，
所以，即，
所以实数的取值范围是 .
4．A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可．
【详解】
∵点是角终边上的一点，
∴ ，
∴ ．
故选A．
【点睛】
本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题．
5．A
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用特殊点的函数值符号的正负进行排除即可.
用、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】
因为为的中点，所以 .
设，
因为、、三点共线，所以，解得，则，
从而，
，
因此， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
17．（1）（2）
可得或（负值舍），所以，故选A.
【点睛】
本题主要考查了抽象函数的函数值的计算，以及复合函数的单调性的应用问题，其中解答中合理利用换元法和函数的关系式，求得的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12．D
【解析】
【分析】
①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用.
【详解】
设扇形的半径为，弧长为，
则，解得，，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查弧度制公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．A
【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
A． B． C． D．
12．关于函数有下述四个结论：①若，则；② 的图象关于点对称；③函数在上单调递增；④ 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称.其中所有正确结论的编号是（）
A．①②④B．①②C．③④D．②④
二、填空题
13．已知，，则在的方向上的投影为________．
A． B． C． D．
10．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于，两点，且 .则的一个增区间为( )
A． B．
C． D．
11．已知函数是定义在上的单调函数，则对任意都有成立，则（）
A．2B．1C． D．3
7．在△ 中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
8．在三棱锥中，，且两两互相垂直,则三棱锥的外接球的体积为( )
A． B． C． D．
9．将函数的图象向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（）
3．B
【解析】
分析：利用线面平行的性质与线面垂直的性质，对选项中命题逐一判断，即可得结果.
详解：对于，若直线平行于平面，则与内的任意一条直线平行或异面，错；
对于，若直线与平面相交，则不平行于内的任意一条直线，正确；
对于，若直线不垂直于平面，则可垂直于内的无数条直线，错；
对于，若直线不垂直于平面，则过的平面可垂直于，错，故选B.
点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
【详解】
在三棱锥中有两两互相垂直，且，则可将其补全为一个边长为2的正方体，显然该正方体的外接球即为三棱锥的外接球，设该外接球的半径为r，
正方体的体对角线为，则
故外接球的体积为 .
故选：A
【点睛】
本题考查求棱锥外接球的体积，属于简单题.
9．C
【解析】
【分析】
【详解】
将函数的图象向右平移个单位，可得，
【详解】
由得，所以，向左平移个单位后，得到，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有，则，故的最小值为．
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及型的函数奇偶性判断条件．一般地为奇函数，则；为偶函数，则；为奇函数，则；为偶函数，则．
16．
【解析】
【分析】
（2）若不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.
21．已知点 , ,点满足 ,记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设直线与交于、两点,求的面积（为坐标原点）；
（3）设是线段中垂线上的动点,过作的两条切线、 , 、分别为切点,判断是否存在定点 ,直线始终经过点 ,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由．
【详解】
①由知，是图象的两个对称中心，
则是的整数倍（是函数的最小正周期），即，所以结论①错误；
②因为，所以是的对称中Байду номын сангаас，所以结论②正确；
③由解得，
当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，所以结论③错误；
④ 的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，
湖南省益阳市高一数学周考试题
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则 ( )