黄金分割法
黄金分割法
黄金分割法1. 简介黄金分割法（Golden Section Method）是一种数学和美学原理，可以用于在一系列选择中找到最佳的比例。
它最早于公元前300年左右由希腊数学家欧几里得提出，是一种迭代的优化方法。
黄金分割法常被应用于艺术、设计、建筑、金融以及计算机算法等领域。
2. 黄金比例黄金比例是指两个物体之间的比例关系，这个比例被认为是最美的、最和谐的。
它可以更简洁地表示为1：0.618（或其倒数0.618：1），即较大部分与整体的比例约为0.618，较小部分与整体的比例约为0.382。
这种比例在建筑与艺术中被广泛使用，例如圣母百花大教堂、帕尔美多城宫等。
3. 黄金分割法的应用黄金分割法在实际应用中有许多用途。
下面介绍一些常见的应用领域。
3.1 网页设计黄金分割法在网页设计中被广泛应用。
设计师可以使用黄金比例来确定页面上不同元素的大小和位置关系，使得页面更加和谐、平衡。
例如，在布局中使用一个大块的主要内容区域和两个较小的辅助内容区域，它们的比例可以接近黄金比例。
3.2 图像设计在图像设计中，黄金分割法可以用于确定图像的主题、构图和比例。
通过将图像分割为黄金比例的不同部分，可以使图像更加吸引人、有层次感。
黄金分割法还可以用于确定图像中的线条、空间和形状的位置关系。
3.3 建筑设计在建筑设计中，黄金分割法可以用于确定建筑物、房间和空间的比例关系。
通过使用黄金比例，可以创建出更加和谐、美观的建筑物。
黄金分割法还可以用于确定建筑物中的窗户、门廊等元素的位置和比例。
3.4 金融分析在金融领域，黄金分割法可以应用于股票和证券的分析。
通过将时间序列分成不同的部分，可以确定出重要的市场转折点和趋势。
黄金分割法还可以用于确定投资组合中不同资产的权重分配。
4. 黄金分割法的计算黄金分割法的计算方法相对简单。
对于一个大的整体，黄金分割法建议将其分割为两个部分，比例为黄金比例（0.618）。
然后，再对较大的部分采用相同的方法进行分割，形成一个更小的和一个稍大一些的部分。
黄金分割法的基本原理和特点
黄金分割法的基本原理和特点
黄金分割法适用于已知极值区间的前提下，利用不断缩小区间的思想，最终得出极值的近似值。
该方法只是要求函数单峰，可以不连续。
因此，这种方法的适应面非常广泛。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。
a1，a2将原来区间分成三段，再应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删除其中一段，使搜索区间得以缩小。
然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小值点的数值近似解
黄金分割法是用于一元函数f（x）在给定的初始区间[a，b]内搜索极小值点a"的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础。
但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是依照去劣存优原则，对称原则以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。
黄金分割法的数学理论
ＡＢ ｂｂａ-ｂ ａ 黄金分割法的数学理论０．６１８０３３９８８……一个极为迷人而神秘的数字，它有着一个很动听的名字——黄金分割率。
黄金分割由２５００多年前古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯提出，并由数学家欧几里德第一次用几何的方法给出了计算。
古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。
这个数值不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面都发挥着不可忽视的作用。
（一） 黄金分割点的计算设一条线段ＡＢ的长度为ａ，Ｃ点在靠近Ｂ点的黄金分割点上且ＡＣ为ｂ，则： ＡＣ/ＡＢ=ＢＣ/ＡＣ ｂ^２=ａ×(ａ-ｂ)ｂ^２=ａ^２-ａｂａ^２-ａｂ+(１/４)ｂ^２=(５/４)×ｂ^２(ａ-ｂ/２)^２=(５/４)ｂ^２ ａ-ｂ/２=（√５/２）×ｂａ-ｂ/２=(√５)ｂ/２ａ=ｂ/２+(√５)ｂ/２ａ=ｂ(√５+１）/２ ｂ/ａ=(√５-１）/２人们常用希腊字母表示黄金比值。
根据定义，如果假设ａ是单位长度，那么，即有:黄金分割奇妙之处，在于其倒数为自身减１。
例如：１．６１８的倒数是０．６１８，恰为１．６１８-１。
因为：归纳一下，黄金分割存在以下特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即０．６１８。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于１．６１８。
（4）１．６１８与０．６１８互为倒数，其乘积则约等于１。
（5）任一数字如与后两数字相比，其值趋近于２．６１８；如与前两数字相比，其值则趋近于０．３８２。
（二）黄金分割中的数学思想●『斐波那契数列』说起黄金分割，就不得不提起大名鼎鼎的斐波那契数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(１/√５)×{[(１+√５)/２]^ｎ - [(１-√５)/２]^ｎ}斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？实际上，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
人教版高中数学选修4-7《黄金分割法》
许多植物萌生的叶片、枝头或花瓣，都是按“黄金比率”分布的。 我们从上往下看，不难发现这样一个有趣的现象： 它们把水平面的360°周角分为大约222.5°和137.5°（黄金角） 两者的比例大约是“黄金比率”0.618 也就是说—— 任意两相邻的叶片、枝头或花瓣都沿着这两个角度伸展， 这样一来，尽管它们不断轮生，却互不重叠，确保了光合作用。
试把相邻两项的前后比值计算一下，看看有什么发现？
3.黄金分割的奇妙之处
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，
蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，
被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
如果在“黄金”矩形内靠着 三边做一个正方形，则剩下 的那部分又是一个“黄金” 矩形，可依次再做正方形。 把这些正方形的中心按顺序 连接，可以得到一条“黄金 螺线”。 在海洋鹦鹉螺、有甲壳的软 体动物、一些动物角质体上， 都先后发现了这种与众不同 的“黄金螺线”。
黄金分割法
很多国家的国旗含有五角星图案
1.黄金分割的起源
公元前6世纪的古希腊，毕达哥拉斯学派把五角星作为自身的徽章 他们在每个角的顶点按逆时针方向刻着字母υγτεια， 意思是“健康”，表达了对人与自然和谐的追求
五角星由正五边形的对角线连接而成， 所有线段之间的长度关系比例相同， 内含所有三角形是等腰三角形
小试验：
据说植物的叶脉和根茎长度也蕴含着黄金分割比， 很多设计图里面也会借用黄金比例， 请你找实物测量一下吧！
Hale Waihona Puke • 几何作图（1）设已知线段为AB， 过点B作BD⊥AB，且BD=AB/2 （2）连结AD （3）以D为圆心，DB为半径作弧， 交AD于E （4）以A为圆心，AE为半径作弧， 交AB于C，则点C即为黄金分割 点
黄金分割法
黄金分割法目录一、数学·黄金分割法二、摄影·黄金分割法一、数学·黄金分割法二、摄影·黄金分割法展开编辑本段一、数学·黄金分割法把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，所以也称为0.618法。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。
特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。
菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n-1)/f(n)→0.618…。
由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。
五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18 。
黄金分割点约等于0．618：1是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。
黄金分割法
（令次22=）。bα=f同11≤,,α样ff222≤，新，f1极区产。小间生点α新2必区点在间与[[原aa,，区αb2间]]内，的，到α消1此点去区重区间合间缩，(短α可2了,令b一]α，
当缩短的新区间长度小于等于某一精度ε，即b-
a≤ε时，取
为近似极小点。
黄金分割法（0.618法）
3.
黄金 分割 法算 法框 图
然后再在保留下来的区间上作同样的处置如此迭代下去使搜索区间无限缩小从而得到极小点的数值近似解
黄金分割法（0.618法）
1.黄金分割法基本思路：
ห้องสมุดไป่ตู้黄金分割法适用于[a,b]区间（它可通过进退法得到） 上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求 “单谷”外不作其它要求，甚至可以不连续。因此， 这种方法的适应面相当广。黄金分割法也是建立在 区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间
[αa2,将b]内区适间当分插成入三两段点。α应1、用α函2数，的并计单算谷其性函质数，值通。过α函1、
数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以 缩短。然后再在保留下来的区间上作同样的处置， 如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极 小点的数值近似解。
黄金分割法（0.618法）
2.黄金分割法基本原理：
黄金分割法又称0.618法，它是通过不断缩短搜索区 间的长度来寻求一维函数的极小点。这种方法的基 本原理是：在搜索区间[a，b]内按如下规则对称地 取两点：
计算它们的函数值 结果有两种可能：
,比较它们的大小，
黄金分割法（0.618法）
黄金分割法区间收缩
黄金分割法（0.618法）
（去此与个1）区区原新f间间区点1＞缩间和[af2,短的节，α了省α1如)2，一一点图令次次重1所a。函合=示值数，α，1得值可，极注计令产小意算α生1点的。=新必α是区2在，新间[这区α[a1样间，,b可的]b内]少α，，1找到点消一
黄金分割法2
1 概述
黄金分割法又称0.618法，是人们广为熟知的一种分割线 段成具有美感比例的方法。无论是艺术家、美学家、建筑学 家或数学家，都公认0.618这个数字妙不可言，俗称黄金比， 或黄金分割法。它是大画家达·芬奇冠以的美称。
当今美学家认为人体下肢与身高之比为0.618时，最匀称优美。 古希腊智慧女神雅典娜和太阳神阿波罗，世人公认的美女维纳斯都 是采用这个黄金比塑造的。一个匀称的人体，身上的肚脐、咽喉、 膝盖、肘关节及眼睛等器官的位置应该符合于黄金分割的比例。
设一线段为L，将它分割成两部分，如图所示，若分割的比例 满足以下关系：
X
X LX
LX
L
则称这样的分割为黄金分割。λ为比例系数。
X
2
XL
L2
0
X
2
0 1 5 0.618
2
因此，黄金分割法又称0.618法。
a= x1 ，b= b
x1= x2 x2 = a＋b－x2 f1=f(x1) ，f2=f(x2)
End
f1 = f2
a= x1 b= x2
第三章 非线性最优化问题
本题的近似解： x=1.504
f(x)= －6.24998
本题的精确解： x=1.5
f(x)=－6.25
f(x)
f(x)
a x1 x* x2 b x
a x1 x* x2 b x
a x1 x* x2 b x
第三章 非线性最优化问题
注意：对于多峰函数，则一个峰一个峰搜索，即一个区间一个区 间去搜索。
4 常用的消去法
等分法（区间取半法）、黄金分割法、斐波拉奇法 （Fibonacci）等。
黄金分割法
黄金分割法学习目标➢理解单谷函数及其性质➢理解黄金分割法的基本原理➢掌握黄金分割法的步骤➢编程实现黄金分割法黄金分割法也叫0.618法，属于区间收缩方法。
首先找出包含极小点的初始搜索区间，然后按黄金分割点通过对函数值的比较不断缩小搜索区间。
当然，要保证极小点始终在搜索区间内，当区间长度小到精度范围之内时，可以粗略地认为区间中点为极小点的近似值。
黄金分割法适用于单谷函数，即在某一区间中存在唯一极小点的函数。
f (x )O a 1 x * b 1 x一、单谷函数及其性质定义1设单变量函数f(x)在区间a 1,b 1内存在唯一的极小点x ∗,x ∗∈a 1,b 1,且f(x)在x ∗点的左侧严格下降，在x ∗点的右侧严格上升，则称f(x)在区间a 1,b 1上是单谷函数或者下单峰函数，a 1,b 1为f(x)的单谷区间，见图1。
图1 单谷区间与单谷函数单谷函数具有一个重要的消去性质(I) 若f(a) < f(b), x *∈[a1,b]f(x)xa 1b 1(I) 消去[b, b 1]x *b a （II ）若f(a)≥f(b)，x *∈[a,b 1]f(x)xa 1b 1(II) 消去[a 1, a ]x *a b单谷区间与单谷函数有如下性质：若f(x)是单谷区间a1,b1上的单谷函数，极小点为x∗，在a1,b1任取两点a和b，且a<b，计算这两点的函数值f(a)和f(b)，则：(1)当f a<f(b)时，x∗∈a1,b。
(2)当f a≥f(b)时，x∗∈a,b1。
由单谷函数的性质可知:➢在单谷区间a1,b1内任取两点a和b都可以求得一个相对更小的单谷区间。
➢这个过程可以一直重复下去，如果某个单谷区间的长度足够小，该区间的中点就可以作为极小点的近似。
二、黄金分割法的基本原理设计思路：反复使用单谷函数的消去性质，不断缩小包含极小点的搜索区间，直到满足精度为止。
设计原则：（1）迭代公式简单；（2）消去效率高；（3）对称性：a−a1=b1−b；（4）保持缩减比，即保留的区间长度与原区间长度之比保持不变。
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机电产品优化设计课程设计
姓名：
学号：2908003032
学院：机械电子工程学院
一维搜索黄金分割法
一、优化方法阐述
1.原理阐述
1.1基本原理
设一元函数如图1所示，起始搜索区间为[a，b]，为所要寻求的函数的极小点。
在搜索区间[a，b]内任取两点与，且，计算函数与。
当将与进行比较时，可能的情况有下列三种：
（1）：如图1(a)、(b)所示，这种情况下，可丢掉
（，b]部分，而最小点必在区间[a，]内。
（2）：如图1(c)、(d)所示，这种情况下，可丢掉[a，）部分，而最小点必在区间[，b]内。
（3）：如图1(e)所示，这种情况下，不论丢掉[a，
）还是丢掉（，b]，最小点必在留下的部分内。
图1（a）
图1（b）
图1（c）
图1（d）
图1（e）
因此，只要在搜索区间内任取两点，计算它们的函数值并加以比较之后，总可以把搜索的区间缩小。
对于第（1）、（2）两种情况，经过缩小的区间内都保存了一个点的函数值，即或，只要再取一个点，计算函数值
并加以比较，就可以再次缩短区间进行序列消去。
但对于第（3）种情况，区间中没有已知点的函数值，若再次缩短区间必须计算两个点的函数值。
为了简化迭代程序，可以把第(3)种情况合并到前面(1)、(2)两种情况之一中去，例如可以把上述三种情况合并为下述两种情况：
（1）若，取区间[a，]。
（2）若，取区间[，b]。
这样做虽然对于第（3）种情况所取的区间扩大了，但在进一步搜索时每次只要计算一个点，和第(1)、(2)种情况一致，简化了迭代程序。
1.2 “0.618”的由来
为了简化迭代计算的过程，希望在每一次缩短搜索区间迭代过程中两计算点、在区间中的位置相对于边界来说应是对称的，而且还要求丢去一段后保留点在新区间中的位置与丢去点在原区间中的位置相当。
如图2所示，设区间[a，b]全长为L，在其内取两个对称计算点和，并令l/L=称为公比，无论如图2(b)所示丢去（，b]，还是如图2(c)所示丢去[a，），保留点在新区间中相应线段比值仍为,
（1）
由此得
解此方程的两个根，取其正根为
0.6180339887
这种分割称为黄金分割，其比例系数为，只要第一个试点取在原始区间长的0.618处，第二个试点在它的对称位置，就能保证无论经过多少次缩小区间，保留的点始终处在新区间的0.618处。
再要进一步缩短区
间，在其保留点的对称位置再取点做一次比较消去，这种分割每次消去时，区间的缩短率不变，均为0.618，此即“0.618法”名字的由来。
图2（a）
图2（b）
图2（c）
2.基本步骤
（1）在初始区间[a,b]内取两个计算点与，其值分别为
，，计算函数值、，
且令，。
（2）比较函数值，缩短搜索区间
1）若，见图2(b)，则丢去区间（，b]，取[a，]为新区间，在计算中作如下置换：
2）若，见图2(c)，则丢去区间（a，]，取[，b]为新区间，在计算中作如下置换：
（3）判断迭代终止条件
当缩短的新区间距离小于某一个预先规定的精度，即时，终止
迭代。
此时，小区间内任一点均可作为极小值的近似点。
例如可取区间的中点，即。
否则，返回第（2）步重新作进一步缩小区间的迭代计算。
3.程序框图
二、优化程序
1.源代码
function[w,ans]=fa(f_1,a,b,j)
a(1)=a;
b(1)=b;
k=j;
n=1;
t(1)=a(1)+0.382*(b(1)-a(1));
u(1)=a(1)+0.618*(b(1)-a(1));
while((b(n)-a(n))>k)
B(n)=b(n)-a(n);
m(n)=feval(f_1,t(n));
g(n)=feval(f_1,u(n));
if m(n)>g(n)
a(n+1)=t(n);
b(n+1)=b(n);
t(n+1)=u(n);
u(n+1)=a(n+1)+0.618*(b(n+1)-a(n+1)); else
a(n+1)=a(n);
b(n+1)=u(n);
u(n+1)=t(n);
t(n+1)=a(n+1)+0.382*(b(n+1)-a(n+1)); end
n=n+1;
end
ans=(b(n)+a(n))/2;
t(n)=0;
u(n)=0;
m(n)=0;
g(n)=0;
B(n)=b(n)-a(n);
n=n-1;
w=[a',b',t',u',m',g',B'];
function y=f1(x)
y=x^4-5*x^3+4*x^2-6*x+60;
2.操作程序
y=inline('x^4-5*x^3+4*x^2-6*x+60','x');%目标函数x1=-10;x2=10; %搜索区间 [w,ans]=fa('f1',x1,x2,0.001)
ezplot(y,[-10,10])
title('目标函数图像')
grid on
3.界面
图一：源代码界面
图二：操作程序界面
三、优化问题分析结果
1.运行结果
w =
-10.0000 10.0000 -2.3600 2.3600 193.1801 33.4176 20.0000
-2.3600 10.0000 2.3600 5.2785 33.4176 180.7348 12.3600
-2.3600 5.2785 0.5579 2.3600 57.1263 33.4176 7.6385
0.5579 5.2785 2.3600 3.4752 33.4176 23.4611 4.7206
2.3600 5.2785
3.4752
4.1636 23.4611 43.9918 2.9185
2.3600 4.1636
3.0490 3.4752 23.5912 23.4611 1.8036
3.0490
4.1636 3.4752 3.7378 23.4611 27.5447 1.1146
3.0490 3.7378 3.3121 3.4752 22.6797 23.4611
0.6888
3.0490 3.4752 3.2118 3.3121 22.7455 22.6797 0.4262
3.2118 3.4752 3.3121 3.3746 22.6797 22.8405 0.2634
3.2118 3.3746 3.2740 3.3121 22.6596 22.6797 0.1628
3.2118 3.3121 3.2501 3.2740 22.6756 22.6596 0.1003
3.2501 3.3121 3.2740 3.2884 22.6596 22.6605 0.0620
3.2501 3.2884 3.2648 3.2740 22.6633 22.6596 0.0383
3.2648 3.2884 3.2740 3.2794 22.6596 22.6590 0.0237
3.2740 3.2884 3.2794 3.2829 22.6590 22.6592 0.0144
3.2740 3.2829 3.2774 3.2794 22.6591 22.6590 0.0089
3.2774 3.2829 3.2794 3.2808 22.6590 22.6590 0.0055
3.2774 3.2808 3.2787 3.2794 22.6590 22.6590 0.0034
3.2787 3.2808 3.2794 3.2800 22.6590 22.6590 0.0021
3.2787 3.2800 3.2792 3.2794 22.6590 22.6590 0.0013
3.2792 3.2800 0 0 0 0 0.0008
ans =
3.2796
图三：目标函数图像界面
2.结果分析
经过分析在x=3.2796处目标函数值到达最小值，此时精度为0.0008，函数图像如上图所示，此时函数值趋于零达到最优解。
四、心得体会
对于黄金分割法而言，每一步都是在缩小区间，故从在优缺点： 优点：可以通过最少的试验次数，找到“最佳点”。
节省时间、人力财力和物力。
缺点：同理论分析和数字化模拟相比较，毕竟还需要经过多试验来查找“最佳点”，要消耗时间，以及人、财、物。
1
,k k x x。