1.6复数的极限及连续性
复变函数与积分变换1.6复变函数的极限和连续性
(3)连续函数的模也连续；
(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模 在D上取到最大值与最小值; (5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.
例题1 讨论
的连续性。
0 0
x
例2 讨论
的连续性。
解：
例1 证明函数 f ( z )
R e( z ) |z|
当 z0 时的极限不存在
x x y
2 2
[证] 令 z = x + i y, 则 f ( z ) 由此得 u ( x , y )
2
,
x x y
2
, v( x, y ) 0.
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有 x lim u ( x , y ) lim 2 2 x 0 x 0 x y ( y kx ) ( y kx )
z z0
lim
f (z) A
或记作当 zz0 时 , f (z)A.
几何意义:
y
v
z
f(z)
d z0
O x O
e
A u
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则
li m u ( x , y ) u 0 x x0 y y0 li m f ( z ) A . z z0 li m x x0 v ( x , y ) v 0 y y0 运算性质：
§1.6 复变函数的极限和连续性
1.函数的极限
定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0<|z-z0|<r
内, 如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的e >0, 相 应地必有一正数d (e) (0 <d r), 使得当 0 <|z-z0|<d 时有 | f (z)-A |<e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数与场论简明教程：复数与复变函数
n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］ 求 解 因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数 ［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
复数列的极限 级数的概念
bn
b.
“”
已
知 lim n
an
a
,
lim
n
bn
b
即，
0, N
0,
n
N ,恒有an
a
2
，bn
b
2
又n (an a) i(bn b)
an a bn b
故
lim
n
n
.
2. 级数的概念
定义 ▪设复数列：{n } {an ibn }(n 1,2, , n),
j1 2 j
3i(1
1 2n
),
又
lim
n
sn
3i
级数收敛,且和为 3i.
定理2
级数
收敛
n
an和
bn都收敛。
n1
n1
n1
证明 sn
n
k
n
(ak ibk )
n
n
ak i
bk n i n
k 1
k 1
k 1
k 1
由定理１，lim n
sn
a
ib
lim
n
n
a,
lim
n
n
b
an和 bn都收敛。
1 n
(1
i )发散. n
(2)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛。
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(
1)
n
收敛
，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛.
第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性
2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f
z
Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z
3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u
x
,
y
1.6复数的极限及连续性
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变 函数连续性的方法。 定理二.若 lim f ( z ) A lim g ( z ) B ，则：
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
例 1. 证明: 如果 f ( z) 在 z 0 连续, 那末 f ( z) 在 z 0 也连续. 证： f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) ，则 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) ， 由 f ( z ) 在 z 0 连续, 于 是 u ( x, y ) 和 v( x, y ) 也在 (x 0, y 0) 处连续, 故 f ( z ) 在 z 0 连续 。 例 2. f ( z ) ln( x 2 y 2 ) i ( x 2 y 2 ) 解： u ( x, y ) ln( x 2 y 2 ) 在复平面内除原点外处处连续 v( x, y ) x 2 y 2 。在复平 面处处联系。 故 f ( x, y ) 在复平面内除原点外处处连续. 例 3.证明 f ( z ) arg z 在原点及负实轴上不连续。
(1) f ( z ) arg z 在原点没有定义， 故不连续。 (2)在负实轴上 P( x, 0)( x0 0), lim arg z , lim arg z
y 0 x x0 y 0 x x0
arg z在负实轴上不连续。
定理四、连续函数的和、差、积、商 (分母不为 0)仍为连续函数;连续函数的 复合函数仍为连续函数。 由以上讨论 P ( z ) a0 a1z a n z n 在整个复平面内连续； R (z ) 平面内除分母为零点外处处连续。 设曲线 C 为 闭曲 线或端点包 括在内的曲线段 ，若 f ( z ) 在曲线 C 上连续，
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数
点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
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复变函数与积分变换
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由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和 是关于实轴
图1.6
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复变函数与积分变换
例1.6设 解因为
所以
，试求Re z，lm z和
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
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复变函数与积分变换
例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
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复变函数与积分变换
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定义1.4设 为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
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复变函数与积分变换
所以 类似可得
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复数的极限与连续性导数与解析函数
3复变函数的极限连续性、导数与解析函数1、函数zw 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上的什么曲线？ （1）922=+y x （2）0=+x y 【解】 曲线为 【解】 曲线为)sin (cos 3t i t z +=, it t z -=,则 则)sin (cos 311t i t z w -==, i t t z w 221+==, 即 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.sin 31,cos 31t v t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2,2t v t u 从而 从而9122=+v u . v u =. （3）1=y （4）1)1(22=+-y x 【解】 曲线为 【解】 曲线为i t z +=, t i t z sin )cos 1(++=,则 则11122+-+==t i t t z w , t i z w tan 21211-==, 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=.11,122t v t t u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.tan 21,21t v u 从而 从而, 对任意的v ，有41)21(22=++v u . 21=u . ………………………………………………………………………………………………………2、已知映射3z w =, 求: （1）点i z i z i z +=-==3,1,321在w 平面上的象;【解】 i z w -=)(1; i z w 22)(2--=; i z w 8)(3=. （2）射线0,≥=x x y 在w 平面上的象;【解】 曲线为 i t z +=, 则i t t z w 33322+-==,即32t u -=, 32t v =)0(≥t从而0=+v u )0(≥v .（3）区域3arg 0π<<z 在w 平面上的象;【解】 由于3arg 0π<<z , 且3z w =, 故π<<w arg 0. ………………………………………………………………………………………………………3、证明复变函数z i z w arg ln +=在原点与负实轴上不连续.[证] 由于当0=z 时, z ln 不存在, 故函数在原点处不连续; 当0≠+=iy x z 时i z w y π+=+→||ln lim 0, i z w y π-=-→||ln lim 0故函数在负实轴上不连续.………………………………………………………………………………………………………4、利用导数的定义证明211z z -='⎪⎭⎫ ⎝⎛. [证] 由定义, 有z z z z z z ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆+='⎪⎭⎫ ⎝⎛→∆11lim 10201)(1lim z z z z z -=∆+-=→∆. ………………………………………………………………………………………………………5、指出下列函数)(z f w =的解析区域、奇点，在解析区域求其导数.（1）z i z w )3(3++=【解】 函数无奇点, 在整个复平面内处处解析，且导数为i z w ++='332.（2）112+=z w 【解】 函数的奇点为i z ±=, 除奇点外函数在整个复平面内处处解析，且导数为22)1(2+-='z z w . （3）1143++=z z w 【解】 函数有四个奇点, 分别为 )1(22i z ±=,)1(22i z ±-=. 除奇点外函数在整个复平面内处处解析，且导数为2442)1()43(+--='z z z z w . （4）)0(≠-++=bc ad d c b a dcz b az w 为复常数且、、、 【解】 当0=c 时, 函数在复平面上无奇点, 处处解析, 此时da w ='; 当0≠c 时, 函数在复平面上有奇点cd z -=, 除奇点外处处解析, 此时 2)(d cz bc ad w +-='. ………………………………………………………………………………………………………。
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1.6复数的极限及连续性
一.函数的极限
定义：若存在数A ，0)
0,,δρεδ
ε<≤∀>∃（（）当00z z δ<-<时，有()f z A ε-<，则称A 为()f z 为0z z →时的极限，记作0
lim ()z z f z A →=或当0z z →时，()f z A →。
通俗定义：设函数0(),(,)w f z z U z ρ=∈ ，如果)()(lim 00
z f z f z z =→成立，则称)
(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续。
几何意义: 当变点z 一旦进入0z 的充分小去心邻域时,它的象点()f z 就落入A 的一个预先给定的ε邻域中
注：1.意义中0z z →的方式是任意的。
与一元函数相比较要求更高。
2. A 是复数；若()f z 在z 出有极限，则极限是唯一。
二、极限的运算法则
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理一.如果000iy x z +=，则
00
000
00,0000,lim
(,)(,)lim ()lim (,)(,)x x y y z z x x y y u x y u x y f z A u iv v x y v x y →→→→→=⎧⎪==+⇔⎨=⎪⎩
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性，给出了证明复变函数连续性的方法。
定理二.若0
lim ()lim ()z z z z f z A g z B →→==，则：
[]0
lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z A B →→→±=±=±
lim ()()lim ()lim ()z z z z z z f z g z f z g z AB →→→==
0000
lim ()()lim (lim ()0)()lim ()z z
z z z z z z f z f z A g z g z g z B
→→→→=≠= 以上定理用极限的定义去证。
例1.22()w x y i x y =+++试证在平面上处处有极限 证明：22,x y x y ++ 在平面上处处有极限 例2.()0z z f z z z z
=+→求在时的极限
证明：2222
2()
()x y f z x y -=+ 在(0,0)处的极限不存在。
例3.Re ()0z
f z z z
=→证明在时的极限不存在
()f z =
(,)(,)0,u x y v x y == , z y kx =当沿直线趋于零时
000
lim (,)x x x x y kx
y kx
u x y →→→→======
例4. () (0) 0 z
f z z z z
=≠→证明函数当时的极限不存在。
解： ,
()z x iy f z u iv =+=+令22
22
(,),x y u x y x y
-=+则222(,),xy v x y x y =+ , z y kx =当沿直线趋于零时222
022lim (,)lim
,1x x y kx
y kx
xy k
v x y x y k →→====++
三、函数的连续性
定义：若0
0lim ()()z z f z f z →=，则称()f z 在处连续；若在区域D 内处处连续，则称
()f z 在D 内连续；若0z z C ∈、，且0
0lim ()()z z f z
f z →=，则称()f z 在曲线C 上点0z 处连续。
注：三要素 由定义、有极限、极限值等于函数值。
定理三、()(,)(,)f z u x y iv x y =+在000z x iy =+处连续000000(,)(,)00(,)(,)
lim
(,)(,)lim
(,)(,)
x y x y x y x y u x y u x y v x y v x y →→=⇔
=
例1.00: () , () .f z z f z z 证明如果在连续那末在也连续
证： ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()(,)(,)f z u x y iv x y =-，0 () , f z z 由在连续于是00 (,) (,) (, ), u x y v x y x y -和也在处连续0 () f z z 故在连续。
例2.2222()ln()()f z x y i x y =++-
解：22(,)ln()u x y x y =+在复平面内除原点外处处连续22(,)v x y x y =-。
在复平面处处联系。
(,) . f x y 故在复平面内除原点外处处连续 例3.证明()arg f z z =在原点及负实轴上不连续。
(1)()arg f z z = 在原点没有定义，故不连续。
00
0(2) (,0)(0),lim arg , lim arg y y x x x x P x x z z ππ
+-→→→→∀<==- 在负实轴上arg z ∴在负实轴上不连续。
定理四、连续函数的和、差、积、商 (分母不为0)仍为连续函数;连续函数的
复合函数仍为连续函数。
由以上讨论01()n n P z a a z a z ⇒=+++ 在整个复平面内连续；()
()()
P z R z Q z =在复平面内除分母为零点外处处连续。
设曲线C 为闭曲线或端点包括在内的曲线段，若()f z 在曲线C 上连续，
0M ⇒∃>在曲线上恒有()f z M ≤.。