第二十四讲晶体的弹性与压电体
材料物理 名词解释
色心:晶体中引入的电子或空穴，通过静电作用被晶体中带有正、负有效电荷的点缺陷所俘获，形成多种俘获电子中心和俘获空穴中心，并随能级跃迁而产生新的吸收带。
由于一些中心的吸收带位于可见光范围内，可使晶体呈现出不同的颜色，因而称其为色心。
对称破缺是指具有一定对称性的结构在经历相转变的过程中，某些原有对称元素突变性丧失的现象表面弛豫是表面层点阵参数的略微变化，表现在表面与其下少数儿个原了层问距的变化上，其晶体结构基本上保持一致表面重构是表面层结构相对于体相发生很大的变化，一般出现表面超结构。
堆垛层错:正常堆垛顺序中引入不正常顺序堆垛的原了面而产生的一类缺陷，反相畴界:界面相邻两侧存在一非点阵平移，界面处由正常的配对状态转为非正常的配对状态而保持共格。
晶体学切变面:一些过渡金属氧化物及其复合氧化物中，金属离了与氧的化学计量比变化很大，在形成缺氧的非计量化学比晶体时，晶体的两部分沿某一晶面滑移，形成晶体学切变面。
格波:晶体中原子围绕其平衡位置不断振动，由于原子问存在相互作用，一定频率振动着的原子问产生确定的位相关系，从而在晶格上形成一种平面波，称为格波。
热应力由于相邻质点问相互作用具有一定的非线性，固体在温度升高时，相邻质点的平均距离增大，产生热膨胀。
若用刚性约束阻碍晶体膨胀，则会在晶体内部产生一种附加应力，这种由热膨胀引起的内应力即为热应力。
弹性模量是材料受力作用时应力与应变的比值，反映了材料内部原了问的结合强度，是材料的一个固有物性参数滞弹性:实际固体在外力作用下产生弹性形变，在撤去外力后，并非能像理想弹性体一样立即恢复，而是需要一定的恢复时问，则称这种固体的实际弹性性质为滞弹性蠕变:施加恒定外力作用下，物体应变随时问的延长而增加的现象; 晶格滑移:晶体受力时，晶体中的一部分相对于另一部分产生相对滑移的现象粘性流动:材料在在外力的作用下发生类似粘性液体流动的变形，其变形速度与剪应力成正比，与材料粘度成反比。
弹性矩阵ppt课件
wangcl@
8
于是有:
(dl ')2 (dl )2 1 1 1 1 1 1 2 dx dx dx dx dx dx dx 1 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 dx dx dx dx dx dx dx 2 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 dx dx dx dx dx dx dx 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 1 2 3 1 2 3
r' r
wangcl@ 5
当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离 都会发生变化，设最近邻的两点形变前的 距离为dl（分量为dxi），形变后的距离为 dl’（分量为dx’i），因为dx’i=dxi+di， 而 3 i d dx i k xk k 1
二级对称的张量，有六个独立元素
wangcl@ 13
如果用x、y、z代表位置矢量r的三个分量； u、v、w代表位移矢量的三个分量；那么 这六个张量元可写成为：
e 11 e 22 e 33 1 u e xx x1 x 2 v e yy x 2 y 3 w e zz x 3 z
11
在大多数情况下，应变是很小的，所以上式 右方的第三项可以略去，于是应变张量元为：
1 i k e ( ), ( i , k 1 , 2 , 3 ) ik 2 x x k i
wangcl@
12
应变张量元的矩阵形式
压电晶体
U im
1 R Cc Ci Ce 2
Rd 33 Fm
, 设 R Cc Ci Ce ，U im
Rd 33 Fm
1
2
~ ~ U i与F的相位差 arc ctg arc tg 2 对于理想压电元件和系统R ，此时的U im U am
p1 p 2 p3 p4 p5 p6
3 d 31 d 32 d 33 F 2d 31 d 33 F d 3 F
d 3 2d 31 d 33 2 0.4d 33 d 33 0.2d 33
极化面
F
Q
机械能 ｛ 逆压电效应 压电介质 正压电效应 电能 ｝
F
压电效应及可逆性
二、压电材料的压电常数
以下讨论忽略外界附加电场、力场的作用和温度、磁场的影响。
1.石英晶体的压电方程及压电常数矩阵 石英晶体是一种各向异性的（压电材料）介质，按X0°切型的正六 面体，在三维直角坐标系内的力 —— 电作用状态如图所示： F1～F3分别为沿 x、y、z 轴的正 z (3) σi j = d i j Fj 应力（或应力分量）， F4～F6分 (σ 3 ) F 3 i =1、2、3 别为绕 x、y、z轴的切向应力， j =1、2、3、4、5、6 F6 σ1～σ3分别是 x、y、z 表面由于 F5 (σ 2) (2) y 压电效应而产生的电荷面密度。 F2 F4 其压电方程为：
U am
d 33 Fm U im RCc Ci Ce 2 Cc Ci Ce U am 1 R Cc Ci Ce 2 1
由
U 得， im 2 n U am 1 1
晶体压电效应
晶体压电效应晶体压电效应是指晶体在受到外力作用下会产生电荷分布不均匀，从而产生电势差的现象。
这种效应是由晶体结构的对称性和晶格的非均匀性导致的。
晶体是由原子或分子按照一定的方式排列而成的，具有高度的有序性和周期性。
晶体的结构对其物理性质有着重要影响。
在晶体中，原子或分子的排列方式决定了晶体的对称性。
如果晶体具有中心对称性，那么在任何方向上施加的外力都不会改变晶体的电荷分布，因此不会产生压电效应。
但是，如果晶体没有中心对称性，那么外力作用下晶体的电荷分布会发生改变，从而产生电势差，形成压电效应。
晶体压电效应的基本原理是晶体内部存在着电偶极子，即正负电荷中心不重合的情况。
当晶体受到外力作用时，晶格结构发生畸变，导致电偶极子的位置发生改变，从而产生了电势差。
这个电势差可以通过金属电极连接起来，形成电路，实现电能的转换和传输。
晶体压电效应具有广泛的应用。
在声学领域，压电晶体可用于声电转换，将声波信号转化为电信号，实现声音的放大和传输。
在电子学领域，压电晶体可用于压力传感器和加速度计，实现对压力和加速度的测量。
此外，晶体压电效应还可以应用于电子器件的制造，如压电陶瓷压电陶瓷作为声波滤波器、压电陶瓷振荡器等。
然而，晶体压电效应也存在一些限制和挑战。
首先，晶体压电效应的大小取决于晶体的对称性和非均匀性，不同的晶体材料具有不同的压电系数。
其次，晶体压电效应在高温和高压环境下可能会发生变化，影响电势差的产生和传输。
此外，晶体压电效应也受到外界干扰的影响，如温度变化、湿度变化等。
晶体压电效应是晶体结构和晶格非均匀性导致的一种现象。
它在声学和电子学领域有着广泛的应用，如声电转换、压力传感器和电子器件制造。
然而，晶体压电效应也面临着一些限制和挑战。
未来的研究将致力于改善晶体压电效应的稳定性和灵敏度，以及开发新的晶体材料应用于更多领域。
《固体物理学》第二章_晶体的结合和弹性
二、原子晶体（共价晶体）
第Ⅳ族、第Ⅴ族、第Ⅵ族、第Ⅶ族元素都可以形成原子晶
体。典型的原子晶体: 金刚石、硅、锗等晶 体。
结合力: 共价键。
共价键的特点
饱和性 原子晶体的配位数较低。 方向性
共价键：共价晶体中，相邻原子各出一个价电子形成自旋 相反的共用电子对，这样的原子键合，称为共价键.
饱和性：一个原子只能形成一定数目的共价键.
晶体体积的函数 U(v)
若取EN=0，则晶体的结合能： E b = E N − E 0 = − E 0 = −U ( r0 )
三、压缩系数和体积弹性模量(体积压缩模量)
U (r) =
N 2
ui
=
N 2
N
∑ 'u ( rij )
j=1
在三维晶体中，假设晶体的体积为V,包含N个原胞，每个
原胞的体积为v，每个原胞的势能为u (r),U为N个原胞的总的
j=1
则由N个原子组成的晶体的总的相互作用势能
为：
∑ ∑∑ u(r) =
1 2
N
ui
i =1
=
1 2
N i =1
N
u(rij )
j =1
因为晶体中原子数很多，因此晶体表面原子与晶体内部原 子的差别可以忽略，上式近似为：
U (r) =
N 2
ui
=
N 2
Nபைடு நூலகம்
∑ 'u ( rij )
j=1
原子数目 U(r) 原子间距
一、原子间的相互作用 吸引力
原子间的相互作用力 排斥力
库仑引力 库仑斥力 泡利原理引起
假设相距无穷远的两个自由原子间的相互作用能为零，相
互作用力为零。
02 晶体的弹性
2.1 位移与应变张量（10）
因为
dX1′
=
dX1
+
du1
=
dX1
+
∂u1 ∂X1
dX1
+
∂u1 ∂X 2
dX 2
+
∂u1 ∂X3
dX3
⎫ ⎪ ⎪
dX
′
2
=
dX 2
+
du 2
=
dX 2
+
∂u 2 ∂X1
dX1
+
∂u 2 ∂X 2
dX 2
+
∂u 2 ∂X3
⎪ dX3 ⎬
⎪
dX
′
3
=
dX3
+
du 3
=
dX2 B
当晶体发生形变时，质点在平面内均产
θ12
D
生了位移，而且各质点的位移一般是不 A是的u向同向1'+C发的A的位d''相uB生。位移1'的相对如u移，2对位+A果，BdC点A我移那u发B2变们，么的发生到只C位A生了点B点考移了一’变处变查。θ个到，到沿显1θ2C沿AX的然2'‘11处X点方角的，1，方发向角度总沿和生向度变的XXu发变化效122,化方方，果生u2。
⎤ )⎥ ⎥
1 2
( ∂u2 ∂X3
+
∂u 3 ∂X 2
⎥ )⎥ ⎥
∂u 3 ∂X3
⎥ ⎥ ⎦
2.1 位移与应变张量（12）
其中
η11
=
∂u1 ∂X1
η22
=
∂u 2 ∂X 2
η33
=
∂u 3 ∂X3
第一章 张量分析基础知识
晶体物理性能南京大学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容．由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第一章张量的基础知识§１．１标量、矢量和二阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５二阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的足符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表示和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴………………………………………§１．９二阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第二章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原子间力…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应力……………………………………………………………………………………§２．４推广的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５立方晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因子的测量方法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３高频电场的介电极化（光的色散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离子晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的一般性质…………………………………………………………………§４．２常用铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热力学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电方程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应用实例――石英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲面……………………………………………………………§５．４晶体表面上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光干涉及其应用……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１非线性极化…………………………………………………………………………§６．２非线性极化系数……………………………………………………………………§６．３非线性介质中电磁场耦合方程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７角度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放大…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐方法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13非线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应用§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的几个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第八章声光效应及其应用§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作用产生的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作用的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在一些物理常数测量中的应用…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散角α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射面相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第一章 张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。
压电效应的原理及应用
压电效应的原理及应用引言压电效应最初由法国物理学家皮埃尔.居里（和雅各布.居里于1880年的一次实验中发现。
压电效应是指当某些晶体受到机械力而发生拉伸或压缩时，晶体相对的两个表面会出现等量的异号电荷，这种现象就叫做压电效应，具有压电效应的晶体介质叫做压电体。
根据压电效应的物理作用效果不同，还分为正压电效应和逆压电效应。
当前，在家用电器以及谐振器件、滤波器件以及电子传感技术之中，压电效应具有广泛的应用。
目前，基于压电效应的传感器已经普及并且应用于社会生产各个方面。
因此对于压电效应以及压电材料的基础研究具有理论和实际意义。
压电学的发展已经有100多年的历史,到目前为止,国内外学者对一次压电效应进行了大量的理论与应用研究,但只有少数学者提到了二次压电效应。
近年来,应用一次压电效应理论设计的压电类传感器与执行器的应用领域越来越广阔,压电效应的基础理论研究也有了较大发展。
本文通过理论与应用等方面的分析,在晶体众多的已知效应中发现,电磁效应与压电效应具有极大的相似性与可比性,可以进行对比研究,从而为压电效应的基础理论与应用的进一步研究探索出一条新途径。
1880年法国物理学家皮埃尔.居里（和雅各布.居里兄弟实验中发现:当某些晶体受到机械力而发生拉伸或压缩时,晶体相对的两个表面会出现等量的异号电荷。
科学家把这种现象叫做压电现象。
具有压电现象的介质,称之为压电体。
当前，在家用电器以及谐振器件、滤波器件等电子传感技术之中，压电效应具有广泛的应用。
目前基于压电效应的传感器已经普及并且应用于社会生产各个方面。
因此对于压电效应以及压电材料的基础研究具有理论和实际意义。
随着电子技术与材料科学方面的飞速发展，相信对于压电效应的进一步研究开发会有更多的创新，为人类带来创新科技的福音。
1.压电效应的简介压电效应是指当某些晶体受到机械力而发生拉伸或压缩时，晶体相对的两个表面会出现等量的异号电荷，这种现象就叫做压电效应，具有压电效应的晶体介质叫做压电体。
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• 应力张量的两个脚标常被缩减为一个脚标，且可用行 矩阵和列矩阵来表示
法向应力： x11 x1
x22 x2
x33 x3
切向应力： x23 x32 x4
x31 x13 x5
x12 x21 x6
晶体的弹性
x11 x12 x13 x1 x6 x5
x13 x22 x23 x6 x2 x4 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x13 x23 x33 x5 x4 x3
x2
1 E
2
(3
1 )
x3
1 E
3
(1
2 )
晶体的弹性
x4 2 s11 s12 4
x4
1 G
4
x5 2 s11 s12 5
x5
1 G
5
x6 2 s11 s12 6
x6
1 G
6
各式意义、内 涵
压电体
➢ 对于不存在对称中心的极性晶体，加在晶体上的外力除了使晶体发 生形变外，还将改变晶体的极化状态，在晶体内建立电场，这种由 于机械力的作用而使介质发生极化的现象称正压电效应；
x1
1 2 x6
1 2
x5
x13 x13
x22 x23
x23 x33
1 2
x6
1
x2 1
1 2
x
4
2
x5
2 x4
x3
切向应变引入系数1/2是为了使虎克定律具有较简单的形式
晶体的弹性
➢ 晶体弹性及胡克定理
由虎克定律，对于足够小的形变，应力与应变成正比，对于各 向异性的晶体，应力和应变都是二阶对称张量，把这两个二阶张量 联系在一起的物理量是一个四阶张量：
xij sijkl X kl
sijkl 称弹性柔顺常数
晶体的弹性
根据脚标缩减，可得广义胡克定理：
x s
λ、μ=1，2，3，4，5，6
x1 s11 s12 s13 s14 s15 s16 1
x2 s21
s26 2
x3
s31
s36
3
x4 s41
s46 4
➢ 一些定义
晶体的弹性
E 1 s11
杨氏模量
G
1
2(s11 s12 )
切变模量
s12
s11
泊松参数
晶体的弹性
➢ 各向同性物体应变——应力关系：
x1 s111 s12 2 s12 3
x1
1 E
1
(2
3 )
x2 s12 1 s11 2 s12 3 x3 s12 1 s12 2 s113
x'11 0 0
0 x'22 0
0
0
x'33
三轴法向应力习惯上把张应力取正，压应力取负
晶体的弹性
例如物体静水压力
p 0 0 0 p 0 0 0 p
双轴应力
x11 0 0 0 x22 0 0 0 0
晶体的弹性
平轴应力
x11 0 0 0 0 0 0 0 0
对于x11 x22 的双轴应力，把坐标绕x3轴旋转450，
x11 x13 x13
x12 x22 x23
x13
x1' 1
x23 x33
0
0
0 x2' 2 0
0
0
x3' 3
缩减脚标：
x11 x1
x22 x2 x33 x3
x23 x23 x4 ; x31 x13 x5 ; x21 x12 x6
晶体的弹性
x11 x12 x13
x5
s51
s56
5
x6 s61 s62 s63 s64 s65 s66 6
晶体的弹性
广义虎克定律另一种形式：
ij cijkl xkl
cijkl 称弹性劲度常数
c x （λ、μ=1，2，3，4，5，6）
晶体的弹性
➢ λ和μ均为1，2或3
sijkl s s11 s1111 s22 s2222
其只有12个非零分量，且只有2个独立分量：
s11 s12 s12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12
s12
s11
0
0
0
0 0 0 s44 0 0
0
0
0
0
s11
0
0 0 0 0 0 s44
s44 s55 s66 2(s11 s12 )
s12 s13 s23
s33 s3333
➢ λ和μ为4，5或6
2sijkl s
s41 2s2341 s41 2s3211 s41 s2311 s3211
➢ λ和μ均为4，5或6
4sijkl s
s44 4s2323 4s2332 4s3223 4s3232
晶体的弹性
对于不同晶系，s 阵有不同的独立元个数，对各向同性的材料，
x1
晶体的弹性
e12
u1 x2
u2 x1
u2 x3
u1
x1
x2
x2 x1
晶体的弹性
➢ 任何一个二阶张量均可解为一个对称和一个 反对称的张量之和
eij xij yij
对称张量
xij
1 2
(eij
e ji )
x ji
反对称张量
yij
1 2 (eij
e ji ) y ji
晶体的弹性
由于应变是一个对称张量，可以适当选择坐标系使 其与应变主轴方向一致，使其对角化
可使应力状态相当于一个单纯剪切状态
晶体的弹性
坐标变换矩阵 张量变换：
2 2 0
2
2
aij
2
2 0
2
2 0
0 1
纯剪切模式
2 2 0
2
2
2
2 0
2 2
2 0
x 0 0 1 0
0 x 0
0 0 0
Байду номын сангаас
2 2
2 0
2 0
2 2
2 0
0
0 x
1 0
x 0 0 0 0 0
晶体的弹性
应力张量的常用表达形式
晶体的弹性
➢ 应变张量
应变是描述物体在应力作用下变形情况的物理量，以单位长度 所产生的线度变化来衡量，应变是无量纲的，由于弹性位移的方向 与受力面的法向不一定相同，应变也是一个二阶张量，共有9个分量
eij
ui x j
e11
e12
e13
e12 e22 e23
e13
e23
e33
晶体的弹性
e11
u1 x1
x3
u1 x1
dx1
x2 x1
e22
u2 x2
晶体的弹性
x3
x2
x1
u2 x2
dx2
e33
u3 x3
晶体的弹性
x3
x1
u3 x3
dx3
x2
e23
u2 x3
u3 x2
u2 x3
x1
x3
x2
u3 x2
晶体的弹性
e13
u1 x3
u3 x1
x3
u1 x3
x2
u3
x1
晶体的压电性质
晶体的弹性与压电体
晶体的弹性
➢ 应力张量
x11 x12 x13
xij x12 x22 x23
x13
x23
x33
保证力矩为零
二阶应力张量是对称张量
晶体的弹性
应力张量可以通过坐标变换，把坐标轴变换到应力张 量的主轴方向，使得受力的单位立方体上所有切向应力为 零，只有法向应力