电介质物理_徐卓、李盛涛-第二十四讲(晶体的弹性与压电体)
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电介质物理_徐卓、李盛涛_前言-第一讲[国家精品课程]
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于微观粒子间的相互作用，当相互作用很强时，色散曲线和吸收 曲线过渡到极端的弛豫型。
n
2
概论
• 研究电极化和弛豫是电介质物理的基本课题，涉及电 荷的分布，起伏，带电粒子间的相互作用
固在电介质物理研究中：
一方面需很好的实验手段； 一方面要求具备优良的理论武器：电动力学、量子力
学、热力学和统计物理始终是研究和探讨本学科必不
1. 原子核外电子云的畸变极化，即电子位移极化； 2. 分子中正负离子的相对位移极化，即离子位移极化； 3. 分子固有电矩的转向极化。
概论
• 介质的相对介电常数ε是综合地反映这三种微观过程的宏观物理量， 它是频率ω的函数； • 只当频率为零或频率很低（例如1KHZ）时，三种微观过程都参 与作用，此时介电常数为：ε(0) • 随着频率的增加，分子固有电矩的转向极化逐渐落后于外场的变 化，介电常数取复数形式：
1. 分子化学结构，分子结构对称，分子正电荷重心和
负电荷重心均与其对称中心相重合，则分子为非极
性的，反之分子结构不对称，则分子为极性的。 2. 原子的正负性（表示元素原子在分子中吸收电子的
能力，它等于原子的电离能和电子亲合能之和）
3. 原子在分子中的排列研究课题——电介质的极化和弛豫 • 电极化过程与物质结构密切相关，电介质物理学的发 展总是与物质结构的研究相呼应，电极化的三个过程：
概论
• 电介质的分类：电介质可以是气态、液态、固态，分 布极广。电介质不必一定是绝缘体，但绝缘体是典型
的电介质。广义上说，电介质不仅包括绝缘材料，而
且还包括多种功能材料。一般把电介质分成了两大类： ⑴极性电介质 ⑵非极性（中性）电介质。
由极性分子组成 由非极性分子组成
概论
• 影响电介质分子极性大小的因素：
n
2
概论
• 研究电极化和弛豫是电介质物理的基本课题，涉及电 荷的分布，起伏，带电粒子间的相互作用
固在电介质物理研究中：
一方面需很好的实验手段； 一方面要求具备优良的理论武器：电动力学、量子力
学、热力学和统计物理始终是研究和探讨本学科必不
1. 原子核外电子云的畸变极化，即电子位移极化； 2. 分子中正负离子的相对位移极化，即离子位移极化； 3. 分子固有电矩的转向极化。
概论
• 介质的相对介电常数ε是综合地反映这三种微观过程的宏观物理量， 它是频率ω的函数； • 只当频率为零或频率很低（例如1KHZ）时，三种微观过程都参 与作用，此时介电常数为：ε(0) • 随着频率的增加，分子固有电矩的转向极化逐渐落后于外场的变 化，介电常数取复数形式：
1. 分子化学结构，分子结构对称，分子正电荷重心和
负电荷重心均与其对称中心相重合，则分子为非极
性的，反之分子结构不对称，则分子为极性的。 2. 原子的正负性（表示元素原子在分子中吸收电子的
能力，它等于原子的电离能和电子亲合能之和）
3. 原子在分子中的排列研究课题——电介质的极化和弛豫 • 电极化过程与物质结构密切相关，电介质物理学的发 展总是与物质结构的研究相呼应，电极化的三个过程：
概论
• 电介质的分类：电介质可以是气态、液态、固态，分 布极广。电介质不必一定是绝缘体，但绝缘体是典型
的电介质。广义上说，电介质不仅包括绝缘材料，而
且还包括多种功能材料。一般把电介质分成了两大类： ⑴极性电介质 ⑵非极性（中性）电介质。
由极性分子组成 由非极性分子组成
概论
• 影响电介质分子极性大小的因素：
电介质物理及其应用-极化和介损部分
Q S U U
充介质时有：
E
,E 0 d 0
C
s
Eds (q + q ) / 0
E Ed E0 0 U 0 0 d
其中q为自由电荷，q′为极化电荷
q ds Pds
s s
s
Eds (q
d
电介质的极化
电介质的极化类型
1.极化形成的四种主要情况
1）电子位移极化 2）离子位移极化 3）热离子极化 4）转向极化 5）界面极化
又称为Maxwell-Wagner极化。 与其它几种极化机制不同：不是由束缚或弱缚离子的 位移或转向引起，而是由自由电荷的移动（电荷分布 不均）产生宏观偶极矩。
U
1， 1 2， 2
3
2016/4/21
电介质的极化
电介质的极化
1.电子位移极化及电子极化率αe 1)电子位移极化
F 1 4 0
Ei=0
Ei
2.离子极化及离子极化率αa 1)离子极化
qEi k x
Ei
x
μe
Ze Ze
4 x 3 3 3 2 2 4 a 3 Z e x ZeE i 2 4 0 a 3 x
b为常数，n=7~11
u x ＝a ＝0 x
b
a n 1q 2 n
特点：①μe不是原子固有，在Ei作用下感应； ②所有介质在电场作用下均会产生电子极化； ③极化建立时间很短，约为10-15~10-16s;
没有外电场时，离子处于平衡位置，x＝a，
则有： u x
q2 a n 1q 2 4 0 x 4 0 nx n
α—极化率，单位是Fm2，
充介质时有：
E
,E 0 d 0
C
s
Eds (q + q ) / 0
E Ed E0 0 U 0 0 d
其中q为自由电荷，q′为极化电荷
q ds Pds
s s
s
Eds (q
d
电介质的极化
电介质的极化类型
1.极化形成的四种主要情况
1）电子位移极化 2）离子位移极化 3）热离子极化 4）转向极化 5）界面极化
又称为Maxwell-Wagner极化。 与其它几种极化机制不同：不是由束缚或弱缚离子的 位移或转向引起，而是由自由电荷的移动（电荷分布 不均）产生宏观偶极矩。
U
1， 1 2， 2
3
2016/4/21
电介质的极化
电介质的极化
1.电子位移极化及电子极化率αe 1)电子位移极化
F 1 4 0
Ei=0
Ei
2.离子极化及离子极化率αa 1)离子极化
qEi k x
Ei
x
μe
Ze Ze
4 x 3 3 3 2 2 4 a 3 Z e x ZeE i 2 4 0 a 3 x
b为常数，n=7~11
u x ＝a ＝0 x
b
a n 1q 2 n
特点：①μe不是原子固有，在Ei作用下感应； ②所有介质在电场作用下均会产生电子极化； ③极化建立时间很短，约为10-15~10-16s;
没有外电场时，离子处于平衡位置，x＝a，
则有： u x
q2 a n 1q 2 4 0 x 4 0 nx n
α—极化率，单位是Fm2，
铁电体及其相变
1.钙钛矿型铁电体
A
最多的一类(yī lèi)铁电体，
O-
通式：ABO3 (例：CaTiO3)
B+
氧离子形成氧八面体，整个晶体可看成氧八面体共顶点联接而 成。 氧八面体间的间隙由A离子占据。
第十八页，共三十九页。
B位离子中心(zhōngxīn)位移八面体中心(zhōngxīn) 的运动。
正八面体有4个三重轴， 3个四重轴和6个
Tc以下，质子择优的 分布于两个可能位置 之一。
第二十七页，共三十九页。
§10.2 几种典型的铁电有序相
1. 铁电体
相邻晶格(jīnɡ ɡé)中电偶极矩沿平行排列 形成自发极化。
基本特征：
自发极化、居里(jū lǐ)点、居里(jū lǐ)－外 斯定律、电滞回线、电畴结构等
400
Cooling warming
麻省理工学院(MIT)的Amanda Parkes设计
走路过程可以供应Mp3的电量 理想(lǐxiǎng)状况下人的十步能使两盏60 瓦的灯泡亮一秒钟 压电地板 1英尺乘1英尺的压电陶瓷板 有人踩过一块板，可以产生5.5瓦的电能
第十七页，共三十九页。
二、铁电体的晶体结构和分类(fēn lèi)
铁电相变为 相变，与晶体结构密切相关。晶体结构是认识 (rèn shi)铁电性的基础。
300
ε
TC
不同频率下介电-温度谱的峰值不随测 量频率变化。
第二十八页，共三十九页。
200
0
100
200
300
400
T (oC)
T (K)
Appl. Phys. Lett 86, 022905 (2005)
2.反铁电体
反铁电体相邻(xiānɡ lín) 晶格中电偶极子沿反平行排列，形成
电介质物理_徐卓、李盛涛-第二十六讲(机电耦合与压电振子)
关系，与机械量—应力、应变之间的关系（胡克定律） ，与电学量和机械量之间的关系（压电方程组）等等，
但是未涉及到如何确定这些常数的数值。
压电振子
研究压电振子的重要性：
确定材料的压电、弹性参数； 为其应用于振荡器、滤波器、换能 器做准备； 压电材料的绝大部分应用需通过压
电振子来实现。
压电振子种类
一部分转换为机械能，其余部分使压电体极化，以电
能形式储存在压电体中。
机电耦合系数k
机电耦合系数
机电转换获得的能量 k 输入总能量
2
Z
E
在垂直于压电体Z轴方向上镀电极
机电耦合系数k
短路，在Z轴方向加上应力X3产生 应变x3，在单位体积内应力X3作功：
C A
W2
D Slope S33
1 1 E 2 W0 X 3 x3 s33 X 3 W 1 W 2 2 2
O
100 80 60
PZT5（31模式例）
PZT5（31模式例）
60
PZT5（33模式例）
T=30~250
1000000
40 20
100000 0 -20 10000 -40
T=30~250
1000 200000 300000
-60 -80 -100 400000
Frequency (Hz)
Phase angle (deg.)
Impedance ()
30 C O 100 C O 150 C O 200 C O 250 C
1. 垂直于电场方向的伸缩振动，可用LE模表示；
2. 平行于电场方向的伸缩振动，可用TE模表示； 3. 垂直于电场平面内的剪切振动，可用FS模表示； 4. 平行于电场平面内的剪切振动，可用TS模表示；
但是未涉及到如何确定这些常数的数值。
压电振子
研究压电振子的重要性：
确定材料的压电、弹性参数； 为其应用于振荡器、滤波器、换能 器做准备； 压电材料的绝大部分应用需通过压
电振子来实现。
压电振子种类
一部分转换为机械能，其余部分使压电体极化，以电
能形式储存在压电体中。
机电耦合系数k
机电耦合系数
机电转换获得的能量 k 输入总能量
2
Z
E
在垂直于压电体Z轴方向上镀电极
机电耦合系数k
短路，在Z轴方向加上应力X3产生 应变x3，在单位体积内应力X3作功：
C A
W2
D Slope S33
1 1 E 2 W0 X 3 x3 s33 X 3 W 1 W 2 2 2
O
100 80 60
PZT5（31模式例）
PZT5（31模式例）
60
PZT5（33模式例）
T=30~250
1000000
40 20
100000 0 -20 10000 -40
T=30~250
1000 200000 300000
-60 -80 -100 400000
Frequency (Hz)
Phase angle (deg.)
Impedance ()
30 C O 100 C O 150 C O 200 C O 250 C
1. 垂直于电场方向的伸缩振动，可用LE模表示；
2. 平行于电场方向的伸缩振动，可用TE模表示； 3. 垂直于电场平面内的剪切振动，可用FS模表示； 4. 平行于电场平面内的剪切振动，可用TS模表示；
电介质物理_徐卓、李盛涛-第二十五讲(机—电相互作用与压电方程)
E X e j E j c X
方程１
第一项为电场直接效应 第二项为压电耦合效应 第一项为逆压电效应 第二项为弹性直接效应
方程２
压电方程
③ 取自变量 X 和 Di
Ei ijX D j g i X
D x g j D j S X
第一项为直接极化效应
0 11 0 0 11 0 0 0 33
7. 三方 （3mm）
0 d 21 d 31 0 d 22 d 31 0 0 d 33 0 d15 0 d15 0 0 d 22 0 0
0 11 0 0 11 0 0 0 33
0 d14 0
0 0 d 36
0 11 0 0 11 0 0 0 33
机—电相互作用
6. 四方 （4mm）
0 0 d 31 0 0 d 31 0 0 d13 0 d 24 0 d15 0 0 0 0 0
' i
d 31 d 32 E1 d 32 E 2 d 34 E3 d 35 d 36
d i d
dt
如何求证？
机—电相互作用
正压电常数与逆压电常数
根据热力学理论，得材料热力学表达式：
G U TS X i xi Em Dm dG SdT xi dX i Dm dEm
方程１
第二项为压电耦合效应 第一项为逆压电效应
方程２
第二项为直接弹性效应
压电方程
④ 取自变量 x 和 Di
x Ei ij D j hi x
D X h j D j c x
方程１
第一项为电场直接效应 第二项为压电耦合效应 第一项为逆压电效应 第二项为弹性直接效应
方程２
压电方程
③ 取自变量 X 和 Di
Ei ijX D j g i X
D x g j D j S X
第一项为直接极化效应
0 11 0 0 11 0 0 0 33
7. 三方 （3mm）
0 d 21 d 31 0 d 22 d 31 0 0 d 33 0 d15 0 d15 0 0 d 22 0 0
0 11 0 0 11 0 0 0 33
0 d14 0
0 0 d 36
0 11 0 0 11 0 0 0 33
机—电相互作用
6. 四方 （4mm）
0 0 d 31 0 0 d 31 0 0 d13 0 d 24 0 d15 0 0 0 0 0
' i
d 31 d 32 E1 d 32 E 2 d 34 E3 d 35 d 36
d i d
dt
如何求证？
机—电相互作用
正压电常数与逆压电常数
根据热力学理论，得材料热力学表达式：
G U TS X i xi Em Dm dG SdT xi dX i Dm dEm
方程１
第二项为压电耦合效应 第一项为逆压电效应
方程２
第二项为直接弹性效应
压电方程
④ 取自变量 x 和 Di
x Ei ij D j hi x
D X h j D j c x
电介质物理导论第一章1
五、电介质物理的发展与展望
独立学科：
电子信息功能材料：低频、高频、微波、毫米波
新型电子器件： 铁电存储器、MEMS、阵列电容器、EMI 、SMD、 LTCC
与其他学科交叉发展：晶体学、高分子材料学、电磁场与微波技术。。。。
应用：1。晶体电介质应用于光电子学器件
2。陶瓷体内晶粒间的晶界效应 晶界层电容器 超大容量
第一章 恒定电场中电介质的极化
重点研究电介质在恒定电场作用下，所发生 的电极化过程。
主要研究方法： 给出必要的静电学基本定律和公式; 从宏观和微观两种角度，分析与讨论电介质
极化的共同规律; 结合具体物质结构类型，分别讨论各种形式
极化的机理并导出各自所遵循的规律。
重点在于了解宏观极化特性与微观 物质结构及组成之间的联系以揭示相应 物理现象的本质。
dissipation factor ; 介电强度Eb ：breakdown field strength
三、电介质的分类
1。组成特性：无机电介质：云母、玻璃、陶瓷
有机电介质：矿物油、纸、有机高分子聚合物
2。聚集态：气体介质：空气
液体介质：电容器油
固体介质：陶瓷、纸
3。组成物质原子排列的有序化程度：晶体：石英
直（不平行）的表面上出现束缚电荷——不能离开电介质，束缚电荷也要产生自
己的电场，称为附加电场E’
E=E。+E’<E。
束缚电荷
-
+
- + - + - + -+
- + -+ - + - +
-+
-+
-+ -+
+ -+ -
第28讲静电场中导体和电介质电介质答辩
第28讲：静电场中导体和电介质——电介质
内容：§9－3、§9－4
1．电介质对电容的影响
2．电介质的极化（50分钟）3．有电介质时的高斯定理（50分钟）
要求：
1．了解电介质对电容的影响和相对电容率的概念；
2．理解电介质的极化的机理；
3．掌握电极化强度的物理意义；
4．掌握电介质中的极化电荷和自由电荷的关系；
5．掌握有电介质时的高斯定理。
重点与难点：
1．电介质极化机理；
2．电极化强度以及极化电荷和自由电荷的关系；
3．有电介质时的高斯定理。
作业：
问题：P94：12，13，15，16
习题：P96：13，16，18，19
预习：§9－5~§9－8
复习：
1．静电平衡
●状态
●条件
●电场、电荷分布
2．电容
●平板电容器
●圆柱形电容器
●球形电容器
介质出现束缚电荷的现象称为电介质的极化。
（如何定量描述？）
电介质中的场强和电势与真空中的场强和电势的关系（均匀电介质充满整个。
电介质物理_徐卓、李盛涛-第十二讲 复介电常数及电介质的频域响应、克拉莫-科略尼克关系式
0
( ) ( s ) f ( y )e iy dy
r 0
可见，在交变场下，电介质极化率和介电常数是角频率的复数函数。 注意到 e iy cos(y) i sin( y) r ( ) r' ( ) i r" ( ) 于是： r () r' () ir" () r' ( ) ( 1) ( s ) f ( y ) cos(y )dy 其中 0
Hale Waihona Puke g ( )e it d
在时域响应中： pr (t ) 0 ( s ) 0 f ( y) E (t y)dy
对上式极化时域响应的卷积进行付立叶变换：
F [ f ( y )] f ( )
0 0
F [ E ( x)] E ( )
0
F [ f ( y ) E (t y )dy] e it { f ( y ) E (t y )dy}dt f ( y ){ e it E (t y )dt}dy f ( y )e iy { e i (t y ) E (t y )dt}dy
实际介质的位移电流密度为： j 对比上面两个位移电流密度公式
dD E i 0 r E dt
则复介电常数刻表示为： r r
i
0
r' i r"
' 实部 r r ( ) 称电容项 " 虚部 r 0 称损耗项 ' 它们都依赖与频率，只有当 0 ， r 才是静态介电常数。 全电流密度与位移电流密度之间形成 δ 角，称为介质损耗角。
( ) ( s ) f ( y )e iy dy
r 0
可见，在交变场下，电介质极化率和介电常数是角频率的复数函数。 注意到 e iy cos(y) i sin( y) r ( ) r' ( ) i r" ( ) 于是： r () r' () ir" () r' ( ) ( 1) ( s ) f ( y ) cos(y )dy 其中 0
Hale Waihona Puke g ( )e it d
在时域响应中： pr (t ) 0 ( s ) 0 f ( y) E (t y)dy
对上式极化时域响应的卷积进行付立叶变换：
F [ f ( y )] f ( )
0 0
F [ E ( x)] E ( )
0
F [ f ( y ) E (t y )dy] e it { f ( y ) E (t y )dy}dt f ( y ){ e it E (t y )dt}dy f ( y )e iy { e i (t y ) E (t y )dt}dy
实际介质的位移电流密度为： j 对比上面两个位移电流密度公式
dD E i 0 r E dt
则复介电常数刻表示为： r r
i
0
r' i r"
' 实部 r r ( ) 称电容项 " 虚部 r 0 称损耗项 ' 它们都依赖与频率，只有当 0 ， r 才是静态介电常数。 全电流密度与位移电流密度之间形成 δ 角，称为介质损耗角。
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x2 x1
u 3 x 2
晶体的弹性
u1 u3 e13 x3 x1
x3
u1 x3
x1
u 3 x1
x2
晶体的弹性
u1 u2 e12 x2 x1
u 2 x1
x3
u1 x 2
x2 x1
晶体的弹性
任何一个二阶张量均可解为一个对称和一个
反对称的张量之和
X x
思考？ 二次压电效应
E
恒定电场（短路条件）下的弹性常数：s ijkl 称短路弹性常数
D
E表恒电场
恒定电位移（开路条件）下的弹性常数 ：s ijkl 称开路弹性常数 D表恒电位移
s s ？
D E
x1 s11 s12 x2 s21 x s 3 31 x4 s41 x s 5 51 x s 6 61 s62
λ、μ=1，2，3，4，5，6
s13 s14 s15 s16 1 s26 2 s36 3 s46 4 s56 5 s66 6
λ和μ为4，5或6
2sijkl s
s 41 2s 2341
s 41 2s3211 s41 s2311 s3211
λ和μ均为4，5或6
4sijkl s
s44 4s2323 4s2332 4s3223 4s3232
晶体的弹性
s 阵有不同的独立元个数，对各向同性的材料， 对于不同晶系，
晶体的弹性
• 应力张量的两个脚标常被缩减为一个脚标，且可用行 矩阵和列矩阵来表示
法向应力：
x11 x1
x22 x2
x33 x3
切向应力：
x23 x32 x4
x31 x13 x5
x12 x21 x6
晶体的弹性
x11 x13 x 13 x12 x 22 x 23 x13 x1 x 23 x6 x x33 5 x6 x2 x4 x5 x 4 x1 x3
在晶体上加上外电场，改变共极化状态，晶体的形状也将发生变化，
这是逆压电效应。
压电体
压电效应取决于晶体结构的对称性，在晶体32种点群中，具有对称中 心的11个点群不会有压电效应，在21个不具对称中心的点群中，除立 方系432点群因对称性很高，压电效应退化，只有20个点群可能产生压
电效应
压电体
张量变换：
纯剪切模式
2 2 2 2 0
2 2 2 2 0
2 0 x 0 0 2 2 0 0 x 0 0 0 0 2 1 0
2 2 2 2 0
0 0 x 0 0 x 0 0 1 0 0 0
晶体的压电性质
晶体的弹性与压电体
晶体的弹性
应力张量
x11 xij x12 x 13
保证力矩为零
x12 x22 x23
x13 x23 x33
二阶应力张量是对称张量
晶体的弹性
应力张量可以通过坐标变换，把坐标轴变换到应力张 量的主轴方向，使得受力的单位立方体上所有切向应力为 零，只有法向应力
x4 2s11 s12 4
x5 2s11 s12 5 x6 24 4 G
1 x5 5 G
1 x6 6 G
压电体
对于不存在对称中心的极性晶体，加在晶体上的外力除了使晶体发
生形变外，还将改变晶体的极化状态，在晶体内建立电场，这种由 于机械力的作用而使介质发生极化的现象称正压电效应；
eij xij yij
对称张量
1 xij (eij e ji ) x ji 2
反对称张量
1 yij (eij e ji ) y ji 2
晶体的弹性
由于应变是一个对称张量，可以适当选择坐标系使
其与应变主轴方向一致，使其对角化
' x11 0 0
其只有12个非零分量，且只有2个独立分量：
s11 s12 s 12 0 0 0
s12 s11 s12 0 0 0
s12 s12 s11 0 0 0
0 0 0 s 44 0 0
0 0 0 0 s11 0
0 0 s 44 0 0 0
x2
x3
x4
x5
x6
应力张量的常用表达形式
晶体的弹性
应变张量
应变是描述物体在应力作用下变形情况的物理量，以单位长度 所产生的线度变化来衡量，应变是无量纲的，由于弹性位移的方向 与受力面的法向不一定相同，应变也是一个二阶张量，共有9个分量
e11 e12 e13 ui eij e12 e22 e23 x j e e e 13 23 33
s44 s55 s66 2(s11 s12 )
s12 s13 s 23
晶体的弹性
一些定义
E 1 s11
1 2( s11 s12 )
杨氏模量
G
切变模量
s12 s11
泊松参数
晶体的弹性
各向同性物体应变——应力关系：
x1 s111 s12 2 s12 3
晶体的弹性
x11 x13 x 13 x12 x 22 x 23 x13 x 23 x33
x1 1 x6 2 1 x5 2 1 x6 2 x2 1 x4 2 1 x5 2 1 x4 2 x3
切向应变引入系数1/2是为了使虎克定律具有较简单的形式
压电效应是由于应力X和应变x等机械量与电场强度E和电位移D等电气 量之间的耦合效应造成的，这种机电耦合效应带有明显的方向性；
在考虑压电晶体的介电常数时，还须注意晶体所处的机械边界条件： 恒应力下的介电常数为自由介电常数： 恒应力下的介电常数为自由介电常数：
X
x
X表恒应力； x表恒应变 ；
0 0 0
晶体的弹性
平轴应力
x11 0 0 0 0 0 0 0 0
对于x11 x22 的双轴应力，把坐标绕x3轴旋转450， 可使应力状态相当于一个单纯剪切状态
晶体的弹性
坐标变换矩阵
aij 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1
x'11 0 0 x'22 0 0
0 0 x'33
三轴法向应力习惯上把张应力取正，压应力取负
晶体的弹性
例如物体静水压力
0 p 0 0 p 0 0 0 p
双轴应力
x11 0 0
0 x 22 0
x2 s12 1 s11 2 s12 3
1 x1 1 ( 2 3 ) E
x2
1 2 ( 3 1 ) E
x3 s12 1 s12 2 s11 3
1 x3 3 (1 2 ) E
晶体的弹性
晶体的弹性
u1 e11 x1
x3
u1 dx1 x1
x2 x1
晶体的弹性
u 2 e22 x 2
x3
x2 x1
u 2 dx2 x 2
晶体的弹性
u 3 e33 x3
x3
u3 dx3 x3
x2 x1
u2 u3 e23 x3 x2
u 2 x3
x3
s63 s64
s65
晶体的弹性
广义虎克定律另一种形式：
ij cijkl xkl
cijkl 称弹性劲度常数
c x
（λ、μ=1，2，3，4，5，6）
晶体的弹性
λ和μ均为1，2或3
s ijkl s
s11 s1111
s22 s2222
s33 s3333
晶体的弹性
晶体弹性及胡克定理
由虎克定律，对于足够小的形变，应力与应变成正比，对于各 向异性的晶体，应力和应变都是二阶对称张量，把这两个二阶张量 联系在一起的物理量是一个四阶张量：
xij sijkl X kl
sijkl 称弹性柔顺常数
晶体的弹性
根据脚标缩减，可得广义胡克定理：
x s
x11 x13 x 13
x12 x 22 x 23
x13 x 23 x33
0 ' x 22 0
0 0 ' x33
缩减脚标：
x22 x2 x33 x3 x11 x1 x23 x23 x4 ; x31 x13 x5 ; x21 x12 x6