【西安交通大学】【电介质物理】【姚熹、张良莹】【课后习题答案】【第一章】

第一章 静电场中的电介质

1-1 半径为a 的 球带电量为q ，电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和

电场分布。

解： 由题意可知，可设kr =ρ

再由于 ⎰=q dv ρ，代入可以求出常数k 即 ⎰=424ka krdr r ππ 所以 4a q k π= r a q 4

πρ= 当 a r >.时 由高斯定理可知 0

24επq

r E =

⋅ ； 2

04r

q E πε=

⎰∞

=

⋅=r

r

q dr E U 04πε

当 a r <<0时 由高斯定理可知 4

042

0400

2

41

1

4a

qr dr r r a q dv r E r

r

εππερεπ=⋅==

⋅⎰⎰

4

02

4a qr E πε= dr r qr dr a qr dr E U a r a

r

⎰⎰⎰

∞∞

+=⋅=20

2

40244πεπε

a

q r a a q 0334

04)(12πεπε+

-=

)4(12334

0r a a q -=

πε

1-2 电量为q 的8个点电荷分别位于边长为a 的立方体的各顶角。求其对以下

各点的电距：（1）立方体中心；（2）某一面的中心；（3）某一顶角；

（4）某一棱的中点。若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题

解 ：由电矩的定义 ∑∑==i

i i i

i i r q r q μ

（一）八个电荷均为正电荷的情形

（1）立方体的在中心： 八个顶点相对于立方体中心的矢量和为∑==8

1

0i i r ，故0==∑i

i i r q μ

（2）某一面心： 该面的四个顶点到此面心的矢量和

∑==41

0i i r ，对面的四个顶点到此点的矢量和∑==8

5

4i i a r

故qa 4=μ；

（3）某一顶角 ：其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：

∑==7

5

34i i

a r

故qa 34=μ；

（4）某一棱的中心 ；八个顶点到此点的矢量和为∑==7

5

24i i a r

故qa 24=μ；

（二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似； 1-3 设正、负电荷q 分别位于（0，0，l /2）、（0，0，－l /2），如图所示。求

场点P 处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，l 23），（0，0，l 2

5

）

处电势的近似值，并与实际值比较 解：P 点的电势可以表示为： ϕ =-++ϕϕ=

)1

1(

40

-

+-r r q πε

其中2cos θl r r -=+, 2

cos θ

l r r +=- 2

04cos r

ql πεθϕ=

取场点分别为P 1 (0,0,l 23) P 2(0,0,l 2

5

)

则对于P 1点来说 l r =+, l r 2=- 1ϕ =

l q

l l q

008)211(4πεπε=- 对于 P 2来说 l r l r 3,2==-+ 2ϕ =

)3121(

40

l l q -πε =l

q

024πε 多极展开项去前两项

ϕ=)]2cos 32cos 5(cos 2cos 2[34

32θθθθ-'+'r

r q r r q 其中 θθcos ,0==1 ， 2

l r =

' 把P 1 (r=

23l )点和P 2 (r=25l

)点代入上式可得 )81494(

4101l

q

l q +=

πεϕ =l q πε8110

)6254254(

410

2l

q

l q +=

πεϕ =l q πε62526

比较可得 P 1点 ， 实际值

l

q

l

q 0081108πεπε>

近似值 P 2点 ， 实际值 l

q

l

q 006252624πεπε>

近似值

1-4

分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶

极子强度，电四极子强度，电八极子强度。 解 ： 参考课本P 21 图1-10

偶极子强度 ql ; 四极子强度21l ql ; 八极子强度321l l ql

1-5 试证明位于（0，0，l ）的点偶极子（方向沿Z 轴）μ在场点的r 的展开式

为 ),(θϕr =

)(cos 411

θπεμ

Pn r l n n n n +-∞

='

∑

解 ： 点电荷的多极展开式为

)(r 'ϕ =[ )21

cos 2

3(cos 2322-''+''+'r z q r z q r q θ+......]

对于正电荷+q 来说 z '=l 3/2

+ϕ =[ )21cos 23()2/3(cos )2/3(2

3

22-'+'+

'r l q r l q r q θ+......] 对于负电荷-q 来说 z '=l /2

-ϕ =[ )21cos 23()2/(cos )2/(2

3

22-'-'-

'-r l q r l q r q θ+......] -++=ϕϕϕ

= )21

cos 2

3(2cos [42320-'+'r l r l q

θπε+......]

=

)21

cos 2

3(2cos 1[4230-'+'r l r θπεμ+......] = )21

cos 23(2)(cos 0[422121************-'+'+'+-+-+-P r l P r l P r l θπεμ+...]

=

)(cos 411

θπεμ

Pn r l n n n n +-∞

='

∑

证毕

1-6 （1）试证明电偶极子μ（＝ql ）在电场E 中的转矩M 势能W 分别为：