【中考冲刺】人教版2016年初中数学中考复习课件 第22章 与圆有关的位置关系(共27张PPT)
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【例2】（2013•广东）如图-3，⊙O是Rt△ABC的 外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5， BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长； （3）求证：BE是⊙O的切线.
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（1）∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD. ∵∠BCA=∠BDA， ∴∠BCA=∠BAD. （2）∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5， ∴ ∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°， ∴△BED∽△CBA. ∴BD/AC=DE/AB，即12/13=DE/12. ∴DE=144/13.
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中考冲刺
一、选择题
4.如图-6，已知两个同心圆，大圆的半径为5，小 圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则 弦AB的取值范围是（ A ） A.8≤AB≤10 B.8＜AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4＜AB≤5 5.如图-7，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ B ） A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
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热点剖析
【例1】（2010•广东）如图-1，PA与⊙O相切于点 A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已 知OA=2，OP=4. （1）求∠POA的度数； （2）计算弦AB的长.
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（1）∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AP. ∵OA=2，OP=4， ∴cos∠POA=OA/OP=1/2. ∴∠POA=60°. （2）∵直角三角形AOC中，∠AOC=60°，OA=2， ∴AC=OA·sin60°=2×√3/2=3. ∵AB⊥OP， ∴AB=2AC=2√3.
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（3）如图-1，连接OB，OD. ∵AB=DB，BO=BO，OA=OD， ∴△ABO≌△DBO（SSS）. ∴∠ABO=∠DBO. ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC. ∴∠DBO=∠BDC. ∴OB∥ED. ∵BE⊥ED， ∴BE⊥OB. ∴BE是⊙O的切线.
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2.（2014•梅州）如图-4，在△ABO中，OA=OB，C 是边AB的中点，以O为心的圆过点C. （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，AB=43，求⊙O的面积.
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12.如图-12，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使 BD=OB，DC切⊙O于点C，B是弧CF的中点，弦CF交 AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF= 2√3 . 13.如图-13，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A ，D两点的⊙O与BC边相切于点E，那么⊙O的半径 6.25 为 .
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15.如图-15，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相 切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作 OC∥BE，交切线DE于点C，连接AC. （1）求证：AC与⊙O相切； （2）若BD=OB=4，求弦AE的长.
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15.（1）如图-5，连接OE. ∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD. ∴∠CEO=90°. ∵BE∥OC， ∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB. ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB. ∴∠AOC=∠COE. 又OA=OE，OC=OC， ∴△AOC≌△EOC（SAS）. ∴∠CAO=∠CEO=90°. ∴AC与⊙O相切.
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1.（2015•贵州）如图-2，在Rt△ACB中， ∠ACB=90°，O是AC边上的一点，以点O为圆心， OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD. （1）求证：△ADO∽△ACB； （2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD•BC.
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1.（1）∵AB是⊙O的切线， ∴OD⊥AB. ∴∠ADO=∠ACB=90°. ∵∠A=∠A， ∴△ADO∽△ACB. （2）由（1）知△ADO∽△ACB. ∴AD/AC=OD/BC. ∴AD·BC=AC·OD. ∵OD=1， ∴AC=AD·BC.
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3.（2013•珠海）如图-5，⊙O经过菱形ABCD的三 个顶点A，C，D，且与AB相切于点A. （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数.
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（1）如图-3，连接OA，OB，OC，BD. ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC. 又OA=OC，OB=OB， ∴△ABO≌△CBO（SSS）. ∴∠BCO=∠BAO=90°. ∴OC⊥BC. ∴BC为⊙O的切线.
第22章
与圆有关的位置关系
考题分析 巩固双基 热点剖析 中考冲刺
考题分析
广东试题研究：点与圆的位置关系极少考查 ，本部分内容主要考查直线与圆的位置关系，切 线的性质与判定成了必考内容，并且经常渗透到 圆的综合题中考查，近几年试题极有特点，难度 大.
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巩固双基
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角. 5.与圆的切线有关的辅助线添加口诀：知切点， 连半径，得垂直；有切点，连半径，证垂直；无 切点，作垂直，求半径.
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（2）∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO=∠CBO. ∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC. ∴点O在BD上.∴∠BOC=∠ODC+∠OCD. 而OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD.∴∠BOC=2∠ODC. 而CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC. ∴∠BOC=2∠OBC. ∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°. ∴∠ABC=2∠OBC=60°.
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三、解答题 14.如图-14，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， 且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长 线相交于点E，与AB的延长线相交于点F. （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=42，求EF的长.
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（1）如图-4，连接OD. ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD=∠EAD. ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠OAD. ∴∠ODA=∠EAD. ∴OD∥AE. ∵AE⊥EF， ∴∠ODF=∠AEF=90°. ∴EF与⊙O相切.
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二、填空题
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在 以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB=4 3或√73 ，则PA的长为 . 9.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半 30° . 径也为4cm，则∠A的度数是
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10.如图-10，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶 点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A ，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点 在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 . 11.如图-11，PA切⊙O于点A，B是OP与⊙O的交点. 7/6π . 若∠P=20°，OA=3，则弧AB的长为
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（1）如图-2，连接OC. ∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点， ∴OC⊥AB. ∵以O为圆心的圆过点C， ∴AB与⊙O相切. （2）∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°. ∵AB=4√3，C是边AB的中点， ∴AC=1/2AB=2√3. ∴OC=AC·tanA=2√3×√3/3=2. ∴⊙O的面积为π ×22=4π .
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6.如图-8，点P在⊙O外，PA，PB分别与⊙O相切于 A，B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ B ） A.150° B.130° C.155° D.135°
7.如图-9，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的 ⊙O的切线于点C，如果∠ABO=25°，那么∠C的度 数是（ B ） A.65° B.40° C.45° D.25°
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（2）在Rt△DEO中，BD=OB， ∴BE=1/2OD=OB=4. ∵OB=OE， ∴△BOE为等边三角形. ∴∠ABE=60°. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°. ∴AE=BE·tan60°=4√3.
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【例2】（2013•广东）如图-3，⊙O是Rt△ABC的 外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5， BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长； （3）求证：BE是⊙O的切线.
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（1）∵BD=BA， ∴∠BDA=∠BAD. ∵∠BCA=∠BDA， ∴∠BCA=∠BAD. （2）∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5， ∴ ∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°， ∴△BED∽△CBA. ∴BD/AC=DE/AB，即12/13=DE/12. ∴DE=144/13.
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中考冲刺
一、选择题
4.如图-6，已知两个同心圆，大圆的半径为5，小 圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则 弦AB的取值范围是（ A ） A.8≤AB≤10 B.8＜AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4＜AB≤5 5.如图-7，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ B ） A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
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热点剖析
【例1】（2010•广东）如图-1，PA与⊙O相切于点 A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已 知OA=2，OP=4. （1）求∠POA的度数； （2）计算弦AB的长.
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（1）∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AP. ∵OA=2，OP=4， ∴cos∠POA=OA/OP=1/2. ∴∠POA=60°. （2）∵直角三角形AOC中，∠AOC=60°，OA=2， ∴AC=OA·sin60°=2×√3/2=3. ∵AB⊥OP， ∴AB=2AC=2√3.
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（3）如图-1，连接OB，OD. ∵AB=DB，BO=BO，OA=OD， ∴△ABO≌△DBO（SSS）. ∴∠ABO=∠DBO. ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC. ∴∠DBO=∠BDC. ∴OB∥ED. ∵BE⊥ED， ∴BE⊥OB. ∴BE是⊙O的切线.
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2.（2014•梅州）如图-4，在△ABO中，OA=OB，C 是边AB的中点，以O为心的圆过点C. （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，AB=43，求⊙O的面积.
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12.如图-12，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使 BD=OB，DC切⊙O于点C，B是弧CF的中点，弦CF交 AB于点E.若⊙O的半径为2，则CF= 2√3 . 13.如图-13，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A ，D两点的⊙O与BC边相切于点E，那么⊙O的半径 6.25 为 .
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15.如图-15，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相 切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作 OC∥BE，交切线DE于点C，连接AC. （1）求证：AC与⊙O相切； （2）若BD=OB=4，求弦AE的长.
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15.（1）如图-5，连接OE. ∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD. ∴∠CEO=90°. ∵BE∥OC， ∴∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB. ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB. ∴∠AOC=∠COE. 又OA=OE，OC=OC， ∴△AOC≌△EOC（SAS）. ∴∠CAO=∠CEO=90°. ∴AC与⊙O相切.
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1.（2015•贵州）如图-2，在Rt△ACB中， ∠ACB=90°，O是AC边上的一点，以点O为圆心， OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD. （1）求证：△ADO∽△ACB； （2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD•BC.
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1.（1）∵AB是⊙O的切线， ∴OD⊥AB. ∴∠ADO=∠ACB=90°. ∵∠A=∠A， ∴△ADO∽△ACB. （2）由（1）知△ADO∽△ACB. ∴AD/AC=OD/BC. ∴AD·BC=AC·OD. ∵OD=1， ∴AC=AD·BC.
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3.（2013•珠海）如图-5，⊙O经过菱形ABCD的三 个顶点A，C，D，且与AB相切于点A. （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数.
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（1）如图-3，连接OA，OB，OC，BD. ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°. ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC. 又OA=OC，OB=OB， ∴△ABO≌△CBO（SSS）. ∴∠BCO=∠BAO=90°. ∴OC⊥BC. ∴BC为⊙O的切线.
第22章
与圆有关的位置关系
考题分析 巩固双基 热点剖析 中考冲刺
考题分析
广东试题研究：点与圆的位置关系极少考查 ，本部分内容主要考查直线与圆的位置关系，切 线的性质与判定成了必考内容，并且经常渗透到 圆的综合题中考查，近几年试题极有特点，难度 大.
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巩固双基
1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线. 3.圆的切线垂直于过切点的半径. 4.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角. 5.与圆的切线有关的辅助线添加口诀：知切点， 连半径，得垂直；有切点，连半径，证垂直；无 切点，作垂直，求半径.
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（2）∵△ABO≌△CBO，∴∠ABO=∠CBO. ∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC. ∴点O在BD上.∴∠BOC=∠ODC+∠OCD. 而OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD.∴∠BOC=2∠ODC. 而CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC. ∴∠BOC=2∠OBC. ∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°. ∴∠ABC=2∠OBC=60°.
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三、解答题 14.如图-14，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， 且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长 线相交于点E，与AB的延长线相交于点F. （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=42，求EF的长.
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（1）如图-4，连接OD. ∵AD平分∠CAB， ∴∠OAD=∠EAD. ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠OAD. ∴∠ODA=∠EAD. ∴OD∥AE. ∵AE⊥EF， ∴∠ODF=∠AEF=90°. ∴EF与⊙O相切.
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二、填空题
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在 以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB=4 3或√73 ，则PA的长为 . 9.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半 30° . 径也为4cm，则∠A的度数是
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10.如图-10，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶 点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A ，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点 在圆外，则r的取值范围是 3＜r＜5 . 11.如图-11，PA切⊙O于点A，B是OP与⊙O的交点. 7/6π . 若∠P=20°，OA=3，则弧AB的长为
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（1）如图-2，连接OC. ∵在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点， ∴OC⊥AB. ∵以O为圆心的圆过点C， ∴AB与⊙O相切. （2）∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°. ∵AB=4√3，C是边AB的中点， ∴AC=1/2AB=2√3. ∴OC=AC·tanA=2√3×√3/3=2. ∴⊙O的面积为π ×22=4π .
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6.如图-8，点P在⊙O外，PA，PB分别与⊙O相切于 A，B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ B ） A.150° B.130° C.155° D.135°
7.如图-9，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的 ⊙O的切线于点C，如果∠ABO=25°，那么∠C的度 数是（ B ） A.65° B.40° C.45° D.25°
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（2）在Rt△DEO中，BD=OB， ∴BE=1/2OD=OB=4. ∵OB=OE， ∴△BOE为等边三角形. ∴∠ABE=60°. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°. ∴AE=BE·tan60°=4√3.
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2024年中考数学一轮复习第22讲+与圆有关的位置关系课件+
∴ = = 丈，
∴ = + = + 丈，
∴ = − = − + = − 丈.
11.（2023商丘柘城一模）如图，正方形 ABCD 中， AC ， BD 交于
点 O ，点 P 为 AB 上一个动点，直线 PO 交 CD 于点 Q ，过点 B 作
C. △ ACD 是等边三角形
D. AC = AD
8.如图，点 A ， B ， C 均在 6 × 6 的正方形网格格点上，过 A ， B ， C 三点的外接
5
圆除经过 A ， B ， C 三点外还能经过的格点数为___.
9.如图，已知等腰直角三角形 ABO 放置在平面直角坐标系中，
OA = OB = 4 ，以点 B 为圆心，2为半径作圆， C 为圆上的任意一
这点到圆的切线长
切线长定理（选 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和
学内容）
这一点的连线平分两条切线的夹角
提分要点：切线的判定方法
（1）“连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半
径，再证所连半径与这条直线垂直；
（2）“作垂直，证等径”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆
为( A )
A.4
B.5
C.6
D.7
7.（2023南阳西峡一模）如图，点 A 是 ⊙ O 外的任意一点，点 B 是线段 AO 的中点，
以 B 为圆心，以 AB 长为半径的圆交 ⊙ O 于点 C ， D .则下列命题不一定是真命题
的是( C )
A. AC ， AD 是 ⊙ O 的切线
B. AO 是线段 CD 的垂直平分线
BM ⊥ PQ ，垂足为点 M ，连接 AM ，若 AB = 4 ，则 AM 的最小值
精品课件：人教版数学中考复习第22讲《圆》
C O A B D
考点二：垂径定理及其推论
3.垂径定理的应用： 用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段（弦心距）， 则垂足的线段（弦心距），则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半 径构成的直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a,半径r、弦心距d 及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”。
C半径：rA源自O弦心距： d E
B
d+h=r a 2 2 2 r d ( ) 2
弓形高：h
D
弦长：a
在a，d，r，h中 ，已知其中任意 两个量，可以求 出其它两个量．
考点三：弦、弧、圆心角之间的关系
1、定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心 距相等。 ∵ ∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
1、定义：
（1）圆心角：顶点在
（2）圆周角：顶点在 圆心 且两边都和圆相交的角叫做圆心角；
圆上 上且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、性质：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
3、圆周角定理：
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB＝2∠ACB 4、推论： 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C＝∠D
B O
B O
C
A
D
C
A
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
推论2： 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是 直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 ∵AB是直径（或∠C＝90°） ∴∠C＝90°（∴AB是直径） 推论3： 三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 ∵OC＝OA＝OB ∴△ABC是直角三角形或∠C＝90°
考点二：垂径定理及其推论
3.垂径定理的应用： 用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段（弦心距）， 则垂足的线段（弦心距），则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半 径构成的直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a,半径r、弦心距d 及弓形高h四者之间就可以做到“知二求二”。
C半径：rA源自O弦心距： d E
B
d+h=r a 2 2 2 r d ( ) 2
弓形高：h
D
弦长：a
在a，d，r，h中 ，已知其中任意 两个量，可以求 出其它两个量．
考点三：弦、弧、圆心角之间的关系
1、定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心 距相等。 ∵ ∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
1、定义：
（1）圆心角：顶点在
（2）圆周角：顶点在 圆心 且两边都和圆相交的角叫做圆心角；
圆上 上且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、性质：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
3、圆周角定理：
同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB＝2∠ACB 4、推论： 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C＝∠D
B O
B O
C
A
D
C
A
考点四：与圆相关的角和圆周角定理
推论2： 半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是 直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 ∵AB是直径（或∠C＝90°） ∴∠C＝90°（∴AB是直径） 推论3： 三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 ∵OC＝OA＝OB ∴△ABC是直角三角形或∠C＝90°
人教版九年级下期数学中考复习：与圆有关的位置关系 课件(共13张PPT)
中考复习 与圆有关的位置关系
复习目标
1. 回顾与圆有关的几种位置关系（点与圆， 直线与圆），巩固对几种位置关系特点的理 解，加强对各种位置关系的认识.
2. 巩固对切线的判定与性质的理解和应用， 并了解切线长定理.在解决问题的过程中体会 对比，分类思想.
知识网络
根据知识网络的提示，复习课本中 相关知识点。（课上提问）
D．2.5r
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆
若以C为圆心，以5为半径作圆，则该圆与AB的位置关系是（ ）。
如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是弧BF的中点．
(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm
(2)若D为AP的中点，求证：直线CD
N证：直线CD
于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，
并且OA=OB，CA=CB，那么直线AB
A．r B．1.5r C．2r 巩固对切线的判定与性质的理解和应用，并了解切线长定理.
巩固对切线的判定与性质的理解和应用，并了解切线长定理.
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
见切线，练切点，出垂直
例1、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、
14，B≈C1.分别相切于点D、E，过劣弧 (不包括端点D、E)上
任一点P作⊙O的切线MN，与AB、BC分别交于点M、 回顾与圆有关的几种位置关系（点与圆，直线与圆），巩固对几种位置关系特点的理解，加强对各种位置关系的认识.
检测4.如图⊿ABC中∠A＝90°，以AB为 直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点， 求证：DE是⊙O的切线。
复习目标
1. 回顾与圆有关的几种位置关系（点与圆， 直线与圆），巩固对几种位置关系特点的理 解，加强对各种位置关系的认识.
2. 巩固对切线的判定与性质的理解和应用， 并了解切线长定理.在解决问题的过程中体会 对比，分类思想.
知识网络
根据知识网络的提示，复习课本中 相关知识点。（课上提问）
D．2.5r
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆
若以C为圆心，以5为半径作圆，则该圆与AB的位置关系是（ ）。
如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是弧BF的中点．
(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm
(2)若D为AP的中点，求证：直线CD
N证：直线CD
于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，
并且OA=OB，CA=CB，那么直线AB
A．r B．1.5r C．2r 巩固对切线的判定与性质的理解和应用，并了解切线长定理.
巩固对切线的判定与性质的理解和应用，并了解切线长定理.
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
见切线，练切点，出垂直
例1、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、
14，B≈C1.分别相切于点D、E，过劣弧 (不包括端点D、E)上
任一点P作⊙O的切线MN，与AB、BC分别交于点M、 回顾与圆有关的几种位置关系（点与圆，直线与圆），巩固对几种位置关系特点的理解，加强对各种位置关系的认识.
检测4.如图⊿ABC中∠A＝90°，以AB为 直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点， 求证：DE是⊙O的切线。
【人教版】精选九年级数学下册：全册中考知识点梳理-第22讲 与圆有关的位置关系
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
第22讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
第22讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
人教版九年级中考复习数学课件：第22讲 与圆有关的位置关系(共19张PPT)
4.三角形的外接圆和内切圆 (1)外接圆:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的 外心,它到三角 圆心是三角形三条边的 垂直平分线 的交点,叫做三角形的 顶点 形三个 的距离相等. (2)内切圆:和三角形各边都相切的圆,叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角 角平分 内 边的距 形三条 线的交点,叫做三角形的 心,它到三角形三条
2
1.(2018哈尔滨)如图,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B, ∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( (A)3 (B)3
3
A)
(C)6
(9
解析:连接 OA, ∵PA 为☉O 的切线,∴∠OAP=90°, ∵∠P=30°,OA=OB=3, ∴OP=6,BP=OP-OB=6-3=3.故选 A.
证等半径.
三角形的内切圆 【例3】 如图,O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于E,F,则( ) C
(A)EF>AE+BF
(C)EF=AE+BF
(B)EF<AE+BF
(D)EF≤AE+BF
思路点拨:连接OA,OB,根据内心是角平分线的交点和平行线的性质解答.
解析:连接OA,OB,∵O是△ABC的内心,∴OA,OB分别是∠CAB与∠ABC的平分线. ∴∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO,∵EF∥AB,
判断直线与圆的位置关系: (1)作出圆心到直线的垂线段,求出圆心到直线的距离d; (2)求出圆的半径r;
(3)由距离d和半径r的大小关系得出结论.
切线的判定和性质
【例2】 (2018丽水)如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆, 分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B. (1)求证:AD是☉O的切线.
中考数学冲刺总复习 第一轮 横向基础复习 第六单元 圆 第22课 圆的基本性质课件
圆心角、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧、弦之 弧或两条弦中一组量相等，那么它们所对
间关系 应其余各组量也分别相等.
第六页，共四十一页。
圆周角 定理及 其推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 定理
心角的直角. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 推论2
90°的圆周角所对的弦是直径.
点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为
．5
第三十五页，共四十一页。
11.（2017·枣阳期末）如图，已知⊙O中，AB为直径(zhíjìng)，
AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求线段 BC，AD，BD的长．
第三十六页，共四十一页。
解：∵AB是⊙O的直径(zhíjìng)，
推论3 圆内接四边形的对角互补.
第七页，共四十一页。
课前小测
1.（圆心角、弧、弦的关系(guān xì)）如图，在⊙O中，已知
AB CD，则AC与BD的关系是（
）A
A. AC=BD
B. AC＜BD
AC＞BD
D. 不能确定
第八页，共四十一页。
2.（圆周角定理(dìnglǐ)）如图，点A，B，C在⊙O上,∠ACB=35°,
AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC.
（1）求证：AB=AC；
证明(zhèngmíng)：∵ED=EC， ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B， ∴∠B=∠C，
∴ AB=AC.
第十八页，共四十一页。
（2）若AB=4，BC= 2 3，求CD的长．
解：如图，连接(liánjiē)AE，
∵AB为直径，∴ AE⊥BC，由（1）知AB=AC，
初中数学中考知识点考点学习课件PPT之 与圆有关的位置关系知识点学习PPT
又 ， ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
图（2）
方法二:如图（3），连接 , .
图（3）
是 的直径， .在 中，∵点 是 的中点，
， . ， . ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
（3） 如图（3）， 的外接圆为 ，过点 作 的切线，过点 作该切线的垂线，交 于另一点 ，垂足为 ，连接 .
一图串考法
考法 切线的性质（8年5考）
1.[2022河南,20] 为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环 与水平地面相切于点 ,推杆 与铅垂线 的夹角为 ,点 , , , , 在同一平面内.当推杆 与铁环 相切于点 时,手上的力量通过切点 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
,点 在射线 上 切半圆 于点
证明:连接 . , .又 , , , . 切半圆 于点 , .又 且 , 平分 , , .
4.[2017河南,18] 如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 .
图（4）
命题角度 与切线有关的证明与计算
例1 在 中， .
（1） 如图（1）， 的平分线交 于点 ,以点 为圆心， 的长为半径画圆．
图（1）
① 求证： 是 的切线；
证明：如图（1），过点 作 于点 .
图（1）
， .又 平分 ， , 是 的切线.
特立探究设正 边形的边长为 ，外接圆半径为R.则：正六边形： ；正方形： ；正三角形： .
一题串考点
已知在 中，点 为 的中点.
（1） 如图（1），连接 ，若 ， ，以点 为圆心， 为半径画圆.
图（2）
方法二:如图（3），连接 , .
图（3）
是 的直径， .在 中，∵点 是 的中点，
， . ， . ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
（3） 如图（3）， 的外接圆为 ，过点 作 的切线，过点 作该切线的垂线，交 于另一点 ，垂足为 ，连接 .
一图串考法
考法 切线的性质（8年5考）
1.[2022河南,20] 为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环 与水平地面相切于点 ,推杆 与铅垂线 的夹角为 ,点 , , , , 在同一平面内.当推杆 与铁环 相切于点 时,手上的力量通过切点 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
,点 在射线 上 切半圆 于点
证明:连接 . , .又 , , , . 切半圆 于点 , .又 且 , 平分 , , .
4.[2017河南,18] 如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 .
图（4）
命题角度 与切线有关的证明与计算
例1 在 中， .
（1） 如图（1）， 的平分线交 于点 ,以点 为圆心， 的长为半径画圆．
图（1）
① 求证： 是 的切线；
证明：如图（1），过点 作 于点 .
图（1）
， .又 平分 ， , 是 的切线.
特立探究设正 边形的边长为 ，外接圆半径为R.则：正六边形： ；正方形： ；正三角形： .
一题串考点
已知在 中，点 为 的中点.
（1） 如图（1），连接 ，若 ， ，以点 为圆心， 为半径画圆.
2025年九年级中考数学一轮复习课件 考点22 与圆有关的位置关系
点P3在圆内⇔d3③__＜____r
2.直线与圆的位置关系
位置关系
相交
考点梳理 相切
示意图
交点个数 d与r的关系
2 d④ ＜ r
1 d⑤ ＝ r
相离
0 d⑥ ＞ r
考点梳理 温馨提示 判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)根据定义看直线和圆的交点个数． (2)根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．
方法讲练 7．(2020·河南第20题)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利 用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家 证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具－ －三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线 上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
方法讲练
∴OF⊥EF. 又∵OB⊥EB，OF＝OB， ∴EO平分∠BEF. ∴∠3＝∠2. ∴∠1＝∠2＝∠3.
方法讲练
综合创新
数学文化 (2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理 论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题 多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形 式．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.则可以用含c，a，b 的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( D )
定理
如图，PA，PB分别与⊙ 2
∠APB
考点梳理 考点3 三角形的外接圆和内切圆
外接圆
内切圆
图示
定义 经过三角形的⑮__三____个顶点的圆 与三角形三条边都⑯__相__切__ 的圆
2.直线与圆的位置关系
位置关系
相交
考点梳理 相切
示意图
交点个数 d与r的关系
2 d④ ＜ r
1 d⑤ ＝ r
相离
0 d⑥ ＞ r
考点梳理 温馨提示 判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)根据定义看直线和圆的交点个数． (2)根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．
方法讲练 7．(2020·河南第20题)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利 用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家 证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具－ －三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线 上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．
方法讲练
∴OF⊥EF. 又∵OB⊥EB，OF＝OB， ∴EO平分∠BEF. ∴∠3＝∠2. ∴∠1＝∠2＝∠3.
方法讲练
综合创新
数学文化 (2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理 论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题 多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形 式．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.则可以用含c，a，b 的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( D )
定理
如图，PA，PB分别与⊙ 2
∠APB
考点梳理 考点3 三角形的外接圆和内切圆
外接圆
内切圆
图示
定义 经过三角形的⑮__三____个顶点的圆 与三角形三条边都⑯__相__切__ 的圆
中考数学复习第6章圆第22讲与圆有关的位置关系课件07
【例2】[2017·聊城中考]如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边 上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线， 与AB的延长线相交于点P. (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)求证：△PBD∽△DCA； (3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
【思路分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直 角，再由AD为角平分线，得到一对角相等．根据同弧所对的 圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与 平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即 可得证；(2)由PD与BC平行，得到一对同位角相等．再由同弧 所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ADC，根据同角的 补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即 可得证；(3)由△ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的 长，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，根据(2)的相似，得比 例，求出所求即可．
类型3 三角形的内切圆 【例3】[2017·武汉中考]已知一个三角形的三边长分别为5,7,8. 则其内切圆的半径为(C )
技法点拨►解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角 形，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型．
变式运用►3.[2016·德阳中考]如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝ ，点D是BC边上的一点，AD＝BD＝2DC，设△ABD与△ACD的内切 圆半径分别为r1，r2，那么 ＝( C)
S△ABC＝⑫ r(a＋b＋c) ； 规律清单 (3)在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝
c，则内切圆半径r＝⑬
典型例题运用 类型1 直线与圆的位置关系
【例1】[2017·百色中考]以坐标原点O为圆心，作半径为2的 圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( D )
【思路分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直 角，再由AD为角平分线，得到一对角相等．根据同弧所对的 圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与 平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即 可得证；(2)由PD与BC平行，得到一对同位角相等．再由同弧 所对的圆周角相等及等量代换得到∠P＝∠ADC，根据同角的 补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即 可得证；(3)由△ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的 长，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，根据(2)的相似，得比 例，求出所求即可．
类型3 三角形的内切圆 【例3】[2017·武汉中考]已知一个三角形的三边长分别为5,7,8. 则其内切圆的半径为(C )
技法点拨►解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角 形，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型．
变式运用►3.[2016·德阳中考]如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝ ，点D是BC边上的一点，AD＝BD＝2DC，设△ABD与△ACD的内切 圆半径分别为r1，r2，那么 ＝( C)
S△ABC＝⑫ r(a＋b＋c) ； 规律清单 (3)在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝
c，则内切圆半径r＝⑬
典型例题运用 类型1 直线与圆的位置关系
【例1】[2017·百色中考]以坐标原点O为圆心，作半径为2的 圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( D )
中考数学总复习 第六单元 圆 第22讲 与圆有关的计算课件
2
2021/12/9
第六页，共二十三页。
考法1
考法3
考法2
考法4
考法5
有关弧长的计算(jìsuàn)问题
把半径为r的圆周360等分,则每一份的弧所对的圆心角为1°,
弧的长度为
π
180
,因此 n°圆心角所对的弧长为 n×
π
180
2021/12/9
第七页，共二十三页。
π
,即弧长 l=
180
.
考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
例1如图,在三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6.三角板绕直角顶点C
逆时针旋转,当点A的对应点A'落在AB边上时即停止转动,则点B转过的路径长
为
.
答案2π
解析由题意可知,点B经过的路径是半径为6、圆心角为60°的弧,则弧长
方法点拨60×6
(diǎn bo)解决动点问题的关键是找到运动的点经过的路径,所在
2021/12/9
第二十页，共二十三页。
3.(2015 甘肃庆阳)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2 2,若把
Rt△ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为 8 2π
(结果保留 π).
解析(jiě xī):过点C作CD⊥AB于点D,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
1
2.若半径为 r 的扇形弧长为 l,则 S 扇形=2lr.
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第九页，共二十三页。
360
.
考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
例2(2017广西贵港)如图,在扇形(shàn xínɡ)OAB中,C是OA的中点,CD⊥OA,
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考法1
考法3
考法2
考法4
考法5
有关弧长的计算(jìsuàn)问题
把半径为r的圆周360等分,则每一份的弧所对的圆心角为1°,
弧的长度为
π
180
,因此 n°圆心角所对的弧长为 n×
π
180
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π
,即弧长 l=
180
.
考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
例1如图,在三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6.三角板绕直角顶点C
逆时针旋转,当点A的对应点A'落在AB边上时即停止转动,则点B转过的路径长
为
.
答案2π
解析由题意可知,点B经过的路径是半径为6、圆心角为60°的弧,则弧长
方法点拨60×6
(diǎn bo)解决动点问题的关键是找到运动的点经过的路径,所在
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3.(2015 甘肃庆阳)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2 2,若把
Rt△ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为 8 2π
(结果保留 π).
解析(jiě xī):过点C作CD⊥AB于点D,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
1
2.若半径为 r 的扇形弧长为 l,则 S 扇形=2lr.
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考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
例2(2017广西贵港)如图,在扇形(shàn xínɡ)OAB中,C是OA的中点,CD⊥OA,