小学六年级数学：定义新运算word版本
小学数学定义新运算
小学数学定义新运算一.什么是定义新运算我们已经学过了加、减、乘、除运算。
在有些情况下，常把「有多步含加、减、乘、除的运算」用某种新的符号表示，这就是定义了新的运算。
见到了这种用新的符号所定义的运算后，就按它所规定的「运算程序」进行运算，直到得出最后结果。
例如，设A、B表示自然数，如果定义符号「※」表示的运算如下：A※B＝3×A+4×B那么，根据新运算「※」的定义，就可以计算6※7如下：6※7＝3×6+4×7＝46。
如果定义符号「※」表示的运算为：A※B＝A÷B×2+3×A-2，那么，按此定义去计算4※2的话，就有：4※2＝4÷2×2+3×4-2＝2×2＋12－2＝14。
二.定义新运算需要注意的几个问题按照新定义的运算求某个算式的结果，关键是要正确理解这种新运算的意义，如上面举例中的运算符号「※」所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算。
需要注意的是：（1）有括号时，应当先算括号里的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算定律来解题。
（3）上面例举中所定义的运算使用了符号「※」来定义，但并不是说只有「※」才是规定运算的符号，可能用△，＃，…等符号。
符号的种类是次要的，符号所定义的运算按照怎样的程序来进行才是主要的。
三．典型例题例1设a，b表示整数(包括0)，规定「*」的运算为a*b＝a÷b×2+3×a-b，计算：169*13。
分析与解答动手算之前，先让我们弄清「*」是怎么一种运算程序，按规定，a*b的值是用a除以b，把商数乘2之后，再加上a的3倍，最后减去b，这些运算有两个特点：(1)各步运算都是大家熟悉的四则运算；(2)各步运算的先后次序要按规定的顺序办。
那么，根据「*」的规定，我们可以计算得到：169*13＝169÷13×2+3×169-13＝520。
六年级奥数定义新运算
第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义, 从而解答某些算式的一种运算.解答定义新运算, 关键是要正确地理解新定义的算式含义, 然后严格按照新定义的计算程序, 将数值代入, 转化为常规的四则运算算式进行计算.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式, 它使用的是一些特殊的运算符号, 如：*、△、⊙等, 这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的.新定义的算式中有括号的, 要先算括号里面的. 但它在没有转化前, 是不适合于各种运算定律的.二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b), 求13*5和13*（5*4）.练习1：1、将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).. 求27*9.2、设a*b=a2+2b, 那么求10*6和5*（2*8）.【例题2】设p、q是两个数, 规定：p△q=4×q-(p+q)÷2. 求3△(4△6).练习2：1、设p、q是两个数, 规定p△q＝4×q－（p+q）÷2, 求5△（6△4）.2、设p、q是两个数, 规定p△q＝p2+（p－q）×2. 求30△（5△3）.【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, 4*2=4+44, 那么7*4=________；210*2=________.练习3：1、如果1*5=1+11+111+1111+11111, 2*4=2+22+222+2222, 3*3=3+33+333, ……那么4*4=________.2、规定, 那么8*5=________.【例题4】规定②=1×2×3, ③=2×3×4 , ④=3×4×5, ⑤=4×5×6, ……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A, 那么, A是几？练习4：1、规定：②=1×2×3, ③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A, 那么A=________.2、规定：③＝2×3×4, ④＝3×4×5, ⑤＝4×5×6, ⑥＝5×6×7, ……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□, 那么□＝________.【例题5】设a⊙b=4a－2b+ ab /2,求x⊙（4⊙1）＝34中的未知数x.练习5：1、设a⊙b=3a－2b, 已知x⊙（4⊙1）＝7求x.2、对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b= , 求6△4+9△8.3、设M、N是两个数, 规定M*N＝M/N+N/M, 求10*20－1/4.三、课后作业1、设a*b=3a－b×1/2, 求（25*12）*（10*5）.2、如果2*1=1/2, 3*2=1/33, 4*3=1/444, 那么（6*3）÷（2*6）=________.3、如果1※2＝1+2, 2※3＝2+3+4, ……5※6＝5+6+7+8+9+10, 那么x※3＝54中, x＝________.4、对任意两个整数x和y定于新运算, “*”：x*y＝（其中m是一个确定的整数）. 如果1*2＝1, 那么3*12＝________.面积计算一、知识要点计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析推导, 方能寻求出解题的途径.二、精讲精练【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.练习1：1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分的面积.2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？练习2：1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.练习3：1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习4：1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.练习5：1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.三、课后练习1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的面积. （如图所示）.2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。
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六年级举一反三教材第一周 定义新运算专题简析：定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“∆、#、*、·”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
例题1。
假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26练习11..将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。
2.设a*b=a 2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a －12×b ，求（25*12）*（10*5）。
例题2。
设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6).3△(4△6).＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习21． 设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2． 设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p 2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
3． 设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M N +N M ，求10*20－14。
例题3。
如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。
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第三讲定义新运算学生姓名年级小学 6 年级学科数学授课教师日期时段核心内容新运算课型教学目标重、难点1、能理解运算定义及熟练解决新运算2、培养学生整体思想和转换思想；3、会灵活运用这些方法解决实际问题新运算解答方程；【精准诊查】【课首小测】1、一个长为 20 厘米、宽为 16 厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8 厘米、宽为 4 厘米的小长方形。
求；剩余部分的周长。
2、几个连续自然数相加，和能等于56 吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能、说明理由。
【互动导学】【导学】：定义新运算新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。
1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。
（特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。
）2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。
3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。
1【例题精讲】【例 1】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
a 1【例 2】定义新运算为a e bb（ 1）求2 e 3 e 4 的值；（2）若 x e 4 1.25 ，则x的值为多少？【例 3】如果：1※2＝1＋112 ※ 3＝ 2＋22＋2223※ 4＝ 3＋33＋333＋3333计算：（3※2）× 5【例 4】对于任意的自然数a和b，规定新运算：a b a ( a 1) (a 2) L( a b1) （ 1）求 1 100 的值（2）已知x1075，求x为多少？【我爱展示】1. P 、 Q 表示数， P * Q 表示P Q，求 3 * （6 * 8）。
22. 如果 a △ b 表示 ( a 2) b ，例如 3△ 43 24 4 ，那么，当 a △ 5=30时 ,a=3. 定义： 6 ※2=6+66=722※3=2+22+222=246， 1 ※4=1+11+111+1111=1234. 7 ※5=。
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六年级数学讲义定义新运算教学目标： 1、在理解定义新运算的基础上，会灵活按照所给的规律对所给数字进行灵活的运算，2、培养学生对知识的运算能力和灵活运用能力。
一、 教学衔接414212115865.78+-+ )17281(1719+- 36×10.9+12×42.3（0.25×4－0.25×3）×40 119891988198719891988-⨯⨯+二、 教学内容（一）知识要点：所谓“定义新运算”是以学生熟知的四则运算为基础，以一种特殊的符号来表示的特别定义（规定）的运算。
运算时要严格按照新运算的定义（规定）进行代换，再进新计算。
具体程序如下：1.代换.即按照定义符号的运算方法，进行代换，注意此过程不能轻易改变原有的运算顺序。
2.计算.把代换后的算式准确地计算出来。
（二）例题讲解：例1、 对于任意数a ，b ，定义运算“*”： a*b=a ×b-a-b 。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、设45e。
a b a b=⨯-⨯（1）求(64)2e e的值；（2）若(2)18e e，则x等于多少？x x=3，x>=2，求x的值。
分析与解：按照定义的运算，<1，2，3，x>=2，x=6。
分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。
例6有一个数学运算符号⊗，使下列算式成立：9=7⊗，25⊗，求?3⊗7=3=2=48⊗，133⊗，115=5三、教学练习1、若A*B 表示（A ＋3B ）×（A ＋B ），求5*7的值。
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第三讲定义新运算【课首小测】1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米的小长方形。
求；剩余部分的周长。
2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果不能、说明理由。
【互动导学】【导学】：定义新运算新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。
1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。
（特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。
）2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。
3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。
【例题精讲】【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。
【例2】定义新运算为1a ab b+=（1）求()234的值； （2）若4 1.25x=，则x 的值为多少？【例3】如果：1※2＝1＋112※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333计算：（3※2）×5【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-（1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？【我爱展示】1.P 、Q 表示数，*P Q 表示2P Q+，求3*（6*8）。
2.如果a △b 表示(2)a b -⨯，例如3△4()3244=-⨯=，那么，当a △5=30时,a=3.定义： 6※2=6+66=722※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。
4.定义新运算”⊗“，使下列算式成立：248⊗=，5313⊗=，3511⊗=，9725⊗=，求73⊗= 。
5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-，如果(3)23660x **=，那么x 等于几？【能力展示】【知识技巧回顾】1、学习到哪些知识：2、解答新运算的步骤：【巩固练习】1.如果规定a b *=5×a-12b ，其中a 、b 是自然数，那么106*= 。
六年级上第1讲定义新运算
第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如;*、△、☉，这是与四则运算中的“+、一、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练例1假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*(5*4)。
【思路导航】这题的新运算被定义为:a制等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*(5*4）中，就要先算小括号里的(5*4)。
13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=265*4=(5+4)+(5-4)=1013*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26练习1:1.将新运算“*”定义为: a*b=(a+b)×(a-b)。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。
,求(25*12)*(10*5)。
3.设a*b=3a-b×12例2设p 、q 是两个数，规定: p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
[思路导航]根据定义先算4△6.在这里“△”是新的运算符号。
3△(4△6)=3△[4×6-(4+6)÷2]=3△19=4×19-(3+19)÷2=76-11=65练习2:1.设p 、q 是两个数，规定p △q=4×q-(p+q)÷2，求5△(6△4)。
2.设p 、q 是两个数，规定p △q=p 2+(p-q)×2。
求30△(5△3)。
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【知识梳理】定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合【分类型例题分析】一、直接运算型例 1若表示，求的值例 2 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）例 3 已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b= a+b-1，，那么例 4 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a ☆b=a×b。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
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第三讲定义新运算
【课首小测】
1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米
的小长方形。
求；剩余部分的周长。
2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果
不能、说明理由。
【互动导学】
【导学】：定义新运算
新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。
1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。
（特殊的运算符号，表示特定的意义，
是人为设定的。
）
2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。
3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。
【例题精讲】
【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。
【例2】定义新运算为1a a b b +=e
（1）求()234e e 的值； （2）若4 1.25x =e ，则x 的值为多少？
【例3】如果：1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋3333
计算：（3※2）×5
【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-L
（1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？
【我爱展示】
1.P 、Q 表示数，*P Q 表示
2
P Q +，求3*（6*8）。
2.如果a △b 表示(2)a b -⨯，例如3△4()3244=-⨯=，那么，当a △5=30时,a=
3.定义： 6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246，
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5= 。
4.定义新运算”⊗“，使下列算式成立：
248⊗=，5313⊗=，3511⊗=，9725⊗=，求73⊗= 。
5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ，
如果(3)23660x **=，那么x 等于几？
【能力展示】
【知识技巧回顾】
1、学习到哪些知识：
2、解答新运算的步骤：
【巩固练习】
1.如果规定a b *=5×a-12
b ，其中a 、b 是自然数，那么106*= 。
（2011实外）
2.对于自然数a 、b 、c 、d ，符号a b d c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
表示运算a ×c-b ×d ， 已知1<14b d ⎛⎫ ⎪⎝⎭
<3，则b+d 的值是 。
（2010实外）
3.定义新运算：ab a b a b
∆=
+，求2△10△10= 。
（2012成外）
4.对任意两数a 和b ，都有a ※b=
23a b +，若6※x=223，则x= 。
（2009实外）
5.如果规定：3=2×3×4，4=3×4×5，12=11×12×13，…， 111=252626
-⨯ ，那么 = 。
（七中嘉祥）
6.设a 、b 分别表示两个数，如果a b *=
342a b +，如4*3=3443122
⨯+⨯=，则 （1）()267** = 。
（2）如果()67109x **=，那么x = 。
（七中嘉祥）
7.定义某种新运算⊙：s=a ⊙b 的运算原理如
图流程图所示，则5⊙4-3⊙4= 。
8.规定：对于大于1的自然数n ，“ ”表示如下运算：
=
()11n n ⨯+ 如： =134
⨯，那么当n=49时，计算 + + + … + （2013西川）
【课后作业】
1．现定义一种新运算“*”，对于任意两个整数，a*b=a ×b-1，则8*（2*3）的结果是 。
2．定义新运算：对任意实数a 、b ，都有a ☆b=2a b -,那么2☆1= 。
3
2 3 4 n n
3．若a、b是有理数，我们定义新运算“※”，使得a※b=2a-b，则（5※3）※1= 。
4．定义一种新运算a▼b=2a-b，a▲b=b-a，求（2▼3）▲（3▼2）= 。
5．定义新运算“♂”，对任意a，b有a♂b=
3
2
a b
，若4♂x=5，求x的值。