高二数学矩阵的概念 (2)优秀课件
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矩阵PPT课件
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
第19页/共179页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
第23页/共179页
例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
第24页/共179页
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
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2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
3 A O O A A.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
第18页/共179页
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
1 2 3
0 1 2
A
4
5
6
，B
3
4
5 ，
7 8 9
6 7 8
求 2。A 3B
1 2 3 0 1 2
解：
2A 3B 2 4 5 6 3 3 4 5
7 8 9 6 7 8
2 4 6 0 3 6 2 1 0 8 10 12 9 12 15 1 2 3
14 16 18 18 21 24 4 5 6
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例2 已知
A
2 7
0 9
，B
2 9
74，且A 2X B， 求 。X
解：
X
1（B 2
A）
1 2
4 2
42
2 1
21
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三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A 是aij 一 个 矩m阵 s， 是B一 个bij
s 矩n 阵，那么规定矩阵 与A矩阵 的B乘积
矩阵PPT课件
a33 a43
2
例2 含有n个未知量m个方程构成的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
的系数也可以排列成一个矩形阵列
注意：AB BA
25
例2.7
设
A
1 1
1 2
1, B
2
2 3
2 , C
3
3 3
则:
1 1 2 2 0 0
AB
1
1
2
2
0
0
AC
1 1
1 3 1 3
1 2
(B
A)
1 2
5 (3
1 2
9 1
7 1 6 2
5 4
1 2
4 1
4 2
2 7
2 2
2 1 2
2 1
1 7
2
7 9 6 8)
1 )
1
21
三、矩阵的乘法：
定义4 设A=(aij) 是一个mxs矩阵， B=(bij)
第二章 矩阵
矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的 许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。 本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基 本性质。
.
1
2.1 矩阵的概念
例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产 量分别如下表所示：
矩阵知识点完整归纳ppt课件
a31x a32 y a33z d3
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
a11 a12 a13
则其系数矩阵为A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13 d1
增广矩阵为
A
a21
a22
a23
d2
a31 a32 a33 d3
2
矩阵变换：
一、矩阵的基本概念
12、、矩元阵素：：矩矩形 阵数 中表 的， 每Am一n 表个示数m，行aij表n列示矩第阵i行 第j列的元素 34、、方单矩位阵矩：阵m：=aini 1其余元素均为0的方矩阵
1
二、矩阵变换与解方程组
a11x a12 y a13z d1 有方程组 a21x a22 y a23z d2
AE EA A A(B C) AB AC ( A B)C AC BC A(BC) ( AB)C AB BA
5
变换矩阵 几何意义
变换矩阵
几何意义
a 0 横坐标变为原来的a倍 cos sin 绕原点旋转角度θ
0
b
纵坐标变为原来的b倍
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
，则
A
a21
a22
a31 a32 a33
a31 a32 a33
4、矩阵与矩阵的乘法
Am p Bpn Cmn
4
运算法则：
AB B A
A A (A B) A B
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
线性代数 第21节 矩阵的概念PPT课件
课程或者工作有什么建议和意见，也请写在上边
感谢观看
The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。
1
记作:
E 或E n
En
1
1 nn
行列式与矩阵的区别:
1. 一个是算式 ，一个是数表 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同.
3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A 11
三、矩阵的应用实例
例1：(通路矩阵)
a省两个城市 a1 , a2 和 b 省三个城市 b1,b2,b3
m n 零矩阵记作 omn 或 o.
注意： 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如： 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
7
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
a 1
列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵
例：
x 1 83 1 z 0 y 4 0 2 4
9
对角阵(Diagonal Matrix):
方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。
a1
dia(ga1,a2,an)
a2
an
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。
k
kEn
k
k
nn
感谢观看
The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。
1
记作:
E 或E n
En
1
1 nn
行列式与矩阵的区别:
1. 一个是算式 ，一个是数表 2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同.
3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为: A 11
三、矩阵的应用实例
例1：(通路矩阵)
a省两个城市 a1 , a2 和 b 省三个城市 b1,b2,b3
m n 零矩阵记作 omn 或 o.
注意： 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如： 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
7
行矩阵(Row Matrix): 只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
a 1
列矩阵(Column Matrix): 只有一列的矩阵
例：
x 1 83 1 z 0 y 4 0 2 4
9
对角阵(Diagonal Matrix):
方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。
a1
dia(ga1,a2,an)
a2
an
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。
k
kEn
k
k
nn
沪教版(上海)高二数学上册9.1矩阵的概念_2课件
互
时
动 探
万吨、150 万吨、300 万吨．试用矩阵表示上述数据关系．
作 业
究
【思路探究】 求解的关键将实际问题中的几个量转化
为矩阵中的元素．
菜单
课
当
前 自
【自主解答】
设甲、乙两个矿区分别向 A，B，C 三个
堂 双
主
基
导 城市的送煤量组成行向量 α，β，则
学
达 标
α＝100 200 150，β＝150 150 300.
4 3
课 堂 互
≠12
－43.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，
课 时
动
作
探 究
如以零矩阵为例：[0,0]和00
00，尽管两个矩阵的元素均为 0， 业
但两者不相等.
菜单
课 前
用矩阵表示图形
当 堂
自
双
主
基
导
达
学
标
用矩阵表示如图中的直角△ABC，其中 A(－
4,0)，B(0,2)，C(1,0)
时
动
作
探
业
究
菜单
课
当
前 自
3．下列为列矩阵的有________(只填正确答案的序号)．
堂 双
主
基
导 学
①[0 0]；②00；③aa1211；④a11 a12；
达 标
课
⑤01
10；⑥－01 ；⑦2
0；⑧10
2 3
04.
堂
课
互 动
【解析】
由列矩阵的定义知，②③⑥为列矩阵，故填
时 作
探
业
究 ②③⑥.
【答案】 ②③⑥
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？
《矩阵的概念》课件
生物学：用于描 述生物系统的状 态和变化
矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数 矩阵的秩等于其行向量组的秩 矩阵的秩等于其列向量组的秩 矩阵的秩等于其非零特征值的个数
矩阵的迹：矩 阵对角线元素
的和
迹的性质：矩 阵的迹是实数
迹的应用：在 矩阵分解、特 征值计算等方 面有广泛应用
迹的求法：通 过矩阵对角线 元素的和计算
正定矩阵：所有特征值均为正数的 矩阵
正定矩阵的性质：正定矩阵的转置 矩阵也是正定矩阵
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
负定矩阵：所有特征值均为负数的 矩阵
负定矩阵的性质：负定矩阵的转置 矩阵也是负定矩阵
定义：主对角线 以外的元素都为 0的矩阵
性质：对角矩阵 的秩等于其非零 元素的个数
应用：在求解线 性方程组、特征 值和特征向量等 问题中有广泛应 用
正交矩阵Q：满足Q^TQ=I， 其中I为单位矩阵
QR分解：将矩阵分解为正交 矩阵Q和上三角矩阵R
上三角矩阵R：主对角线以 上的元素均为0
QR分解的应用：求解线性方程 组、最小二乘法、特征值分解
等
概念：矩阵的奇异 值分解是将矩阵分 解为三个矩阵的乘 积，这三个矩阵分 别是左奇异矩阵、 对角矩阵和右奇异 矩阵
矩阵：由m行n列元素组成的矩形阵列 行：矩阵中水平方向的元素集合 列：矩阵中垂直方向的元素集合 元素：矩阵中的每个数称为元素，通常用aij表示第i行第j列的元素
定义：两个矩阵对应元素相加，得到新的矩阵 加法规则：两个矩阵必须具有相同的行数和列数 加法运算：将两个矩阵的对应元素相加，得到新的矩阵 应用：在求解线性方程组、矩阵分解、矩阵变换等领域有广泛应用
定义：将矩阵 划分为若干个 子矩阵，每个 子矩阵称为一
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的形式，则方程组的解就是
x y
a, b.
1 0
0 1
a b
2. 一般地，矩阵变换有三种： (1) 互换两行 (2) 用非零数乘或除某一行 (3) 某一行乘以一个数加到另一行上
例3：《九章算术》中有一个问题：今有牛五羊二 直金十两，牛二羊五直金八两. 问牛羊各直金几何？
解：设每头牛值x两金，每只羊值y两金，则
将小四陈名销2售8 员的2业9 绩用5矩0 阵来表示：
77 28
60 29
88 50
其中行向量表示： 某位销售员的销售业绩。
列向量表示： 某个月的销售业绩。
1. 通过矩阵，可将涉及众多变量的“大”问题 组织起来并进行分析、研究。
2. 矩阵是表示数量关系的一种有效工具 。
2 7 1 0
例2：已知某线性方程组的增广矩阵是
814
1 0
3 1
8 2
1 0
0 1
2 2
矩阵
两行
∴方程组的解为
x y
2 道矩阵与线性方程组的关系. 3. 矩阵有三种基本变换. 4. 用矩阵求解方程组的方法：通过矩阵变换把
增广矩阵中的系数矩阵变为单位矩阵，此时 增广矩阵的最后一列即为方程组的解.
高二数学矩阵的概念 (2)优秀课 件
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用加减消元法解下列二元一次方程组：3xx2
y y
5, 8.
步骤 1 2 3 4
方程组
x 2 y 5, 3 x y 8.
x 2y 5
7
y
7
x 2 y 5,
y
1.
x 3,
y
1.
1． 矩阵是一个矩形数表。 2． 矩阵是一个数学符号。 3. 常用记号Amn或Amn来表示一个矩阵。
例1：某公司销售部门一季度四名销售员的销售 成绩如下表所示：
姓名 一月 二月 三月 份份份
小李 45 37 70
小王 50 48 66 小张 77 60 88
45 37 70 50 48 66
5x 2y 10 2x 5y 8
此方程组的增广矩阵为：
5 2
2 5
10 8
矩阵变换如下，（①②分别表示矩阵的第1、2行）
5 2
2 10 5 8
②(-5)
510
2 25
1400 ①2加到②上
05
2 21
1200
②÷(-21) 5 0
2 1
10 20
②(-2)加到①上
21
5
0
170 21
①÷5
1 0
34 21
0 1
20 21
0
1
20 21
答 ： 每 头 34金 牛， 值每 只 20金 羊。 值
21
21
用矩阵变换的方法解下列二元一次方程组：
2x y 2 0
x 8 3y
解：方程组变为
2x y
x
3
y
2 8
把一行 的倍数 加到另
一行上
互换
1 2
3 1
82
10
3 7
5
2
2
15
3阶单位矩阵:
1 0
0 1
0 0
0
0
1
一般地，由mn个数aijR(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n) 排成的m行n列矩阵的形式：
a11
a21
a
m
1
a12 a 22
am2
a1n
a2n
a
mn
叫做mn阶矩阵，记做Amn， 其中aij(i=1,2,…,m，j=1,2,…,n) 叫做矩阵第i行第j列的元素。
矩形数表
1 3
2 1
5 8
1 0
2 7
57
1 0
2 1
51
1 0
0 1
31
方程组 的解
1. 矩阵 我们把上述矩形数表叫做矩阵，
矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。
2. 系数矩阵和增广矩阵
其中矩阵
1 3
2 1
叫做方程组的系数矩阵，
它是2行2列的矩阵，记做A22;
矩阵
1 3
2 1
5 8
叫做方程组的增广矩阵，
1.必做题：练习册：P45/1，3(1) P46/2(1)
2.思考题：在网上查阅数学符号的发展史，谈谈你 对数学符号的认识。
3.选做题：利用矩阵变换解三元一次方程组
x y z 6 3 x y 2z 7 5 x 2 y 2z 15
； / 有魔气历史 mqx37jop 知道你们这些年是怎么过来的呢！当然啦，你们也不知道爹的情况！”耿兰听爹这样说话，那双好看的丹凤眼立马就瞪圆了，奇怪地 问：“怎么，爹和哥哥姐姐们后来这七年多的时间里不在一起哇？”耿老爹故作轻松地说：“当然啦，要不你哥哥姐姐们怎么会拉回 来这么一个‘寿喜’呢！”不成想郭氏一听这话就哭出声来了。她吃力地扭头看着丈夫结结巴巴地说：“他爹你，你说什么，你们爷 儿们，怎么，怎么会不在一起？这，这，这七年多之前，小直子才，才多大啊！还，还有这个，‘寿，寿什么’，都，都是怎么……” 耿正、耿英和耿直都强忍着眼泪。耿英对娘说：“娘，你看啊，俺们三个和爹现在不都好好的嘛！这就行了。而且啊，爹还给你带回 来这么好的一个老儿子呢！至于俺们以前都受了什么苦，那又有什么关系呢！再说啦，这人啊，要想活出个样子来，那里有不受苦的 道理呢！”看娘慢慢止住眼泪了，耿英看看哥哥和弟弟，他俩都微微点点头。耿英就对爹、娘和妹妹说：“那就让俺来说说俺们这边 哇！俺们先是去了景德镇，在那里，在那里俺们开了一个小饭铺，哥哥给起的名字是‘南北小饭庄’，做得还不错，赚了一些银子呢！ 三年多之后，俺们认识了稷山的一个姓李的老乡。后来这近四年，俺们三个是在杭州做丝绸生意来着。这个生意做得好极了，俺们赚 了不少银子。算算时间该回家了，俺们就在去年的腊月初九动身，一路赶回来了！巧的是爹和尚武也正好是那天回来了，俺们是在咱 们家南面的五道庙前会合的，这不就一起回来了！”郭氏又开始掉眼泪了，说：“英子啊，你就挑拣好听的说哇，你当娘是傻子啊， 你还没有和娘说，你们和你爹是怎么分开的啊！”耿兰也说：“你们托张伯伯带回来的书信中，不是说在汉口镇上开粮油零售店的吗？ 怎么你们三个又给跑景德镇去了啊？还有，爹呢？爹怎么没有和你们一起去哇？”耿英怔一怔，故意轻松地说：“啊，是了，俺怎么 忘了说之前的事儿了呢！那，俺还是再补上之前的发生的事情哇！”想一想，耿英又将汉口镇遭遇洪灾，父子们无奈过江，在武昌镇 白家暂住……大致述说一番。说到半年之后，爹爹带着他们离开白家继续沿江南下时，耿英的言词表情明显不自然起来。含糊其词几 句以后，她竟然说：“俺们忘记不了这家人的好，返回来的途中还顺路去看望了她们呢！她们也给俺们带回来了很贵重的礼物，就放 在那个软皮箱里呢！对了爹，小青姐姐和东伢子在俺们走后的那年秋上就结婚了，他们的男娃儿叫小东伢，这过了年已经六岁了！东 伢子种了好多菜地，还养了大骡车……”耿兰的眼珠子转一转，很不满意地打断了姐姐那似乎没完没了，且还那么兴致勃勃的唠叨， 明显不耐烦地说：“姐，你别扯远了哇！你说爹想带你们去一个
0
1
1 1
2
2 0
1
，
3
试写出其对应的线性方程组。
解：满足条件的线性方程组为：
2x 7 y z 0
y2z1
x
1 2
y
3
问题情境中矩形数表的变化特点是什么？
用加减消元法解下列二元一次方程组：3xx2
y y
5, 8.
步骤 方程组
矩阵数表
x 2 y 5,
1
3 x y 8.
x 2y 5
2
7 y 7
x 2 y 5,
3
y
1.
4
x 3,
y
1.
1 3
2 1
5 8
1 0
2 7
57
1 0
2 1
51
1 0
0 1
31
方程组 的解
如何用矩阵变换的方法解二元一次方程组？
1. 第1步，把二元一次方程组的系数和常数
写成一个增广矩阵；
（注意：方程要写成ax+by=c的形式。）
第2步，逐步变化矩阵，把增广矩阵变成
的方阵叫做单位矩阵，如
1 0
0 1
。
请大家阅读书本第74页，了解矩阵的这些概念。
x y z 6 三元一次方程组 3 x y 2z 7
5 x 2 y 2z 15
1 1
方程组的系数矩阵： 3 1
5
2
1
2 2
是3阶方阵，记为A33
方程组的增广矩阵：
1 3
1 1
1 2
6 7
记为A34
它是2行3列的矩阵，记做A23 .
3. 行向量与列向量 1行2列的矩阵(1,-2)，(3,1)叫做系数矩阵的 两个行向量；
2行1列的矩阵
1 3
，
2 1
叫做系数矩阵的
两个列向量。
4. 方阵与单位矩阵 当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，
简称方阵。
如
1 3
2 1
是2阶方阵。
我们把对角线元素为1，其余元素为0