离散数学复习
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无限集。
2、幂集
Def：设S是集合，由集合S的所有子集组成的集合称为S的幂 集，即(S) ={XXS}
TH1：设集合A是有限集合，A=n，则 (S) =2A 。 TH2: ()={} (A) (B) (AB) (A) (B)= (AB) |(S)|>|S|0 (S)， S
3、有限集合中元素的数目
(8)G(x) (1 x x2 x3 x4 x5)(1 x x2)(1 x x2 ......)3
4、集合的对等
(1) A ~ B存在双射f : A B.
(2) | N | . 能与自然数集合N对等的集合称为可数集合
(3)设B为无限集，若集合A~B，则A为无限集。 (4)若A ~ B, 则|A|=|B|. (5)设A是无限集合, 则存在A的一个真子集B, 使得 A ~ B. (6)任意无限集均存在可数子集
⑦ -1=
⑧ (AB)-1= BA
⑨ R1R2R11 R21
(3)关系的复合运算：R◦S
A {a,b,c, d}, B {1,2,3,4},C {, , ,},
例： R {(a,1),(a,2),(b,2),(d,3),(c,4)}, S {(1,),(2, ),(2, ),(3, )},
5、特征函数
1 x A f A(x) 0 x A
A {x | fA(x) 1}
(1)特征函数性质 ① f AB (x) f A (x) fB (x) ② f AB (x) f A(x) fB (x) f A(x) fB (x) ③ fA (x) 1 fA(x) ④ f AB (x) f A (x) fB (x) 2 f A (x) fB (x)
b1
b2
b3
b4
b5
b6
A=R的前域
D(R)=R的定义域 V(R)=R的值域
B=R的陪域
②映射
映射一定是关系，反之不对
D(R)=A 例:把下面映射转换成关系？判断那些是映射（P58，3.1）
不允许一对多
3、关系的表示
关系图/关系矩阵
A = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (a, c), (c, a), (d, c), (d, d)}. R的关系图如下：
集合论 关系和映射
百度文库图论
离散结构 数字化 算法化 符号化 结构化 抽象化
数理逻辑 抽象代数
第一部分：集合论 1、集合作用
集合论构成了整个 数学大夏的基石。
(1)集合是定义任何数学对象的原始概念。
(2)有了集合论使人类对无限的认识摆脱了单纯的，对无 穷有了度量 0 . ，进入了一个崭新的认识阶段。
(3)计算机为什么不能处理连续信息 计算机所处理的信息其空间和时间都是有限集或可数
①集合A
②组合数r
③|A|=n
④ G(x) f1(x) f2 (x)... fn (x)
⑤ri=min{第i种元素的个数，r}
⑥ aij =0或1，根据取第i种元素的约束条件来确定。 ⑦ fi (x) ai0 ai1x .... airi xri
⑧按多项式乘法，求G(x)的xr系数
例1 一口袋中有5个红球, 2个黄球, 绿、白、黑球可 任意多提供. 现从中取3个球, 有多少种选取方式?
c
a 0 1 1 0
a
b
MR
b c d
0 10
0 0 0
0 0 1
0 0 1
44
.
d
4、关系运算
若R, S A B，则： (1)集合运算： R S, R S, R, R S, R S A B
R A B R.
(2)关系逆运算： R A B R1 {( y, x) | (x, y) R} B A.
(1)加法原理：如果A,B是有限集,则|AB|=|A|+|B|-|AB| 推广到n个集合的并。 (3)鸽笼原理：
(3)无条件排列组合
Pnr
n(n 1)
(n r
1)
n! (n r)!
Cnr
Pnr r!
n! (n r)!r!
U
r n
nr
Fnr
Cr nr 1
(4)有条件的从n个元素取r的组合数为G(x)的xr系数
Solution 则组合计数生成函数
G(x) (1 x x2 x3 x4 x5)(1 x x2)(1 x x2 ......)3
(1 x x2)(1 x x2 x3)4
红球
黄球
绿、白、黑球
x3系数
a3 31
例2 一口袋中有5个红球, 2个黄球, 绿、白、黑球可任意多提供. 现从 中取3个球, 有多少种选取方式?
逆运算的性质:P30定理2-5
① (R1)1 R.
② (R1 R2 )1 R11 R21. ③ (R1 R2 )1 R11 R21.
注意和迪摩根定律的区别
④ (R1 R2 )1 R11 R21. ⑤ (R1 R2 )1 R11 R21.
⑥ R 1 R1. R是A上的关系
第二部分：关系和映射
1、关系 (1)A到B的关系：AB子集 (2)A上的恒等关系:
EA {( x, x) | x A}.
例如, 若A = {a, b, c}, 则EA = {(a, a), (b, b), (c, c)}.
2、关系和映射的对比
①关系
a1
a2 a5
a7
a3 a4
a6
R A-----B
R S {(a,),(a, ),(a, ),(b, ),(b, ),(d, )}.
(1)A={红球 ，球 ，绿球，白球，黑球 };
(2)组合数r=3;
(3)n=5;
(4)G(x)=f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) f5(x) (5) r1={5,3}=3, r2={2,3}=2, r3=r4=r5={,3}=3; (6) a1i= a3i= a4i= a5i{1,1,1,1}, a2i={1,1,1}, (7) f1(x)=f3(x)=f4(x)=f5(x)=1+x+x2+x3,f2(x)=1+x+x2
6、集合在计算机中表示
设U={x1,x2,…,xn}, AU fA(x)可以用长度为n的0、1序列来表示。 例如:U={1,2,3,4,5,6}, A={1,3}
fA(x)={1,0,1,0,0,0} B={2,4,6}, fB(x)=? U={a,b,e,g,h,r,s,w}, A={a,r,e} fA(x)=?
2、幂集
Def：设S是集合，由集合S的所有子集组成的集合称为S的幂 集，即(S) ={XXS}
TH1：设集合A是有限集合，A=n，则 (S) =2A 。 TH2: ()={} (A) (B) (AB) (A) (B)= (AB) |(S)|>|S|0 (S)， S
3、有限集合中元素的数目
(8)G(x) (1 x x2 x3 x4 x5)(1 x x2)(1 x x2 ......)3
4、集合的对等
(1) A ~ B存在双射f : A B.
(2) | N | . 能与自然数集合N对等的集合称为可数集合
(3)设B为无限集，若集合A~B，则A为无限集。 (4)若A ~ B, 则|A|=|B|. (5)设A是无限集合, 则存在A的一个真子集B, 使得 A ~ B. (6)任意无限集均存在可数子集
⑦ -1=
⑧ (AB)-1= BA
⑨ R1R2R11 R21
(3)关系的复合运算：R◦S
A {a,b,c, d}, B {1,2,3,4},C {, , ,},
例： R {(a,1),(a,2),(b,2),(d,3),(c,4)}, S {(1,),(2, ),(2, ),(3, )},
5、特征函数
1 x A f A(x) 0 x A
A {x | fA(x) 1}
(1)特征函数性质 ① f AB (x) f A (x) fB (x) ② f AB (x) f A(x) fB (x) f A(x) fB (x) ③ fA (x) 1 fA(x) ④ f AB (x) f A (x) fB (x) 2 f A (x) fB (x)
b1
b2
b3
b4
b5
b6
A=R的前域
D(R)=R的定义域 V(R)=R的值域
B=R的陪域
②映射
映射一定是关系，反之不对
D(R)=A 例:把下面映射转换成关系？判断那些是映射（P58，3.1）
不允许一对多
3、关系的表示
关系图/关系矩阵
A = {a, b, c, d}, R = {(a, b), (a, c), (c, a), (d, c), (d, d)}. R的关系图如下：
集合论 关系和映射
百度文库图论
离散结构 数字化 算法化 符号化 结构化 抽象化
数理逻辑 抽象代数
第一部分：集合论 1、集合作用
集合论构成了整个 数学大夏的基石。
(1)集合是定义任何数学对象的原始概念。
(2)有了集合论使人类对无限的认识摆脱了单纯的，对无 穷有了度量 0 . ，进入了一个崭新的认识阶段。
(3)计算机为什么不能处理连续信息 计算机所处理的信息其空间和时间都是有限集或可数
①集合A
②组合数r
③|A|=n
④ G(x) f1(x) f2 (x)... fn (x)
⑤ri=min{第i种元素的个数，r}
⑥ aij =0或1，根据取第i种元素的约束条件来确定。 ⑦ fi (x) ai0 ai1x .... airi xri
⑧按多项式乘法，求G(x)的xr系数
例1 一口袋中有5个红球, 2个黄球, 绿、白、黑球可 任意多提供. 现从中取3个球, 有多少种选取方式?
c
a 0 1 1 0
a
b
MR
b c d
0 10
0 0 0
0 0 1
0 0 1
44
.
d
4、关系运算
若R, S A B，则： (1)集合运算： R S, R S, R, R S, R S A B
R A B R.
(2)关系逆运算： R A B R1 {( y, x) | (x, y) R} B A.
(1)加法原理：如果A,B是有限集,则|AB|=|A|+|B|-|AB| 推广到n个集合的并。 (3)鸽笼原理：
(3)无条件排列组合
Pnr
n(n 1)
(n r
1)
n! (n r)!
Cnr
Pnr r!
n! (n r)!r!
U
r n
nr
Fnr
Cr nr 1
(4)有条件的从n个元素取r的组合数为G(x)的xr系数
Solution 则组合计数生成函数
G(x) (1 x x2 x3 x4 x5)(1 x x2)(1 x x2 ......)3
(1 x x2)(1 x x2 x3)4
红球
黄球
绿、白、黑球
x3系数
a3 31
例2 一口袋中有5个红球, 2个黄球, 绿、白、黑球可任意多提供. 现从 中取3个球, 有多少种选取方式?
逆运算的性质:P30定理2-5
① (R1)1 R.
② (R1 R2 )1 R11 R21. ③ (R1 R2 )1 R11 R21.
注意和迪摩根定律的区别
④ (R1 R2 )1 R11 R21. ⑤ (R1 R2 )1 R11 R21.
⑥ R 1 R1. R是A上的关系
第二部分：关系和映射
1、关系 (1)A到B的关系：AB子集 (2)A上的恒等关系:
EA {( x, x) | x A}.
例如, 若A = {a, b, c}, 则EA = {(a, a), (b, b), (c, c)}.
2、关系和映射的对比
①关系
a1
a2 a5
a7
a3 a4
a6
R A-----B
R S {(a,),(a, ),(a, ),(b, ),(b, ),(d, )}.
(1)A={红球 ，球 ，绿球，白球，黑球 };
(2)组合数r=3;
(3)n=5;
(4)G(x)=f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) f5(x) (5) r1={5,3}=3, r2={2,3}=2, r3=r4=r5={,3}=3; (6) a1i= a3i= a4i= a5i{1,1,1,1}, a2i={1,1,1}, (7) f1(x)=f3(x)=f4(x)=f5(x)=1+x+x2+x3,f2(x)=1+x+x2
6、集合在计算机中表示
设U={x1,x2,…,xn}, AU fA(x)可以用长度为n的0、1序列来表示。 例如:U={1,2,3,4,5,6}, A={1,3}
fA(x)={1,0,1,0,0,0} B={2,4,6}, fB(x)=? U={a,b,e,g,h,r,s,w}, A={a,r,e} fA(x)=?