高中数学选修2-2推理与证明 合情推理

2.1.1合情推理[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用.知识点一推理的定义与结构形式1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫做结论.思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？(2)推理一般用哪些关联词？答案(1)不一定完全可靠.(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”.知识点二归纳推理与类比推理思考 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 知识点三 合情推理1.合情推理的含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 思考 由合情推理得到的结论可靠吗？答案 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.题型一 归纳推理的应用例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2，…)，∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23，a 3＝231＋23＝25，a 4＝251＋25＝27.由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2. ∴归纳猜想得a n ＝22n －1(n ∈N *).反思与感悟 求数列{a n }的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a 1，a 2，a 3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.跟踪训练1 已知数列11×3，13×5，15×7，…，1(2n －1)(2n ＋1)(n ∈N *)的前n 项的和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明. 解 (1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49.(2)猜想S n ＝n2n ＋1(n ∈N *).证明如下：∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1(n ∈N *). 题型二 类比推理的应用例2 在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边AB ，BC 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.解 如图(1)，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：如图(2)，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.反思与感悟 类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.跟踪训练2 “若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r ＝a 2＋b 22”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a ，b ，c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R ＝__________.答案a2＋b2＋c22解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.合情推理的应用归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.例3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.解f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，∴归纳猜想：当n∈N*时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数.验证：当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41.∴f(40)是合数，∴由上面归纳推理得到的猜想不正确.1.已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415， (6)ab＝6ab(a，b∈R),则()A.a＝5，b＝24B.a＝6，b＝24C.a ＝6，b ＝35D.a ＝5，b ＝35答案 C解析 观察式子的特点可知，分式ab 的分子a 与根号外的数相同，而分母b 则为该数的平方减1.2.在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy ”的结构，这时可类比正切的和角公式.如：设a ，b是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba 等于( )A.4B.15C.2D. 3 答案 D解析 将已知式变形，则有a sin π5＋b cos π5a cos π5－b sin π5＝a tan π5＋b a －b tan π5＝tan π5＋b a 1－b a tanπ5＝tan 8π15，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，可知只有当b a ＝tan π3＝3时，上式成立.3.已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋ax n ≥n＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 由类比推理可得x ＋a x n ＝...n x x n n ++个＋a xn ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·ax n ＝n ＋1，此时a ＝n n .4.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案1275.根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (2)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(3)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1. 解 (1)由已知可得a 1＝3＝22－1， a 2＝2a 1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *.(2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a (n ∈N *).(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *).1.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).2.类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想).一、选择题1.已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( ) A.3 B.－3 C.6 D.－6 答案 A解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3, ∴周期T ＝6，∴a 33＝a 3＝3.2.如图所示，在杨辉三角中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10，…，记其前n 项和为S n ，则S 19等于( )A.129B.172C.228D.283 答案 D解析 由组合数的性质，如数列1,3,3,4,6,5,10，…，其实是由组合数C 22，C 13，C 23，C 14，C 24，C 15，C 25，…组成的.∴S 19＝C 22＋C 13＋C 23＋C 14＋C 24＋…＋C 111＋C 211 ＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211－C 23＋C 23＋C 13＋C 14＋…＋C 111 ＝C 312＋C 212－3＝283.3.数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A.47 B.65 C.63 D.128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65. 4.根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 … A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 5.设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n 等于( )A.2cosθ2nB.2cosθ2n －1C.2cos θ2n ＋1D.2 sin θ2n答案 B解析 方法一 ∵a 1＝2cos θ，a2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cosθ2，a3＝2＋a2＝2 1＋cosθ22＝2cosθ4，…，猜想a n＝2cosθ2n－1.方法二验n＝1时，排除A、C、D，故选B.6.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c，类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R等于()A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4答案 C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体ABCD ＝13(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝3VS1＋S2＋S3＋S4.二、填空题7.已知数列{a n}满足条件(n－1)·a n＋1＝(n＋1)·a n－n－1，且a2＝6，设b n＝a n＋n(n∈N*)，则数列{b n}的通项公式b n＝________.答案2n2解析a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.可以通过求数列{a n}的通项公式来求数列{b n}的通项公式.我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想a n＝n×(2n－1)，进而猜想b n＝2n2－n＋n＝2n2.8.将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中：①每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点)；②0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，－1)，5在(0，－1)，9在(－1,2)，…，所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数，则数字(2n ＋1)2(n ∈N *)的坐标为__________. 答案 (－n ，n ＋1)解析 9的坐标为(－1,2)，且9＝(2×1＋1)2,25的坐标为(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2,49的坐标为(－3,4)，且49＝(2×3＋1)2，…，所以(2n ＋1)2的坐标为(－n ，n ＋1).9.如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n 群，……，第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是____________. 1 2 3 4 6 5 8 12 10 7 16 24 20 14 9 32 48 40 28 18 11 … 答案 3×2n －2n －3解析 根据规律观察可得每排的第一个数1,2,4,8,16，…构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第n 群的第一个数是2n －1，第n 群的第2个数是3×2n －2，…，第n 群的第n －1个数是(2n －3)×21，第n 群的第n 个数是(2n －1)×20，所以第n 群的所有数之和为2n －1＋3×2n－2＋…＋(2n －3)×21＋(2n －1)×20，根据错位相减法求和得其和为3×2n －2n －3.10.设f (x )＝12x ＋2.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________. 答案 3 2解析 ∵6－(－5)＝11，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)，共有12项.课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法是倒序相加法，即 ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a n ＋a 1， 令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1， ∴2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2.同理，∵f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝12x ＋2＋2x 2＋2×2x ＝2＋2x 2(2x ＋2)＝22.令T n ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)， 则T n ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2T n ＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (6)＋f (－5)] ＝12×22＝6 2. ∴T n ＝3 2. 三、解答题11.在平面几何中，有这样一个命题：一边长为a 的正三角形内任意一点P 到三边的距离之和等于边长的32倍.请你用类比推理的方法，在立体几何中寻找一个类似的命题. 解 在棱长为a 的正四面体S －ABC 中，P 为正四面体内任意一点，连接P A ，PB ，PC ，PS (如图所示)，则正四面体被分割为四个小三棱锥P －ABC ，P －SAB ，P －SBC ，P －SCA ，设P 到四个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4.由于正四面体的四个面的面积相等，故V S －ABC ＝V P －ABC ＋V P －SAB ＋V P －SCA ＋V P －SBC ＝13S △ABC (h 1＋h 2＋h 3＋h 4). 又S △ABC ＝34a 2，V S －ABC ＝212a 3， ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a . 故在立体几何中可得到的命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点P 到四个面的距离之和等于棱长的63倍. 12.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并11 予以证明.(1)证明 ∵CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，∴CC 1⊥平面PMN .∴CC 1⊥MN .(2)解 在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x ，其中x 为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP .在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP .∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP . ∵SBCC 1B 1＝PN ·C 1C ，SACC 1A 1＝MN ·CC 1，SABB 1A 1＝PM ·BB 1，∴S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1 cos x .13.(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程).(1)证明 设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )，依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a ). 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)解 －(a 2＋b 2).。