分析学的严密化.ppt
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化学教学论第二章PPT课件
围绕核心问题和关键概念，组织相关的教学 内容。
结合具体案例，分析化学原理和应用，提高 学生的学习兴趣和参与度。
02
01
实验探究
通过实验探究的方式，引导学生主动探索化 学知识，培养实践能力和创新精神。
04
03
教学内容的优化
A
更新教学内容
及时关注化学学科的最新发展，更新教学内容 ，保持与时俱进。
整合教学资源
优点
能够培养学生的批判性思维和表达能力，促进学生之间的 交流与合作。
缺点
讨论过程可能偏离主题，需要教师及时引导和调控。
应用策略
选择合适的讨论主题，确保学生有话可说；营造宽松的讨 论氛围，鼓励学生自由发表意见；及时总结讨论结果，引 导学生形成正确的认识。
多媒体教学法
多媒体教学法是教师利用多媒体技术辅助教学的方法 ，包括PPT、视频、音频、动画等多种形式。
开展课外实践活动
鼓励学生参加课外化学实践活动， 如化学竞赛、科研项目等，提高学 生的实践能力和综合素质。
联系生活实际
将化学知识与生活实际相联系，让 学生感受到化学在生活中的广泛应 用，增强学生的学习动力和实践意 识。
创新性原则
1 2 3
更新教学内容
随着科学技术的不断发展，化学教学内容也应不 断更新和完善，及时引入新的科研成果和前沿知 识。
案例三
03
化学实验技能培养实践。组织学生进行实验操作，培养其动手
能力和实验技能。
大学化学教学实践案例
案例一
无机化学教学实践。通过讲解无机化学基本原理，引导学生掌握 无机化学知识体系。
案例二
有机化学教学实践。采用问题式教学法，引导学生探究有机化学 中的反应机理和合成方法。
结合具体案例，分析化学原理和应用，提高 学生的学习兴趣和参与度。
02
01
实验探究
通过实验探究的方式，引导学生主动探索化 学知识，培养实践能力和创新精神。
04
03
教学内容的优化
A
更新教学内容
及时关注化学学科的最新发展，更新教学内容 ，保持与时俱进。
整合教学资源
优点
能够培养学生的批判性思维和表达能力，促进学生之间的 交流与合作。
缺点
讨论过程可能偏离主题，需要教师及时引导和调控。
应用策略
选择合适的讨论主题，确保学生有话可说；营造宽松的讨 论氛围，鼓励学生自由发表意见；及时总结讨论结果，引 导学生形成正确的认识。
多媒体教学法
多媒体教学法是教师利用多媒体技术辅助教学的方法 ，包括PPT、视频、音频、动画等多种形式。
开展课外实践活动
鼓励学生参加课外化学实践活动， 如化学竞赛、科研项目等，提高学 生的实践能力和综合素质。
联系生活实际
将化学知识与生活实际相联系，让 学生感受到化学在生活中的广泛应 用，增强学生的学习动力和实践意 识。
创新性原则
1 2 3
更新教学内容
随着科学技术的不断发展，化学教学内容也应不 断更新和完善，及时引入新的科研成果和前沿知 识。
案例三
03
化学实验技能培养实践。组织学生进行实验操作，培养其动手
能力和实验技能。
大学化学教学实践案例
案例一
无机化学教学实践。通过讲解无机化学基本原理，引导学生掌握 无机化学知识体系。
案例二
有机化学教学实践。采用问题式教学法，引导学生探究有机化学 中的反应机理和合成方法。
分析的算术化
1．变量。“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”。 2．函数。“当变量之间这样联系起来的时候，即给定 了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值 的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的， 这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其 他量就叫作这个自变量的函数”。按照这个定义，不仅 无穷级数可以规定一个函数，而且也突破了函数必须有 解析表达式的要求。 3．极限。“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个 固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小， 那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”。 4．无限小量。“当同一变量逐次所取的绝对值无限减 小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的 无限小或无限小量”。柯西的无限小不再是一个无限小 的固定数。
柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性， 并研究了判别级数收敛的条件。令 是所研究的无穷级数前 项的 和， 为自然数，若当 趋向于无限大时，和 无限趋近于某一极限 S，柯西就说级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。他的许多定 义和论述已经相当接近于微积分的现代形式。尤其是关于微积分 基本定理的叙述与证明，几乎与今天的教科书完全一样。 柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混 乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西 的理论实际上也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、 “想要多小就多小”等直觉描述的语言。特别是，微积分计算植 根于实数园地，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的 根于实数园地，但直到19世纪中叶，数学家们还没有给出实数的 明确定义。 对实数系缺乏充分的理解，不仅会造逻辑上的间断，有时甚至会 导致结论上的错误。当时人们对连续函数处处可微的看法就是一 个典型。当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出一个处处连续 个典型。当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年给出一个处处连续 但却处处不可微的函数时，整个数学界大为震惊。
第一章分析力学的基本概念
1 x 2 x 2
C点的坐标 ： xC
C点的速度： 则约束方程为：
C x
x1 x 2 2
y1 y 2 2 y 2 y C 1 y 2 yC
1 y 2 y 2 y1 y 或 1 x 2 x x2 x1
1 y 2 x2 x1 x 1 x 2 y2 y1 y
力学模型 模型的分类 分析力学的研究对象
分析力学的研究方法
分析力学的两大特点
分析力学的发展史
分析力学在一般力学学科的地位
分析力学的研究对象__
力学模型
质点：只有质量、没有大小的物体。 质点系：由若干质点组成的、有内在联系的集合。
刚体：特殊的质点系，任意两点的距离保持不变。
分析力学的研究对象是质点系
几何约束&运动约束 运动约束
可积分的运动约束
约束方程可变为某个函数的全微分或满足可积分的条件，这种约束 方程称为可积分的运动约束 例：半径为r的圆柱在粗糙的平直轨道上滚动而不滑动
y
yC r
x
几何约束
C
C x
0 运动约束 C r vA x
yC
O
xC
A
dt 0 C dt r x
分 析 力 学
参考资料
1.叶敏、肖龙翔，分析力学，天津大学出版社 2. 王振发，分析力学，科学出版社 3.陈滨，分析动力学，北京大学出版社 4.老大中，变分法基础（第二版），国防工业出版社 5.梅凤翔，分析力学（上下卷），北京理工大学出版社
6.赵跃宇、梅凤翔，力学系统的对称性与不变量，科学出版社
第一章 分析力学的基本概念 第二章 虚位移原理和达朗伯原理
C点的坐标 ： xC
C点的速度： 则约束方程为：
C x
x1 x 2 2
y1 y 2 2 y 2 y C 1 y 2 yC
1 y 2 y 2 y1 y 或 1 x 2 x x2 x1
1 y 2 x2 x1 x 1 x 2 y2 y1 y
力学模型 模型的分类 分析力学的研究对象
分析力学的研究方法
分析力学的两大特点
分析力学的发展史
分析力学在一般力学学科的地位
分析力学的研究对象__
力学模型
质点：只有质量、没有大小的物体。 质点系：由若干质点组成的、有内在联系的集合。
刚体：特殊的质点系，任意两点的距离保持不变。
分析力学的研究对象是质点系
几何约束&运动约束 运动约束
可积分的运动约束
约束方程可变为某个函数的全微分或满足可积分的条件，这种约束 方程称为可积分的运动约束 例：半径为r的圆柱在粗糙的平直轨道上滚动而不滑动
y
yC r
x
几何约束
C
C x
0 运动约束 C r vA x
yC
O
xC
A
dt 0 C dt r x
分 析 力 学
参考资料
1.叶敏、肖龙翔，分析力学，天津大学出版社 2. 王振发，分析力学，科学出版社 3.陈滨，分析动力学，北京大学出版社 4.老大中，变分法基础（第二版），国防工业出版社 5.梅凤翔，分析力学（上下卷），北京理工大学出版社
6.赵跃宇、梅凤翔，力学系统的对称性与不变量，科学出版社
第一章 分析力学的基本概念 第二章 虚位移原理和达朗伯原理
拓扑学的产生
他们把代数拓扑学的基本精神概括为： 把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求 解。同调群，以及在30年代引进的上同调环， 都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。 直到今天，三角形与圆形同胚；而直线 与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提 供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因 而也最常用的。不必加以区别。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在 分析学和力学的工作中， 实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统 地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑 概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、 连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现 了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成 一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象 空间的观念。这样，B.黎曼在复函数的研究中提出 了黎曼面的几何概念， 到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与 点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。
L.E.J.布劳威尔在1910～1912年间提出 了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重 要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空 间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形 之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了 不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、 论证严密方面达到了应有的标准，成为引人 瞩目的学科。 紧接着，J.W.亚历山大1915年证明了贝 蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧 性），
二，拓扑学的发展阶段
十九世纪中期，黎曼在复函数的研究 中强调研究函数和积分就必须研究形势分析 学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。 拓扑学建立后，由于其它数学学科的发 展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎 曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为 分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进 展。
在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了 可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极 限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。 在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概 念(1854)。得出许多拓扑概念，
一图看懂基础教育课程教学改革深化行动方案学习解读ppt课程
2.制订课程实施的学校规划。地方各级教育行政部门及专业机构督促指导学校根据培养目标，立足办 学理念和学生发展需要，分析资源条件，因校制宜规划学校课程及其实施。学校以促进学生全面而有个性 地发展、健康成长为目标，高质量落实国家课程，建设校本课程，将课程理念、原则要求转化为具体的育 人实践活动，构建体现学校办学特色的课程育人体系，注重持续优化。义务教育阶段确保全面落实国家课 PPT课件为远近模板原创作品，（LHJ+FHX）联合出品，欢迎付费下载使用，未经许可，请勿转让。谢谢！ 程，注重与地方课程和校本课程的统筹实施；普通高中保证开齐开好必修课程的基础上，注重适应学生特 PPT课件为远近模板原创作品，（LHJ+FHX）联合出品，欢迎付费下载使用，未经许可，请勿转让。谢谢！ 长在此输入文字八 优势和发展需要，提供分层分类、丰富多样的选修课程，形成体现学校办学特色的课程系列。
前言
2023 年 5 月 ， 教 育 部 办 公 厅 印 发 《 基 础 教 育 课 程 教 学 改 革 深 化 行 动 方 案 》 （ 以 下 简 称 《 行 动 方 案》），要求各地各校明确责任分工，建立健全推进机制，不断将基础教育课T课件为远近模板原创作品，（LHJ+FH X）联 合出品 ，欢迎 付费下 载使用 ，未经 许可， 请勿转 让。谢 谢！ PPT课件为远近模板原创作品，（LHJ+FH X）联 合出品 ，欢迎 付费下 载使用 ，未经 许可， 请勿转 让。谢 谢！
《行动方案》的全文学习
在此输入文字八
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前言
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急诊病例讨论 ppt课件
孕龄≧32周或胎肺已成熟、胎儿宫内窘迫、先兆 肝破裂及病情恶化者，应立即终止
ppt课件
32
病情的监测
每6hr测凝血功能、肝肾功能直至分娩 产后每天监测上述指标 密切监测BP、尿蛋白、孕妇血流动力学、心衰、肾衰和脑水肿等 及时发现胎盘早剥迹象 必要时复查眼底检查 胎儿监护
ppt课件
15
HELLP综合征病因、 发病机理
HELLP综合征病因和发病机理目前尚不完全清楚 多数学者研究认为妊高征孕妇血管内皮损伤是其
主要病理改变 血管内皮损伤导致纤维蛋白沉积、血管痉挛和血
小板激活、局部聚集增加。
ppt课件
16
HELLP综合征病因、 发病机理
全身血痉挛、狭窄和纤维蛋白的沉积使红细胞在通过血管时发生变形 和破坏，造成血管内溶血。
ppt课件
6
请神经内科会诊建议MRI、脑电图等检查，必要时脑脊液检查，予抗 炎、改善脑代谢、脱水等治疗
结合会诊意见予头孢米诺针抗感染、奥美拉唑针制酸护胃、胞磷胆碱 针改善脑代谢、甘露醇针脱水等治疗
ppt课件
7
上午镇静处理后完善头颅MRI增强检查
结论：1、大脑广发缺血缺氧性病变首先考虑，请结合临床及实验室 检查；2、右侧中耳乳突积液。
ppt课件
30
HELLP综合征的处理
积极纠正凝血障碍： 输入新鲜全血、血小板 小剂量阿斯匹林、肝素 血浆置换
尽早终止妊娠 （最重要、也是唯一有效的治疗方法）
ppt课件
31
妊娠终止的时机和方式
根据HELLP综合征的病情程度、病情变化、胎儿 情况和孕周，个体化处理
病情稳定、孕周<32周者，应给予促肺成熟的处 理，严密监测病情，通常4日内终止
ppt课件
32
病情的监测
每6hr测凝血功能、肝肾功能直至分娩 产后每天监测上述指标 密切监测BP、尿蛋白、孕妇血流动力学、心衰、肾衰和脑水肿等 及时发现胎盘早剥迹象 必要时复查眼底检查 胎儿监护
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HELLP综合征病因、 发病机理
HELLP综合征病因和发病机理目前尚不完全清楚 多数学者研究认为妊高征孕妇血管内皮损伤是其
主要病理改变 血管内皮损伤导致纤维蛋白沉积、血管痉挛和血
小板激活、局部聚集增加。
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HELLP综合征病因、 发病机理
全身血痉挛、狭窄和纤维蛋白的沉积使红细胞在通过血管时发生变形 和破坏，造成血管内溶血。
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6
请神经内科会诊建议MRI、脑电图等检查，必要时脑脊液检查，予抗 炎、改善脑代谢、脱水等治疗
结合会诊意见予头孢米诺针抗感染、奥美拉唑针制酸护胃、胞磷胆碱 针改善脑代谢、甘露醇针脱水等治疗
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7
上午镇静处理后完善头颅MRI增强检查
结论：1、大脑广发缺血缺氧性病变首先考虑，请结合临床及实验室 检查；2、右侧中耳乳突积液。
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HELLP综合征的处理
积极纠正凝血障碍： 输入新鲜全血、血小板 小剂量阿斯匹林、肝素 血浆置换
尽早终止妊娠 （最重要、也是唯一有效的治疗方法）
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31
妊娠终止的时机和方式
根据HELLP综合征的病情程度、病情变化、胎儿 情况和孕周，个体化处理
病情稳定、孕周<32周者，应给予促肺成熟的处 理，严密监测病情，通常4日内终止
第一章 Hamilton系统
某一瞬时系统的 运动规律。 一有限运动过程中 系统的运动规律。
力学 原理
变分 原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理 如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点： （1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的 运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同 时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域 的问题。 （2）该定律是着眼于单需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学 运算较复杂的原因。
经典 力学
分析 力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的 方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以 达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量 和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、 拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是 其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限 于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用， 其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了 物理规律背后更普遍的性质。
力学 原理
变分 原理
积分原理
1.2 各力学体系间的关系
1.2.1 各力学体系第一性原理
力学第一性原理也称作力学最高原理，是指力学中最基本最普遍的 规律，它是在人类反复实践与深入认识自然界客观规律的过程中建立起 来的。原理本身是不需要数学推证的，它的正确性可通过由它推导出的 定理和方程对某一自然现象的预测与实际观测的比较来得到证实。对一 门学科来说，原理具有高度概括性，学科中的所有定理及方程都可以由 它推演出来，因此它对一门学科的所有命题起到了统一的作用。可以说 一门学科的系统性与严密性，及其对客观世界反映的深入程度，可从该 学科的基本原理的普遍性与概括深度来说明。 不变分 原理 微分原理 如牛顿第二定律、达朗贝尔原理等
dP d 2r F m 2 ma dt dt
由牛顿第二定律的表达式我们可以看出其具有以下两个明显的特点： （1）该定律着重讨论质点在力作用下所获得的加速度或在几何空间的 运动轨迹，这使得以此为基础的整个牛顿力学具有较强的直观性，但同 时也使得牛顿力学的应用具有很大的局限性，只能用于解决纯力学领域 的问题。 （2）该定律是着眼于单需要解算的独立方程个数也越多，这便是牛顿力学 运算较复杂的原因。
经典 力学
分析 力学
分析力学是Lagrange等人于十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的 方法完全是数学分析，故称之为分析力学。它以 达朗贝尔原理和Hamilton原理为基础，分析质量 和物体的能量情况，由此探讨物体机械运动规律。 分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、 拉格朗日函数、Hamilton函数等，动能和势能是 其中最关键的量。分析力学的体系和方法不局限 于力学领域，对于物理学的其他领域也非常有用， 其原因是它将物理规律抽象为数学原理，揭示了 物理规律背后更普遍的性质。
议论文分析方法PPT课件
02
立意与选题策略
明确中心思想
确定文章的核心观点 或主题
保持全文观点一致， 避免偏离主题
围绕中心思想展开论 述
选择合适主题和角度
选择熟悉或感兴趣的主题 确定一个新颖且有深度的角度
考虑主题的时效性和普遍性
避免偏离主题或过于片面
紧扣主题，不要过多涉及无关内 容
对主题进行全面分析，避免片面 性
注意平衡不同观点，展示客观性
减。
突出重点
03
将重要的观点、论据或例子放在显眼的位置，如段首或段尾，
以便读者快速理解。
使用修辞手法，提高感染力
比喻和类比
通过比喻和类比，将抽象的概念或观点具体化、形象化，增强读者 的理解。
排比和对仗
运用排比和对仗的修辞手法，使文章节奏鲜明、条理清晰，提高读 者的阅读体验。
反问和设问
适时使用反问和设问，引导读者思考并加深对论点的印象。
语言表达特点
01
02
03
04
准确性
议论文要求语言表达准确、清 晰，避免歧义和模糊。
逻辑性
议论文要求语言表达具有严密 的逻辑性，各部分之间要有合
理的联系和过渡。
客观性
议论文要求作者在表达观点时 保持客观、公正的态度，避免
主观臆断和情感色彩。
丰富性
议论文要求语言表达丰富多样 ，可以运用各种修辞手法和表 达方式增强文章的表现力。
注意事项
对比要客观公正，不要过 于偏颇。
因果分析法
定义
通过分析事物之间的因果关系来 阐述论点的正确性。
优点
能够深入剖析事物的内在联系，使 观点更加有深度。
注意事项
要正确分析因果关系，不要颠倒因 果或强加因果。
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8.分析的严格化 8.2 分析的算术化
8.2.2实数理论
• 戴德金﹝Dedekind, 1831-1916﹞ • 1850年在格丁根大学求学 • 1852年获博士学位。 • 1854年留校任教，与狄利克雷和黎曼结为好友。 • 1862年返回家乡，在不伦瑞克综合工科学校执教，直至逝世。 • 是格丁根、柏林、巴黎、罗马等科学院的成员，还被欧洲几所大
1 4
a0 x2
Hale Waihona Puke x
n1
1 n2
an
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nx
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sin
nx(an , bn
0)
（T）在x处收敛F(x 2h) F(x 2h) 2F(x) 存在且在x处=（T） 4h 2
lim F(x 2h) F(x 2h) 2F(x) 0
h0
2h
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 8 Riemann的工作（之二）
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之二 ——函数及其连续性
• 函数连续性的定义与Bolzano的定义类似
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之三
——微分学
（一）生平 （Weierstrass, 1815-1897）
•数学分析算术化的完成者 •解析函数论的奠基人 •在其它数学领域的贡献 •卓越的大学数学教师
8.分析的严格化 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯 （一）生平——解析函数论的奠基人
•解析函数、解析开拓函数、完全解析函数 •整函数、亚纯函数 •多复变函数
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .5Cauchy分析严格化的影响
•对Laplace的影响 •对Dirichlet的影响 •对Riemann的影响 •对Weierstrass的影响
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .6 Cauchy分析严格化的缺陷
•未系统使用ε-δ方法 • 通常过多地依赖“充分接近”、“要多
小就有多小”等比较模糊的定性语言 • 定积分的定义的代替只用区间的端点值 • 偷换命题：在证明有界单调数列必收敛
时，实际已经用了实数系的完备性 • 未意识到建立实数理论的必要性
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .7 Cauchy分析严格化的地位
• 微积分成为由定义、定理（公式）及其证明、有关 各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。
8 分析学的严格化
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯 8.2.2实数理论 8.2.3集合论的诞生 8.3分析的扩展 8.3.1复分析的建立 8.3.2解析数论的形成 8.3.3数学物理与微分方程
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础
8.1.1背景
•在分析的严格化方面做出了开拓性的卓越贡献，但 尚未完成分析的算术化
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础
8.1 .8 Abel的工作
•把Cauchy的错误命题“连续函数的一个收敛级 数的和连续” 改为“连续函数的一个一致收敛 级数的和在收敛区域内部连续”并加以证明
•得到一些级数的收敛判别法则以及关于幂级数 求和的定理
（一）生平
• （Weierstrass, 1815-1897） • 1815年8月31日生于德国威斯特伐
利亚小村落奥斯滕费尔德 • 先在波恩大学学习法律和财政，
1838年转学数学 • 1854年，根据他的学术成就，柯尼
斯堡大学授予他名誉博士学位 • 1865年升为柏林大学教授
8.分析的严格化 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之一 ——极限与无穷小
•规定：当一个变量相继取的值无限接近一个固 定值，最终与此值之差要多小就有多小时，该值 就称为所有其它值的极限
•无穷小量的定义：以零为极限的量
•给出正无穷大量+∞与-∞的定义，（还是以变 量为基础，未直接从无穷小量的倒数出发）
something of a poet will never be a complete mathematician.
——Weierstrass
8.分析的严格化 8.2 分析的算术化 8.2.1魏尔斯特拉斯 （二）数学分析算术化的完成者
• 实数论：在严格的逻辑基 础上，建立了实数理论，用 递增有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极 限、极限点和连续函数等 严格定义。
Riemann可积 ∑DK → 0 (max{Δxn}→ 0)
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 8 Riemann的工作（之二）
——Fourier级数
对三角级数表示的函数
(T ) :
1 2
a0
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx(an , bn
0)
F ( x)
对导数的定义比Bolzano的定义多了一句“…当这个极限存在 时，…”并创立了记号:y’,f’(x)
首次使用ε-δ(使用的记号也是ε,δ)证明Lagrange中值定 理,并得到Cauchy中值定理:
f (X ) f (x0 ) f (x0 (X x0 )) F(X ) F(x0 ) F(x0 (X x0 ))
用微分中值定理证明极值点出切线的水平性
用微分中值定理及高阶导数的符号求极值
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之四
——积分学
•给出连续函数定积分的定义——分割、代替 （只用区间的端点值）、求和、求极限，并证明 其存在性
•简洁而严格地证明Newton--Leibniz公式
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4Cauchy的工作 (二)主要学术贡献
• 数学分析严格化的开拓者 • 复变函数的奠基者 • 弹性力学理论基础的创立者 • 其它 • 生前共出版了七部著作和800多篇论文，以
《分析教程 》（1821）和《关于定积分理论 的报告》（1827）最为著名。1882年开始出 版他的全集，至1970年已达27卷之多。
——Fourier级数
• 局域性定理：（T）在区间I上的敛散性 只依赖于F在区间上I的值。
•该定理被Cantor加强为唯一性定理: x∈[0,2]（T）收敛于0（T）≡0即 a0=an=bn=0 (n=1,2,…)
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 8 Riemann的工作（之三） ——连续不可微函数之一
•证明了定理：若连续函数f(x),g(x) f(α)<g(α), f(β)>g(β), 则存在 介于α与β之间的x ，使f(x)=g(x)
•得出了“有界实数集必有最小上界”的结论，后被Weierstrass严格证 明，被称为Bolzano——Weierstrass定理。 •1834年，开始写作《函数论》（生前未发表），第一个给出导数的定义： Δx由负到正趋向0时，比值
• 1755年，Euler的《微分学原理》，试图以纯粹 的代数形式研究函数及其微分运算，将微积分从 几何直观和几何论证中解放出来，为现代基于实 数系统的微积分的根本论证开辟了道路。
• 1797年，Lagrange发表《解析函数论》，尝试重 建微积分基础。
•Gauss在笔记中，有分析严格化的路径设计。
•推导了曲边形的面积、曲面面积、立体体积公 式
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4Cauchy的工作 (二) Cauchy的分析严格化之五
——级数论
• 以级数的部分和有极限定义级数收敛并以此定义收敛级 数之和，以此为基础建立了比较完整的级数论
•给出Cauchy准则 •对于正项级数，严格证明了比率判别法和根式判别法 • 对幂级数，得到收敛半径
f (x x) f (x)
x
无限趋向固定的量，该量成为函数f(x)在x的导数。
Bolzano的工作长期湮没无闻、鲜为人知。
10 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .4 Cauchy的工作 (一)生平
柯西（Cauchy, 1789-1857）
忠诚的保王党人 热心的天主教徒 落落寡欢的学者 对后起之秀不甚热心的导师
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 9 Dirichlet的工作
•1829年，在《关于三角级数的收敛性》 中，第一个给出Fourier级数收敛充分条 件的严格证明
• 1837年，《用正弦和余弦表示完全任意 函数》的发表，标志着Fourier级数论的 建立
8.分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 . 9 Riemann的工作（之一）
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .3波尔查诺（B.Bolzano,1781--1848）的工作
• 给出连续函数的定义：若函数f(x)对于区间内任意的x，只要Δx的绝对值 充分小，差f(x+Δx) -f(x)的绝对值小于任意给定的小正数，则称f(x)在 该区间上连续。该定义与Cauchy的定义无实质性的区别
第二次数学危机
Query 64…. Whether mathematicians… have not their mysteries, and, what is more, their repugnances and contradictions?
——Bishop Berkeley
8 分析的严格化 8.1 柯西与分析基础 8.1 .2 19世纪以前的工作