全等三角形培优竞赛讲义(二)

全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1）∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2）∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3）∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC 中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中，AE=AD∠A=∠AAB=AC.∴ΔACD≌ΔABE (SAS)∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）又∵ AD=AE,AB=AC.∴ AB－AD=AC－AE即 BD=CE在ΔDBF和ΔECF中∠B=∠C∠BFD=∠CFE（对顶角相等）BD=CE∴ΔDBF≌ΔECF （AAS）∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CDDCB AE F分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）在ΔABF与ΔCDE中，AF=CE （已知）∠DEC＝∠BFA （已证）DE=BF （已知）∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）∴∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F，连接BF∴ BF=12 AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC∴∠ACB＝∠3 （等边对等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中，BF=BE ∠3＝∠2CB=CB∴ ΔCEB ≌ΔCFB (SAS)∴ CE=CF=12 CD （全等三角形对应边相等）即CD=2CE （ⅱ）加倍法证明：延长CE 到F ，使EF=CE ，连BF.A EB DCF4123在ΔAEC 与ΔBEF 中，AE=BE∠1＝∠2 （对顶角相等） CE=FE∴ΔAEC ≌ΔBEF (SAS)∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF ∥AC (内错角相等两直线平行) ∵ ∠ACB+∠CBF=180o ,∠ABC+∠CBD=180o , 又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等） 在ΔCFB 与ΔCDB 中，CB=CB∠CBF=∠CBD BF=BD ∴ ΔCFB ≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。

例如上面折道理题也可这样处理，取AC 中点F ，连BF(如图)（B 为AD 中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF. (4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A 、D 、B 三点在同一条直线上，ΔADC 、ΔBDO 为等腰三角形，AO 、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

CBAOED分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。

通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中AD=DC∠ADO=∠CDB=90oOD=DB∴ΔADO≌ΔCDB (SAS)∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）∵∠AOD＝∠COE （对顶角相等）∴∠COE+∠OCE=90o∴ AO⊥BC5、中考点拨：例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∵EB＝ED，∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF，∴∠BED ＝∠F ． ∴∠F ＝∠A ．说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

例2 如图，已知△ ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE=BD ，连接CE 、DE.求证：EC=EDB C DEF A分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC 全等的三角形，因此过D 点作DF ∥AC 交BE 于F 点，证明△AEC ≌△FED 即可。

证明：过D 点作DF ∥AC 交BE 于F 点 ∵ △ ABC 为等边三角形 ∴ △BFD 为等边三角形 ∴ BF=BD=FD ∵ AE=BD ∴ AE=BF=FD∴ AE －AF=BF －AF 即 EF=AB ∴ EF=AC在△ ACE 和△DFE 中，EF=AC （已证）∠EAC ＝∠EDF (两直线平行，同位角相等) AE=FD (已证)∴ △AEC ≌△FED （SAS ）∴ EC=ED （全等三角形对应边相等） 题型展示：例1 如图，△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。

求证：AB ＝AC ＋CD ．分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴DE＝DC，∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED，即ED＝DC，∴AB＝AC＋DC．剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE ＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．【实战模拟】1. 下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．3. 如图，已知C 为线段AB 上的一点，∆ACM 和∆CBN 都是等边三角形，AN 和CM 相交于F 点，BM 和CN 交于E 点。

求证：∆CEF 是等边三角形。

ABCMNE F124.如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AD<12(AB+AC)5. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．求证：BD ＝CG ．【试题答案】1. D2.证明：∵AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。

∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC3.分析由∠ACM=∠BCN=60︒，知∠ECF=60︒，欲证∆CEF是等边三角形，只要证明∆CEF 是等腰三角形。

先证∆CAN≌∆MCB，得∠1=∠2.再证∆CFN≌∆CEB，即可推得∆CEF是等边三角形的结论。

证明：在∆CAN和∆MCB，∵AC=MC，CN=CB，∠CAN=∠MCB=120︒，∴∆ACN≌∆MCB中，∴∠FCB和∆CEB中，∵∠FCN=∠ECB=60︒，∠1=∠2，CN=CB，∴∆CFN≌∆CEB，∴CF=CE，又∵∠ECF=60︒，∴∆CEF是等边三角形.4.分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE在∆ACD与∆EBD中∴∆ACD≌∆EBD（SAS）∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）在∆ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。