湖南省2020届高三六校联考数学理
湖南四大名校内部资料2020届高三统考参考答案(理科数学)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且
湖南省2020届高三年级下学期4月六校联考理科科数学试题及答案
姓名准考证号湖南省2020届高三六校联考试题数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =U （ ） A.()0,4 B.∅C.()2,-+∞ D.[)2,-+∞2.若复数z 满足211z i i i=++g （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ） A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限 3.已知条件p ：1k =,条件q ：直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，313b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c a b << B. c b a << C. a c b << D.b c a <<5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推。
湖南省六校2020届高三数学4月联考试题 理
湖南省六校2020届高三数学4月联考试题 理考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时量120分钟，满分150分。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
作答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝ A ．2＋2i B ．1＋2i C ．1－2i D ．2－2i2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于A ．2B ．3C ．4D ．15．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－xx －2，则函数在x ＝－1处的切线方程是A ．2x －y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －2＝06．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C(0，1)，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P 2，则A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定7．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，AD ⊥BC 于D ，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝A ．6B ．3 2C ．3D ．2 38．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)，以点P(b ，0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN＝90°，则C 的离心率为A.72 B.52C. 2D. 3 9．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：2020＋100＝2119，则称(m ，n)为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n)的值，那么值为2020的“简单的”有序对的个数是A ．30B ．60C ．96D ．10010．若x 1是方程xe x＝1的解，x 2是方程xln x ＝1的解，则x 1x 2等于A ．eB ．1 C.1eD ．－111．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，且f(x)在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝⎛⎦⎥⎤712，1312 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫712，1312 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1112，1712 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1112，171212．已知函数f(x)＝e x－ax －1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a 的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－12e 2，eB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－12e 2，1∪⎝⎛⎦⎥⎤e －1，e 2－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2－12e2，e －1e ∪()e －1，e D ．(e －1，e)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年湖南省湘西市雅丽中学高三数学理联考试卷含解析
2020年湖南省湘西市雅丽中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集U=R，集合，则=（）A． B．C． D．参考答案：B2. 已知i为虚数单位，复数，，若复数z是纯虚数，则（）A．1 B．C．2 D．4参考答案：C，若复数是纯虚数，则，所以.所以，则.故选C.3. 是虚数单位，若，则等于A、1B、C、D、参考答案：C4. 已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是() A．(2，＋∞) B．2，＋∞)C．(3，＋∞) D．3，＋∞)参考答案：B5. 下列命题中错误的是A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面平面，，那么直线平面D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面参考答案：D根据面面垂直的的性质可知，D错误。
6. 已知函数有两个极值点，且，则直线的斜率的取值范围是A. B.C. D.参考答案：A7. 若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是(A).a＝－1或3 (B).a>3或a<－1 (C).a＝－1 (D).－1<a<3参考答案：C8. 下列函数中定义域为R，且是奇函数的是A ．=x 2+xB ．=tanxC ．=x+sinxD ．=参考答案：C9. 小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（ ）A. 72B. 56C. 48D. 40参考答案：A 【分析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可。
2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)
2020年湖南省六校联考高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =√x −1}，B ={x|−1<x <2}，则A ∪B =( )A. (1,2)B. [1,2)C. (−1,+∞)D. [−1,+∞)2. 在复平面内，复数21+i 对应的点与原点的距离是( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 若p ：a <b ；q ：3a −3b <5−a −5−b ，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知a =ln 34，b =5lg3，c =3−12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. b <c <a5. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为( )A. 一尺五寸B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸6. 函数f(x)=e x −1e x +1cosx 的部分图像大致为( )A.B.C.D.7. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )A. △ABC 是锐角三角形B. △ABC 是直角三角形C. △ABC 是钝角三角形D. △ABC 的形状不能确定8. 若点A 是棱长为2的正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P ，则点P 到点A 的距离大于2的概率为( )A. 1−π6B. 1−π4C. 1−π3D. π69. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =( )A. 1+12+13+...+110 B. 1+12!+13!+...+110! C. 1+12+13+...+111 D. 1+12!+13!+...+111!10. 已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω>0)，且对于任意的x ∈R ，有f (x +π2)=f (x −π2)，设ω的最小值为ω0，记g(x)=|cos (ω0x +π6)|，则下列区间为函数g(x)的一个递减区间的是( )A.B.C.D.11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f′(x)<0，且f(2)=−12，则不等式xf(x)<−1的解集为( )A. (−∞,−12)∪(12,+∞) B. (−12,12) C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,2)12. 已知某四棱锥的三视图如图所示(网格小正方形边长为1)，则该四棱锥的表面积为( )A. √5+7B. 3√5+7C. 7+2√5D. 3√5+4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是_____，含x 4的项的系数_______．14. 已知数列{a n }的首项a 1=2，且a n+1=12a n +12(n ∈N ∗)，则数列{1an −1}的前10项的和为__________．15. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．16. 已知P 为抛物线y 2=4x 上动点，Q 为圆(x −3)2+y 2=1上动点，则距离|PQ|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a −c =2bcos C ．(1)求sin(A+C 2+B)的值；(2)若b =√3，求c −a 的取值范围．18. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形；PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =AC ，点F 为PC 的中点． (Ⅰ)求证：PA //平面BFD ； (Ⅱ)求二面角C −BF −D 的余弦值．19. 已知圆M:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线l:x −√3y +4=0相切，设点A 为圆上一动点，AB ⊥x 轴于B ，且动点N 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设动点N 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 1与曲线C 交于不同两点P,Q ，点P,Q 在直线x =4上的射影依次为D,E ，求证：直线PE 与直线QD 相交于一个定点，并求出这个定点．20. 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得表数据．(1)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断该高三学生的记忆力x 和判断力是正相关还是负相关：并预测判断力为4的同学的记忆力．(参考公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2)21. (1)求函数f(x)=lnx x的最大值；(2)若函数g(x)=e x −ax 有两个零点，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=|x+a|+2|x−1|(a>0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)−5<0的解集为(m,n)，且n−m=4，求a的值．3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x≥1}，B={x|−1<x<2}；∴A∪B=(−1,+∞)．故选：C．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及并集的运算．2.答案：B=1−i解析：解：21+i则1+i对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2．故选B．即得．化简21+i本题考查复数的运算，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查了充分条件、必要条件的判断及充要条件的定义，属于基础题．令f(x)=3x−5−x，根据f(x)的单调性，结合充分必要条件的定义即可判断．解：令f(x)=3x−5−x，则f(x)为R上的单调递增函数，若3a−3b<5−a−5−b，则3a−5−a<3b−5−b．即f(a)<f(b)，所以a<b.所以p是q的必要条件；反之，若a<b，则f(a)<f(b)，所以3a−5−a<3b−5−b，即3a−3b<5−a−5−b，所以p是q的充分条件；所以p是q的充要条件．故选：C．4.答案：B解析：a =ln 34<ln1=0，b =5lg3>50=1，0<3−12<30=1，∴a <c <b ，故选：B ．5.答案：B解析：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }，公差为d ， 则{a 1+a 4+a 7=31.59a 1+36d =85.5, 解可得，d =−1，a 1=13.5，根据题意即求a 12=13.5+11×(−1)=2.5 故选：B ．由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础题．6.答案：A解析：本题为识图题，考查函数的奇偶性以及图象的选取，题目常规． 采用排除法解题，首先判断出函数为奇函数，可排除选项B 、D ，又由，可排除选项C ，故题目得解．解：函数的定义域为R ，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数，故排除选项B 、D ， 又，故排除选项C ．故选A ．7.答案：B解析：本题考查了向量的三角形法则和数量积运算法则、勾股定理的逆定理，属于基础题．由(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，可得(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，进而得到|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 利用勾股定理的逆定理即可判断出． 解：∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， ∴∠A =90°．∴△ABC 是直角三角形． 故选：B ．8.答案：A解析：本题考查几何概型的计算，关键在于掌握正方体的结构特征与正方体、球的体积公式．根据题意，分析可得，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，与点A 距离小于等于2的点在以A 为球心，半径为2的八分之一个球内，计算可得其体积，易得正方体的体积；由几何概型公式，可得点P 到点A 的距离小于等于2的概率，借助对立事件概率的性质，计算可得答案． 解：如图：根据题意，分析可得，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，与点A 距离小于等于2的点在以A 为球心，半径为2的八分之一个球内，其体积为V 1=18×43π×23=43π， 正方体的体积为23=8，则点P 到点A 的距离小于等于2的概率为：π6， 故点P 到点A 的距离大于2的概率为1−π6， 故选A ．9.答案：B解析：k =1，T =1，S =1；k =2，T =12，S =1+12；k =3，T =12×3，S =1+12+12×3；k =4，T =12×3×4，S =1+12!+13!+14!，…，10>10不成立，继续循环． 10.答案：A解析：本题主要考查=Asin(ωx +φ)的图像与性质，考查了两角和与差公式，属于中档题．将原函数化简为f(x)=2sin (ωx −π3)，根据已知条件得到π为f(x)的一个周期，故|2πω|≤π，得ω≥2，所以ω0=2，所以g(x)=|cos(2x +π6)|，然后根据函数图像的对称性，即可得出函数g(x)的递减区间． 解：f(x)=√3sinωx −cosωx =2sin (ωx −π3)， 由f(x +π2)=f(x −π2)得f(x +π)=f(x)， ∴π为f(x)的一个周期， ∴|2πω|≤π，得|ω|≥2， ∵ω>0，∴ω≥2，∴ω0=2，∴g(x)=|cos(2x +π6)|，其图象是将函数g(x)=cos(2x +π6)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴对称得到，∴令kπ<2x +π6<kπ+π2,k ∈Z ， ∴kπ2−π12<x <kπ2+π6,k ∈Z ，令k =0，得−π12<x <π6．∴只有A选项满足要求．故选A．11.答案：C解析：解：由题意作草图如下，f(x)在R上递减；当x>0时，f(x)<−1x ，且其交点是(2,−12)，当x<0时，f(x)>−1x，其交点是(−2,12)，所以解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选C．由函数f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)<0，且f(2)=−12得条件作出函数f(x)的草图，讨论求不等式xf(x)<−1的解集．本题考查了学生的作图能力及导数的应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．12.答案：B解析：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥，是正方体的一部分，计算出各个面的面积，可得答案．解：三视图对应的几何体的直观图如图：是正方体的一部分，是四棱锥，AD =CE =BC =2，AB =DE =√5，AE =3，BE =2√2， cos∠ABE =2×22×5=√1010， sin∠ABE =3√1010，S △ABE =12×2√2×√5×3√1010=3，则该四棱锥的表面积为：2×√12+22+12×2×2+12×2×2+12×2×√5+3=7+3√5． 故选B ．13.答案：32；10解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于4，求出r 的值，即可求得含x 4的项的系数． 解：在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是25=32，通项公式为T r+1=C 5r⋅(−1)r ⋅x 10−3r ，令10−3r =4，求得r =2， 可得含x 4的项的系数是C 52=10，故答案为32；10．14.答案：1023解析：本题考查由递推关系求通项公式，属于中档题.构造等比数列是解决本题的关键． 解：∵a n+1=12a n +12(n ∈N ∗)∴a n+1−1=12(a n −1) ∴{a n −1}是以a 1−1=1为首项，以12为公比的等比数列． ∴a n −1=(12)n−1，即1an−1=2n−1，故{1a n −1}是以1为首项，2为公比的等比数列，由等比数列求和公式知：S 10=210−1=1023． 故答案为1023．15.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72． 故答案为：−72．16.答案：2√2−1解析：解：设圆心为O ，则PQ =OP −OQ =OP −1，O 点坐标(3,0)， 设P 坐标(x,y)，则OP =√(x −3)2+y 2=√(x −1)2+8≥2√2， ∵圆半径为1，∴PQ 最小值为2√2−1．故答案为：2√2−1．设圆心为O，则PQ=OP−OQ=OP−1，求出OP的最小值，即可得出结论．本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和配方法的灵活运用．17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a−c=2bcosC=a2+b2−c22ab×2b，整理可得，a2+c2−b2=ac，cosB=a2+c2−b22ac =12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB=√32，所以asinA =csinC=bsinB=2，从而a=2sin A，c=2sin C．所以c−a=2sinC−2sinA=2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)．因为A+C=2π3，所以0<A<2π3，从而−π3<π3−A<π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c−a的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．18.答案：(Ⅰ)证明：连结AC，BD与AC交于点O，连结OF．∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．∵点F为PC的中点，∴OF//PA．∵OF⊂平面BFD，PA⊄平面BFD，∴PA//平面BFD．(Ⅱ)解：如图，以点A为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，令PA =AD =AC =1，则A(0,0,0),P(0,0,1),C(√32,12,0)，B(√32,−12,0),D(0,1,0)，F(√34,14,12)．∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√34,34,12)． 设平面BCF 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 由n ⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{y =0−√34x +34y +12z =0，∴{y =0z =√32x，令x =1，则z =√32，∴n ⃗ =(1,0,√32)． ∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ．∵OF //PA ，∴OF ⊥AC ． ∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ． ∵OF ∩BD =O ，∴AC ⊥平面BFD ．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BFD 的一个法向量，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0)． ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√1+4×1=√217，∴二面角C −BF −D 的余弦值是√217．解析：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF ，利用三角形中位线的性质，证明OF//PA ，再利用线面平行的判定定理证明PA//平面BFD ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面BCF 、平面BFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C −BF −D 的余弦值．19.答案：解：(Ⅰ)由已知可得点M 到直线 l 的距离 d 满足 d =√12+(√3)2=2=r，所以圆M:x 2+y 2=4，设动点N(x,y),A(x 0,y 0),B(x 0,0)，由AB →=2√33NB →，可知{x 0=x y 0=2√33y ，代入到圆方程， 化简可得x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线l 1的方程为x =my +1，(1)当m =0时，直线l 1⊥x 轴，则四边形PQED 为矩形． 此时直线PE 与QD 相交于点H (52,0)．(2)当m 变化时，猜想直线PE 与QD 相交于点H (52,0)． 证明如下：由{x =my +13x 2+4y 2=12，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4，∵PH →=(5−x 1,−y 1)=(3−my 1,−y 1),HE →=(3,y 2),(32−my 1)y 2−32(−y 1)=32(y 1+y 2)−my 1y 2=32(−6m 3m 2+4)−m(−93m 2+4)=0 ∴PH →//HE →，即P,H,E 三点共线， 同理可得Q,H,D 三点共线，猜想成立．解析： 本题主要考查了动点的轨迹方程和圆锥曲线的综合题．(1)由圆M:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线l:x −√3y +4=0相切，求出半径，即可得到圆的方程，然后由AB →=2√33NB →，求出点A 的坐标，代入圆的方程即可得到曲线C 的方程；(2)设直线l 1的方程为x =my +1，由m =0得到直线PE 与QD 相交于点H (52,0)，猜想一般情况也如此，联立方程组，得到P,H,E 三点共线，Q,H,D 三点共线，证明猜想成立．20.答案：解：(1)x −=6+8+10+124=9，y −=2+3+5+64=4，∴b ̂=∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4x−2=12+24+50+72−4×9×436+64+100+144−4×81=0.7．a ̂=4−0.7×9=−2.3．∴y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.7x −2.3； (2)因为0.7>0，所以高三学生的记忆力x 和判断力是正相关， 由y ^=0.7x −2.3，取y =4，解得x =9． 故预测判断力为4的同学的记忆力为9．解析：本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题． (1)由已知求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求；(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取y =4求得x 值得答案．21.答案：解：(1)对f(x)=lnx x求导数，f′(x)=1−lnx x 2．在0<x <e 时，f(x)为增函数，在x >e 时f(x)为减函数， ∴f(x)≤f(e)=1e ，从而f(x)的最大值为1e ．(2)①在a =0时，g(x)=e x 在R 上为增函数，且g(x)>0，故g(x)无零点．②在a <0时，g(x)=e x−ax 在R 上单增，又g(0)=1>0，g(1a)=e 1a −1<0，故g(x)在R 上只有一个零点．③在a >0时，由g′(x)=e x −a =0可知g(x)在x =lna 时有唯一极小值，g(lna)=a(1−lna)．若0<a <e ，g(x)极小=a(1−lna)>0，g(x)无零点， 若a =e ，g(x)极小=0，g(x)只有一个零点，若a >e ，g(x)极小=a(1−lna)<0，而g(0)=1>0． 由(1)可知，f(x)=lnx x在x >e 时为减函数，∴在a >e 时，e a >a e >a 2，从而g(a)=e a −a 2>0． ∴g(x)在(0,lna)与(lna,+∞)上各有一个零点． 综上讨论可知：a >e 时，f(x)有两个零点．解析：(1)求出f′(x)=1−lnx x 2.利用导函数的符号判断函数的单调性然后求解最大值．(2)①在a =0时，②在a <0时，③在a >0时，判断函数的单调性，求解函数的极值与0的关系，然后求解零点个数．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点个数的判断，是难题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|x +a|+2|x −1|={−3x +2−a,x ≤−a,−x +a +2,−a <x <1,3x +a −2,x ≥1,所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则f(x)min =f(1)=a +1． (2)由(1)结合题意可得{f(1)=a +1<5,3n +a −2=5,则{0<a <4,n =7−a 3, ①当f(−a)=2+2a ≥5时，−m +a +2=5，解得m =a −3，即{32≤a <4,7−a3−a +3=43,解得a =3．②当f(−a)=2+2a <5时，−3m +2−a =5，解得m =−3−a 3，即{0<a <32,7−a 3−−a−33=103≠43,故此时a无解． 综上，a =3．解析：本题主要考查求函数的最值，绝对值不等式的解集问题． (1)先去绝对值，得到函数的单调区间，进而可得f(x)的最小值；(2)由(1)结合题意可得{f(1)=a +1<53n +a −2=5,则{0<a <4n =7−a 3,①当f(−a)=2+2a ≥5时，解得a =3，②当f(−a)=2+2a <5时，a 无解.所以a =3．。
2020届湖南省长郡中学高三第六次诊断考试数学(理)试题
2020届湖南省长郡中学高三第六次诊断考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2B m m A =∈，则A B 的所有元素之和为（ ）A ．21B ．17C ．15D ．132.已知复数z 在复平面上对应的点的坐标为（-1,1）,则( ) A. z-1是实数B. z-1是纯虚数C. z-是实数D. z+是纯虚数3.设R x ∈，向量(,1)a x =，(1,2)b =-，且b a⊥，则a b +=（ ）1011 C.3134.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足：12125lg 2E m m E -=其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是26.7-,天狼星的星等是 1.45- 则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.15．将(2)nx -的展开式按x 的降幂排列，若第三项的系数是40，则n =（ ）.A 4 .B 5 .C 6 .D 76. 正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2396150a a a +-+=，则11S =（ ） A ． 55 B ． 45 C ．36 D ．357． ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：①如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥;②如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥;③如果//,m αβα⊂，那么//m β;④如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.48．已知命题p ：x ∃∈（0，2π），tanx ≤sinx ，命题q ：直线l 1：2x －my ＋3＝0与直线l 2：x ＋my －1＝0相互垂直的充要条件为m ＝ ） A ．q ⌝ B ． p ∧q C ． ()p q ⌝∨ D ． p q ⌝∧9. 已知三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面互相垂直，AC =3AB =,BC CD BD ===则球O 的体积为（ ）A ．43π B ．C ． 36πD ．323π10.将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min π6x x -=，则ϕ的值是（ ）A ．π4B ．π6C ．π3 D ．π211.已知函数()f x 满足()()2f x f x +=，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围( ) A ． 11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ． ()0,+∞12.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >， 201920192020202011,01a a a a -><-，下列结论正确的是( )A ．20192020S S >B ．2019202110a a ->C ．2020T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届湖南省普通高中高三下学期六校联考数学(理)试卷参考答案
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2020年湖南省娄底市涟源第六中学高三数学理联考试卷含解析
2020年湖南省娄底市涟源第六中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合且,若，则( )A.－3≤m≤4B.－3<m<4C.2<m<4D.2<m≤4参考答案：D2. 是虚数单位，(A) (B) (C) (D)参考答案：答案：D3. 函数的图象的大致形状是（）参考答案：C4. 执行如图所示的程序框图，若输出的k=8，则输入的k为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，可得这6次循环中k的值是以a为首项，1为公差的等差数列，根据输出的k=8，得出结论．【解答】解：设输入k的值为a，则第一次循环，n=5，继续循环，第二次循环n=3×5+1=16，继续循环，第三次循环n=8，继续循环，直到第6次循环，n=1，结束循环，在这6次循环中k的值是以a为首项，1为公差的等差数列，输出的k=8，∴8=a+6，∴a=2，故选C．5. 在△ABC中， ==，则sinA：sinB：sinC=（）A．5：3：4 B．5：4：3 C．：：2 D．：2：参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2=k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值．【解答】解：△ABC中，∵ ==，∴==，即==，即==bc，即 2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2，设2a2+2c2﹣2b2=3a2+3b2﹣3c2=6b2+6c2﹣6a2=k，求得 a2=5k，b2=3k，c2=4k，∴a=，b=，c==2，∴由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=：：2，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理，属于中档题．6. 已知双曲线（a＞0）的离心率是则a=A. B. 4 C. 2 D.参考答案：D【分析】本题根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解.【详解】分析：详解：∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B． C.D．参考答案：C原几何体是一个圆柱与半个圆锥的组合体，体积为．8. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（）A. 升B. 升C. 升D. 升参考答案：B分析：设自上而下各节的容积分别为公差为，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和．详解：设自上而下各节的容积分别为，公差为，∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴，解得，∴自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为：（升）．故选B．点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9. 已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．参考答案：B考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．解答：解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=﹣1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．10. 执行如图所示的程序框图，如果输出的是，那么输入的正整数是（）A. B. C.D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a是f（x）=2x-的零点，若0<x0<a，则f（x0）的值与0的大小关系是______________．参考答案：f （x0） < 0略12. 已知函数，，则的单调递增区间为．参考答案：（或），根据正弦函数的单调性可得，解得得，又的单调递增区间为，故答案为或.13. 在数列{a n}中，a1=1，a n?a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．参考答案：﹣2【考点】数列递推式．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1?a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n?a n+1=﹣2，得a2=﹣2，又a n﹣1?a n=﹣2（n≥2），∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．14. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．参考答案：3【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k MN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d==3为最大值．故答案为：3．15. 已知向量a=(1，-2)，b=(x，y)，若x，y∈[1，4]，则满足的概率为．参考答案：16. 将函数的图象向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能值等于参考答案：17. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为 .参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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湖南省2019年六校联考数学（理）考试试题卷湘潭市一中、长沙市一中、师 大 附中、 岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中时量120分钟 满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，则（ ）A .{}0=⋂B A B. U B A =⋃ C. {}1)(=⋂B C A U D. B B A C U =⋃)( 2、下列说法中正确的是（ ）．A ．“5x >”是“3x >”必要不充分条件；B ．命题“对x R ∀∈，恒有210x +>”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≤”．C ．∃m ∈R ，使函数f(x)＝x 2＋mx (x ∈R)是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题；3、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 ( )A.模型1（相关指数2R 为0.97）B.模型2（相关指数2R 为0.89）C.模型3（相关指数2R 为0.56 ）D.模型4（相关指数2R 为0.45）4、在三角形OAB 中，已知OA=6，OB=4，点P 是AB 的中点，则=⋅（ ）A 10B -10C 20D -205、如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）A33 B 335 C 332 D 3 6、已知54)6cos(=+πα（α为锐角）， 则=αsin （ ）A ．10433+B ．10433-C ．10343- D ．10343+ 7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点(3,)A y 向准线l 作垂线，垂足为B ,若ABF ∆为等边三角形, 则抛物线的标准方程是 ( ）． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x = D. 24y x =8、已知函数f (x )=x x ln 22- 与 g(x )=sin )(ϕω+x 有两个公共点, 则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x )=（ ） A ．)22sin(ππ-x B ．)22sin(ππ-x C ．)2sin(ππ-x D ．)2sin(ππ+x二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C 的参数方程是）t t y t x 为参数(sin 3cos 4⎩⎨⎧==，直线l 的极坐标方程是01)sin (cos =+-θθρ，则直线l 与曲线C 相交的交点个数是______.10. 如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，且24AB PA ==．PC 切圆O 于C ，Q 是PC 的中点， 直线QA 交圆O 于D 点．则QA QD = ． 11、设x R ∈，则函数y= ||x 的最大值是 ．(二) 必做题（12~16题） 12、设复数iiz -=1 (其中i 为虚数单位)，则2z 等于13、已知()nx -1的展开式中只有第5 则含2x 项的系数= ______.14、执行右边的程序框图，若输出的T=20，则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号） 。
（①T ≥S ，②T ＞S ，③T ≤S ，④T ＜S ） 15. 设矩形区域Ω由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由余弦函数cos y x =、2x π=±及1y =-所围成的平面图形．在区域Ω内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是 ．16. 用g f e ,,三个不同字母组成一个含1+n *)(N n ∈个字母的字符串，要求由字母e开始，相邻两个字母不能相同. 例如1=n 时，排出的字符串是eg ef ,；2=n 时排出的字符串是egf ege efg efe ,,,,…….记这种含1+n 个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是e 的字符串的个数为na. 故2,021==a a .=4a=n a ．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证。
现张某已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为32，科目三考试合格的概率为21，且每次考试或补考合格与否互不影响。
（1）求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。
（2）若张某不放弃所有考试机会，记ξ为参加考试的次数，求ξ的分布列与数学期望。
18．（本题满分12分）由五个直角边为2的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形 ACDEF ，沿AD 折起，使平面ADEF ⊥平面ACD. （1）求证：FB ⊥AD（2）求二面角C-EF-D 的正切值.图2图1A19、（本题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足14a =，且32454a a a 是、的等差中项，数列{}nb 满足11n n b b +=+，其前n 项和为n s ，且264s s a += （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式2(4)73n n nlog T b n λ+-+≥对一切n N +∈恒成立，求实数λ的取值范围。
20.（本题满分13分）某小型加工厂生产某种机器部件，每个月投产一批。
该部件由5个A 零件和2个B 零件构成，加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工, 再组装成部件, 每加工成一个部件需要消耗10度电。
已知A 、B 两种零件毛坯采购价格均为4元/个, 但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时，超过的部分可按优惠价3.6元/个结算。
电费按月交纳, 电价按阶梯电价计算：每月用电在5000度以内1元/度, 超过5000度的部分每度电增加c （c > 0）元. 设每月还需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考虑人工成本的条件下, 问： (1) 每月若投入资金1万元, 可生产多少件部件?(2) 每月若有2万元的资金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 应投入多少资金?21. （本题满分13分）已知P （0，-1）与Q （0，1）是直角坐标平面内两定点，过曲线C 上一动点M （x,y)作Y 轴的垂线，垂足为N ，点E满足43=，且0=⋅。
1）求曲线C 的方程。
2）设曲线C 与x 轴正半轴交于点A ，任作一直线l 与曲线C 交于M N 、两点（M N 、不与A 点重合）且090MAN ∠=，求证l 过定点并求定点的坐标。
22、（本题满分13分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+ (1)a ≥（1）讨论()f x 的单调性与极值点。
（2）若21()1(1)2g x x x x =-->, 证明当1a =时，()g x 的图象恒在()f x 的图象上方. （3）证明2222ln 2ln 3ln 21(.2)234(1)n n n n N n n n +--+++<∈≥+湖南省2019年六校联考数学考试试题答案一、选择题：二、填空题：9、210、2QC QA QD =，212PC PA PB ==，因Q 是PC 的中点，所以3412==⋅PC QD QA ． 11、由柯西不等式，得2112212222222=+⋅-+≤-+⨯=-+x x x x x x ．或用基本不等式：||2x ≤=．12、2i 13、28 14 ② 15、阴影面积为2222(cos 1)(sin )2S x dx x x πππππ--=+=+=+⎰，故所求的概率为22P ππ+=． 16、答案：64=a3)1(22nn n a -+=解析：01=a 11222aa -== 22322a a -==33426a a -== 445210a a -==所以，112---=n n na a 所以，2212----=n n n a a 两式相减得：222--=-n n n a a当n 为偶数时，利用累加法得2422222-+++=-n n a a =342-n 所以，322+=n n a ；当n 为奇数时，利用累加法得2311222-+++=-n na a=322-n 所以，322-=n n a .综上所述: 3)1(22nn n a -+=三、解答题答案： 17、答案：解：设“科目二第一次考试合格”为事件A 1； “科目二补考考试合格”为事件A 2；“科目三第一次考试合格”为事件B 1； “科目三补考考试合格”为事件B 2； 则A 1、A 2、B 1、B 2相互独立。
（1）他不需要补考就可获得驾证的概率为：312132)()()(1111=⋅=⋅=⋅=B P A P B A P P …………………………………………5分（2）ξ的可能取值为2，3，4∵9431312132)()2(2111=⨯+⨯=+==A A B A p P ξ 942132312132)()3(12111=⨯⨯+⨯=+==B A A B A p P ξ91213231)()4(121=⨯⨯====B A A p P ξ …………………………………………9分∴ξ的分布列为389249144342)(==⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分18、答案： 解：法一：(1)作FO ⊥AD 于O ，连OB. .......................(1分） ∵等腰直角三角形AFD, ∴点O 为AD 的中点.而等腰直角三角形ABD ，∴BO ⊥AD, 而FO ∩BO=O ，∴AD ⊥平面FOB, ∴FB ⊥AD .....................（5分） (2) ∵等腰直角三角形ADB 和等腰直角三角形CDB,∴∠ADC=90°， ∴CD ⊥AD .....................（7分） 又 ∵平面ADEF ⊥平面ACD ，平面ADEF ∩平面ACD=AD ， ∴CD ⊥平面ADEF. 作DM ⊥FE ，连接MC ，∠DMC 即为二面角C-EF-D 的平面角. ...................（10分） 在直角三角形MDC 中，∠MDC=90°，MD=1 , DC=2 ,∴tan ∠DMC=2 , ∴二面角C-EF-D 的正切值为2. ...................（12分） 法二：（1）作FO ⊥AD 于O ，连OB ，∵平面ADEF ⊥平面ACD ，∴FO ⊥平面ADC. ∵等腰直角三角形AFD, ∴点O 为AD 的中点.而等腰直角三角形ABD ，∴BO ⊥AD 如图，建立空间直角坐标系， ∴F （0,0,1），A （1,0,0），D （-1,0,0）,C （-1,2,0）,B （0,1,0）E （-2,0,1 ) .................(2分）)11,0(),0,02(-=-=，，FB AD ∵0=⋅,∴FB ⊥AD .................(5分）（2）显然平面DEF 的法向量)0,1,0(1=n ， ................(7分）平面CEF 中，)1,2,1()0,0,2(--=-=,∴平面CEF 的法向量)2,1,0(2=n ， ...............(10分） ∴,55),cos(21=n n ∴,2),(tan 21=n n ∴二面角C-EF-D 的正切值为2. .................(12分）19、答案：解（1）设等比数列{}n a 的公比为,q 则11,4n n q a q ->=354a 是2a 和4a 的等差中项 02524522423=+-+=⨯∴q q a a a 即12q q >∴=11422n n n a -+∴=∙= ................(3分）依题意，数列{}n b 为等差数列，公差1d = 又261116532(21)632,212n s s b b b b n ⨯+=∴+++=∴=∴=+ . ...............(6分） （2）124(21)22421n n n n n a T ++-=∴==-- . ...............(8分）不等式2(4)73n n nlog T b n λ+-+≥ 化为27(1)n n n n N λ+-+≥+∈ ..........(9分）271n n n λ-+≤+对一切n N +∈恒成立。