高中文科数学三角函数练习题(附答案)
高中三角函数练习题附答案
高中三角函数练习题附答案一、填空题1．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．2．若函数()sin12xf x x π=+，则(1)(2)(3)(2021)f f f f +++⋯⋯+=__________3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos 4BAC ∠=，则AD =__________. 4．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.5．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．6．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为()e e cos 2x xh x -+=，并称其为双曲余弦函数．若()()cos sin cos cos sin cos h h m θθθθ+≥-对0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为______．7．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 8．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 9．已知当()0,x π∈时，不等式2cos 23sin 20cos 4sin 1x x x x +-≤--的解集为A ，若函数()()()sin 0f x x =+<<在x A ∈上只有一个极值点，则ϕ的取值范围为______．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.二、单选题11．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ= 12．已知,a b Z ∈，满足)98sin 50sin 50a b -︒︒=，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5414．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =，22AC =，3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π15．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π16．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18517．设函数242,0()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：①ϕ的最小值为3π； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移18π个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)-+∞B ．(12,)++∞C ．(1,12)D ．(31,)++∞20．设函数()3sinxf x mπ=，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞三、解答题21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．22．如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且42OH km =，已知, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD 都是学校道路，其中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .（1）求S 关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低？ 23．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.24．已知函数2()23sin 2sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f =. （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 25．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.26．如图，半圆的直径2AB =，O 为圆心，C ，D 为半圆上的点.（Ⅰ）请你为C 点确定位置,使ABC ∆的周长最大，并说明理由； （Ⅱ）已知AD DC =，设ABD θ∠=，当θ为何值时， （ⅰ）四边形ABCD 的周长最大，最大值是多少? （ⅱ）四边形ABCD 的面积最大，最大值是多少27．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．28．已知函数()f x 的图象是由函数()sin g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向左平移3π个单位长度.（1）求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）已知关于x 的方程2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β.求26cos(22)m αβ--的值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．20π2．3032 3．4 4．②④⑤5．⎝⎭6．1⎡⎤⎣⎦7．13 8．π3##60°9．2(0,)(,)33πππ⋃ 10．1a 或4a二、单选题 11．C 12．B 13．B 14．A 15．C 16．A 17．B 18．C 19．B 20．C三、解答题21．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.22．（1）2[2(sin cos )1]2,0,sin cos 2S θθπθθθ+-⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭；（2）4πθ=. 【解析】 【分析】（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=，进而表示直线AB 的方程，由直线AB 与圆H 相切构建关系化简整理得4(sin cos )2sin cos l θθθθ+-=，即可表示OA ,OB ，最后由三角形面积公式表示AOB 面积即可；（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223sin cos 8t t θθ+-=，由辅助角公式和三角函数值域可求得t 的取值范围，进而对原面积的函数用含t 的表达式换元，再令1m t=进行换元，并构建新的函数2()321g m m m =-++，由二次函数性质即可求得最小值. 【详解】解：（1）以点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,4)H ，在Rt ABO 中，设AB l =，又OAB θ∠=，故cos OA l θ=，sin OB l θ=. 所以直线AB 的方程为1cos sin x yl l θθ+=，即sin cos sin cos 0x y l θθθθ+-=. 因为直线AB 与圆H 相切， 所以22|4sin 4cos sin cos |2sin cos l θθθθθθ+-=+.(*)因为点H 在直线AB 的上方， 所以4sin 4cos sin cos 0l θθθθ+->，所以(*)式可化为4sin 4cos sin cos 2l θθθθ+-=，解得4(sin cos )2sin cos l θθθθ+-=.所以4(sin cos )2sin OA θθθ+-=，4(sin cos )2cos OB θθθ+-=. 所以AOB 面积为21[2(sin cos )1]2,0,2sin cos 2S OA OB θθπθθθ+-⎛⎫=⋅=⋅∈ ⎪⎝⎭.（2）令2(sin cos )1t θθ=+-，则223sin cos 8t t θθ+-=，且2(sin cos )121(1,221]4t πθθθ⎛⎫=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，所以222162322318t S t t t t =⋅=+--++，1]t ∈.令1m t ⎫=∈⎪⎣⎭，2214()321333g m m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()g m在⎫⎪⎣⎭上单调递减.所以，当m =4πθ=时，()g m 取得最大值，S 取最小值.答：当4πθ=时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.23．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan 2θ∴=，sin θ∴=，故边长3a==，综上可得，能放.（3）()1214sin60sin4sin sin2d dθθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos2222sin23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭.060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin23012θ≤+≤，所以()02sin23011θ≤+-≤，又10d>，2d>，所以(]120,1d d⋅∈.【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.24．（1）a=（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x表达式，利用(0)f=a的值.（2）令()0f xω=，结合x的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围.【详解】（1）2()2sin cosf x x x x a=-++sin2x x a=+2sin23x aπ⎛⎫=++-⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin3f aπ∴=+=即a=（2）令()0f xω=，则sin203xπω⎛⎫+=⎪⎝⎭，[0,]xπ∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x在[0,]π上有且只有一个零点，223πππωπ∴+<，1536ω∴<，ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25．（1）()f x 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案； （2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 2124x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用. 26．（Ⅰ）点C 是半圆的中点，理由见解析； （Ⅱ）（ⅰ）6πθ=时，最大值5（ⅱ）6πθ=【解析】(Ⅰ)设BC a =,AC b =,AB c =,法一:依题意有222+=a b c ,再利用基本不等式求得2a b c +,从而得出结论;法二:由点C 在半圆上,AB 是直径,利用三角函数求出cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,再利用三角函数的性质求出结论;(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形ABCD 的周长p ,再求p 的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形ABCD 的面积s ,再结合基本不等式求s 的最大值. 【详解】(Ⅰ)点C 在半圆中点位置时,ABC ∆周长最大.理由如下: 法一:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,显然a ,b ,c 均为正数,则222+=a b c , 因为222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立,所以()()2222222a b a b ab a b +≥++=+,所以()2222a b a b c +≤+=, 所以ABC ∆的周长为()21222a b c c ++≤+=+,当且仅当a b =时等号成立,即ABC ∆为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点C 是半圆的中点. 法二:因为点C 在半圆上,且AB 是圆的直径, 所以2ACB π∠=,即ABC ∆是直角三角形,设BC a =,AC b =,AB c =,02ABC παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则cos a c α=⋅,sin b c α=⋅,a b c ++cos sin c c c αα=⋅+⋅+()2cos sin 2αα=++2224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为02πα<<,所以3444πππα<+<, 所以当42ππα+=,即4πα=时, ABC ∆周长取得最大值222,此时点C 是半圆的中点.(Ⅱ)(ⅰ)因为AD DC =,所以ABD DBC θ∠=∠=, 所以sin AD DC AB θ==⋅,cos2CB AB θ=⋅, 设四边形ABCD 的周长为p ,则p AD DC CB AB =+++2sin cos22AB AB θθ=++()2214sin 212sin 254sin 2θθθ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭,显然0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以当6πθ=时,p 取得最大值5;(ⅱ)过O 作OE BC ⊥于E ,设四边形ABCD 的面积为s ,四边形AOCD 的面积为1s ,BOC ∆的面积为2s ,则 121122s s s AC OD BC OE =+=⋅+⋅ 11sin 21cos 2sin 222AB AB θθθ=⋅+⋅ sin 2cos2sin 2θθθ=+⋅()sin 21cos2θθ=+, 所以()222sin 21cos2s θθ=+()()221cos 21cos 2θθ=-+()()31cos21cos2θθ=-+()()331cos 21cos 23θθ=-+()()()2231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦()()()231cos 21cos 211cos 232θθθ-++⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦()()()2231cos 21cos 21cos 21232θθθ⨯-++⎡⎤++⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()431cos 21cos 221cos 2134θθθ-++++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 413273216⎛⎫==⎪⎝⎭; 当且仅当()31cos21cos2θθ-=+,即1cos 22θ=时,等号成立, 显然04πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以202πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以此时6πθ=,所以当6πθ=时,33s =,即四边形ABCD 33【点睛】本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题. 27．（Ⅰ）(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）12a =或12a =- 【解析】（Ⅰ）当1a =时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得. （Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x b ωϕ=++的形式，分类讨论可得. 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，22()cos sin cos 3f x x x x x =-+-cos 2232sin(2)36x x x π=-=+-()2sin(2)36f x x π∴=+-由2,6x k k Z ππ+=∈ 得：,122k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心为(,3),.122k k Z ππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+-1sin(2)16x π-≤+≤当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤-则有234a --=- 解得12a =当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤--则有234a -=-解得12a =-综上 12a ∴=或12a =-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．28．（1）(2 )y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）6-【解析】【分析】（1）先求出()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图像和性质求函数(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间；（2）先化简得2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求出cos)αβ-（的值得解. 【详解】（1）将()sin g x x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到2sin y x =的图象， 再将2sin y x =的图象向左平移3π个单位长度后得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-++，k ∈Z51212k x k ππππ-+，k ∈Z ,又[0,]x π∈所以(2)y f x =在[0,]π上的单调递增区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）2()422f x g x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24sin 4sin 232x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 24cos 23x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭23cos 22x x =-+223x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为2()4222f x g x m π⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，所以23x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,)π内有两个不同的解α，β，且52,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， 所以2233ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或22333ππαβπ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是56παβ+=或116παβ+=. 当56παβ+=时，5cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当116παβ+=时， 11cos()cos 6παβαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113cos 2cos 2632πππαα⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 23πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因此，26cos(22)m αβ--()2262cos ()1m αβ=---22621612m m ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和三角函数的单调区间的求法，考查三角函数图像的零点问题，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.29．（1）见解析； （2）178-. 【解析】 【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ； 运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值． 【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x xa b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝ =∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x +=（2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==-【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos a b c bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。
高中三角函数专题练习题含答案
高中三角函数专题练习题含答案一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．在ABC 中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．已知()()()cos sin 0f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.4．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.5．log sin()3y x ππ=+的单调增区间为________.6．设向量OA a =，OB b =，OC c =，2a b a b ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且向量c 与向量a c -的夹角为3π，则||||c c b -的取值范围是____________．7．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.8．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________. 9．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．已知30.4tan(1),tan0.1,a b c πππ=+-==，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<12．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1213．已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3 14．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1615．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．116．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A．1B C ．1D ．217．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18518．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④19．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．3420．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,e -+∞C ．(),e -∞D ．(),e +∞三、解答题21．已知向量()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有实数解，求实数a 的取值范围.22．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.23．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.24．已知函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值；（3）若对任意实数,()(0)a y g x ωω=>在,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上与直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数ω的取值范围.25．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.26．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．27．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.28．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？29．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．①③3．14032425．(2,2)(Z)36k k k ππππ-++∈6． 7．258．910．12+二、单选题 11．D 12．A 13．C 14．B 15．C 16．D 17．A 18．B 19．A 20．B 三、解答题21．（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）1a 或732a +-.【解析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212f x x π+=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于t 的方程，分离参数后进行求解.【详解】 （1）因为()()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，所以()2111cos 213sin cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6x πω=-.因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-.（2）由（1）可知()sin 212f x x π+=.因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，所以22(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，则方程22cos 22cos 23301212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可化为()2222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭.所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得32t =（舍）；当0a ≠时，则22230at t a +--=可化为212132t a t-=-，令22132t y t-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，2212(3)11(3)222u u y u u ⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为7u u+≥u =当1u =时，7u u+取到最大值8，所以3,1]y ∈，所以13,1]a ∈，解得1a 或732a +-. 所以实数a 的取值范围是1a 或732a +- 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养. 22．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+=，cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩， 又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 23．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值.【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3θ=时，()min 33f θ=+ 所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题. 24．（1）2()sin(3)3g x x π=+；（2）6π；（3）4083ω<≤.【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的对称性，可得函数()f x 的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数()g x 的解析式；（2）将不等式进行转化，得到函数()()f x g x -在[0，t ]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；（3）求出()y g x ω=的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可． 【详解】（1）因为函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以有()0sin[3()]0()(0)9933f k k Z ππππϕϕπϕπϕ-=⇒-+=⇒-=∈<<∴=，()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象.所以2()sin[3()]sin(3)933g x x x πππ=++=+；（2）由()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，构造新函数为()()()sin3h x f x g x x =-=，由题意可知：任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，说明函数()sin3h x x =在[0,]x t ∈上是单调递增函数，而()sin3h x x =的单调递增区间为：22232()()226363k k k x k k Z x k Z ππππππππ-+≤≤+∈⇒-+≤≤+∈，而[0,]x t ∈， 所以单调递增区间为：06x π≤≤，因此实数t 的最大值为：6π；（3）2()sin(3)3y g x x πωω==+，其最小正周期23T πω=， 而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个,则34T π≤，且54T π>，解得：4083ω<≤. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.25．（1）()23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222x x x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.26．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ在△OPQ 中，OQOP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ. 由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f ′(θ)令f ′(θ)＝0，得sinθθ0满足0sin θ则0cos θ=，即()02f θ===列表如下：由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， tanα单调递增则当tanα取最大值2时，α也取得最大值．故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 27．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1. 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题. 28．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()4g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =【解析】 【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值；（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴=（2）由（1）知 1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()g x =当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题29．（1）1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】 【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立 令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】 【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2Tπω，求出ω，然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值．【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π，∴当k =0时，φ=6π，即A =2，ω=1，φ=6π；（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin 6π=2×12=1，∵f （x ）=2sin （2x +6π），∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ，得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ，即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π，∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期．关于正弦函数单调区间要掌握：当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
高中数学三角函数专项训练(含答案)
高中数学三角函数专项训练(含答案)一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.4．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．6．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．7．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．8．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-12 12．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A ．4B ．8C ．12D ．1613．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4514．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④15．已知F 是椭圆2221(1)x y a a +=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ）A ．当01e <<时，2πα<B ．当0e <<2πα>C ．当12e <<时，23πα>D 1e <<时，34πα> 16．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-17．如图，长方形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C ．151- D ．51- 18．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1619．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．820．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,e -+∞C ．(),e -∞D ．(),e +∞三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.23．将函数()sin 2g x x =3向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠.（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.25．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.26．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.27．已知函数())23cos sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心28．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．982．33 4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 5．1067． 3 21,32⎡⎢⎣⎦8．259 10．6二、单选题 11．A 12．B 13．C 14．A 15．A 16．C 17．A 18．C 19．D 20．B 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为M x 在区间00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x = ②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x =③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可； （2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.25．(1) 3C π=. (2) max S =【解析】 【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长. 【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=，∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题. 26．(1)0 (2)32【解析】 【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+， 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()22222g x g m ==-⨯-=-⇒=（舍）故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.27．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 28．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围. 29．（1）见解析； （2）178-. 【解析】 【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ； 运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x xa b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝ =∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x +=（2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==-【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=，()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。
高中数学三角函数专项练习(含答案)
高中数学三角函数专项练习(含答案)一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________4．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.5．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________7．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 8．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.9．已知(sin )21,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，那么(cos1)f =________.10．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x af x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ）A ．若12θθ=，则AC BC =B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅= C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=13．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x ＝交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠＝﹣，则双曲线的离心率为（ ）AB ．3CD ．15．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1616．已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①4πϕ=②93()2k k N ω=+∈ ③02f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭④直线3x π=-是()f x 图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④17．已知函数()2sin 1,022sin 1,02x x f x x x ππ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，()11x g x x -=+，则关于x 的方程()()f x g x =在区间[]8,6-上的所有实根之和为（ ） A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-18．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5519．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC 3OB =，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．63D ．93三、解答题21．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.22．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.24．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知sin 2C =（1）若4a =，c =ABC ∆的面积；（2）若ABC ∆22213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.25．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数．26．已知函数()sin 2f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标； （2）若02πα-<<，()1f α=，求sin 2α的值.27．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值28．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.29．已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面积为23sin AD B. (1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值； (2)若6,22BC AB AD ==，求b ．30．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且32sin a c A = (Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝,且△ABC 的面积为,求a ＋b 的值．【参考答案】一、填空题1．3π2．2 3．1008或10094．8156．12(,)369-7 8．()135,2169．1π-##1π-+ 10．25二、单选题 11．D 12．C 13．A 14．B 15．C 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C 三、解答题21．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】 （1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.22．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解. 【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =，从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62kB k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题. 23．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.24．（1）2）c = 【解析】 【分析】（1）先根据sin2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案；（2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值． 【详解】解：（1）因为sin2C =所以2101cos 12sin122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．25．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1． ∵0＜φ2π＜，∴φ4π=．∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin 2x π， 由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4．而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数， 即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点；③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．26．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）12-. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z ππ+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．【详解】（1）()13sin 2322sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()26k x k Z ππ=-∈， 因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-， 因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．27．（1）1,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.28．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=.【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．29．（1）13； （2 【解析】【分析】(1)先由ABC ∆的面积为23sin AD B且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果.【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为26sin AD B, 由三角形的面积公式可知:21sin 26sin AD AB BD B B⋅⋅=, 由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=, (2)6BC AB = ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =,在ABD ∆中由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠ 由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1sin ,sin 13BDA BAD ∠=∠=, ()0,BAD π∠∈ ∴ ,2BAD π∠=在直角ABD ∆中13AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==. BC 2BD =,BC 6∴=在ABC ∆中用余弦定理，可得22212cos 13621633,3b ac ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.30．(Ⅰ) 3π（Ⅱ）5 【解析】【详解】试题分析：（12sin sin A C A =即可得sin C =60C =︒（2）∵1sin 2S ab C ==a b + 试题解析：解：（12sin sin A C A =，∵,A C 是锐角，∴sin C =60C =︒.（2）∵1sin 2S ab C ==6ab = 由余弦定理得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=∴5a b +=点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．2．已知函数()()4sin 03πf x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，圆C 的方程为()22525x y -+=，若在圆C 内部恰好包含了函数()f x 的三个极值点，则ω的取值范围是______.3．已知()()()cos sin 0f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上的一点，若6c =，b =sin BAD ∠=，cos BAC ∠=，则AD =__________. 5．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．6．关于函数())cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）.7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.8．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则n A ∠的最大值是________________. 9．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.10．已知P 是直线34130x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆()()22111x y -+-=的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．二、单选题11．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-412．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．113D ．1113．若函数sin 2y x =与()sin 2y x ϕ=+在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象没有交点，其中()0,2ϕπ∈，则ϕ的取值范围是（ ）A ．[),2ππB ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(),2ππD ．,214．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5415．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4516．在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（ ）A B ．2 C 1 D ．17．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A．1B C ．1D ．218．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞19．已知1sin ,sin ,sin ,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内有零点，则实数ω的取值可能是（ ）A ．18B ．14C ．12D ．3420．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．三、解答题21．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.22．如图，四边形ABCD 是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即Rt ,Rt ,Rt ABF BCG CDH 和Rt DAE ），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路,AE ,BF ,CG DH . 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a 元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a 元，修路每1百米的费用为a 元，其中a 为正常数．设FAB θ∠=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）用θ表示该工程的总造价S ；（2）当cos θ为何值时，该工程的总造价最低？23．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．24．已知()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()f x 在12x π=处取得最大值.（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移4π个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+，求()104h x +≥的解集. 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.26．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合.（1）求ω和ϕ的值；（2）若函数()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()h x 的单调递减区间及图象的对称轴方程.27．已知函数()2212cos f x x x =+-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.28．函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =的图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？29．已知向量 2(2,22()),(,2a x b ωϕ=+=，其中0,02πωϕ><<．函数()f x a b =⋅的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）计算()()()12...2017f f f +++的值；（Ⅲ）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间 [0，3] 上的零点个数．30．已知函数())2cos cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【参考答案】一、填空题1．2⎝2．1925731,,48481248ππππ⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 3．140324．456．②③78．π3##60°9．10二、单选题 11．A12．A 13．A 14．B 15．C 16．C 17．D 18．C 19．D 20．C 三、解答题21．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长3a==，综上可得，能放.（3）()1214sin60sin4sin sin2d dθθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos2222sin23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭.060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin23012θ≤+≤，所以()02sin23011θ≤+-≤，又10d>，2d>，所以(]120,1d d⋅∈.【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.22．（1）()16(13sin6sin cos)S aθθθθ=+-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3cos4θ=时，()16()S afθθ=取得最小值【解析】(1)根据题意可知4sinBFθ=,4cosAFθ=,进而求得Rt ABFS与EFGHS正方形再求得总造价S即可. (2)由(1)有()16(13sin6sin cos)S aθθθθ=+-,再求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】（1）在Rt ABF中,FABθ∠=,4AB=,所以4sinBFθ=,4cosAFθ=.由于Rt,Rt,RtABF BCG CDH和Rt DAE是四个完全相同的直角三角形,所以4sinAE BF CG DHθ====,4(cos sin)EF FG GH HEθθ====-,所以Rt114cos4sin8sin cos22ABFS AF BFθθθθ=⋅⋅=⨯⨯=,2224(cos sin)16(12sin cos)EFGHS EFθθθθ==-=-正方形.所以()48sin cos1016(12sin cos)1344sinS a a aθθθθθθ=⨯⨯+-⨯+⨯⨯16[20sin cos(12sin cos)13sin]aθθθθθ=+-⨯+16(13sin6sin cos)aθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）记()13sin6sin cosfθθθθ=+-,0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.则22232()cos6(cos sin)12cos cos612(cos)(cos)43fθθθθθθθθ'=--=-++=--+.令()0fθ'=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos4θ=或2cos3θ=-(舍).记3cos4θ=,所以当(0,)θθ∈时,()0fθ'<,()fθ单调递减；当0(,)4πθθ∈时,()0f θ'>,()f θ单调递增. 所以当3cos 4θ=时,()f θ取得极小值,也是最小值, 又0a >,所以当3cos 4θ=时,()16()S af θθ=取得最小值. 【点睛】本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题. 23．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v 、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.24．（1）ω的最小值为1，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12x π=处取得最大值求出ω，然后即可得到()f x 的解析式和周期（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为()3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()32sin cos 3f x a b x x πωω⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭212sin cos sin cos 2x x x x x x ωωωωωω⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 22222x x x x ωωωω-=+=+sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为()f x 在12x π=处取得最大值.所以22,1232k k Z πππωπ⨯+=+∈，即121,k k Z ω=+∈当0k =时ω的最小值为1此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，T π=（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移4π个单位得到的函数为sin 2sin 2436y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后将所得图像上所有的点向下平移32个单位，得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象为：方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得104a <≤（3）设(),P x y ，()00,Q x y因为点3,6A π⎛ ⎝⎭，且满足12OP OQ OA =+ 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩002332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以332sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1()sin 423y h x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以7242,636k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 所以3,22428k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．25．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值； （2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值．【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈，22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴= 【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.26．（1）2ω=，3πϕ=；（2）减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈ 【解析】【分析】(1)先根据平移后周期不变求得2ω=,再根据三角函数的平移方法求得3πϕ=即可.(2)根据(1)中()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭代入可得()h x ,利用辅助角公式求得()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入调递减区间及图象的对称轴方程求解即可. 【详解】（1）因为函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度后与函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象重合, 所以2ω=.5sin 2sin 2cos 222663f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以()cos 2cos 23x x πϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 因为2πϕ<,所以3πϕ=.（2）由（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 所以()88h x f x g x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,sin 2cos 2212123x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 令()232x k k Z πππ+=+∈,可得图象的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了三角函数的平移运用以及辅助角公式.同时也考查了根据三角函数的解析式求解单调区间以及对称轴等方法.属于中档题.27．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域.【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.28．（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min ()g x =；当8x π=-时，max 1()2g x = 【解析】【分析】 （1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值； （2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈ 又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴= （2）由（1）知1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min ()g x =当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x =【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题29．（Ⅰ）[41,43]k k ++，k Z ∈；（Ⅱ）2018；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由数量积的坐标运算可得f （x ），由题意求得ω4π=，再由函数f （x ）的图象过点B （1，2）列式求得φ．则函数解析式可求，由复合函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，可得f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1．得到f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4． 进一步可得结论；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sinx m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数，即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．数形结合得答案．【详解】（Ⅰ）∵a =cos2（ωx +φ）），b =∴f （x ）222a b =⋅=⨯（ωx +φ）＝1﹣cos2（ωx +φ））， ∴f （x ）max ＝2，则点B （1，2）为函数f （x ）的图象的一个最高点． ∵点B 与其相邻的最高点的距离为4，∴242πω=，得ω4π=． ∵函数f （x ）的图象过点B （1，2），∴1222cos πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin2φ＝1． ∵0＜φ2π＜，∴φ4π=．∴f （x ）＝1﹣cos2（44x ππ+）＝1+sin 2x π， 由322222k x k πππππ+≤≤+，得4143k x k +≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间是[41,43]k k ++，k Z ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝1+sin 2x π，∴f （x ）是周期为4的周期函数，且f （1）＝2，f （2）＝1，f （3）＝0，f （4）＝1． ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）＝4．而2017＝4×504+1，∴f （1）+f （2）+…+f （2017）＝4×504+2＝2018；（Ⅲ）g （x ）＝f （x ）﹣m ﹣12sin x m π=-，函数g （x ）在[0，3]上的零点个数， 即为函数y ＝sin 2x π的图象与直线y ＝m 在[0，3]上的交点个数．在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图：①当m ＞1或m ＜﹣1时，两函数的图象在[0，3]内无公共点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，两函数的图象在[0，3]内有一个共点；③当0≤m ＜1时，两函数的图象在[0，3]内有两个共点．综上，当m ＞1或m ＜﹣1时，函数g （x ）在[0，3]上无零点；②当﹣1≤m ＜0或m ＝1时，函数g （x ）在[0，3]内有1个零点；③当0≤m ＜1时，函数g （x ）在[0，3]内有2个零点．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查数量积的坐标运算，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．30．（I ）1-；（II 334-；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】 将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.【详解】()23cos 2cos 132cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.。
高中三角函数练习题附答案
高中三角函数练习题附答案一、填空题1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.2．在ABC 中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为______ 4．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论： ①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________. 5．在ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则24Sb ac+的最大值为___________.6．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.7．已知函数()2sin cos f x x x x =+①函数()f x 的最小正周期为π；②函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③函数()f x 关于点()026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，成中心对称；④函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确的结论是_______.（写出所有正确结论的序号）8．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．9．在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，记ABC 的面积为S ，且sin 2sin 4sin b B c C a A +=，则2Sa 的最大值为________. 10．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．二、单选题11．函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ） A ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ）A B C D 13．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有()()110f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦；则称函数()f x 为“DM 函数”.若“DM 函数”满足()()2sin cos 0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为（ ） A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．已知sin 0.1a =，0.3πb =，20.9πc =，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<15．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5416．已知函数()()sin 302f x x πϕϕ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，现有如下三个结论：①ϕ的最小值为3π； ②当ϕ取得最大值时，将函数()f x 的图像向左平移18π个单位后，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭；③函数()f x 在[]0,2π上有6个零点． 则上述结论正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．317．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则1212e e e e +⋅的最大值为 A ．4B ．2C ．83D ．16318．函数()2sin(2)()2f x x πφφ=+<的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()(2cos 2g x x =．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）A．BC． D19．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，BD AC =（ ）A ．14B ．12C ．23D ．3420．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O，若OC =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB．C．D．三、解答题21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．22．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.23．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小；（2）求BCD ∆面积的最大值.24．已知函数()()2sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.25．已知函数()2212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.26．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.27．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．28．已知函数()2sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.29．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围. 30．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.【参考答案】一、填空题1．72．①③3．354．①②④526．②④⑤ 7．①②③8391010．80π 二、单选题 11．B 12．D 13．A 14．A 15．B 16．C17．A 18．D 19．A 20．C 三、解答题21．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难. 22．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.【解析】()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θθθπθ-=-++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=，利用增减性算出()min 533f πθ=+，进而求θ得取值. 【详解】解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=故3θ=时，()min 33f θ=+所以当3πθ=时，栈道总长度最短.【点睛】本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题.23．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2π，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.【详解】解：（1）()2sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos22cos24222xx x ωωω-=--⨯+32cos22x x ωω=+23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由已知函数()f x 的周期T π=，22ππω=，1ω=∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象∴()223m x x g π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 203m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴23m k ππ-=，k Z ∈∴26k m ππ=+，k Z ∈∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6π此时，()223g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令7612x ππ-≤≤，则2112336x πππ≤+≤当22332x πππ≤+≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增当232232x πππ≤+≤，即51212x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题. 25．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴； （2）先求平移后的函数解析式，再求值域. 【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.26．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可； （2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数. 【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.27．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =．（2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 242x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题. 28．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π，22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题 29．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】 （1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.30．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π.【解析】 【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值. 【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=，故123x x π+=.【点睛】本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．。
高中三角函数专题练习题(及答案)
高中三角函数专题练习题（及答案）一、填空题1．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ,AD AB AC λμ=+若4AD AF =，则λ-μ的值为___________2．已知函数()()4sin 03πf x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，圆C 的方程为()22525x y -+=，若在圆C 内部恰好包含了函数()f x 的三个极值点，则ω的取值范围是______.3．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，23AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．4．已知函数()[)[]243,0,3,92sin ,3,156x x y f x x x π⎧⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪∈⎪⎩若存在实数a 、b 、c 、d 满足()()()()f a f b f c f d ===（其中a b c d <<<），则()()a b cd +⋅的取值范围是______.5．在ABC 中，AB BC ≠，O 为ABC 的外心，且有23AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．6．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单递增函数.7．已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =：①函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称；②函数|()|g x 的最小正周期是2π；③把函数f (2x )图象上所有点向右平移8π个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=()g x 图象的对称轴完全相同；④函数1()()y f x g x =--在R 上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________8．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 9．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________.10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭13．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B ) D ．f (sin A )≥f (cos B )14．已知点P 是曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦15．已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ）A ．3B ．35C ．75D ．3216．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，CD =AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π17．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．18518．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）19．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．设函数()xf x mπ，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞三、解答题21．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．22．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.23．如图，在ABC ∆中，90,3,1ABC AB BC ︒∠===，P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=.（1）若3PC =，求PA ； （2）若120APB ︒∠=，求ABP ∆的面积S .24．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值； ()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.26．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．27．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 28．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+-(1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．29．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合*{|,}n S x x b n ==∈N .（1）若10a =，23d π=，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，n T n b b +=，T 是不超过5的正整数，求T 的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S .30．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设π(0,)2α∈，则()22f α=，求α的值【参考答案】一、填空题1．472．1925731,,48481248ππππ⎛⎤⎡⎤⋃⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦3．20π 4．()135,216 5．4333-6．②③ 7．②③④ 8．13910．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．A 12．C 13．D 14．A 15．D 16．A 17．A 18．D 19．C 20．C 三、解答题21．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v 、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.22．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形, ∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.23．（12 【解析】 【分析】（1）求出12BP ==，,36CBP ABP ππ∠=∠=，ABP ∆中由余弦定理即可求得PA ；（2）设PBA α∠=，利用正弦定理表示出()sin120sin 60AB PB =︒︒-α，求得tan α=，利用面积公式即可得解. 【详解】（1）在ABC ∆中，90,1ABC AB BC ︒∠===，2AC =P 为ABC ∆内一点，90BPC ︒∠=，PC =，所以12BP =，CBP ∆中，由余弦定理得：2221cos 22BP BC PC CBP BP BC +-∠==⋅所以,36CBP ABP ππ∠=∠=ABP ∆中，由余弦定理得：AP==； （2）120APB ︒∠=，设0,,90,602PBA PBC PAB π⎛⎫∠=α∈∠=︒-α∠=︒-α ⎪⎝⎭，在Rt PBC ∆中，sin sin PB BC =⋅α=α，在PBA ∆中，由正弦定理()sin120sin 60AB PB=︒︒-α，即()sin 2sin 60α=︒-α，sin sin α=α-α，所以tan α=sin PB α==ABP ∆的面积11sin 22S AB PB α=⋅==. 【点睛】此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强. 24．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决.【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---， ①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍） 综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，等价于12max1()()24f x f x a -≤-，2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=- ∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞.【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题. 25．(1)2a =,2b =-或2a =-,4b =函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 【解析】 【分析】（1）先求得sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可； （2）由（1）()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则()2sin 224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进而判断单调性即可 【详解】解:(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, ①当0a >时,由题意可得12a ab a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即222a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a =,2b =-； ②当0a <时,由题意可得21a a b a a b ⎧⎛⨯++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =-,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-,4b =所以()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力26．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148x f x x f x =-===.【解析】(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值.. 【详解】（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因此，函数()f x 的最小正周期πT =． （2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444x -≤+≤,sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，()min 0f x =，当242x ππ+=，即8x π=时，()max 1f x =.所以4x π=-时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.27．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1-【解析】 【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+．（2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=-时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 28．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[2]-.【解析】 【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域. 【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos22)24x f x x x x x π-=+-⋅=++， 所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈,所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.29．（1）⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）23π或π；（3）3T =或4，3T =时，23n a n π=，S ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭；4T =时，2n a n π=，{}0,1,1S =-【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b ，再根据周期性求解；（2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案；（3）分别令1T =，2，3，4，5进行验证，判断T 的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式及集合S 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =， 集合{}*|,n S x x b n N ==∈． ∴当120,3a d π==，所以集合{S =0． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=， ②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为23n a n π=，此时33,,022S ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. ②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{0S =，1，1}-． 与之相应的一个等差数列{}n a 的通项公式为2n a n π=，此时{}0,1,1S =-【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．30．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π.【解析】 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1（2）π(0,)2α∈，f （2α）=2∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π。
高中三角函数练习题含答案
高中三角函数练习题含答案一、填空题1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m-的最小值是________．2．已知)F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为___________. 3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．4．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.5．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．6．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于直线3x π=对称，且在3,164ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值是______． 7．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.8．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x a f x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<13．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） A ．33B ．53C ．34D ．5414．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A ．216B ．312C ．316D ．21815．已知函数2()log f x x =，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()2()g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4]π上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A 5B 7C ．13D ．317．已知,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,32ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin 3cos 2cos sin αβαβ+=+，则tan()αβ-=（ ） A ．3B ．1C ．23+D ．32-18．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-19．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======，则这个三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．2105B ．2103C ．253D ．2520．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,e -+∞C ．(),e -∞D ．(),e +∞三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.23．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值； （2）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 24．已知()sin ,2cos a x x =，()2sin ,sin b x x =，()f x a b =⋅ （1）求()f x 的解析式，并求出()f x 的最大值；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最小值和最大值，并指出()f x 取得最值时x 的值.25．已知函数()cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.26．已知函数()2212cos f x x x +-. （1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.27．已知函数()sin()0,04,||2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++><<< ⎪⎝⎭图象的一个最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛+ ⎝和11,212π⎛-⎝． （1）求()f x 的解析式；（2）若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m ≤-，求m 的取值范围．28．已知1a ≥，函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()sin cos 1g x x x x =--.（1）若()f x 在[],b b -上单调递增，求正数b 的最大值； （2）若函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，求a 的取值范围.29．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象如图所示：（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．3π 2．233．10 4．0536．137．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭8． 3 213,32⎡⎢⎣⎦9735+ 10233+ 二、单选题11．D 12．D 13．D 14．A 15．A 16．B 17．D 18．C 19．A 20．B 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan 2θ∴=，sin θ∴=，故边长a ==， 综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤， 所以()02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题. 23．（12）104ω<≤ 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b xx x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯=⎪⎝⎭ （2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数 所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩因为0>ω，所以016k >-又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤ 从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤.【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题.24．（1）()fx 214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1.（2）0x =时，最小值0.38x π=1. 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简()f x ，再利用三角函数的有界性，即可得答案；（2）利用整体法求出32444x πππ-≤-≤，再利用三角函数线，即可得答案. 【详解】（1）()22sin 2sin cos f x x x x =+1cos2sin2x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ∴sin 214x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， ()f x ∴1.（2）由（1）得()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32444x πππ∴-≤-≤.sin 2124x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 取最小值0.当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 1. 【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体法的应用.25．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值.【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭；（2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈， 解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.26．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域.【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.27．(1) ()2sin(2)3f x x π=-[22]-， 【解析】【分析】（1）根据题意得到()21T k Z k π=∈+，42k ω=+所以2ω=，再代入数据计算得到，2A =b =3πϕ=-得到答案.（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦得到0()2f x ≤≤+ 202m m +≥⎧⎪⎨+⎪⎩. 【详解】（1）由题意得1151()12122k T ππ-=+，则()21T k Z k π=∈+． 又2T πω=，则42k ω=+，因为04ω<<，所以2ω=．2A ==,b ==因为()f x 的图象经过点5(,212π，所以52sin(2)212πϕ⨯+=+ 所以23k πϕπ=-+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-．故()2sin(2)3f x x π=-+（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦从而,0()2f x ≤≤+()2f x m ≤-≤，所以()2m f x m +≤≤+．要使得存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m -≤， 则202m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩解得22m -≤≤．故m 的取值范围为[22]-，． 【点睛】本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键.28．（1）4π（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间，令0k =，得3ππ44x -≤≤，可知区间[],b b -3ππ,44⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，即可求出正数b 的最大值；（2）令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，t ⎡∈⎣，可将问题转化为()21122h t t at =-+-在⎡⎣的零点问题，分类讨论即可求出答案.【详解】解：（1）由πππ2π2π242k x k -≤+≤+，k ∈Z 得3ππ2π2π44k x k -≤≤+，k ∈Z . 因为()f x 在[],b b -上单调递增，令0k =，得3ππ44x -≤≤时()f x 单调递增， 所以π43π4b b ⎧≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩解得π4b ≤，可得正数b 的最大值为4π. （2）()()sin cos 21g x x x af x =-+-()sin cos sin cos 1x x a x x =-++-，设πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,2t ⎡⎤∈⎣⎦.它的图形如图所示.又()()2211sin cos sin cos 1122x x x x t ⎡⎤=+-=-⎣⎦，则()sin cos sin cos 1x x a x x -++-21122t at =-+-，2t ⎡∈⎣，令()21122h t t at =-+-， 则函数()g x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一个零点，可知()21122h t t at =-+-在2⎡⎣内最多一个零点.①当0为()h t 的零点时，102-=显然不成立； ②2()h t 3202a -=，得32a =32a =211022t at -+-=中， 得21321022t --=，解得12t =，22t =，不符合题意. ③当零点在区间(2时，若210a ∆=-=，得1a =，此时零点为1，即1t =，由24t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可知不符合题意； 若210a ∆=->，即1a >，设211022t at -+-=的两根分别为1t ，2t ，由121t t =，且抛物线的对称轴为1t a =>，则两根同时为正，要使()21122h t t at =-+-在⎡⎣内恰有一个零点，则一个根在()0,1内，另一个根在)+∞内， 所以()()10000h h h ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩解得a > 综上，a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.29．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】【分析】（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.【详解】（1）由图知，2,A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令262x k πππ+=+则()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62k x k Z ππ=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<522a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=.【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可．【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin S A a c =-， 22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=，()sin sin A C C ∴-=， A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=． sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3C a C ∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C C C C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩， ,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S C C=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭． 【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。
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高考三角函数
一. 选择题：
1、已知sin α=
54
, 并且α是第二象限角, 那么tan α的值为 ( ) A －34 B －43 C 43 D 3
4
2、 若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）
A ．x y π2sin 21-=
B ．)3
2(sin π
π+=x y
C ．tan
2y x π
= D ．x x y ππcos sin = 4、函数y = sin(2x+2
5π
)的图象的一条对称轴方程是 ( )
A x = －2π
B x = －4π
C x = 8
π
D x =45π
5、函数)2
(3cos 2cos )(π
π-≤≤-+-=x x x x f 有
（ ）
A ．最大值3，最小值2
B ．最大值5，最小值3
C ．最大值5，最小值2
D ．最大值3，最小值
8
15 6、函数y=asinx －bcosx 的一条对称轴方程为4
π
=
x ，则直线ax －by+c=0的倾斜角是（ ）
A ．45°
B ．135°
C ．60°
D ．120°
7、若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 ( )
A ．3
,1π
ϕω==
B ．3
,1π
ϕω-
==
C ．6,21πϕω==
D ．6
,21πϕω-==
8、若f ( x ) = tan (x +
4
π
) ，则 A f (－１) > f ( 0 ) > f (1 ) Ｂ f (1 ) > f (0 )> f ( – 1 ) C f (0 ) > f (1 ) > f ( – 1 ) D f (0 ) > f ( – 1 ) > f ( 1 ) 9、若sin x 是减函数，且cos x 是增函数，则
2
x
是第（ ）象限角 A 二 B 一或二 C 二或三 D 二或四 10、函数y = 12cos 2sin -+x x 的定义域是
A [ 0 ,
4π] B [ 4
2,2π
ππ+k k ] C [4,πππ+k k ] D [4
32,42π
πππ++k k ]
11、在ABC 中，若sin(A+B)sin(A –B) = sin 2
C ，则ABC 的形状是
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 等腰三角形 12、已知αβγ，，成公比为2的等比数列，[)πα2,0∈ ,且γβαsin ,sin ,sin 也成
等比数列. 则α的值为 A
32π B 35π C 32π 或 35π D 3
2π
或 35π 或0
13、函数)4
sin(cos )4
cos(sin π
π
+
++=x x x x y 的最小正周期T= 。
15、把函数y = sin (2x+
4π)的图象向右平移8
π
个单位, 再将横坐标缩小为原来的21, 则其解析
式为 .
16、（本小题满分12分）
已知函数.2
1)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且
⑴求f （x ）的最小正周期； ⑵求f （x ）的单调递减区间；
⑶函数f （x ）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？
17、在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。
（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。
18、（2009四川卷文）
在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
且sin A B =
= （I ）求A B +的值；
（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。
文科数学复习练习题答案
三角函数
二、填空题
13、 4 14、π 15、y=sin4x 16、 ⎥⎦
⎤
⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-
212,11,21
2 17、 解: 由)24sin(
)24sin(
a a -⋅+π
π
= )24
cos(
)24sin(
a a +⋅+π
π
=,414cos 21)42sin(21==+a a π得.214cos =a 又)2
,4(π
π∈a ,所以125π=a .
于是α
αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222
-+-=-+-=--+
==)65cot 265(cos ππ+-=32
5)3223(=--- 三、解答题： 18、 解: ∵
2π＜β＜α＜43π ∴4
0,23π
βαπβαπ<-<<
+< ∵sin(α＋β)=－53，cos(βα-)=1312 ∴cos(α＋β)=54- sin(βα-)=13
5
∴)]()sin[(2sin βαβαα-++==65
56
-
. 19、⑴由,2
3,32,23232,23)0(==∴=-=
a a a f 则得
由,1,2
123223,21)4
(=∴=-+=
b b f 得π
).3
2sin(2sin 212cos 2323cos sin cos 3)(2π
+=+=-
+=∴x x x x x x x f ∴函数)(x f 的最小正周期T=.22ππ=
⑵由
,12
7
12,2233222ππππππππ
ππ
k x k k k x k +≤≤≤++≤+
≤+得
∴f （x ）的单调递减区间是]12
7
,12[ππππk k ++)(Z k ∈．
⑶)6
(2sin )(π
+
=x x f ，∴奇函数x y 2sin =的图象左移
6
π
即得到)(x f 的图象， 故函数)(x f 的图象右移
6
π
后对应的函数成为奇函数． 20.（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，A
BC
C AB sin sin =， 于是522sin sin ===BC A
BC
C
AB （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得AC
AB BC AC AB A ∙-+=2cos 2
22
于是A A 2cos 1sin -==5
5， 从而5
3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==
=A A A A A A 10
2
4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=
-=-πππA A A 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦
和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。
21. 解：（I ）∵A B 、为锐角，sin A B =
=
∴ cos A B ==
==
cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=
= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
…………………………………………6分
（II ）由（I ）知34C π=
，∴ sin 2
C = 由
sin sin sin a b c
A B C
==得
=，即,a c =
又∵ 1a b -=
∴1b -= ∴ 1b =
∴ a c =…………………………………………12分。