动点问题(一)

动点问题（一）1.如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．设S表示面积，x表示移动时间（x＞0）．（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）写出S△DPQ与x的函数关系式；（3）求出S△DPQ最小值和S△DPQ最大值，并说明理由2.已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由3.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由4.等腰△ABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿AB、BC方向匀速移动，速度都是1cm/秒。

当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）设四边形APQC的面积为ycm2。

写出y与t的函数关系式及定义域；（3）分别以P、Q为圆心，PA、BQ长为半径画圆，若⊙P 与⊙Q相切,求t的值；（4）在P、Q运动中，△BPQ与△ABC能否相似？若能，请求出AP的长；若不能，请说明理由5.如图：已知等边△ABC的边长为4cm，长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向B点运动（运动开始时点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q 两点，线段MN运动的时间为t秒。

（1）若线段MN在运动过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求该矩形的面积？（2）若线段MN在运动过程中，四边形MNQP的面积为S，运动时间为t，求四边形MNQP的面积随时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的范围？6.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．7.如图，等腰三角形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P以每秒1个单位长的速度，从点C出发沿CD方向向点D 运动。

动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设点P,Q运动的时间是x秒（x>0）（1）求AD的长；（2）当x=2时，点Q到DC的距离是____，PQ=____；（3）求三角形APQ的面积S与x的函数关系式(写出x的取值范围）；（4）探究：在点P,Q运动的过程中，三角形DPQ能否成为直角三角形？若能，求x的值，求x的值。

若不能，请说明理由8.如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正△OAB的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O 出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D为2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．（1）当0＜t＜5／2时，证明DC⊥OA；（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、E、D为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标9.如图，直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA，OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止.（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）求出直线AB的解析式；（3）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（4）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由10.如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒5／3个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒．(1)点N的坐标为(____________，____________)；(用含x的代数式表示)(2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？(3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正三角形吗？若不能，点M的运动速度不变，试改变点N的运动速度，使△OMN为正三角形，并求出点N的运动速度和此时x的值动点问题（一）答案1.解：（1）根据题意，得21·2x ·（6－x ）＝8． 即 x 2－6x +8＝0．解得 x 1＝2，x 2＝4．所以2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．（2）S △DPQ ＝S 四边形ABCD －S △APD －S △PBQ －S △DCQ ＝12·6－21·x ·12－21·6·（12－2x ）－21·（6－x ）·2＝ x 2－6x +36．（3）S △DPQ ＝ x 2－6x +36＝（x －3）2+27．∴S △DPQ 的最小值是27，S △DPQ 的最大值是36．∵当|x －3|最小时，S △DPQ 有最小值；当| x －3|最大时，S △DPQ 有最大值，又∵0＜x ≤6，∴当x ＝3时，S △DPQ 有最小值；当x ＝6时，S △DPQ 有最大值． 2．（1）∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上，∴AP = AQ .∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF ＋∠ACB ＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.∴∠DEF =∠EQC . ∴CE = CQ . 由题意知：CE = t ，BP =2 t ，∴CQ = t .∴AQ = 8－t .在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm .则AP = 10－2 t .∴10－2 t = 8－t .解得：t = 2.答：当t = 2 s 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上.（2）过P 作PM BE ⊥，交BE 于M ，∴90BMP ∠=︒.在Rt △ABC 和Rt △BPM 中，sin AC PM B AB BP ==，∴8210PM t = . ∴PM = 85t .∵BC = 6 cm ，CE = t ， ∴ BE = 6－t .∴y = S △ABC －S △BPE =12BC AC ⋅－12BE PM ⋅= 1682⨯⨯－()186t t 25⨯-⨯=24242455t t -+ = ()2484355t -+.∵405a =>，∴抛物线开口向上.∴当t = 3时，y 最小=845.答：当t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为845cm 2（3）假设存在某一时刻t ，使点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.过P 作PN AC ⊥，交AC 于N ，∴90ANP ACB PNQ ∠=∠=∠=︒.∵PAN BAC ∠=∠，∴△PAN ∽△BAC .∴PN AP AN BC AB AC==.∴1026108PN t AN -==.∴665PN t =-，885AN t =-.∵NQ = AQ －AN ，∴NQ = 8－t －(885t -) = 35t ．∵∠ACB = 90°，B 、C （E ）、F 在同一条直线上，∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ .∵∠FQC = ∠PQN ，∴△QCF ∽△QNP .∴PN NQ FC CQ= . ∴636559t t t t -=- . ∵0t <<4.5 ∴663595t t -=-解得：t = 1. 3.解：（1）由题意可知，C （0，3），M （x ，0），N （4-x ，3），∴P 点坐标为（x ，3- x ）．（2）设△NPC 的面积为S ，在△NPC 中，NC=4-x ，NC 边上的高为，其中，0≤x ≤4．∴S= （4-x ）× x= （-x 2+4x ）=- （x-2）2+ ．∴S 的最大值为 ，此时x=2．（3）延长MP 交CB 于Q ，则有PQ ⊥BC ．①若NP=CP ，∵PQ ⊥BC ，∴NQ=CQ=x ．∴3x=4，∴x= ．②若CP=CN ，则CN=4-x ，PQ= x ，CP= x ，4-x= x ，∴x=；③若CN=NP ，则CN=4-x ．∵PQ= ，NQ=4-2x ，∵在Rt △PNQ 中，PN 2=NQ 2+PQ 2，∴（4-x ）2=（4-2x ）2+（ x ）2，∴x=．综上所述，x= ，或x= ，或x= ．4．解答：（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴BH= BC=3．又∵PQ ⊥AB ，∴cos ∠B= ∴．∴t= ．（2）过P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，∵PM ⊥BCAH ⊥BC ，∴PM ∥AH ．∴． ∴ ．∴PM= ． ∴S △PBQ= ．∴．∴定义域：0＜t ＜5．（3）∵PA=BQ=t ，∴两圆只能外切．（1分）过Q 作QN ⊥AB ，垂足为N ，∴QN= ，BN= ，PN= ．又∵∠PNQ=90°，∴．∴ ．（4）能，有二种情况：①∵△BPQ ∽△BAC ，∴． ∴ ．∴t= ． ②∵△BPQ ∽△BAC ，∴ ．∴ ．∴t= ．∴当t= 或t= 秒时，两个三角形相似．5．（1）如图所示，当MNQP 为矩形时，t=32秒，此时MN=1，MP=332，332MNQP S =。