谈条件概率常见问题解题方法

谈条件概率常见问题解题法摘要:条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。

关键词:条件概率，事件、样本空间1.条件概率的概念一般地，设B A ,为两个事件，且0)(>A P ，称=)|(A B P )()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

关于条件概率，有下面的定理: 定理1:设事件A 的概率0)(>A P ，则在事件A 已经发生的条件下事件B 的条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商: =)|(A B P )()(A P AB P 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积: )|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==性质：1. ()P B A =1- )|(A B P2.条件概率P(B ∣A)与积事件P(AB)概率的区别)|(A B P 与)(AB P 这是两个截然不同的事件概率．设B A ,是随机试验对应的样本空间Ω中的两个事件，)(AB P 是事件B A ,同时发生的概率，而)|(A B P 是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。

从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变, 求)(AB P 时，仍在原来的随机试验中所对应的样本空间Ω中进行讨论；而求)|(A B P 时，所考虑的样本空间就不是Ω了，这是因为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范围必然缩小了,当然乘法公式)(AB P =)|(A B P )(A P )0)((>A P 给出了它们之间的联系。

3.条件概率的解题方法：解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题。

如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。

求解简单条件概率问题，有五种基本方法:（1） 化为古典概型解决)()(n )()()(A n B A A P B A P A B P ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数（2） 化为几何概型解决)()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,)A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等 （3） 条件概率公式法如果0)(>A P ,则先在原样本空间Ω中计算)(AB P 和)(A P ，再按公式=)|(A B P )()(A P AB P 计算（4）缩减样本空间法：在事件A 发生的前提下，确定事件B 的缩减样本空间A A ⋂Ω=Ω，并在A Ω中计算事件B 发生的概率，从而得到)|(A B P(5)利用条件概率的性质()P B A 1()P B A =-性质=1 -)()(A n BA n 4.条件概率常见应用问题类型类型1：掷骰子子问题例1将一枚硬币抛掷三次，记事件A 为 “至少出现一个正面“，记事件B 为 “至少出现两个反面”，求)|(),|(B A P A B P .解法1：化为古典概型解决：AB 表示“恰有一个正面两个反面，Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT},A ={TTT ,HHT,HTH,HTT,THH,THT,T TH,}, B ={ HTT,THT,TTH}=)(A P 87, =)(B P 2184=,=)(AB P 83,=)|(A B P 73)()(=A P AB P , =)|(B A P 43 解法2：缩减样本空间法：在缩减样本空间A A =Ω中看，A 共有7个元素，其中只有3个属于B ，故有=)|(A B P 73，=)|(B A P 43 类型2：摸球问题例2：袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。

解法1：条件概率公式法设=A {第1次摸到白球}；=B {第2次摸到黑球}求)(A P ：袋中有10个球，每个球等可能地被取中。

考虑两次取球的随机试验；从袋中不放回地摸取两次，每一次—个，共有210A 种摸法．即样本点总数为210A 个。

第1次摸到白球的摸法有16C 种，第2次可能摸到白球或黑球，于是，只能从9个球中摸一球，有19C 种摸法，因此A 包含的样本点数为1916C C 个。

故由古典慨型的概率计算公式得)(A P =532101916=A C C 求)(AB P ：考虑上述同—个随机试验的样本空间，样本点总数仍为210A 个，其中事件AB 表示“第1次摸到白球且第2次摸到黑球”，因此，AB 包含的样本点数为1416C C 个,于是由古典概率计算公式可得=)(AB P 2101416A C C , 故由条件概论可得=)|(A B P )()(A P AB P =94 解法二：缩减样本空间法:对方法一中的样本空间进行缩减，在“第1次摸到白球”的条件下，样本空间A Ω所包含的样本点数为1916C C 其中“第2次摸到黑球”的样本点数为1416C C 。

故由古典概率计算公式可得=)|(A B P 9419161416=C C C C 类型3：产品检验问题：例3：设有某产品一盒共6只，已知其中有2只次品，从中取二次，每次任取一只，作不放同抽样。

求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。

解法：设事件A 为“第一次抽得次品”，事件B 为“第二次抽到次品”，则AB 为“第一次和第二次都抽得次品”，故有1612)(C C A P =,2622)(C C AB P =,52)()()|(==A P AB P A B P 类型4：整数的倍数问题例4:从1-100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率解：设事件C 为“取出的数不大于50，事件A 为“取出的数是2的两倍’，事件B 为“取出的数是3的倍数”, 则5.0)(=C P ，且求概率为=+)|)((C B A P =-+)|()|()|(C AB P C B P C A P 66.0)08.016.025.0(2=-+ 类型5;等候问题例5：两人约好于某一天早晨8时到9时之间在某地会面，并约定先到者等候另一人30分钟方可离开，已知两人会上了面，求先到者等候另一人超过20分钟的概率。

解：设事件A ={ 两人会上了面 }，B ={ 先到者等候另一人超过20分钟 } 先用集合表示该试验的样本空间Ω及事件A 、B 、A B ，得{(,)060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤且，{(,)30}A x y y x =-≤，{(,)2060}B x y y x =<-≤， {(,)2030}AB x y y x =≤-≤， （ 样本点(,)x y -对应基本事件“两人到达某地的时刻分别为x 、y ，x 、y 的单位：⨯时⨯分 ）如图所示。

于是，所求事件的概率为：)()()()()|(A AB A P AB P A B P μμ几何定义条件概率==的面积区域的面积区域A AB = =-+--+-)3060(21)3060(21)3040(213040(2122222222=--2222306030402772700700=类型6:医疗诊断问题例6：据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关.解:设事件A 为耳聋人，事件B 为色盲人，p A P =)(，则p A P -=1)(.依题意可得，08.0)|(=A B P ,08.09950796)|(==A B P ，概率公式，)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +==08.0)1(08.0⨯-+⨯p p =08.0所以，()(|)(|)0.08P B P B A P B A ===,事件A 与事件B 相互独立. 经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关.类型7:其它类型 例7：某校计科系一年级100名学生中有男生80名，来自南京的20名学生中有男生12名，选修数学建模课的40名学生中有男生32名，求碰到选修数学建模课的学生的情况下，是一名女生的概率。

解：A={()P A C ()()P AC P C =条件概率18140C C =840= 也可利用条件概率的性质解决：()P A C =1- )|(C A P 132140C 1C =-古典定义840= 例8：一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个孩子是男孩的概率已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率解：(1)基本事件空间Ω={（男，男）（男，女）(女，男）（女，女）}，记事件A =“其中一个是女孩”，B =“其中一个是男孩”,显然： A 事件包括（男，女）（女，男）（女，女）三个结果；AB 事件包括（男，女）（女，男）两个结果；事件A 与B 的关系可以用韦恩图表示为（图1）：故由条件概率公式易得:32)()(4342)()()()()()()|(===ΩΩ==A n AB n n A n n AB n A P AB P A B P 由上面的推导过程不难得到：结论1：当问题为古典概型时，)()()|(A n AB n A B P =经类比推理可得 结论2：当问题为几何概型时)()()()()|(A AB A P AB P A B P μμ== (2)记事件A 为“其中一个是女孩”,事件C 为“另一个也是女孩”,由韦恩图明显看出事件C 的集合是事件A 集合的子集 （图2）由条件概率--古典概型公式得31)()()()()|(===A n C n A n AC n A C P 观察得到等式：1)|()|(=+A C P A B P 且B C =故可以推断条件概率性质：1)|()|(=+A B P A B P总结: 解条件概率题首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概率问题,如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的，那么这一事件的概率，必须按条件概率来处理。

条件概率的问题，必须从题设情形出发，灵活运用条件概率的有关性质或公式解答条件概率间题。

参考文献[1] 沈恒范．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2003.[2] 薛留根．概率论解题方法与技巧[M]．北京：国际工业出版社，l999．[3]孙荣恒. 应用概率统计[M ] . 2版. 北京: 科学出版社, 2006.[4]赵焕宗. 应用高等数学[M ] . 上海: 上海交通大学出版社, 2001.。