高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
九类常见概率问题求解方法
九类常见概率问题求解方法在概率论中，有许多常见的问题可以通过一些常用的方法来解决。
以下是九类常见的概率问题及其求解方法：1. 排列组合问题当问题涉及到选择或安排元素的顺序时，我们可以使用排列组合的方法来解决。
排列是指从给定的元素集合中选取一些元素并按照一定的顺序排列，组合是指从给定的元素集合中选取一些元素，不考虑顺序。
排列组合问题可以通过计算阶乘、直接应用排列组合公式或使用递推关系式来求解。
2. 条件概率问题当问题给出了一些额外的条件时，我们可以使用条件概率来解决。
条件概率是指在已知某些条件下，事件发生的概率。
通过应用条件概率公式，我们可以求解出事件在给定条件下的概率。
3. 独立事件问题若多个事件之间的发生不会互相影响，则这些事件是独立事件。
对于独立事件问题，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解整个事件链的概率。
4. 联合概率问题当问题涉及到多个事件同时发生的概率时，我们可以使用联合概率来解决。
联合概率是指多个事件同时发生的概率。
通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相乘来求解联合概率。
5. 互斥事件问题互斥事件是指两个事件之间不能同时发生的情况。
当问题涉及到互斥事件的概率时，我们可以通过计算每个事件的概率，然后将这些概率相加来求解整体概率。
6. 逆概率问题当问题给出了事件发生的概率，我们可以使用逆概率来解决。
逆概率是指已知事件发生的概率，求解事件不发生的概率。
通过使用补集的概念，即1减去事件发生的概率，我们可以求解逆概率。
7. 条件逆概率问题当问题给出了事件发生的条件概率，我们可以使用条件逆概率来解决。
条件逆概率是指已知事件发生的条件下，求解事件不发生的概率。
通过使用补集公式和条件概率公式，我们可以求解条件逆概率。
8. 边际概率问题当问题给出了多个事件的联合概率和条件概率时，我们可以使用边际概率来解决。
边际概率是指在多个事件联合发生的情况下，某个单独事件发生的概率。
通过应用边际概率公式和条件概率公式，我们可以求解边际概率。
高中数学概率解题技巧
高中数学概率解题技巧概率在数学中是一个非常重要的概念，也是高中数学中比较难以理解和运用的知识点之一。
在概率的解题过程中，我们需要掌握一些解题技巧，这些技巧可以帮助我们更加高效地解决数学概率问题。
本文将介绍一些高中数学概率解题的技巧，并结合相关例题进行讲解。
一、确定随机事件在解决概率问题之前，我们首先要确定随机事件的范围和样本空间。
样本空间是指所有可能结果的集合，而随机事件是样本空间的一个子集。
确定好随机事件和样本空间之后，我们就可以根据问题所求的概率进行计算。
例题：某班有60名学生，其中30名男生，30名女生。
如果从这60名学生中随机选取一名学生，求选中男生的概率。
解题思路：首先，我们可以确定随机事件为“选中男生”，样本空间为该班所有学生。
根据题目给出的信息，男生和女生的人数相等，所以该班男生的概率为30/60=1/2。
二、计算有序事件的概率有些概率问题中，要求我们计算特定事件按照一定顺序出现的概率。
在计算有序事件的概率时，我们需要注意事件发生的次序，并根据次序进行计算。
例题：A、B、C、D四个人按次序排成一列，请计算A在最后一位的概率。
解题思路：根据题目的要求，我们可以知道总共有4!=24种不同的排列方式。
而在这24种排列方式中，A在最后一位的情况只有一种，所以A在最后一位的概率为1/24。
三、计算无序事件的概率有些概率问题中，要求我们计算特定事件出现的概率，而不考虑其次序。
在计算无序事件的概率时，我们需要使用组合数进行计算。
例题：某班有30名学生，其中10名喜欢足球，20名喜欢篮球。
如果从这30名学生中随机选取两名学生，求两名学生都喜欢足球的概率。
解题思路：首先，我们可以确定随机事件为“两名学生都喜欢足球”，样本空间为从30名学生中选取两名学生的组合数C(30, 2)。
而两名学生都喜欢足球的情况可以看作从10名学生中选取两名学生的组合数C(10, 2)。
所以两名学生都喜欢足球的概率为C(10, 2)/C(30, 2)。
数学高考解题技巧如何灵活运用数学方法解决概率题
数学高考解题技巧如何灵活运用数学方法解决概率题概率题在高考数学考试中占据着重要的位置，而解决概率题所运用的数学方法则是考生们需要掌握和灵活运用的技巧之一。
本文将为大家介绍数学高考解题技巧，探讨如何灵活运用数学方法解决概率题。
一、了解概率题的基本概念在解决概率题之前，我们首先需要了解概率的基本概念。
概率是指某一事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数值来表示。
常见的概率题包括排列组合、事件的互斥与独立、条件概率等。
二、运用排列组合解决概率题排列组合是解决概率题的重要数学方法之一。
在一些问题中，我们需要计算某一事件的可能性，这时我们可以通过排列组合的方法来求解。
例如，某班有10位学生，其中5位男生和5位女生，要从中随机挑选3位学生，问其中至少有2位男生的概率是多少。
我们可以通过排列组合的方法解决这个问题。
首先我们需要计算在5位男生中选择2位男生的可能性、在5位女生中选择1位女生的可能性，然后将两个可能性相乘，最后再除以总的选择可能性。
三、理解事件的互斥与独立解决概率题在解决概率题的过程中，我们还需要理解事件的互斥与独立。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，独立事件是指两个事件的发生与否互不影响。
对于互斥事件，我们可以通过将两个事件的概率相加来求解总的概率。
例如，某班有30名学生，其中10位男生和20位女生，从中随机挑选1名学生，问挑选到女生的概率是多少。
由于男生和女生两个事件是互斥的，所以我们可以直接将挑选到女生的概率计算为女生人数除以总人数。
对于独立事件，我们可以通过将两个事件的概率相乘来求解总的概率。
例如，某班有30名学生，其中15位男生和15位女生。
从中随机挑选2名学生，问两名学生都是男生的概率是多少。
由于两名学生都是男生这两个事件是独立的，所以我们可以将挑选到男生的概率相乘求解。
四、利用条件概率解决概率题条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另外一个事件发生的概率。
在解决概率题时，我们可以用条件概率来解决一些较为复杂的问题。
高中概率题型及解题方法
高中概率题型及解题方法概率是高中数学中重要且有趣的话题。
它涉及到事件发生的可能性，并通过数学方法计算概率值。
在高中学习中，学生经常会遇到各种概率题型。
本文将介绍一些常见的高中概率题型及解题方法。
1. 事件概率计算：在这种类型的题目中，我们需要计算某个特定事件发生的概率。
一般情况下，事件概率等于事件发生的次数除以总的可能次数。
解决这类问题时，关键是确定事件发生的次数和总的可能次数。
2. 独立事件概率计算：当我们面对多个独立事件时，我们可以将每个事件的概率相乘来得到它们同时发生的概率。
例如，投掷一枚硬币和掷一颗骰子是独立事件，我们可以计算得到同时出现正面和点数为3的概率。
3. 互斥事件概率计算：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
在这种情况下，我们可以计算每个事件发生的概率并将它们相加。
例如，抽一张扑克牌，获得红桃和黑桃的两个事件就是互斥事件，我们可以计算它们的概率并相加。
4. 条件概率计算：当我们已经知道某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，我们可以使用条件概率来解决问题。
条件概率等于两个事件同时发生的概率除以已知条件发生的概率。
解题时，我们需要明确给出的条件和需要计算的事件。
5. 排列组合问题：在一些概率问题中，我们需要考虑对象的排列顺序或组合方式。
这涉及到排列和组合的概念。
排列是指对象的顺序，组合是指对象的选择，与顺序无关。
解决这类问题时，我们需要正确地使用排列和组合的公式。
高中概率题型多种多样，每个题目都有其独特的解题方法。
关键是理解概率的基本概念，掌握如何把问题转化为数学语言，并使用适当的公式和计算方法得出正确的答案。
通过反复的练习和理解，我们可以在高中学习中显著提高我们的概率问题解决能力。
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项概率题是高中数学中的一个重要考点，也是让很多学生头疼的难题。
在解概率题时，我们需要掌握一些常用的技巧和注意事项，以提高解题的效率和准确性。
本文将介绍几个常见的概率题类型，并给出相应的解题技巧和注意事项。
一、排列组合型概率题在排列组合型概率题中，常常涉及到从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的情况。
例如：从10个不同的球中任意取3个，求其中有2个红球的概率是多少？解题技巧：1. 确定元素个数和要求的条件：在这个例子中，元素个数为10，要求有2个红球。
2. 计算总的可能性：从10个球中任意取3个的总共可能性为C(10,3)。
3. 计算满足条件的可能性：从10个球中选取2个红球的可能性为C(4,2)，再从剩下的6个球中选取1个非红球的可能性为C(6,1)。
4. 计算概率：满足条件的可能性除以总的可能性即为所求的概率。
注意事项：1. 在计算组合数时，要注意使用组合公式C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。
2. 在计算概率时，要将满足条件的可能性除以总的可能性。
二、事件的互斥与独立性在概率题中，有时会涉及到多个事件的互斥或独立性。
例如：从一副扑克牌中任意抽取2张牌，求第一张是红心牌，第二张是黑桃牌的概率是多少？解题技巧：1. 确定事件的互斥与独立性：在这个例子中，第一张是红心牌与第二张是黑桃牌是两个独立的事件。
2. 计算第一张是红心牌的概率：红心牌有13张，总共有52张牌，所以第一张是红心牌的概率为13/52。
3. 计算第二张是黑桃牌的概率：黑桃牌有13张，总共有51张牌，所以第二张是黑桃牌的概率为13/51。
4. 计算概率：两个事件独立，所以将两个概率相乘即为所求的概率。
注意事项：1. 在判断事件的互斥与独立性时，要根据题目中给出的条件进行分析。
2. 在计算概率时，要注意将独立事件的概率相乘。
三、条件概率与贝叶斯定理在概率题中，有时会涉及到条件概率与贝叶斯定理。
数学中概率题解题技巧与关键知识点
数学中概率题解题技巧与关键知识点在数学中，概率是一个非常重要的概念，它涉及到我们在现实生活中做出决策时对可能结果的估计。
为了解决概率问题，我们需要掌握一些解题技巧和关键知识点。
本文将介绍一些常见的概率题解题技巧，并概述一些关键的数学知识点。
一、条件概率的计算条件概率是指在某个条件下事件发生的可能性。
我们可以通过以下公式计算条件概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
二、独立事件的计算在概率中，独立事件是指两个或多个事件之间相互不影响的事件。
如果事件A和事件B是独立事件，则它们同时发生的概率为它们各自发生的概率的乘积。
P(A∩B) = P(A) * P(B)这个公式可以用于计算多个独立事件同时发生的概率。
三、排列组合的运用在解决概率问题时，排列组合是一个常用的工具。
当我们需要确定一个事件发生的可能性时，我们可以使用排列或组合的方法。
排列是指从一组对象中选择若干个对象，并按照一定的顺序进行排列。
当我们需要确定事件的顺序时，我们可以使用排列的方法计算概率。
组合是指从一组对象中选择若干个对象，并不考虑它们的顺序。
当我们不关心事件的顺序时，我们可以使用组合的方法计算概率。
四、概率分布的理解概率分布是指在一定条件下某个事件发生的可能性分布情况。
概率分布可以用来描述某个事件发生的概率与结果之间的关系。
常见的概率分布包括均匀分布、正态分布和二项分布等。
在解决概率问题时，了解不同的概率分布特点和计算方法是很有帮助的。
五、贝叶斯定理的应用贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它用于更新先验概率的值，以得到后验概率。
贝叶斯定理可以帮助我们在得到新的信息后，重新评估事件发生的概率。
贝叶斯定理的公式如下：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)其中，P(A)表示事件A发生的先验概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
高考统计概率题型的解题方法
高考统计概率题型的解题方法高考统计概率题型通常涉及到概率、期望和抽样等内容。
解题的方法和思路决定了我们能否高效地解决这些题目。
下面我将介绍一些常用的解题方法，希望对您有所帮助。
一、概率问题的解题方法1.事件的概率计算在解决概率问题时，首先要确定所求事件的概率。
概率可以表示为“事件发生的次数/总的可能次数”。
有以下几种常见情况：-均匀概率问题：即各事件发生的概率相等。
此时，所求事件的概率等于所求事件发生的次数/总的可能次数。
-条件概率问题：即事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。
此时，所求事件的概率等于事件A与事件B同时发生的次数/事件B发生的次数。
-独立事件概率问题：即事件A和事件B相互独立，互不影响。
此时，所求事件的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
2.用排列组合解决问题有些概率问题中，可能涉及到多个选择，这时可以使用排列组合的方法来解决。
-排列：表示从n个元素中取出m个元素按照一定顺序排列的数目。
计算排列数的公式为：P(n,m)=n!/(n-m)!-组合：表示从n个元素中取出m个元素，不考虑其排列顺序的情况。
计算组合数的公式为：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)二、期望问题的解题方法1.期望的定义期望是一个随机变量在长期重复试验中出现的平均现象，通常用E 表示。
对于离散型随机变量，其期望可以表示为：E(X)=∑(x*p(x))，其中x为取值，p(x)为该值出现的概率。
对于连续型随机变量，期望可以用积分的形式表示。
2.期望的性质-线性性质：设X，Y为两个随机变量，a，b为常数，则E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。
-期望的非负性：对于任意的随机变量X，有E(X)>=0。
-期望的加法性质：对于任意的随机变量X，Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
三、抽样问题的解题方法1.抽样方法在抽样问题中，常见的有放回抽样和不放回抽样两种方法。
-放回抽样：即每次抽到一个元素后，将抽到的元素放回到总体中。
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高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论考核合格”为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件解法1：()()123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++()()()()123123123123P A A A P A A P A A A P A A A =+++0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.902=解法2：()()1P C P C =-()1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++()()()()1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10.098=-0.902=所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯0.254016=0.254≈所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。
例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（）A 、156B 、170C 、1336D 、1420解析：共有339633280C C A ∙=种分组的方法，三组的平均值可能是456，357，258，348，267，且各有一种分组的方法，所求的概率为5128056=，故选A 例5：从原点出发的某质点M ，按照向量(1,0)=a 移动的概率为53，按照向量(2,0)=b 移动的概率为52，设可到达点)0,(n 的概率为n P ．（Ⅰ）求概率1P 、2P ；（Ⅱ）求2+n P 与n P 、1+n P 的关系并证明数列{}12++-n n P P 是等比数列；（Ⅲ）求n P ．解(Ⅰ)M 点到达点)0,1(的概率为531=P ；M 点到达点)0,2(的事件由两个互斥事件组成：①A=“M 点先按向量)0,1(=a 到达点)0,1(，再按向量(1,0)=a 到达点)0,2(”，此时253()(=A P ；②B=“M 点先按向量(2,0)=b 移动直接到达点)0,2(”，此时52)(=B P 。
=2P +)(A P =)(B P 2)53(52+2519=(Ⅱ)M 点到达点)0,2(+n 的事件由两个互斥事件组成：①=+2n A “从点)0,1(+n 按向量(1,0)=a 移动到达点)0,2(+n ”，此时1253)(++=n n P A P ；②=+2n B “从点)0,(n 按向量)0,2(=b 移动到达点)0,2(+n ”，此时n n P B P 52)(2=+。
n n n P P P 525312+=∴++，即=-++12n n P P )(521n n P P --+∴数列{}12++-n n P P 是以25412=-P P 为首项，公比为52-的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知=-++12n n P P n n )52()52(2542-=--=-+n n P P 1152(--n =--1n n P P 252(--n ……=-12P P 2)52(-n n P P 52()52()52(321-++-+-=-111)52(7272])52(1[72521]52(1[52----+-=---=+---=n n n 11)52(723511)52(727253---+=-+-=∴n n n P 例6：设事件A 发生的概率为p ，若在A 发生的条件下发生B 的概率为'p ，则事件,A B 同时发生的概率为'p p ∙根据这一事实解答下列问题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3…，100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即01p =）由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若出现正面，则棋子向前跳动一站，若出现反面则向前跳动两站；直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。
已知硬币出现正、反两面的概率相等，设棋子在跳跃的过程中经过第n 站的概率为n p 。
（1）求123,,P P P （2）（2）设1(1100)n n n a P P n -=-≤≤，求证数列｛n a ｝是等比数列。
（3）求玩游戏获胜的概率。
解析：（1）012311113113151,,,2222422428P P P P =∴==⨯+==+⨯= （2）棋子跳到第n 站，必须是从第1n -站或第2n -站跳来的(2100)n ≤≤，所以12112111,()222n n n n n n n P P P P P P P -----=+∴-=--，11(2100),2n n a a n -∴=-≤≤且11012a P P =-=-，故｛n a ｝是以公比为12-，首项为12-的等比数列。
（30由（2）知1239910219998()()()a a a a P P P P P P ++++=-+-++- =2999910011121()()())22232P -+-++-⇒=- ，所以获胜的概率为9910021(132P =-例7：质点A 位于数轴0x =处，质点B 位于2x =处。
这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为13，向右移动的概率为23。
（Ⅰ）求3秒后，质点A 位于点1x =处的概率；（Ⅱ）求2秒后，质点,A B 同时在点2x =处的概率；（Ⅲ）假若质点C 在0,1x x ==两处之间移动，并满足：当质点C 在0x =处时，1秒后必移到1x =处；当质点C 在1x =处，1秒后分别以12的概率停留在1x =处或移动到0x =处，今质点C 在1x =处，求8秒后质点C 在1x =处的概率。
解析：（1）3秒后，质点A 到1x =处，必须经过两次向右，一次向左移动；223214((339P C ∴==（2）2秒后，质点,A B 同时在点2x =处，必须质点A 两次向右，且质点B 一次向左，一次向右；故12222116333381P C =⨯⨯⨯⨯=（3）设第n 秒后，质点C 在1x =处的概率为n x ，质点C 在0x =处的概率为n y 依题意知：112n n n x x y +=+，由1,n n x y +=得11111,32(32)()22n n n n x x x x ++=-∴-=--所以｛32n x -｝是首项为111323222x -=⨯-=-，公比为12-的等比数列。