2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学(理)试题及答案
2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学（理）试题及答案一、单选题1．直线310x +=的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A ．710B ．15C ．2πD ．3103．已知函数()ln f x x =+()f x 的定义域为（）A ．(0,1)B ．(1,2]C ．(0,4]D ．(0,2]4．已知直线,a b 与平面,,αβγ，下列条件中能推出//αβ的是（）A ．,a a αβ⊥⊥且B ．,αγβγ⊥⊥且C ．,,//a b a bαβ⊂⊂D ．,,//,//a b a b ααββ⊂⊂5．在区间[]1,1-上随机地取一个数x .则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（）.A ．23B ．2πC ．12D ．136．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A ．x x <甲乙，22S S >甲乙B ．x x >甲乙，22S S <甲乙C ．x x <甲乙，22S S <甲乙D ．x x >甲乙，22S S >甲乙7．已知sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b c a<<8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（）（参考数据：001.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A ．48B ．36C ．24D ．129．已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．10．已知体积为的三棱锥O ABC -的顶点A ，B ，C 都在球O 的表面上，且6AB =，BC =，AC =O 的表面积是（）A ．16πB ．32πC ．64πD ．72π11．若向量,,a b c 的模均为1，且0a b ⋅=，则342a b c +- 的最大值为（）A ．5+B ．3C ．5D ．712．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，max ()3f x ω=时，则ω的值最多有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．已知31cos 23πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，且,22ππα⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则tan α=_________．14390y -+=被圆222(2)(3)x y r -+-=，则r =__________．15．已知||1,||0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则mn等于．16．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(63)2f x f x +-≤的解集是________．三、解答题17．（1）已知2lg(2)lg lg x y x y -=+，求xy的值．（2）设1x 满足2ln 3x x +=，2x 满足ln(1)21x x --=求12x x +的值．18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．19．已知123PP P 三个顶点的坐标分别为123(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin )P P P ααββγγ，且1230OP OP OP ++=（O 为坐标原点）．（1）求12POP ∠的大小；（2）试判断123PP P 的形状．20．已知矩形ABCD 中，22AD AB ==，E ，F 分別为AD ，BC 的中点，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使二面角D EF B '--为60°．（1）求证EF AD '⊥；（2）求AC '与平面EFC D ''所成角的正弦值．21．已知函数()sin()0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移3π个单位长度．得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间；（2）当,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数22123y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域．22．已知动点M 到两定点11A (，)，()2,2B．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线:260l x y +-=夹角为30°的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值和最小值．数学（理）试题参考答案1-10.BDCAD .AACBC 11-12.DC 13.24-;14.2;15.3;16.[2,)+∞17.解：（1）由2lg(2)lg lg x y x y -=+得2lg(2)lg()x y xy -=，∴2(2)x y xy-=∴22540x xy y -+=，∴()(4)0x y x y --=，即1xy=或4．又0,0,20x y x y >>->，∴1x y =舍去，故4xy=．（2）由题意得()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，()()22ln 1213x x -+-=，令21x t -=，则2ln 3t t +=．∵()2ln f x x x =+在(0,)+∞单调递增，∴1t x =，∴121x x =+．18.解：⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示，分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示，则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==．19.解：（1）题意知1231OP OP OP ===∵123OP OP OP +=- ，∴()22123OP OP OP += ∴222121232OP OP OP OP OP +⋅+= ∴1221OP OP ⋅=- ，即1212OP OP ⋅=- ，∴1212121cos 2OP OP POP OP OP ⋅∠==-⋅ ，∴[]120,POP π∠∈，∴1223POP π∠=．（2）∵1221PP OP OP =-，∴12||PP ===同理：1323||||PP P P ==∴123PP P 是等边三角形．20.解：（1）∵ABCD 是矩形，且E ，F 分别为,AD BC 的中点，∴,EF AE EF D E '⊥⊥，又∵AE D E E '= ，∴EF ⊥平面AD E '，∵AD '⊂平面AD E '，∴EF AD '⊥．（2）取D E '的中点H ，连接,AH HC '由EF ⊥平面AD E '可知,AE EF D E EF '⊥⊥，∴D EA '∠为二面角D EF B '--的平面角．∴60D EA '∠=︒．∵1AE D E '==，∴AD E ' 为等边三角形，∴AH D E'⊥由（1）知平面EFC D ''⊥平面AD E '，且平面EFC D '' 平面AD E ED ''=，∴AH ⊥平面EFC D ''，∴AC H '∠为AC '与平面EFC D ''所成的角．在Rt AC H ' 中，3,22AH AC '==，∴362sin 42AH AC H AC '∠=='，即AC '与平面EFC D ''所成角的正弦值为64．21.解：（1）由图得31134632T πππ=-=，∴2T π=，∴21T πω==．由1106f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得11sin 06A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴112()6k k πϕπ+=∈Z ，∴112()6k k πϕπ=-∈Z ，∵02πϕ<<，∴6π=ϕ．由(0)2f =得sin 26A π=，∴4A =．∴()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴5()4sin 24sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．令5222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ．解得2()36k x k k ππππ-≤≤-∈Z ．∴()g x 的单调递增区间为2,()36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）224sin 2212342y f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4sin 2cos cos2sin44x x xππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22x x=-4sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,4412x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴sin 21,42x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴[4,y ∈-，即y 的值域为[4,-．22.解：（1）设(,)M x y=，化简得22222(1)2(1)(2)(2)x y x y -+-=-+-，∴224x y +=．即动点M 的轨迹C 的方程为224x y +=．（2）记圆C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，因为直线PQ 与直线l 夹角为30°，所以||2PQ d =．∵圆心()0,0C 到直线l5=，且圆C 的半径为2，∴max 6525d =+，min 6525d =-，∴max ||45PQ =+，min ||45PQ =-．。
2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)
2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线方程为y=−√3x+2，则直线的倾斜角为()A. 2π3B. 3π4C. π4D. π32.一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n”，则算过关，则某人连过前三关的概率是()A. 100243B. 50243C. 49243D. 982433.若函数f(x)={−2x 2+ax−2,x≤1x−1,x>1的值域为R，则实数a的取值范围是()A. [−4,5]B. [−4,4]C. (−∞,−4]∪[5,+∞)D. (−∞,−4]∪[4,+∞)4.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()A. 只有一条B. 无数条C. 是平面α内的所有直线D. 不存在5.已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30～7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45～7：15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是()A. 12B. 16C. 19D. 1126.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为()A. 7，8B. 5，7C. 8，5D. 8，77.函数y=sin x(x∈R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C. 直线y=xD. 直线x=π2 8.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的值满足A. B. C.D.( )9.已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，则cos∠POQ =A. 3365B. −3365C. −3465D. 346510. 已知一个球的内接正方体的体积为8，则这个球的体积为( )A. 4√3πB. 4π3C. 2√6π3D. 12π11. 如图，已知圆C 的方程为x 2+y 2=1，P 是双曲线x 24−y 29=1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( )A. [0,32]B. [32,+∞)C. [1,32]D. [32,92]12. 已知函数f(x)=sinx +cosx ，则关于f(x)说法正确的是( )A. f(x)的最大值是2B. f(x)的最小正周期是πC. f(x)的最大值是√2D. (0,π2)是f(x)的一个单调递增区间二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=______．14. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x +4y −5=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．15. 已知a ⃗ =(2,3),b⃗ =(−4,0)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为______．16. 已知函数为常数)，且，则____．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)求值：(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2；(2)求值：(lg5)2+lg2×lg50．18. 某地有2000名学生参加数学学业水平考试，现将成绩(满分：100分)汇总，得到如图所示的频率分布表．(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；成绩分组 频数 频率 [50,60] 100 (60,70](70,80] 800 (80,90](90,100] 200(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率．19. 如图，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东a 角的射线OZ 方向航行，其中tana =13，在距离港口O 为3√13a(a 为正常数)海里北偏东β角的A 处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=√13，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正东方向m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科学考察船，该船沿BA 方向不变追赶科学考察船，并在C 处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ 与海岸线OB 围成三角形OBC 的面积S 最小时，补给最合适．(1)求S 关于m 的函数关系式S(m)； (2)当m 为何值时，补给最合适？20. 如图，棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，C 1D 1的中点．(1)求证：AM//平面NED ；(2)求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．21. 已知f(x)=2sin(2x +π3)．(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x 值的集合． (2)求f(x)的单调递增区间．22. 已知点P 是圆x 2+y 2=2上的一个动点，过点P 且与x 轴垂直的直线交x 轴于点N ，动点M 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，记动点M 的轨迹为C ．(Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)若过点Q(1,0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求直线l 的方程．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵直线方程为y =−√3x +2，则直线的斜率为−√3， 故它的倾斜角为2π3， 故选：A ．由题意利用直线的方程求出它的斜率，可得它的倾斜角． 本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．2.答案：A解析：解：(1)要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率=46=23；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件为不等式x +y ≤4的正整数解的个数，有C 42个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种， 过关的概率=1−66=56；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x +y +z ≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C 83=56=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=1−727=2027；∴连过三关的概率=23×56×2027=100243． 故选A ．分别求出第一、二、三关过关的概率，利用概率的乘法公式，可得结论．本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查学生分析解决问题的能力，确定基本事件的个数是关键．3.答案：D解析：解：当x >1时，f(x)=x −1>0， 函数f(x)={−2x 2+ax −2,x ≤1x −1,x >1的值域为R ，必须x ≤1时，f(x)=−2x 2+ax −2的最大值大于等于0， 二次函数的开口向下，对称轴为x =a4，当a4>1时，即a >4时，f(1)=−4+a ≥0，解得a ≥4； 当a4≤1时，即a ≤4时，f(a4)=−a 28+a 24−2≥0，解得a ≥4或a ≤−4，综上a ≤−4或a ≥4． 故选：D ．求出x >1时的最小值，与x ≤1时的最大值，列出不等式求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．4.答案：B解析：解：若直线a 与平面α不垂直，当直线a//平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a 是异面垂直直线； 当直线a ⊂平面α时，在平面α内有无数条平行直线与直线a 相交且垂直； 直线a 与平面α相交但不垂直，在平面α内有无数条平行直线与直线a 垂直． ∴若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线有无数条． 故选：B ．若直线a 与平面α不垂直，有三种情况：直线a//平面α，直线a ⊂平面α，直线a 与平面α相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面α内与直线a 垂直的直线的条数，能够得到结果．本题考查在平面α内与直线a 垂直的直线条数的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间思维能力的培养．5.答案：D解析：解：由题意知本题是一个几何概型， 设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分， 则30≤x ≤60，45≤y ≤75，他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60． 则试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤5045≤y ≤50或{50≤x ≤5550≤y ≤55或{55≤x ≤6055≤y ≤60}，则他们能搭乘同一班公交车的概率是：p =5×5×330×30=112．故选：D ．由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时+x 分、6时+y 分，则30≤x ≤60，45≤y ≤75，他们能搭乘同一班公交车，则45≤x ≤60，45≤y ≤60.试验包含的所有区域是Ω={(x,y)|30≤x ≤60，45≤y ≤75}，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ={(x,y)|{45≤x ≤5045≤y ≤50或{50≤x ≤5550≤y ≤55或{55≤x ≤6055≤y ≤60}，由此能求出结果． 本题考查几何概型，这类问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果，是中档题．6.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+y ，24，27， ∵甲组数据的中位数为17， ∴10+y =7，解得y =7． ∵乙组数据的平均数为17.4∴17.4=15(9+16+10+x +19+25)， 解得x =8． 故选：D ．利用中位数、平均数计算公式求解．本题考查中位数和平均数的求法及应用，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．7.答案：D解析：解：函数y =sin x (x ∈R) 其对称轴方程x =π2+kπ，k ∈Z ． 当k =0时，可得x =π2． 故选：D ．根据正弦函数的性质求解对称轴方程，即可得答案． 本题给出正弦型三角函数的图象即性质，属于基础题．8.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．解：输入x =0，y =1，n =1，故y =4x ， 故选D ．9.答案：B解析：本题考查平面向量的几何应用以及圆的方程，分别求出P ，Q 两点坐标，然后根据向量夹角公式求出结果，属于中档题．解：P 、Q 在单位圆O:x 2+y 2=1，分别位于第一象限和第四象限， P 的纵坐标为45，Q 的横坐标为513，∴P 的横坐标为：√1−(45)2=35，Q 的纵坐标为：−√1−(513)2=−1213，则P 点坐标为(35,45)，Q 点坐标为(513,−1213)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,45)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(513,−1213)， 则cos∠POQ =OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−33651=−3365故选B ．10.答案：A解析：本题考查球的体积的求法，考查球的内接正方体、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．先求出正方体的棱长a =√83=2，从而这个球的半径r =√22+22+222=√3，由此能求出这个球的体积．解：∵一个球的内接正方体的体积为8， ∴正方体的棱长a =√83=2， ∴这个球的半径r =√22+22+222=√3，∴这个球的体积为V =43×π×(√3)3=4√3π． 故选：A ．11.答案：B解析：解：设PA 与PB 的夹角为2α，α∈(0,π6]. 则|PA|=PB|=1tanα，∴y =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos2α=1tan 2α⋅cos2α =1+cos2α1−cos2α⋅cos2α．记cos2α=u ，u ∈[12,1)则y =u(1+u)1−u=−3+(1−u)+21−u≥2√2−3，当且仅当u =√2−1时取等号，但是√2−1∉[12,1), 由双勾函数的性质可知，x ∈[12,1)，函数的增函数， 可得y ≥32，此时P 在双曲线的顶点位置．u →1时，y →+∞．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为：[32,+∞)． 故选：B ．由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长；利用向量的数量积公式表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．本题考查双曲线的简单性质，考查了圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， 故f(x)的最大值是√2，故A 错误，C 正确； f(x)的最小正周期是2π，故B 错误； 当x ∈(0,π4)时，函数为增函数，当x ∈(π4,π2)时，函数为减函数，故D 错误； 故选：C ．由f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，分析函数的最值，周期性和单调性，可得答案． 本题考查的知识点三角函数的最值，周期性和单调性，难度中档．13.答案：3解析：解：tanθ=3，则1−cos2θ+sin2θ1+cos2θ+sin2θ=2sin 2θ+2sinθcosθ2cos 2θ+2sinθcosθ=tan 2θ+tanθ1+tanθ=9+31+3=3．故答案为：3．利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 本题考查三角函数化简求值，考查计算能力．14.答案：2解析：圆x 2+y 2=4的圆心O(0,0)到直线3x +4y −5=0的距离d ==1，弦AB 的长|AB|=2=2．15.答案：−2√1313解析：解：∵a ⃗ =(2,3),b ⃗ =(−4,0)，∴b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为： |b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√13⋅4=−2√1313． 故答案为：−2√1313．b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为：|b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b ⃗ |⋅a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |． 本题考查向量的投影的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.答案：．解析：试题分析：因为， 所以． 考点：函数的奇偶性．点评：解本小题最简算途径是求出是定值，因而可由f(5)求出f(−5)． 17.答案：解：(1)(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2 =(94)12−1−(278)−23+(23)2 =32−1−(827)23+49=12−49+49=12(2)解：(lg5)2+lg2×lg50=(lg5)2+lg2×(lg5+1)=(lg5)2+lg2×lg5+lg2=(lg5+lg2)×lg5+lg2=1×lg5+lg2=1．解析：(1)本题中各数都是指数幂的形式，故可以用有理数指数幂的运算法则将(214)12−(−2008)0−(338)−23+(32)−2化简求值，变形方向是把底数变为幂的形式，用积的运算法则化简． (2)本题中各数都是对数的形式，利用对数的运算法则将(lg5)2+lg2×lg50化简求值即可，首先将50变为25×2．18.答案：解：(1)完成题目中的频率分布表，如下；成绩分组 频数 频率[50,60] 100 0.05(60,70] 600 0.30(70,80] 800 0.40(80,90] 300 0.15(90,100] 200 0.10补全题目中的频率分布直方图，如下；(2)将成绩按分层抽样的方法抽取150名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，他被抽中的概率为1502000=0.075．解析：(1)根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表， 计算频率组距，补全频率分布直方图即可；(2)用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为1502000．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目． 19.答案：解：以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ 的方程为y =3x①，(1)设A(x 0,y 0)，∵cosβ=2√13，sinβ=3√13，则x 0=3√13asinβ=9a ，y 0=3√13acosβ=6a ，∴A(9a,6a)．又B(m,0)，则直线AB 的方程为y =6a 9a−m (x −m) ②由①、②解得，C(2am m−7a ,6am m−7a )，∴S(m)=S △OBC =12|OB||y c |=12×m ×6am m −7a =3am 2m −7a (m >7a);(2)S(m)=3am2m−7a =3a[(m−7a)+49a2m−7a+14a]≥84a2,当且仅当m−7a=49a2m−7a，即m=14a>7a时，等号成立，故当m=14a海里时，补给最合适．解析：本题主要考查解三角形的实际应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用．考查函数的建模思想和转化思想．先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，(1)先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案; (2)根据(1)中S(m)的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．20.答案：(1)证明：连结ME----------(1分)∵M、E分别是A1B1、D1C1中点∴A1D1//ME，A1D1=ME又∵A1D1//AD，A1D1=AD∴ME//AD，ME=AD故得平行四边形ADEM-----------------------(4分)∴AM//DE又∵DE⊂平面NEDAM⊄平面NED∴AM//平面NED-----------------------(6分)(2)解：取AB中点F，连结B1F，则B1F//AM∴AM与平面BCC1B1所成角即为B1F平面BCC1B1所成角．∵AB⊥平面BCC1B1∴∠FB1B是直线AM与平面BCC1B1所成角---------------------------------(9分)∵BF=12AB=12BB1∴tan∠FB1B=FBBB1=12故直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为12-------------------------(12分)解析：(1)连结ME，证明ADEM为平行四边形，从而得到AM//DE，即可证明AM//平面NED；(2)取AB 中点F ，连结B 1F ，则B 1F//AM ，AM 与平面BCC 1B 1所成角即为B 1F 平面BCC 1B 1所成角，即可求出直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值．本题考查证明线面平行的方法，求直线AM 与平面BCC 1B 1所成角的正切值，属于中档题． 21.答案：解：(1)f(x)max =2，当f(x)=2时，有sin(2x +π3)=1，∴2x +π3=2kπ+π2(k ∈Z)，解得x =kπ+π12，∴f(x)取最大值时x 值的集合为{x|x =kπ+π12,k ∈Z}．(2)由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2,k ∈Z ，解得kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ．解析：本题考查三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．(1)由正弦函数的性质得出函数的最值，再整体代换解出x 的值，写成集合形式；(2)将2x +π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x 的范围写成区间形式． 22.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得(0,y 0 )=√2(x −x0，y)， ∴{x 0=x y 0=√2y，代入x 02+y 02=2，得x 2+2y 2=2． (Ⅱ)依题意可设直线l 方程为：x =my +1 ①，把①代入x 2+2y 2=2得：(m 2+2)y 2+2my −1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2∵AQ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴(1−x 1,−y 1)=3(x 2−1,y 2)，⇒{y 1=−3y 2x 1+3x 2=4⇒{y 1=−3m m 2+2y 2=m m 2+2代入y 1y 2=−1m 2+2可得m =±1． ∴直线l 的方程为y =±x +1．解析：(Ⅰ)设动点M(x,y)，P(x 0,y 0)，则N(x 0,0)，由足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ，得到代入 x 02+y 02=2， (Ⅱ)直线l 与曲线G 联立方程可得x 1，x 2，结合AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +3BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可求得斜率k ，即可得直线l 的方程．本题考查定点轨迹方程的求法，考查向量的应用，属于中档题，。
河南省洛阳市第一高级中学2024届数学高一第二学期期末复习检测模拟试题含解析
河南省洛阳市第一高级中学2024届数学高一第二学期期末复习检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，正确的是（ ）A ．若//a α，//b α，则//a bB ．若//a α，b β//，a b ⊥，则αβ⊥C ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则//αβD ．若a α⊥，b β⊥，//a b ，则αβ⊥2．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A ．322+ B ．32+ C ．222+D ．33．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．23πB ．2πC ．3πD ．π4．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()f x （ ）A ．既有极小值，也有极大值B ．有极小值，但无极大值C ．有极大值，但无极小值D ．既无极小值，也无极大值5．一个正四棱锥的底面边长为23 A ．8B ．12C ．16D ．206．已知()10sin 10αβ-=，5sin 25β=，3,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,42ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（ ） A ．54πB ．74π C ．54π或74πD ．54π或32π7．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A ．31010-B ．355-C ．255D ．255-8．已知函数()2sin tan 1cos a x b xf x x x+=++，若()10100f =，则()10f -=（ ）A ．100-B ．98C ．102-D ．1029．下列函数中最小值为4的是( )A ．4y x x=+B ．4|sin ||sin |y x x =+C ．433xx y =+D ．4lg lg y x x=+10．设a,b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若关于x 的不等式|x −1|+|x +m|>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−4)∪(2,+∞)B. (−∞,−4)∪(1,+∞)C. (−4,2)D. [−4,1]2.为了得到函数y =cos(3x −π4)的图象，只需把函数y =cos3x 的图象上所有点( )A. 向左平移π4个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位3.如果直线与直线(互相垂直，则( )A. B. C.，D.，，4.过点(−2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条5.将参加数学夏令营的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，求得间隔数k =100050=20，即每20人抽取一个人．在0001到0020中随机抽得的号码为0015，从0601到0785被抽中的人数为( )A. 8B. 9C. 10D. 116.已知平面向量a ⃗ =(2cos 2x,sin 2x)，b ⃗ =(cos 2x,−2sin 2x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，要得到y =√3sin2x +cos2x 的图象，只需要将函数y =f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位7.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. 12πB. 4πC. 3π8. 某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为( )A. 127B. 19C. 18D. 1369.设函数y =f(x)(x ∈R)的图象关于直线x =0及直线x =1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则f(−32)=( )A. 12B. 14C. 34D. 9410. 已知函数f(x)=cos(π6−2x)，把y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(π3)=√32B. g(x)的图象关于直线x =π2对称 C. g(x)的一个零点为(π2,0)D. g(x)的一个单调减区间为[−π12,5π12]11. 体积为2√153的三棱锥A −BCD 中，BC =AC =BD =AD =3，CD =2√5，AB <2√2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 20πB.613πC. 6112πD. 4912π12. 函数f(x)={e x +ax+ax+1,x >−1x 2+4x +3,x ≤−1，则关于x 的方程f[f(x)]=0的实数解最多有( )A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 15.已知直线过点且与圆相切，则该直线在轴正半轴上的截距等于___ ▲____；14. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则AD 1与B 1C 所成角的大小为______ ．15. 已知矩形ABCD ，AB =2，BC =1，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤ax 2+x −2,x >a 恰有一个零点，则a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知，，其中(1)求证：与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．18. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，ED ⊥平面ABCD ，EF//DB ，M 是线段AE 的中点，DE =EF =12BD =2．(1)证明：DM//平面CEF ； (2)求多面体ABCDEF 的表面积．19. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道．某小区有1200户家庭，全部居民在小区的8栋楼内，各家庭在过年时各自包有肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子三种味道的饺子(假设每个家庭包有且只包有这三种味道中的一种味道的饺子)． (1)现根据饺子的不同味道用分层抽样的方法从该小区随机抽样抽取n 户家庭，其中有10户家庭包的是素馅饺子，在抽取家庭中包肉馅饺子和蛋馅饺子的家庭分布在8栋楼内的住户数记录为如图1所示的茎叶图，已知肉馅饺子数的中位数为10，蛋馅饺子数的平均数为5，求该小区包肉馅饺子的户数；(2)现从包肉馅饺子的y 2=4x 家庭中随机抽取100个家庭调查包饺子的用肉量(单位：kg)得到了如图2所示的频率分布直方图，若用肉量在第1小组[1.0,1.4)内的户数为x +y(x,y 为茎叶图中的x ，y)，试估计该小区过年时各户用于包饺子的平均用肉量(各小组数据以组中值为代表)．20.(本题满分12分)已知向量，设函数(Ⅰ)求函数的解析式和单调增区间；(Ⅱ)若，求的值．21. 已知椭圆:的一个焦点为且过点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．22. 已知函数f(x)=2acosx−sin2x，当x∈[−π6,2π3]时，求函数y=f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由于|x −1|+|x +m|表示数轴上的x 对应点到1和−m 的距离之和， 它的最小值等于|1+m|， 由题意可得|1+m|>3， 解得m >2，或 m <−4， 故选：A ．由绝对值的意义可得|x −1|+|x +m|的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，由此解得实数m 的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到|1+m|>3，是解题的关键，属于中档题．2.答案：D解析：解：把函数y =cos3x 的图象上所有点向右平移π12个单位，得到y =cos(3x −π4)的图象， 故选：D ．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：由于直线与直线互相垂直，则有，解得，故选C ．考点：两直线的位置关系4.答案：B解析：解：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y =−2x ，即2x +y =0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x −y =a ，将A(−2,4)代入得，a =−6， ∴此时所求的直线方程为x −y +6=0； 共有2条， 故选：B ．可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．5.答案：B解析：本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题．根据系统抽样的定义进行求解即可．解：由题意样本间隔为20，第一组抽到的号码为15，则第n组抽到的号码为15+20(n−1)=20n−5，由601≤20n−5≤785，得60620≤n≤79020，n为正整数．即31≤n≤39，共有39−31+1=9人，故选：B．6.答案：B解析：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =2cos2x⋅cos2x−2sin2x⋅sin2x=2(cos2x+sin2x)⋅(cos2x−sin2x)=2cos2x=2sin(2x+π2)=2sin2(x+π4)，∴要得到y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)=2sin2(x+π12)的图象，只需要将函数y=f(x)=2sin(2x+π2)的图象向右平移π4−π12=π6个单位即可，故选B．7.答案：C解析：解：由三视图可知该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的几何体．设该三棱锥的外接球半径为R，∴2R=√12+12+12=√3，∴R=√32．∴外接球的表面积为S=4πR2=3π．故选：C．该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的，故正方体的体对角线等于外接球的直径．本题考查了常见几何体与外接球的关系，根据三视图得出三棱锥与正方体的关系是关键．8.答案：A解析：解：由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，故都是三班得冠军的概率为13×13×13=127，故选：A．由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，根据概率的乘法公式即可得到都是三班得冠军的概率．本题考查了概率的乘法公式，属于基础题．9.答案：B解析：解析：∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0对称，∴f(−x)=f(x)；∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，∴f(1−x)=f(1+x)；∴f(−32)=f(32)=f(1+12)=f(1−12)=f(12)=(12)2=14．选B．由于函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，可得出f(−x)=f(x)和f(1−x)= f(1+x)，结合函数在[0,1]上的解析式即可求得f(−32)的值．本题考查利用函数的图象的对称性求值的问题，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．10.答案：D解析：解：函数f(x)=cos(π6−2x)=cos(2x−π6)，把y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，得到：g(x)=cos(2x+π3−π6)=cos(2x+π6)，故：①g(π3)=cos5π6=−√32，②当x=π2时，g(π2)=cos7π6=−√32≠±1，③当x=π3时，g(π3)=cos5π6=−√32≠0，故：A、B、C错误．故选：D．首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数和余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，所以V A−BCD=13AB⋅S CDE=13⋅AB⋅12CD⋅EP=16⋅AB⋅2√5⋅√DE2−(DC2)2=√5 3⋅AB⋅√AD2−(AB2)2−5=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为V A−BCD=2√153，所以2√153=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为AB<2√2，所以解得AB=2；AE=1，DE=CE=√AC2−(AB2)2=√32−1=2√2，所以sin∠ACE=AEAC =13，所以sin∠ACB=2sin∠ACE⋅cos∠ACE=2⋅13⋅2√23=4√29，由题意可得D在底面的投影在中线CE所在的直线上，设为F，设DF=ℎ，设底面ABC的外接圆的半径为r，设圆心为O′，2r=ABsic∠ACB=4√29，所以r=9√28，O′E=CE−r=2√2−9√28=7√28，V A−BCD=2√153=13S ABC⋅ℎ=13⋅12AC2⋅sin∠ACB⋅ℎ=16⋅9⋅2√2⋅ℎ，解得ℎ=√302，所以EF=√DE2−DF2=√8−304=√22，所以O′F=EF+O′E=√22+7√28=11√28，过O′作OO′⊥面ABC的垂线，作OH⊥DF于H，则四边形HFO′O为矩形，设外接球的半径为R，取OA=OB=OD=R，在三角形OHD中，OD2=OH2+(DF−FH)2，即R2=O′F2+(√302−OO′)2=(11√28)2+(√302−OO′)2，①在三角形OO′中，OC2=CO′2+OO′2=r2+OO′2即R2=(9√28)2+OO′2，②，由①②可得R2=6112，所以外接球的表面积S=4πR2=4π⋅6112=613π，故选：B．由题意取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，再由体积可得AB的值，进而求出底面外接圆的半径，及D到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题12.答案：D解析：解：当x>−1时，f′(x)=xe x(x+1)2，∴f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．∴当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=1+a．当x≤−1时，由二次函数性质可知f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,−1]上单调递增，∴当x=−2时，f(x)取得极小值f(−2)=−1．不妨设1+a<0，则f(x)=0有4个解，不妨设从小到大依次为t1，t2，t3，t4，则t1=−3，t2=−1，−1<t3<0，t4>0．再令1+a<−3，作出f(x)的函数图象如图所示：∵f[f(x)]=0，∴f(x)=t i，(i=1,2，3，4)．由图象可知f(x)=−3由2解，f(x)=−1有3解，f(x)=t3有4解，f(x)=t4有3解，∴f(f(x))=0最多有12解．故选：D．判断f(x)的单调性，作出f(x)的大致函数图象，求出f(t)=0的解，再根据f(x)的图象得出f(x)=t 的解得个数即可得出结论．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判定与函数极值的计算，属于中档题．13.答案：解析：14.答案：90°解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AD1//BC1，∴AD1与B1C所成角的大小为BC1与B1C所成角的大小，∵BCC1B1是正方形，∴BC1与B1C所成角的大小是90°，∴AD1与B1C所成角的大小为90°．故答案为：90°．利用正方形的性质求解．本题考查异面直线所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，是基础题．15.答案：4解析：解：矩形ABCD ，AB =2，BC =1，∴CD =AB =2，∴DB =√BC 2+CD 2=√5，∴cos∠CDB =2√5，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠CDB =√5×2×√5=4，故答案为：4 根据矩形的性质和向量的数量积公式即可求出．本题主要考查矩形的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．16.答案：[−2,0)∪[1，+∞)解析：解：由e x −1=0，可得x =0，由x 2+x −2=0，可得x =−2或1，可得a =0或0<a <1时，f(x)有两个零点0，1；若a <−2时，f(x)有两个零点−2，1；若f(x)的零点只有一个零点0，可得a ≥1；若f(x)的零点只有一个零点1，得a <0，且−2≤a <1；可得−2≤a <0或a ≥1，故答案为：[−2,0)∪[1，+∞)．求得f(x)的零点，讨论a =0，a >0，a <0，结合恰有一个零点，可得a 的范围．本题考查分段函数的零点个数，考查分类讨论思想，以及方程思想，属于基础题．17.答案：(1)。
2019-2020学年河南省洛阳一高高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河南省洛阳一高高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞02．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或34．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝05．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．136．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为．16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：120．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞0【分析】根据条件取特殊值，即可排除错误选项．解：根据非零实数a，b满足a＜b，取a＝﹣1，b＝1，则可排除A；取a＝，b＝，可排除B；取a＝﹣2，b＝﹣1，可排除D．故选：C．2．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sin|x|，有f（﹣x）＝sin|﹣x|＝sin|x|＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于B，y＝cos2x，有f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于C，y＝x3，为幂函数，是奇函数但不是周期函数，不符合题意；对于D，y＝cos（+x）＝﹣sin x，既是奇函数，又是周期函数，符合题意；故选：D．3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或3【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得a（a+2）＝3，解可得a的值，据此分别验证两直线是否平行即可得答案．解：根据题意，已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则有a（a+2）＝3，即a2+2a﹣3＝0．解可得：a＝1或﹣3；当a＝1时，直线l1：3x+3y＝3，即x+y＝1，直线l2：x+y＝1，两直线重合，当x＝﹣3时，直线l1：﹣x+3y＝11，直线l2：x﹣3y＝1，两直线平行，故a＝﹣3；故选：A．4．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0【分析】根据题意，分直线l是否经过原点分2种情况讨论，分别求出直线l的方程，综合即可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①，直线l过原点，又由直线经过点（1，2），此时直线l的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；②，直线l不过原点，设其方程为+＝1，又由直线经过点（1，2），则有+＝1，解可得a＝2，此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0，故直线l的方程为2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0，故选：D．5．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．13【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解：样本间隔为60÷4＝15，则2+15＝17，即另外一个学生的编号为17，故选：C．6．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±【分析】由已知分别求得cosα，sinβ的值，再求出α﹣β的范围及sin（α﹣β）的值，则答案可求．解：由，sinα＝，得cosα＝；由β∈（0，π），cosβ＝，得sinβ＝．且α﹣β∈（﹣π，），而sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝．∴α﹣β＝．故选：C．7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由棱台体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．∴该几何体的体积V＝．故选：B．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，从而落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，由此利用列举法能求出点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率．解：从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，所以落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，所以满足条件的事件有（﹣1，﹣2），（2，4），（3，6），（2，6），（3，7），共5个，所以点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为p＝．故选：D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，排除BD，由，排除C．解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除B，D；又，故选：A．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值，得出结论．解：将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+）的图象；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝sin（x+）的图象．在区间[﹣，]上，+∈[，]，故当+＝时，g（x）取得最小值为，故选：A．11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π【分析】由已知将三棱锥P﹣ABC的外接球，转化为长2，宽2，高2的长方体的外接球，求出半径，可得答案．解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，故棱锥的底面面积为2，由PA⊥平面ABC，且三棱锥P﹣ABC的体积为，故棱锥的高为2，三棱锥P﹣ABC的外接球，相当于长2，宽2，高2的长方体的外接球，故球半径R＝[]＝，故球的体积V＝π，故选：A．12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解2a+2b+2c 的取值范围．解：画出函数f（x）＝的图象如图：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），当图中红线，对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：0+2+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝﹣．【分析】根据题意，由直线的斜率公式可得tanα＝＝﹣，分析可得cosα＜0，由同角三角函数的基本关系式分析可得答案．解：根据题意，直线l的倾斜角为α，其斜率为﹣，则有tanα＝＝﹣，则＜α＜π，必有cosα＜0，又由sin2α+cos2α＝1，解可得：cosα＝﹣；故答案为：﹣14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是60°．【分析】先作出异面直线EF与A1C1所成角，再在正△BA1C1中即可得解．【解答】解：连接A1B，则A1B∥EF，则∠BA1C1为异面直线EF与A1C1所成角，在正△BA1C1中，∠BA1C1＝60°，故答案为：60°．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为﹣．【分析】建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为（0，b），求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案．解：建立如图所示的坐标系，＝＝1，则AO＝1，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝，故A（﹣1，0），B（0，﹣），设P点坐标为（0，b），b∈[﹣，0]，则＝（1，b），＝（0，b+）＝，当b＝﹣时，取最小值﹣，故答案为：﹣16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为8．【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：因为f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（x）是R上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x2，x∈[0，1]时，f（x）＝x2，x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝﹣（x+2）2，x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）2，∴f（0）＝0，则f（﹣2）＝﹣f（0）＝0，f（2）＝0由h（x）＝（x﹣2）f（x）+1＝0得（x﹣2）f（x）＝﹣1，当x＝2时，（x﹣2）f（x）＝﹣1，不成立，即x≠2，则f（x）＝﹣，作出函数y＝f（x）和y＝﹣的图象如图：则两个函数关于点（2，0）对称，两个图象有4个交点，两两关于（2，0）对称，则函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为4+4＝8，故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．（2）利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可．解：（1）因为，是夹角为60°的单位向量，所以，，，（2），又，，∴．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．【分析】（1）由已知证明OQ∥A1P，OQ＝A1P，可得四边形A1PQO为平行四边形，得到A1O∥PQ，再由线面平行的判定可得PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AA1⊥底面ABC，得到BC⊥AA1，再证明AQ⊥BC，可得BC⊥平面AQP，从而得到BC⊥PQ．【解答】证明：（1）如图，连B1C，BC1相交于点O，∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1，∵A1P∥CC1，，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，∴四边形A1PQO为平行四边形，∴A1O∥PQ，∵A1O⊂平面A1BC1，PQ⊄平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC，∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP，∵PQ⊂平面APQ，∴BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：1【分析】（1）由频率分布直方图，能求出m；（2）根据频率分布直方图，能估计这200名学生的平均分；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，由此能求出英语成绩在[90，120）的人数．解：（1）由频率分布直方图，得：10×（2m+0.02+0.03+0.04）＝1，解得m＝0.005；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分为：0.05×75+0.4×85+0.3×95+0.2×105+0.05×115＝93；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，∴英语成绩在[90，120）的有140人．20．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．【分析】（1）先利用数量积定义，求出f（x），然后将原式进行化简成A sin（ωx+θ）的形式，然后结合图象的性质即可求出结果；（2）根据已知条件，可先求出，进而求出，最后借助于两角差的余弦公式求出cosα．解：（1）依题意得：＝1+cos2x+sin2x＝．则．最小正周期为π．对称中心横坐标满足：，可得，故对称中心为．（2）由，可得．∵，∴．而上单调递增，故取值范围为（）；在上单调递减，取值范围为（）．∵，∴，则．∴，∴＝＝．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【分析】（1）设圆心坐标，利用弦心距，半弦长，半径所成直角三角形列方程可得圆心坐标，进而得方程；（2）利用P点所在直线设P点坐标，利用过A，P，C的圆以PC为直径，设圆上任一点M，满足MP⊥MC，结合数量积为0，可得圆系方程，解得定点坐标．解：（1）设圆心C（a，0）（a＞0），则C到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝，由弦长为，r＝2，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得d2＝r2﹣3，解得a＝3或a＝﹣（舍），∴圆C的方程为：（x﹣3）2+y2＝4；（2）由（1）知，C（3，0），设P（m，﹣m﹣5），∵PA为切线，∴PA⊥AC，∴过A，P，C的圆是以PC为直径的圆，设圆上任意一点M（x，y），则，∴（x﹣m，y+m+5）•（x﹣3，y）＝0，得（x﹣m）（x﹣3）+y（y+m+5）＝0，可得x2+y2﹣3x+5y﹣m（x﹣y﹣3）＝0，由解得或，故经过A，P，C三点的圆所过定点的坐标为（3，0）和（﹣1，﹣4）．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．【分析】（1）由题意设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），由恒等式可得m，n，k的关系，求得k；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），运用偶函数的定义和单调性的定义，求得m，n的关系，以及最值，可得m，n的值，进而得到所求解析式．解：（1）函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），可得3m＝4，m+nk＝2，3n＝3，解得k＝；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），由h（﹣x+1）＝h（x+1），可得m log3（9﹣x+1）+n（﹣x）＝m log3（9x+1）+nx，即为m log3＝2nx，即m log39﹣x＝2nx，可得﹣2mx＝2nx，即m＝﹣n，可得h（x）＝m[log3（9x﹣1+1）﹣（x﹣1）]＝m log3，令y＝，x≥2，再令3x﹣1＝t（t≥3），则y＝t+，设3≤t1＜t2，可得y1﹣y2＝t1+﹣t2﹣＝（t1﹣t2）•，由3≤t1＜t2，可得t1﹣t2＜0，t1t2＞1，即有y1﹣y2＜0，即y1＜y2，则y＝t+在[3，+∞）递增，可得y＝t+≥，当t＝3时取得等号，可得log3≥log3，h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．可得m log3＝2（log310﹣1），即m＝2，n＝﹣2，则h（x）＝2log3（9x﹣1+1）﹣2（x﹣1），。
洛阳市2019-2020高一期末质检理数答案
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河南省洛阳市高一下期末考试数学试卷有答案
洛阳市高一年级质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5AB =，则满足条件的实数a 的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A.2sin y x =+B. cos y x =C. ln y x =D. x x y e e -=- 3.已知平行四边形ABCD 中，60,1,2ABC AB BC ∠===,则BA BD ⋅=A. 1B. 2C. 12-4.执行如图所示的程序框图，若输入a,b 的分别为78,182，则输出的a = A. 0 B. 2 C. 13 D. 265.为了了解某服装厂某种服装的年产量x （单位：千件）对价格y （单位：千元/千件）的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计情况如下表：如果y 关于x 的线性回归方程为ˆ12.386.9yx =-+，且1270,65y y ==，则345y y y ++= A. 50 B. 113 C. 115 D. 2386.设直线32120x y --=与直线4310x y ++=交于点M,若一条光线从点()2,3P 射出，经y 轴反射后过点M,则入射光线所在直线的方程为A.10x y --=B.10x y -+=C.50x y --=D.50x y +-= 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 12B. 9C. 6D. 36 8.已知曲线11:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 A. 把1C 上个点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2C B.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C C.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C9.在直三棱柱111ABC A B C -中，,6,8AB BC AB BC ⊥==若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为A. 624B.576C. 672D.72010.一位同学家里定了一份报纸，送报人每天都在早上6:20—7:40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00——8:00之间出发上学，则该同学在离开家之前能拿到报纸的概率为 A.16 B. 13 C. 23 D.5611.在平面直角坐标系xoy 中，已知()150,0,,04O A ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 上任一点M 满足4OM AM =，点P 在直线)1y x =-上，如果曲线C 上总存在两点到P 的距离为2，那么点P 的横坐标t 的范围是A. 13t <<B. 14t <<C. 23t <<D. 24t <<12.已知两条直线()122:3,:261l y l y m m ==≤≤-，1l 与函数2log y x =的图象从左到右交于A,B 两点，2l 与函数2log y x =的图象从左到右交于C,D 两点，若,AC AB BD CD a B AB CD⋅⋅==，当m 变化时，ba 的范围是A. 352,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 352,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 172,32⎡⎤⎣⎦D.()172,32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若1cos ,02απα=--<<，则角α= .（用弧度表示）14.某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了一些客户，得到了满意度评分的茎叶图，则这组评分数据的中位数为 .15.执行如图所示的程序框图，如果输入9x =时，299y =，则整数a 的值为 . 16.已知锐角,αβ满足()()sin cos 2cos sin αββαββ+=+，当α取得最大值时，tan 2α= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知点()()8,3,3,6-在函数()log ,02,0a xx x f x b x >⎧=⎨-≤⎩的图象上.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求不等式()0f x >的解集.18.（本题满分12分） 已知向量2cos ,1,cos ,cos ,66a x b x x x R ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数().f x a b =⋅（1）求函数()f x 的图象的对称中心； （2）若,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值和最小值，并求出()f x 取得最值时x 的大小.19.（本题满分12分）学校高一数学考试后，对90分（含90分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在120—130分的学生人数为30人.（1）求这所学校分数在90—140分的学生人数； （2）请根据频率分布直方图估计这所学校学生分数在90—140分的学生的平均成绩；（3）为进一步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数子啊90—100分和120—130分的学生中抽出5人，从抽取的学生中选出2人分别做问卷A 和问卷B,求90—100分的学生做问卷A,120—130分的学生做问卷B 的概率.20.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AB PC ⊥,其中3,BP BC PC ===（1）点,E F 分别为线段,BP DC 的中点，求证：//EF 平面APD ；（2）设G 为线段BC 上一点，且2BG GC =，求证：PG ⊥平面ABCD .21.（本题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x B A x R πωϕωϕ⎛⎫=++>><∈ ⎪⎝⎭在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，当2x π=时，()f x 取得最大值5，当32x π=时，()f x 取得最小值-1. （1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,4x π∈时，函数()()()1212xx g x f x a +=-+有8个零点，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2216PA PB +=，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一点Q 向圆()2222:0C x y rr +=>做两条切线，切点分别为,M N ，且60.MQN ∠=（1）求点P 的轨迹方程和； （2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求O C D ∆面积最小时点Q 的坐标.。
河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期质量检测(期末)数学试卷(理科)
洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。
第I卷1至2页. 第II卷3至4页。
考试时间120分钟.第I卷(选择题，共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.―、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线3x - √3y+ 1 = 0的倾斜角是A. 30°B.60°C. 120°D. 135°2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为A. 710B.15C.π2D.3103. 已知函数f(x) = lnx+√16−2x，则f(x)的定义域为A. (0,1)B. (1,2]C.(0,4]D. (0.2]4. 已知直线a,b与平面α,β,γ,下列条件中能推出α// β的是A. a丄α，且a丄βB. α丄γ，且β丄γC. a⊂α，b⊂β,a//bD. a⊂α,b⊂αa// β,b// β5. 在区间[一1，1]上随机地取一个数x，则cosπx2的值介于0到12之间的概率为A.23B.2πC.12D.136. 某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加,成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小A. x甲<x乙，S甲2>S乙2 B. x甲>x乙，S甲2<S乙2C. x甲<x乙，S甲2<S乙2 D. x甲>x乙，S甲2>S乙27. 已知a = sin33°，b = cos55°，c = tan35°,则a，b，c，的大小关系是A. a < b < c.B. a < c< bC. b <a < cD. b < c <a8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3. 14.这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.则输出"的值为(参考数据：√3 ≈1. 732，sin15° ≈ 0. 2588， sin75°≈ 0. 1305 ) A. 12 B.24 C. 36 D. 489. 已知的ΔOMN 三个顶点为O(0,0)，M(6,0),N(8,4)过点（3,5)作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为 A. 10√6 B. 20√6 C.30√6 D.40√610. 已知体积为4√3的三棱锥O —ABC 的顶点A,B,C 都在球O 的表面上，且 AB = 6，BC =2√3，AC = 4√3，则球O 的表面积是 A.16 π B. 32π C.64 π D.72 π 11. 若向量a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗的模均为1，且a ⃗ • b ⃗⃗ = 0,则| 3a ⃗+4b ⃗⃗−2c ⃗丨的最大值为A. 5 + 2√5B. 3C.5D.712. 已知函数 f (x )=sin(ωx −π6)(ω>0），当x ∈[0,π4]时，f(x)max =ω3时，则ω的值最多有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知 cos(3π2+α)=−13 ,且 α∈[−π2,π2]，则 tan α= .14. 若直线√3 x −3y −9=0 被圆(x −2)2+(y −3)2=r 2截得的弦长为√3 r ，则 r = 15. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,点 C 在 ∠AOB 内，且 ∠AOC = 30。
河南省洛阳市2019-2020学年高一下期末考试数学试卷有答案
洛阳市2019-2020学年高一年级质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B =，则满足条件的实数a 的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A.2sin y x =+B. cos y x =C. ln y x =D. x x y e e -=- 3.已知平行四边形ABCD 中，60,1,2ABC AB BC ∠===,则BA BD ⋅= A. 1 B. 2 C. 13+ D.2-4.执行如图所示的程序框图，若输入a,b 的分别为78,182，则输出的a = A. 0 B. 2 C. 13 D. 265.为了了解某服装厂某种服装的年产量x （单位：千件）对价格y （单位：千元/千件）的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计情况如下表：如果y 关于x 的线性回归方程为ˆ12.386.9yx =-+，且1270,65y y ==，则345y y y ++= A. 50 B. 113 C. 115 D. 2386.设直线32120x y --=与直线4310x y ++=交于点M,若一条光线从点()2,3P 射出，经y 轴反射后过点M,则入射光线所在直线的方程为A.10x y --=B.10x y -+=C.50x y --=D.50x y +-= 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 12 B. 9 C. 6 D. 368.已知曲线11:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是A. 把1C 上个点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C9.在直三棱柱111ABC A B C -中，,6,8AB BC AB BC ⊥==若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为A. 624B.576C. 672D.72010.一位同学家里定了一份报纸，送报人每天都在早上6:20—7:40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00——8:00之间出发上学，则该同学在离开家之前能拿到报纸的概率为 A.16 B. 13 C. 23 D.5611.在平面直角坐标系xoy 中，已知()150,0,,04O A ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 上任一点M 满足4OM AM =，点P在直线)1y x =-上，如果曲线C 上总存在两点到P 的距离为2，那么点P 的横坐标t 的范围是A. 13t <<B. 14t <<C. 23t <<D. 24t << 12.已知两条直线()122:3,:261l y l y m m ==≤≤-，1l 与函数2log y x =的图象从左到右交于A,B 两点，2l 与函数2log y x =的图象从左到右交于C,D 两点，若,AC AB BD CD a B ABCD⋅⋅==，当m变化时，ba的范围是A. 352,4⎛⎫⎪⎝⎭B.352,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 172,32⎡⎤⎣⎦D.()172,32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1cos ,02απα=--<<，则角α= .（用弧度表示）14.某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了一些客户，得到了满意度评分的茎叶图，则这组评分数据的中位数为 .15.执行如图所示的程序框图，如果输入9x =时，299y =，则整数a 的值为 . 16.已知锐角,αβ满足()()sin cos 2cos sin αββαββ+=+，当α取得最大值时，tan 2α= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知点()()8,3,3,6-在函数()log ,02,0a x x x f x b x >⎧=⎨-≤⎩的图象上.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求不等式()0f x >的解集.18.（本题满分12分）已知向量2cos ,1,cos ,cos ,66a x b x x x R ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数().f x a b =⋅（1）求函数()f x 的图象的对称中心；（2）若,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值和最小值，并求出()f x 取得最值时x 的大小.19.（本题满分12分）学校高一数学考试后，对90分（含90分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在120—130分的学生人数为30人. （1）求这所学校分数在90—140分的学生人数； （2）请根据频率分布直方图估计这所学校学生分数在90—140分的学生的平均成绩；（3）为进一步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数子啊90—100分和120—130分的学生中抽出5人，从抽取的学生中选出2人分别做问卷A 和问卷B,求90—100分的学生做问卷A,120—130分的学生做问卷B 的概率.20.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AB PC ⊥,其中3, 6.BP BC PC ===（1）点,E F 分别为线段,BP DC 的中点，求证：//EF 平面APD ；（2）设G 为线段BC 上一点，且2BG GC =，求证：PG ⊥平面ABCD .21.（本题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x B A x R πωϕωϕ⎛⎫=++>><∈ ⎪⎝⎭在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，当2x π=时，()f x 取得最大值5，当32x π=时，()f x 取得最小值-1. （1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,4x π∈时，函数()()()1212x x g x f x a +=-+有8个零点，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2216PA PB +=，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一点Q 向圆()2222:0C x y r r +=>做两条切线，切点分别为,M N ，且60.MQN ∠= （1）求点P 的轨迹方程和；（2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求OCD ∆面积最小时点Q 的坐标.。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
2019-2020学年河南省洛阳市高一下期末数学试卷(有答案)
河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．集合A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，则A∩B=（）A．{3，7}B．{（3，7）}C．（3，7）D．[3，7]2．计算：1﹣2sin2105°=（）A．﹣B．C．﹣D．3．过点（3，1）且与直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是（）A．2x+y﹣7=0 B．x+2y﹣5=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=04．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx•cosxC．y=|cos2x|D．y=sin（2x+）5．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤6 D．i＞66．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是=0.7x+0.35，则实数m的值为（）A．3.5 B．3.85 C．4 D．4.157．在区间[﹣1，2]上随机取一个数，则﹣1＜2sin＜的概率为（）A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．C．D．49．设向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），若∥，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则坐标原点O与圆（x﹣）2+（y+）2=2的位置关系是（）A．点O在圆外B．点O在圆上C．点O在圆内D．不能确定12．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|﹣t|≥||对任意t∈R恒成立，则•=（）A．4B．4 C．2D．2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n=_______．14．如图程序运行后输出的结果是_______．15．设f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，其中m，n，α，β均为实数，若f=_______．16．已知符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）的零点个数为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=4，||=，（ +）•（﹣2）=16．（1）求•；（2）求|+|．18．学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n及频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数；（3）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．19．已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+sin2ωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1M；（2）求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；（3）求点C到平面AB1M的距离．21．已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．22．如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．集合A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，则A∩B=（）A．{3，7}B．{（3，7）}C．（3，7）D．[3，7]【考点】交集及其运算．【分析】联立A与B中二元一次方程组成方程组，求出方程组的解即可得到两集合的交集即可．【解答】解：联立A与B中方程得：，消去y得：3x﹣2=x+4，解得：x=3，把x=3代入得：y=9﹣2=7，∴方程组的解为，∵A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，∴A∩B={（3，7）}，故选：B．2．计算：1﹣2sin2105°=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用诱导公式，降幂公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：1﹣2sin2105°=1﹣2sin275°=1﹣（1﹣cos150°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．3．过点（3，1）且与直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是（）A．2x+y﹣7=0 B．x+2y﹣5=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直线方程【解答】解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2所求直线的方程为y﹣1=﹣2（x﹣3）即2x+y﹣7=0故选：A．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx•cosxC．y=|cos2x|D．y=sin（2x+）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和差的三角函数、诱导公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和奇偶性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由于y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故它的图象不关于y轴对称，故排除A；由于y=sinx•cosx=sin2x，为奇函数，它的图象关于原点对称，故排除B；由于y=|cos2x|的周期为•=，故排除C；由于y=sin（2x+）=cos2x，它的周期为=π，且它为偶函数，它的图象关于y轴对称，故满足条件，故选：D．5．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤6 D．i＞6【考点】程序框图．【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，S=10，i=9满足条件，执行循环体，S=90，i=8满足条件，执行循环体，S=720，i=7满足条件，执行循环体，S=5040，i=6由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为5040．故判断框内应填入的条件是i＞6．故选：D．6．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是=0.7x+0.35，则实数m的值为（）A．3.5 B．3.85 C．4 D．4.15【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：根据所给的表格可以求出=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+m+4.5）=，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=4，故选：C．7．在区间[﹣1，2]上随机取一个数，则﹣1＜2sin＜的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据三角函数的不等式求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由可﹣1＜2sin＜得﹣＜sin＜，∵﹣1≤x≤2，∴﹣≤≤，则﹣≤＜，即﹣≤x＜1，则对应的概率P===，故选：C8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们易判断出这个几何体的形状及结构特征，进而求出底面各边长，求出底面面积和棱锥的高后，代入棱锥的体积公式，是解答本题的关键．【解答】解：由已知中的三视图可得这是一个底面为梯形的四棱锥其中底面的上底为2，下底为4，高为2，则底面面积S==6棱锥的高H为2则这个几何体的体积V===4故选D9．设向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），若∥，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两向量平行的坐标表示，利用同角的三角函数关系﹣﹣弦化切，即可求出答案．【解答】解：∵向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），∥，∴3cosθ=sinθ，可得：tanθ=3，∴====，故选：D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=kπ，|φ|＜，k∈z，可得φ=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：D．11．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则坐标原点O与圆（x﹣）2+（y+）2=2的位置关系是（）A．点O在圆外B．点O在圆上C．点O在圆内D．不能确定【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质；点与圆的位置关系．【分析】画出分段函数y=|lgx|的图象，求出ab关系，进而根据点与圆的位置关系定义，可得答案．【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1，则a+b＞2，故坐标原点O在圆（x﹣）2+（y+）2=2外，故选：A．12．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|﹣t|≥||对任意t∈R恒成立，则•=（）A．4B．4 C．2D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的减法的运算法则将向量进行化简，然后两边平方，设•=m，整理可得4t2﹣2tm﹣（4﹣2m）≥0恒成立，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可．【解答】解：∵|﹣t|≥||，∴|﹣t|≥|﹣|，两边平方可得：2﹣2t•+t22≥2﹣2•+2，设•=m，则有：4t2﹣2tm﹣（4﹣2m）≥0恒成立，则有判别式△=4m2+16（4﹣2m）≤0，即m2﹣8m+16≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，即m=4，即有•=4，故选：B二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n=96．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=96．故答案为：96．14．如图程序运行后输出的结果是61．【考点】伪代码．【分析】经过观察为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：经过分析，本题为直到型循环结构，模拟执行程序如下：i=1，S=1执行循环体，S=5，i=3不满足条件i＞8，执行循环体，S=13，i=5不满足条件i＞8，执行循环体，S=29，i=7不满足条件i＞8，执行循环体，S=61，i=9此时，满足条件i＞8，跳出循环，输出S=61．故答案为：61．15．设f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，其中m，n，α，β均为实数，若f=2016．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据三角函数的诱导公式，列方程即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，f=msin+ncos+8=msinα+ncosβ+8=﹣2000，∴可得：msinα+ncosβ=﹣2008，则f+ncos+8=﹣msinα﹣ncosβ+8=﹣（msinα+ncosβ）+8=2016．故答案为：2016．16．已知符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）的零点个数为5．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用符号函数求出F（x）的解析式，然后求解函数的零点即可得到结果．【解答】解：符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）=，当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，﹣x2+2x+1=0，解得x=满足题意．当x=0或x=2时，﹣x2+2x=0，x=0或x=2是函数的零点．当x∈（0，2）时，﹣x2+2x﹣1=0，解得x=1满足题意．所以函数的零点个数是5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=4，||=，（ +）•（﹣2）=16．（1）求•；（2）求|+|．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据条件，（ +）•（﹣2）=16，展开化简即可得•；（2）根据向量长度和向量数量积的关系即可求|+|．【解答】解：（1）∵（+）•（﹣2）=16，∴2﹣22﹣•=16，即•=2﹣22﹣16=16﹣2×3﹣16=﹣6；（2）|+|==．18．学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n及频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数；（3）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由题意能求出样本容量n和x，y的值．（2）利用频率分布直主图能估计学生成绩的中位数和学生成绩的平均数．（3）记2名男生分别为a1，a2，4名女生分别为b1，b2，b3，b4，至少有一名男生的对立事件为抽到2名女生，由此利用对立事件能求出2名学生中至少有1名男生的频率．【解答】解：（1）由题意知样本容量n==150，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（2）估计学生成绩的中位数m=70+×10=71，估计学生成绩的平均数=55×0.16+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.04=70.6．（3）记2名男生分别为a1，a2，4名女生分别为b1，b2，b3，b4，抽取两名学生的结果有：基本事件总数n==15，其中至少有一名男生的对立事件为抽到2名女生，∴2名学生中至少有1名男生的频率p=1﹣=．19．已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+sin2ωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，两角差的余弦、正弦公式化简解析式，由周期公式求出ω的值，由正弦函数的对称轴求出函数f（x）图象的对称轴方程；（2）由正弦函数的增区间、整体思想求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=cos2ωx+sin2ωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=，∴最小正周期T==π，解得ω=1，则f（x）=由得，，∴f（x）图象的对称轴方程是；（2）由（1）得f（x）=，由得，，∴函数f（x）的单调递增区间是．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1M；（2）求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；（3）求点C到平面AB1M的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）证明线面平行，通常利用线面平行的判定定理，这里我们可以利用中位线的性质，得到线线平行；（2）过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M，故∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角；（3）M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等．【解答】（1）证明：连接A1B，交AB1于O，连接OM因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以O是A1B的中点因为O，M分别是A1B和BC的中点，所以OM∥A1C因为A1C⊄面AB1M，OM⊂面AB1M所以A1C∥面AB1M；（2）解：由题意BB1⊥AM，∵M是BC的中点，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面B1BM，∴平面AB1M⊥平面B1BM，过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M故∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角．Rt△BB1D中，BD==，∴sin∠BB1D=，∴直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值为；（3）解：M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等，由（2）可知点B到平面AB1M的距离BD=，∴点C到平面AB1M的距离为．21．已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．22．如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，写出⊙P与⊙Q的方程，利用两圆的方程作差，得出公共弦MN所在的直线方程，从而求出直线MN恒过的定点S；（2）过点Q作QT⊥GH于T，根据垂径定理与切割线定理，即可求出|AH|•|AG|的取值范围．【解答】解：（1）设点M（m，0），其中m∈（﹣3，3），则C（m，m+3），F（m，3﹣m），P（，），Q（，）；易知⊙P的方程为： +=，即x2+y2﹣（m﹣3）x﹣（m+3）y﹣3m=0；①⊙Q的方程为： +=，即x2+y2﹣（3+m）x﹣（3﹣m）y+3m=0；②①﹣②得，公共弦MN所在的直线方程为6x﹣2my﹣6m=0，整理得3x﹣m（3+y）=0，所以MN恒过定点S（0，3）；（2）过点Q作QT⊥GH于T，则|TH|=|TG|，从而|AH|•|AG|=（|AT|﹣|TH|）•（|AT|+|TG|）=|AT|2﹣|TH|2=（|AQ|2﹣|QT|2）﹣（|HQ|2﹣|QT|2）=|AQ|2﹣|HQ|2=+﹣=6m+18；由于m∈（﹣3，3），|AH|•|AG|∈（0，36），即|AH|•|AG|的取值范围是（0，36）．。