高中数学经典50题(附答案)

︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a 又圆方程
将 代入得
得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
所以︱AP︱=︱PP′︱ ，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。
7.抛物线 上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若 成等差数列
16、设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为 ，所以 ，
，当且仅当 即 时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
17、设数列 满足 为实数．
（Ⅰ）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
因为 ，BC中点 ，所以直线PD的方程为 （1）
又 故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设 ，则双曲线方程为 （2）。联立（1）（2），得 ，
所以 因此 ，故炮击的方位角北偏东 。
说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行
6.设抛物线 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。
（1）求︱AM︱+︱AN︱的值
（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列若存在，求出a，不存在，说明理由。
解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.
(Ⅱ)解: ,令 得 ．
当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
f(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
注意到 ,从而
①当 ,此时 无极小值；
②当的极小值为 ,此时 无极大值；
③当 既无极大值又无极小值．
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。
11、已知椭圆的一个焦点F1（0，-2 ），对应的准线方程为y=- ，且离心率e满足：2/3，e，4/3成等比数列。
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线 ，使 与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=- 平分。若存在，求 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
(2)求 的最小值；
(3)设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集．
解析：（1）若 ，则 ；
（2）当 时， ，
当 时， ，
综上 ；
（3） 时， 得 ，
当 时， ；
当 时，△>0，得： ；
讨论得：当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
（Ⅱ）设 ，证明： ；
（Ⅲ）设 ，证明： ．
解析：(1)必要性： ，又 ，即 ．
充分性：设 ，对 用数学归纳法证明 ，
当 时， ．假设 ，
则 ，且 ，
，由数学归纳法知 对所有 成立．
(2)设 ，当 时， ，结论成立．
当 时， ，
,由（1）知 ，所以 且 ，
，
，
．
(3)设 ，当 时， ，结论成立，
当 时，由（2）知 ，
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1.求下列函数的值域：
解法2令t＝sinx，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sinx|≤1,∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．
本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
由 ，
的取值范围是
[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。
9、已知抛物线 与直线 相交于A、B两点
（1）求证：
（2）当 的面积等于 时，求 的值。
（1）证明：图见教材P127页，由方程组 消去 后，整理得 。设 ，由韦达定理得 在抛物线 上，
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．
19、 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若 ，则 的值为( )
2.设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距 万千米和 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为 ，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点 处，椭圆的方程为 （图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足 。作
，
．
点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．
18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为 ，选B．
y2+4ky-4m=0， 设B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中点M（x0，y0），则
y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，
∵点M（x0，y0）在直线上。∴-2k（2k2+m）+3，∴m=- 又BC与抛物线交于不同两点，∴⊿=16k2+16m>0把m代入化简得 即 ，
解得-1<k<0
点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．
14、设 为实数，函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
答案：70
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，由题意得
目标函数为 ．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：作直线 ，即 ．
平移直线，从图中可知，当直线过 点时，目标函数取得最大值．
联立 解得 ． 点 的坐标为 ．
（元）．
5.如图所示，直线 和 相交于点M， ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上任一点到 的距离与到点N的距离相等。若 为锐角三角形， ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
解：以直线 为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。
〖解〗依题意e=
（1）∵ -c= -2 = ，又e= ∴ =3，c=2 ，b=1，又F1（0，-2 ），对应的准线方程为y=- 。∴椭圆中心在原点，所求方程为：
=1
（2）假设存在直线 ，依题意 交椭圆所得弦MN被x=- 平分，∴直线 的斜率存在。设直线 ： 由
=1消去y，整理得
=0
∵直线 与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0
即m2-k2-9<0 ①
设M （x1，y1）、N（x2，y2）
∴ ，∴ ②
把②代入①可解得：
∴直线 倾斜角
[思维点拔]倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。
12、设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D． 4
答案：A
（2）解：设直线与 轴交于N，又显然 令
[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。
10、在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。
〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：
3.A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 ，C在B正北偏西 ，相距4 ，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 ，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）
解：如图，以直线BA为 轴，线段BA的中垂线为 轴建立坐标系，则 ，因为 ，所以点P在线段BC的垂直平分线上。
设曲线段C的方程为 ，其中 为A、B的横坐标， ，所以 ，由 ，得 （1）
（2），（1）（2）联立解得 ，代入（1）式，并由
解得 ，因为 为锐角三角形，所以 ，故舍去 ，所以
由点B在曲线段C上，得 ，综上，曲线段C的方程为