巧填幻方
巧填幻方(课堂PPT)
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫 格中，不能重复，使得每一行，每一 列，每一条对角线上的三个数的和相 等。
解题过程：
1
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2
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3
8
6
9
九子斜排
9
4
2
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5
78ຫໍສະໝຸດ 61上下对易，左右相更
4
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1
6
•6
例1：把1-9这九个数填入下面的九 宫格中，不能重复，使得每一行， 每一列，每一条对角线上的三个数 的和相等。
方法二：阶梯法（下回分解）
方法三：罗伯法（徐近乔已讲）
4 92 3 57 8 16
张老师提示：对易法、阶梯法、罗伯法都只适用于奇数幻方
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谢谢大家
完
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幻和： 幻方中每行/列/对角线的数的和。
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幻和：15 总和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 阶数：3
15=45÷3 幻和=总和÷阶数
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫格中， 不能重复，使得每一行，每一列，每一条对 角线上的三个数的和相等。
刚才神龟背上的九宫图，究竟是怎 么填出来的呢？
巧填幻方
主讲人：张权瑞
•1
4 92 3 57 8 16
同学们，你观察到了什么？这 些数无论横着加、竖着加还是 斜着加，结果都等于十五。
•2
幻方的基本概念
幻方： 是指横行、竖行、对角线上数的和都 相等的数的方阵，具有这一性质的3x3 的数阵称作三阶幻方，4x4的数阵称作 四阶幻方，5x5的数阵称作五阶幻方 ……….
奥赛天天练(填三阶幻方)
《奥赛天天练》第25讲《巧填幻方》。
概念：如果一个n×n 矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从1到 n×n 的自然数，这样的矩阵就称为n阶幻方。
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题。
本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写，三阶幻方就是n=3时的幻方。
三阶幻方的填法：三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
三阶幻方的构造方法：我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。
他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或九宫图)，并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。
但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。
杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
”意思是：先把l～9九个数依次斜排（如下图一），再把上l 下9两数对调（如下图二），左7右3两数对调（如下图三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。
1 9 94 2 4 2 4 2 4 9 27 5 3 3 5 7 3 5 7 3 5 78 6 8 6 8 6 8 1 69 1 1图一图二图三图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90°，又可以得到另外的4种填法。
例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。
三阶幻方的构造原理：通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。
从1到9这9个数的和为：1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：45÷3=15。
火眼金睛——巧填幻方
§2.4 火眼金睛——巧填幻方08年 月 日 偶滴大名【知识要点】将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为“三阶幻方”，这个相等的和称为幻和。
在三阶幻方中有：中间数A=总和÷9=幻和÷3 D=（B ＋C ）÷2 【典型例题】例1 请你把5，6，7，8，9，10，11，12，13这几个数字填入下面的方格中组成一个三阶幻方。
例2 找出九个连续的自然数，分别填入下图的空格内，构成一个幻和为60的三阶幻方。
例3 在下面空格中填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和是60。
例4 在下图中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数，使每一个横行、每一竖列及每条对角线上的三个数之和都等于30。
D B AC13278随堂小测偶滴大名偶滴成绩1．将2，4，6，8，10，12，14，16，18这九个数分别填入下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的和都相等。
2．用3～27这25个数排成一个五阶幻方。
3．请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
4．请在下面的空格中填上适当的数，使其成为一个幻和为27的幻方。
565．在下图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数，使其成为幻和为30的幻方。
14课后作业偶滴大名 偶滴成绩1．请自编一个幻和为90的三阶幻方。
2．补充下面的幻方，使其幻和为33。
3．将图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
奥运知识１．国际奥委会的英文名称缩写为＿＿＿＿＿＿＿。
ａ．ＩＯＣ ｂ．ＮＯＣ ｃ．ＦＩＦＡ2．＿＿＿＿＿＿＿＿是第一个主办夏季奥运会的亚洲城市。
ａ．日本东京 ｂ．中国北京 ｃ．韩国汉城3．在现代奥运会史上有＿＿＿＿＿＿＿届夏季奥运会因战争未能举办。
ａ．３ ｂ．４ ｃ．５4．女子选手从第＿＿＿＿＿＿＿届奥运会开始，被允许参加奥运会田径比赛。
小学三年级奥数 第26讲：巧填幻方
这就是传说中神秘的幻方，让我们走进今天的课堂，一起来研究一下幻方的这是传说中神秘的幻方，我们走进今天的课堂，起来研究下幻方的
阶幻方……
幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和：15
【幻方填法】
民谣
四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
周围十月团圆把1－9这九个数填入下面的九宫格中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的三个数的和相等。
试编出一个三阶幻方，使其幻和为30，而且幻方中没有重复的数。
中间数：在奇数阶幻方中填在最中间的数。
中中中
观察下三阶幻方：
幻和＝(1＋2＋3＋…＋8＋9)÷3＝15
中间数＝15÷3＝5
在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【三阶幻方性质】
角块等于对角两棱块之和的一半
在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90把1-16这十六个数填入下面的图中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的四个数的和相等。
在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线
上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
⑴幻和＝总和÷3
⑵中心数＝幻和÷3＝总和÷9
“T型台”
⑶型台
c＝(a＋b)÷2
二三阶幻方填法
二、三阶幻方填法。
第八讲-巧填幻方
从小到大 排列的数
4、5、6、7、8、9、10、11、12 2．如图中已填了两个数5，8.请将4，6，7，9，10，11， 12这七个数填入空格中（一格一数），使各横行、各竖 行、各斜行上的三个数之和都等于24.
3．如图已填了一个9，请将1，3，5，7，11， 13，15，17填入空格内（一格一数），使各 横行、各竖行、各斜行上的三个数之和都等 于27.
6．在如图的空格内填入2，4，6，8，12，14， 16，18，使各横行、各竖行、各斜行上三个数之 和都等于30.
5．把9～17填入方格内， 使其构成一个三阶幻方．
3．把3，6，9，12，15，18，21，24，27填入 如图的小方格里，使各横行、各竖行、各斜行 上的三个数相加都等于45.
2．如图已填了两个数2和4.请将另两个2， 三个3，另两个4填入空格中，使各横行、 各竖行、各斜行上三个数之和都等于9.
课 后 练 习
1．如图已填了三个数，请将1，3，4，7，8，9填入空格 内（每格一数），使得各横行、各竖行、各斜行上的三个 数之和都等于15.
例4．把1～9填入下面的方 格内，使幻和为15．
1）先将1～9填入方格中； 2）调换其中2、8的位置，4、6的位置； 3）沿着斜线的方向将每行的数填入幻方中 就得到了答案．
第八讲 巧填幻方
2012秋季二年级
7
★ 4 5
例1．在空格里填数，使横行、竖行、斜行 的三个数相加的和等于18．
课 堂 练 习
★
1．如图已填了三个数，请将3，4，5，6，8，9填 入空格中，使各横行、各竖行、各斜行上三个数 之和都行于21.
10＋10＋10＝30 在填幻方时，填数中有很多规律： 1、中间数一定要填到方格的中间； 从小到大 2、行、列和斜行的和等于中间数的3倍． 排列的数
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用
一起来学一学｜三阶幻方的填写技巧及其扩展应用三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横行、纵向的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。
中心数为5。
例题一用1，2，3，4，5，6，7，8，9填入三阶幻方中，使横竖斜的和相等。
例题一解析（1）1，2，3，4，5，6，7，8，9为公差是1的等差数列，求和：1+2+3+4+......+9=(1+9)×9÷2=45等差数列和=(首项+末项）×项数÷2（2）求出横竖斜的和为：45÷3=15（3）求出中间数为：15÷3=5例题一（4）列出3个数相加和为15的算式1+5+9 1+6+82+5+82+4+93+5+7 2+6+74+5+6 3+4+8例题一（5）◉在横竖斜中都会共用3次，看上面算式出现3次的有2，4，6，8由2+5+8，4+5+6两个算式可以看出2和8、4和6应分列对角。
例题一（6）按横竖斜的和为15将剩余空填满例题一例题二用1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25填入9宫格，是横竖斜的和相等。
例题二解析（1）1， 4， 7 ，10， 13， 16 ，19 ，22， 25 为公差是3的等差数列；例一中的1，2，3，4，5，6，7，8，9 为公差是1的等差数列。
1 2 3 4 5 6 7 8 91 4 7 10 13 16 19 22 25对照前一个三阶幻方数字位置可以直接填出例题二这里来前面的方法验证一下：1+4+7+……+25=26×9÷2=117可求出横竖斜的和117÷3=39中间数为39÷3=13例题二列出3个数相加和为45的算式1+13+25 1+16+224+13+224+16+197+13+19 4+10+2510+13+16 7+10+22得出4个角的数分别为4，10，16，22按规律即可填写完整例题三将如图的三阶幻方填写完整。
巧填幻方
这就是传说中神秘的幻方，让我们走进今天的课堂，一起来研究一下幻方的这是传说中神秘的幻方，我们走进今天的课堂，起来研究下幻方的
阶幻方……
幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和：15
【幻方填法】
民谣
四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
周围十月团圆把1－9这九个数填入下面的九宫格中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的三个数的和相等。
试编出一个三阶幻方，使其幻和为30，而且幻方中没有重复的数。
中间数：在奇数阶幻方中填在最中间的数。
中中中
观察下三阶幻方：
幻和＝(1＋2＋3＋…＋8＋9)÷3＝15
中间数＝15÷3＝5
在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【三阶幻方性质】
角块等于对角两棱块之和的一半
在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90把1-16这十六个数填入下面的图中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的四个数的和相等。
在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线
上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
⑴幻和＝总和÷3
⑵中心数＝幻和÷3＝总和÷9
“T型台”
⑶型台
c＝(a＋b)÷2
二三阶幻方填法
二、三阶幻方填法。
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巧填奇数阶幻方
月日姓名
【知识要点】
在3×3或4×4……的正方形，每行每列及每条对角线上的和都相等的填有数的数阵图叫做幻方。
三阶幻方是最基本的幻方，构造这个幻方可以有很多种方法。
我们在这里介绍其中最常用的一种：罗伯法：
法国人罗伯总结出了，到目前为止，构造3价连续自然数幻方的最简单易行的方法：“罗伯法”。
这种方法还可以用于构造5阶、7阶……所有奇数阶幻方。
罗伯法的具体方法可以总结口诀如下：
“1”坐边中间，斜着把数填。
出边填对面，遇数往下旋。
出角仅一次，转回下格间。
【典型例题】
例1：用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
使每行每列及对角上的数之和是15。
练习1：用3～11这九个数补全图中的三阶幻方，并求幻和。
例2：用1～25这25个数补全图1中的五阶幻方，并求幻和
图1
图2
大比拼：用1～49这49个数补全图2中的七阶幻方，并求幻和
例3. 如下图，右方格表中的每个方格中填入一个字母，使得方格表中 每行、每列及每条对角线上的四个方格中的字母都是A 、B 、C 、D （排列顺序不限），那么表中*处应填的字母是什么
作业：从1～100中找出25个连续数填入以下五阶幻方中， 使每一行、每一列及每条对角线上的数的和都相等。
相关习题
1．在下面空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于15。
第1题 第2题图 第3题图
2．把3到11这9个数字填入下图中，使每行、每列及每条对角线上三个数的和都相等。
3．把12到
36这25个数填入下图中，使每行、每列及每条对角线上5个数的和都相等。
4．使每行每列对角线上的字母都是ABCD
第4题 第5题 第6题
5．在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列两条对角线上的三个数的和都等于18。
6．如图，一个方格表内每行、每列及每对角线上的三个数的和都相等。
那么x= 。
7．将图中的数重新排列，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。
8
7
2
A B C C
D
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21 23
30
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24
7
2
5
2
2 2 5 5 5 8
8
8。