人教版初三数学上册《一元二次方程》
九年级上册数学人教版一元二次方程
九年级上册数学人教版一元二次方程一元二次方程学习资料。
一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 举例。
- 方程x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3，它是一元二次方程。
- 而方程x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它不是整式方程（分母中含有未知数x）。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于形如x^2=k(k≥slant0)的方程，可以直接开平方求解。
- 例如，方程x^2=9，解得x=±3。
- 对于方程(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，即x = 1±2，所以x = 3或x=-1。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)变形为x^2+(b)/(a)x=-(c)/(a)。
- 在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=-(c)/(a)+((b)/(2a))^2。
- 把左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如，解方程x^2+4x - 1 = 0。
- 首先将方程变形为x^2+4x=1。
- 然后在两边加上4（因为4 = ((4)/(2))^2），得到x^2+4x + 4 = 1+4，即(x + 2)^2=5。
- 解得x=-2±√(5)。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。
人教版九年级上册数学——一元二次方程知识点总结
21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
二、 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。
2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
人教版九年级上册数学第21章《一元二次方程》解应用题分类
《一元二次方程》解应用题分类一．传播问题：公式：(a+x)n=M其中a为传染源（大凡a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平衡一个人传染了几个人？2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？二、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题n(n-1)和繁复循环问题3．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？6.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?7.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？三、平衡率问题M=a(1±x)n，n为增长或降低次数, M为最后产量，a为基数，x为平衡增长率或降低率8.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n四、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额利润率=利润÷进价9.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？5.10.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程
则常数 c = 4 .
3、若关于x的一元二次方程
a 1 x2 x a 1 0 的一个根是0，
则 a -1 .
总结提升
谈谈你的收获：
本节课学习了哪些主要内容？
一元二次方程
定义 一般形式 相关概念 方程的根
只含一个未 知数，最高 次数是2的 整式方程
ax2 ＋ bx ＋ c＝0 (a≠0)
21.1 一元二次方程
主讲人：韦琳
学习目标
1.知道一元二次方程的概念； 2.了解一元二次方程的一般形式并
确定各项系数； 3.了解一元二次方程的解.
复习回顾
下列哪些是一元一次方？
√(1)x 5 √(2)3 y-1=0 ×(3)x2 6 ×(4) y2 y 4 ×(5)3x2 2x 1 0
二次项、二次 项系数、一次 项、一次项系 数及常数项
代入法
目标检测
1.下列关于 x 的方程是一元二次方程的有 ① ⑥.
.① 2x2 0 ；② ax2 bx c 0 ；③ x2 1 1 0 ；
④ 2x2 x 1 2(x 1)(x 1) ；⑤ x2 y 2 ；x ⑥ x2 1 x 0.
没有一次项，则 a 的值为 -2 .
5.关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 3x 2m 4 0有一个
根为0，则 a 的值为 2 .
目标检测
挑战自我
已知 m 是方程 x2 x 2 0 的一个实数根，
求代数式 m 2 1 的值.
m
布置作业
今天的作业是： 《全品》P1
常数项是－10.
【练】将方程(3x－2)(x＋1)＝8x－3 化成一般形式，并写出其中的二次项 系数、一次项系数和常数项.
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
《一元二次方程》教学PPT课件-人教版九年级上册数学
=0
②设x1=
-
b 2
+m，x2=
-
b 2
-m
(m≥0)
a
a
c
③根据韦达定理可得：x1·x2 = a
将第二步中的设定代入，求得m
④再求得x1, x2。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
【例题】
封面 目录
方程解法 之 特殊方法 • 赋值法
1、解方程 2x²-140x+1650=0 解：第一步将方程两边同时除以a=2
方程化为：x²-70x+825=0，此时可知：- =35
设x1=35+m，x2=35-m (m≥0) 根据韦达b定理可知：x1·x2 = 825
则有：2 (35+m)(35-m)=825 a 解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
封面 目录
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 四种形式
【一般形式】
ax²+bx+c=0（a≠0）
【配方式】
( ) b x+ 2a
2=
b2-4ac 4a2
【变形式】
ax²+bx=0（a≠0） ax²+c=0（a≠0） ax²=0（a≠0）
【两根式】
a(x-x1)(x-x2)=0
封面 目录
5、法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与 系数的关系。
人教版九年级上册数学《一元二次方程》
基本概念 之 判定条件
【判定条件】
一元二次方程成立必须同时满足三个条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式。 方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分 式方程，不是一元二次方程； 方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是 一元二次方程（是无理方程）。 ②只含有一个未知数； ③未知数项的最高次数是2。
人教版九年级上册数学一元二次方程
人教版九年级上册数学一元二次方程一元二次方程啊，那可是九年级上册数学里挺有趣的一部分呢。
啥是一元二次方程呢？简单说，就是一个方程里只有一个未知数（这就是“一元”啦），而且这个未知数的最高次数是2（这就是“二次”的意思）。
它的一般形式是ax² + bx + c = 0（a≠0哦，要是a = 0了，那就不是二次方程，变成一次方程了）。
那这个方程有啥用呢？生活里好多地方都能用到。
比如说，你想算一个长方形的面积，你知道长比宽多多少，又知道面积是多少，就可能列出一元二次方程来求解长和宽。
我们再来说说怎么解这个一元二次方程。
有好几种方法呢。
一种是直接开平方法。
要是方程能化成(x + m)² = n（n≥slant0）这种形式，那就可以直接开平方得到x + m=±√(n)，然后就能求出x的值了。
比如说x² = 9，那x=±3，这个就很简单直接。
还有配方法。
这个方法就像是给方程来个“变形手术”。
比如说对于方程x² + 6x - 7 = 0，我们要把方程左边配成完全平方式。
先把常数项移到右边，得到x² + 6x=7，然后在等式两边加上一次项系数一半的平方，也就是((6)/(2))² = 9，就变成x² + 6x + 9 = 7+9，也就是(x + 3)² = 16，然后再用直接开平方法就可以求出x了。
不过配方法有点小麻烦，得一步一步来，不能粗心。
再就是公式法啦。
对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（a≠0），它的解x=(-b±√(b² - 4ac))/(2a)。
这个公式可厉害了，不管啥样的一元二次方程，只要你把a、b、c的值找对了，往公式里一代，就能求出解来。
不过计算的时候可千万要小心，尤其是b² - 4ac 这个部分，它叫判别式。
如果b² - 4ac>0，方程就有两个不同的实数解；如果b² - 4ac = 0，方程就有两个相同的实数解（也就是一个解啦）；要是b² - 4ac<0呢，方程就没有实数解，但是有两个虚数解，不过虚数的部分在九年级上册可能还没学那么深入。
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(5) x 2 = 0
次 方
3
(3) x 2-
2 x
-3=0
(6) ( x + 2) 2 = 4
程
以上方程中(1)、(3)、(4)不是一元二次方程
首页
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
(1) x2 = 2x
答案
元
(2) 3 x2－27 = 0
答案
二
次
方
程
(1) x2－３x = 0
解: 把方程左边分解因式,得
x(x－３) = 0
∴ x = 0 或x －3 = 0
一
元
∴原方程的根是x1=0 , x2=3
二
次
方
程
返回 首页
(2) 2 x2+13x －7= 0
解: 把方程左边分解因式,得
3x2 － 27=0
x2 －9 = 0
(x+3)(x －3) = 0
一
x+3 == 0 或 x －3 = 0
元 二
x1=－3 , x2=3
次
方
程
返回
第（3）题答案：
(x+4)(x －3) = 0
x+4= 0 或x －3=0
一
x1=－4 , x2=3
元
二
次
方
程
返回
第（4）题答案：
(3x+1)(2x －1) = 0
3x+1= 0 或2x －1=0
一
x1=? , x2=?
元
二
次
方
程
返回
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方 程
例 解方程：
引入 定义 一般形式 巩固练习1 例题 巩固练习2 小结
一元二次方程
问题：
建造一个面积为20平方米，长比 宽多 1 米的长方形花坛，问它的宽是 多少？
解：设这个花坛的宽为x米，
x+1
一 元
则长为（x+1）米，
根据题意得：
x
二
x ( x+1) = 20
次
即 x 2 + x - 20 = 0
方
程 首页
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
次
就可以用因式分解法解这个方程。
方
程 小结 首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元
二
次
方
程
首页
例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
一
((A) 5 (B) －５+
(C)
(D) 0
填空题
一 元
数、3x方3一x( 3程次x(x+x项23(+)xx2系=+)(2=数1x)1+1=+与212)+1常(=123+(x数132－1x(+项3－52x)的(－53)x积5－)是5)的二0次0项系
二
3x2 + 6x = 11 + 6x －10
0
次
3x2 + 6x － 6x－11 ＋10 = 0
(2x -１)(x＋７) = 0
∴ 2x -1 = 0 , x =0.5
一
或 x +7 = 0, x = -７
元
二
∴原方程的根是页
第（1）题答案：
x2 = 2x
x2 －2x = 0
x(x －2) = 0
一
x1=0 , x2=2
元
二
次
方
程
返回
第（2）题答案：
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
这样的方程叫 一元二次方程
一
练习 请判断下列方程是否为一元二次方程：
元
(1) 2x = y 2 - 1
(4) 3z2+1 = z (2z2 - 1)
二
(2) y - y 2 = 1
解题过程 解题过程
巩固练习
一
(1) x2 = 2x
答案
元 二 次
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(3) x2+x －12= 0
答案
方
(4) 6x2 － x － 1= 0 答案
程
想一想
观察方程 x 2 + x - 20 = 0 有何特征？
特征如下：
①等号两边都是整式 ②又只含有一个未知数 ③并且未知数的最高次数是2
0
方 程
3二x2次－项1系= 数0 为3，常数项为-1，一次项系数0为000
首页
解一元二次方程
使得一个一元二次方程方程左右两边的值相等
的未知数的值叫做这个一元二次方程的根。
求一个一元二次方程的根的过程，叫解一元
二次方程。
一
元
一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
二
后，如果它的左边的二次三项式能因式分解，那么
这样的方程叫 一元二次方程
一 元 二 次 方 程
返回
一元二次方程的一般形式
任何一个关于x 一元二次方程,经过整理都可以化为
以下形式 a x 2 + b x + cc = 0 (a ≠ 0)
一次项系数
说明：要确定一元二次方程的系数和常数项， 必须先将方程化为一般形式。
一
元
二
次
方
程
返回
小结
•一元二次方程的定义
1
•一元二次方程的一般形式
2
•因式分解法
3
一
•转化思想
元
二
次
方
程
练习 请填写下表:
方程
二次项系数 一次项系数 常数项
一
2x2+x -3=0
2
1
-3
元
二
x2+x = 1
1
1
-1
次
x- 7x2 = 0
-7
1
0
方
3y2 = 6
3
0
-6
程
定义 首页
巩固练习:
选择题
方程 ( y + ) ( y － ) + ( 2y +１ )２＝４y－
的二次项系数与一次项系数的和为(A )