河北衡水中学衡水金卷数学二答案及解析
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(二)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数)则M N ⋂=（ ） A. {|1x x <} B. {1x x }C. {|01x x <<}D. ∅【答案】C 【解析】 试题分析：{|ln(1)}{|1}x y x x x =-=<，，故＝．考点：集合的运算．2.已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】将直线,m n 放入正方体1111ABCD A B C D -中,进而判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,设1m AD =,n AB =,若m n ⊥,即1AD AB ⊥, 但平面1ABD 和平面ABCD 不垂直,即α与β不垂直,故充分性不成立 ；设m BC =,11n A D =,若αβ⊥,则平面ABCD ⊥平面11A ADD ,但BC 和11A D 不垂直,即m 与n 不垂直,故必要性不成立. 故选:D.【点睛】本题考查两命题的充分性和必要性的判断,考查直线间,平面间的空间的位置关系.3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13-B. 12-C.13D.12【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 9636π+B. 7248π+C. 4896π+D. 2448π+【答案】D 【解析】 【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.． 【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V 左=211π6843⨯⨯n =24π，右半部分是三棱锥，其体积1166832V =⨯⨯⨯⨯右=48，所以该几何体的体积2448V 总π=+.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力． 5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【分析】先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有2510C =种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为123227C C +=．由古典概型概率公式可得12322527()0.710C C P A C +===． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题． 6.对于函数()21x f x e =+的图象，下列说法正确的是（ ） A. 关于点()1,0对称 B. 关于点()0,1对称 C. 关于直线1x =对称 D. 关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】整理()f x 为()111x x e f x e -=++,设()()11xx e g x x R e -=∈+,可判断()g x 是奇函数,进而利用图象变换得到()f x 的图象性质.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++,令()()11xx e g x x R e -=∈+,则()()1111x x x xe e g x g x e e -----===-++,∴()g x 为奇函数,则其图象关于原点对称.将其图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象,所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查判断函数的对称性.7.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A. 22y x =- B. 1y x =- C. 22y x =-+ D. 1y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】由,A B 在抛物线上可得2114y x =①,2224y x =②,由AB 的中点在直线1y =上,可得1212y y +=,利用①-②可得直线AB 的斜率为2,即可设:2AB y x b =+,将焦点坐标代入求解即可.【详解】由题,设()()1122,,,A x y B x y ,则2114y x =①,2224y x =②,且1212y y +=, ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-,即121212124222y y y y x x y y -===+-+, 即直线AB 的斜率为2,设:2AB y x b =+,把()1,0F 代入直线方程得2b =-, ∴直线:22l y x =- 故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查求直线方程.8.已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线12x π=-对称D. 关于直线12x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】先根据相邻两条对称轴的距离可得周期为T π=，从而2ω=，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算φ，从而可确定()f x 图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±，所以2sin 13πφ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确． 综上，选D ．【点睛】一般地，我们研究()sin y A ωx φ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再函数的单调性确定外函数sin y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由sin y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.9.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则(0,2)A ．设点P 的坐标为(,)x y ，则(,2),(,)PA x y PO x y =--=--u u u v u u u v， 故22()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222[(1)]22x y =+--≥-，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为2-．选C ．10.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A. 10πB. 4πC. 16πD. 8π【答案】D 【解析】【详解】因为PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==,故,则点到平面ABCD 的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形ABCD 的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D ．11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D的面积相等，双曲线E的离心率为（）【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b⨯=，从而可得四边形12PFQF的面积，然后求出点圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b，可求出四边形ABCD的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a-=，①222124PF PF c+=，②2-②①得2122PF PF b⨯=，∴四边形12PFQF的面积为21121222S PF PF b=⨯⨯=，由222x y cby xa⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y>>，解得,x a y b==，∴圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b.∴四边形ABCD的面积24S ab=，∵224b ab=，∴2ba=，即2224,c a cea a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.对任意实数()222,,22a aa b e b e a a b-+++的最小值是（）A.14B.12C.34D. 1【答案】B【解析】【分析】整理条件可得()()()2222222a a a e b e a a b a b e b-+++=-+-,设()(),,,aM a eN b b ,则M 为函数x y e =图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222a a e b e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,进而利用导函数的几何意义求解即可.【详解】由于()()()2222222a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-,设()(),,,aM a e N b b ,则M 为函数xy e=图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222aa eb e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,令1x y e '==,∴0x =,因此,点()0,1到直线y x =的距离最小,其值为2,故所求最小值为12.故选:B.【点睛】本题考查曲线上一点到直线上一点的距离最值问题,考查导函数的几何意义的应用,考查转化思想.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.53)x的展开式的常数项为__________． 【答案】15- 【解析】 【分析】在53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求出展开式的常数项．【详解】解：由于53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为55415·(1)?3?r r r r r T C x -+=-， 令550r -=，解得1r =，故展开式的常数项是15-， 故答案为15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14.某次考试后，对全班同学数学成绩进行整理，得到表：将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________． 【答案】115 【解析】 【分析】由表格中数据可知各分数段的学生数学成绩的频率,即直方图中每个矩形的面积,而中位数左侧的所有小矩形的面积之和应为0.5,进而求解即可.【详解】由题意可知,直方图每个矩形的面积表示对应的频率,直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2,由于中位数左侧的矩形面积之和为0.5,故中位数位于第3个矩形处,而前2个矩形面积之和为0.4,故第3个矩形在中位数左侧的面积为0.1, 故中位数为区间[)110,130的最靠左的四等分点处,故中位数为115.故答案为:115.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求中位数,考查数据处理能力.15.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 【答案】 (1). 43π (2). 25π 【解析】 【分析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,假设以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体,则体积为()2211333V a b a a ππ==-,利用导函数即可求得最值；设外接球的半径为R ,则满足()22212R R =-+,进而求解即可.【详解】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<, 则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<, 所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1, 设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π故答案为:43π；25π 【点睛】本题考查旋转体的体积,考查外接球的表面积,考查利用导函数求最值.16.已知变量m 的取值完全由变量a b c d ,,,的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好a b c d ,,,四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到表：则m 关于a b c d ,,,的表达式可能是______________. 【答案】()2a b m cd +=或()8m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式【解析】 【分析】本题为开放题,答案并不唯一,对比试验数据,进而求解即可.【详解】本题为开放题,答案并不唯一,例如,考生可对比试验①②推断m 与d 成反比, 对比试验②③推断m 与c 成反比,对比③④推断m 与+a b 成反比,由此可得a bm k cd+=, 代入试验①的数据,解得2k =,故()2a b m cd+=是一种可能的表达式， 此外,答案中列举的其他解析式均符合题意,故答案为:()2a b m cd+=或()8m a b cd =+或223a b m cd +=或其他符合条件的解析式. 【点睛】本题考查求解析式,考查数据处理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n ∈+N ，均有2423n n n S a a =+-.（1）求n a ； （2）求数列(){}1nn a -的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）()()111nn T n =-+-【解析】 【分析】（1）由题,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-,与条件作差可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-,即()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,则120n n a a ---=,进而求解即可；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由2423n n n S a a =+-①可知,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-②,①-②得,2211422n n n n n a a a a a --=-+-,整理得()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,故120n n a a ---=, 故{}n a 是以2为公差的等差数列,又①中,当1n =时,可解得13a =或11a =-（舍）, 所以21n a n =+（2）根据题意,()()357121nn T n =-+-++-+L ③③⨯()1-,则()()()()135121121nn n T n n +-=-++--+-+L ④③-④,得()()()1232212121nn n T n +=-+-++---+L ()()()()1113212111n nn ---=-+⨯+-+-- ()()2122nn =-+-+则()()111nn T n =-+-【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力.18.已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为C 的右焦点，PBF ∆的面积为1，求直线PB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）0x =或220x y -+=【解析】 【分析】（1）由题可得左右顶点为())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,利用斜率公式处理1212PA PA k k ⋅=-,可求得2b ,即可求得椭圆方程； （2）分别讨论直线PB 斜率不存在与存在的情况,利用弦长公式和点到直线距离求三角形面积,进而求解即可.【详解】（1）由题意知())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,因为12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--,解得21b =，故椭圆方程为2212x y +=（2）由题,上顶点为()0,1B ,右焦点为()1,0F ,当直线BP 斜率不存在时,BP 方程为0x =,易知此时BPF ∆面积为1,符合题意； 当直线BP 斜率存在时,设BP 方程为1y kx =+,联立22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()221240k x kx ++=,解得1224,012k x x k =-=+,∴122412k BP x k=-=+,点F 到直线BP,由24112BPF k S k ∆==+,解得12k =, 此时112y x =+,即220x y -+= 故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查椭圆内的三角形面积的应用,考查运算能力.19.如图,在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，1AB BC PA ===，2AD =，90PAD DAB ABC ∠=∠=∠=︒，点E 在棱PC上，且CE CP λ=.（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角C AE D --的余弦值为10？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10. 【解析】【详解】试题分析：(1)由边长和勾股定理得CD AC ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，由定理证得CD ⊥平面PAC CD AE ∴⊥ (2) 建立空间直角坐标系, 得出平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u u v v ==-，设平面AED 的一个法向量为m v，由题意计算得出结果解析：（Ⅰ）过点C 作CF AB ∥交AD 于D ，1AB BC ==Q ，2AD =，90DAB ABC o ∠=∠=四边形ABCF 为正方形，且1AF FD ==，2AC =在Rt CFD △中，2CD =，在ACD V 中，2224CD AC AD +==CD AC ∴⊥ 90,PAD PA AD o Q ∠=∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥ ,PA AC ⊂Q 平面PAC ，且PA AC A =ICD \^平面PAC CD AE ∴⊥（Ⅱ）90PAD PA AD ∠=∴⊥o Q又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥，PA AB ⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2,0,1,1,0,0,2,0A P C D CD AD =-=u u u v u u u v假设存在实数λ使得二面角C AE D --的余弦值为10，令CE CP λ=u u u v u u u v Q 点E 在棱PC 上，[]0,1λ∴∈设()()(),,,1,1,1,1,1E x y z CE CP x y z λλ=∴--=--u u u v u u u vQ()1,1,E λλλ∴--则()1,1,AE u u u vλλλ=--，CD ⊥Q 平面PAC ，∴平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u uv v ==-设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z =v由00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得()()11111100x y z y λλλ⎧-+-+=⎨=⎩令1z =得()1,0,1,0,111m λλλλλ-⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭v 取(),0,1m λλ=--v()2210cos ,12m n m n m n λλ⋅∴===+-⨯v vv vv v 化简得23840λλ-+=又[]0,1λ∈ 23λ∴= 存在实数23λ=使得二面角C AE D --的余弦值为10. 20.某人某天的工作是：驾车从A 地出发，到B C 、两地办事，最后返回A 地，,,A B C 三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案： 方案甲：上午从A 地出发到B 地办事，然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地， 办事后返回A 地.（1）设此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 【答案】（1）0.598；（2）甲方案 【解析】 【分析】（1）若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点,则若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,进而求解即可；（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则()()11EX x p x p x p =-++=+,进而讨论每一路段行驶时间的期望,再得到方案甲、乙的总行驶时间的期望,比较即可.【详解】（1）由题意可知,若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点, 因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,记事件123,,M M M 分别表示在上午AB 路段降水,上午BC 降水,下午CA 路段降水,则所求概率()()()()123123123123P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则该路段行驶时间X 的分布列为:故()()11EX x p x p x p =-++=+设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为,Y Z ,则2.3 2.23.98.4EY =++=, 2.6 2.7 3.38.6EZ =++=,8.48.6<,因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地.【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查两点分布的分别列和期望,考查数据处理能力.21.已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）； （2）证明：当1x >时，()()f x g x <. 【答案】（1）最大值为3；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导可得()21ln 1ln x x f x x--'=,设()1ln 1F x x x=--,由()F x '可判断()F x 在()1,+∞上为增函数,由()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->可得()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,则()()0min f x f x =,进而求解即可；（2）要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->,设()21ln x x h x x e -=-,利用导函数判断()h x 的单调性,由()10h =,进而求解即可.【详解】（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->, ∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3（2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln xx h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <.【点睛】本题考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查利用导函数判断函数的单调性.（二）选考题：共10分22.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+.以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.【答案】（1）224936x y +=；（2）max 9S =+【解析】 【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化的公式，直接得出答案.(2)由条件可设()3cos ,2sin P θθ，则矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，然后用换元法可求矩形面积的最大值.【详解】解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程以及换元法求最值，属于中档题. 23.已知()215f x x ax =-+-(a 是常数，a R ∈)． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |4x ≤-或2x ≥}；（2）(2,2)-【解析】【分析】（1）当a=1时，f（x）14,21 36,2 x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，把1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩的解集取并集，即得所求；②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．【详解】(1)当1a=时，()215f x x ax=-+-=14,2136,2x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，由()0f x≥，得1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得4x≤-或2x≥，故不等式()0f x≥的解集为{x|4x≤-或2x≥}．(2)令()f x=0，得215x ax-=-，则函数()f x恰有两个不同的零点转化为21y x=-与5y ax=-+的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当22a-<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当22a-<<时，函数()f x恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为()2,2-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题(解析版)
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(∁RB)=()A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴∁RB={x|x<1}，∴A∩(∁RB)={x|0<x<1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知0<a<1，则a2、2a、log2a的大小关系是()A. a2>2a>log2a B. 2a>a2>log2a C. log2a>a2>2a D. 2a>log2a>a2【答案】B【解析】解：∵0<a<1，∴0<a2<1，1<2a<2，log2a<0，∴2a>a2>log2a，故选：B．根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.已知sin(π+θ)=3sin(3π2−θ)，则tan(θ+π4)的值为()A. −2B. 2C. 12D. −12【答案】A【解析】解：由sin(π+θ)=3sin(3π2−θ)，得−sinθ=−3cosθ，∴tanθ=3．∴tan(θ+π4)=tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=3+11−3×1=−2．故选：A．由已知求得tanθ，然后展开两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题．4.等差数列{an}的前n项和为S n，且a1+a5+a9=15，则S9=() A. 5 B. 10 C. 15 D. 45【答案】D【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为S n，且a1+a5+a9=15，∴a1+a5+a9=3a5=15，解得a5=5，∴S9=9(a1+a9)=9a5=45．故选：D ．由等差数列通项公式得a 1+a 5+a 9=3a 5=15，求出a 5=5，由此能求出S 9的值．本题考查等差数列的前9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.在平行四边形ABCD 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a ⃗ +16b ⃗ B. 13a ⃗ −b ⃗ C. −12a ⃗ +13b ⃗ D. 12a ⃗ −16b ⃗ 【答案】A【解析】解：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +16b ⃗ ， 故选：A ．由向量的线性运算得：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +16b ⃗ ，得解． 本题考查了向量的线性运算，属简单题．6. 若在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n ，n ∈N ∗，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=( )A. 84B. 340C. 670D. 1364【答案】B【解析】解：根据题意，数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n ，n ∈N ∗， 则数列{a n }为等比数列，且a 1=1，公比q =2， 则a n =2n−1，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=a 22+a 32+a 42+a 52=22+42+82+162=340． 故选：B ． 根据题意，由等比数列的定义可得数列{a n }为等比数列，且a 1=1，公比q =2，进而可得a n =2n−1，则a 1a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=a 22+a 32+a 42+a 52，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式的计算，关键是求出数列{a n }的通项公式．7. 在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −15B. −9C. −6D. 0【答案】C【解析】解：解法Ⅰ，由题意，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BM MA=CN NA=2，∴BC//MN ，且BC =3MN ，又MN 2=OM 2+ON 2−2OM ⋅ON ⋅cos120∘=1+4−2×1×2×(−12)=7，∴MN =√7； ∴BC =3√7，∴cos∠OMN =OM 2+MN 2−ON 22OM⋅MN=2×1×√7=√7，∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−∠OMN)=3√7×1×(−2√7)=−6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，由OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×12+3×2×1×cos120∘=−6． 故选：C ．解法Ⅰ，由题意判断BC//MN ，且BC =3MN ，再利用余弦定理求出MN 和∠OMN 的余弦值，计算BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN 是平行四边形， 由题意求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{y =3+3sinϕx=3cosϕ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ−π6)=4√3，射线OM ：θ=5π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，则线段PQ 的长为( )A. 12B. √22C. 1D. 2【答案】C【解析】解：∵圆C 的参数方程为{y =3+3sinϕx=3cosϕ(φ为参数)．∴圆C 的普通方程为x 2+(y −3)2=9， ∴圆C 的极坐标方程为ρ=6sinθ，直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ−π6)=4√3， 射线OM ：θ=5π6圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，设P(ρ1,θ1)，由{ρ=6sinθθ=5π6，解得ρ1=3,θ1=5π6，设Q(ρ2,θ2)，由{2ρsin(θ−π6)θ=5π6，解得ρ2=4,θ2=5π6，∴线段PQ 的长为|PQ|=|ρ2−ρ1|=1．故选：C ．由圆C 的参数方程求出圆C 的普通方程，进而求出圆C 的极坐标方程，设P(ρ1,θ1)，由{ρ=6sinθθ=5π6，解得ρ1=3,θ1=5π6，设Q(ρ2,θ2)，由{2ρsin(θ−π6)θ=5π6，解得ρ2=4,θ2=5π6，线段PQ 的长为|PQ|=|ρ2−ρ1|，由此能求出结果．本题考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y =g(x)的图象，则下列选项不成立的是( )A. 函数g(x)的最小正周期为πB. 函数g(x)的图象关于直线x =π4对称C. 函数g(x)为奇函数D. 函数g(x)在区间[π4,π]上单调递减 【答案】D【解析】解：将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y =g(x)=sin2x 的图象， 则g(x)的最小正周期为2π2=π，故A 成立；当x=π4时，g(x)=1为最大值，故函数g(x)的图象关于直线x=π4对称，故B正确；显然，g(x)为奇函数，故C正确；在区间[π4,π]上，2x∈[π2,2π]，g(x)没有单调性，故D错误，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．10.已知函数f(x)={−xe x,x<0xe x,x≥0(e是自然对数底数)，方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则t的取值范围为()A. (e+1e ,+∞) B. (−∞,−e−1e) C. (−e−1e,−2) D. (2,e+1e)【答案】B【解析】解：函数f(x)={−xe x,x<0xe x,x≥0(e是自然对数底数)，易知f(x)在[0,+∞)上是增函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=−xe x，f′(x)=−e x(x+1)，故f(x)在(−∞,−1)上是增函数，在(−1,0)上是减函数；作出函数图象如下；且f(−1)=1e；若方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根，则方程x2+tx+1=0(t∈R)有两个不同的实根，且x1∈(0,1e )，x2∈(1e,+∞)∪{0}，∴{0+0+1>01e2+t⋅1e+1<0，或1=0；解得，t<−e−1e，∴t的取值范围是(−∞,−e−1e).故选：B．根据f(x)的解析式，利用导数确定函数的单调性，作出函数的简图，根据函数的图象与性质求得t的取值范围．本题考查了分段函数的应用和导数的综合应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．11.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A. (0,512] B. (0,512]∪[56,1112) C. (0,56] D. (0,512]∪[56,1112]【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π6)，T=2πω，由题意可得，πω≥π，则0<ω≤1，又f(x)在区间(π,2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：{ωπ+π6≥02ωπ+π6≤π或{ωπ+π6≥π2ωπ+π6≤2π，解得ω∈(0,512]∪[56,1112].故选：D．利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，是中档题．12.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则()A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4【答案】B【解析】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1>1，设公比为q，当q>0时，a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，不成立，即：a1>a3，a2>a4，a1<a3，a2<a4，不成立，排除A、D．当q=−1时，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)>0，等式不成立，所以q≠−1；当q<−1时，a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3)>0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，当q∈(−1,0)时，a1>a3>0，a2<a4<0，并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若cosα=35，且α∈(0,π2)，则tanα2=______．【答案】12【解析】解：∵cosα=1−tan 2α21+tan2α2，且α∈(0,π2)，∴tan α2=√1−cosα1+cosα=√1−351+35=12．故答案为12．由余弦的万能公式变形即可． 本题考查余弦的万能公式．14.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,t ∈R.当|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，t =______．【答案】12【解析】解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,t ∈R ， 可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2t,2t)， 即有|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(2−2t)2+(2t)2=8t 2−8t +4 =8(t −12)2+2，当t =12时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，且为2，∴t =12，故答案为：12．运用向量的加减运算，求得向量OC 的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．本题考查向量的坐标运算和模的计算，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsinA =asin2C ，C ∈(π3,π2)，a =√6，sinB =√53，则b =______．【答案】2【解析】解：∵bsinA =asin2C ，sinB =√53，∴a sinA=b sin2C，由a sinA =bsinB ，可得：sinB =sin2C =√53，∴sinA >0，cosB =±√1−sin 2B =±23， ∵C ∈(π3,π2)，2C ∈(2π3,π)，可得：cos2C =−√1−sin 22C =−23=2cos 2C −1， ∴解得：cosC =√66，sinC =√1−cos 2C =√306， ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√53×√66+(±23)×√306=√306或−√3018(舍去)，∵a =√6，∴由正弦定理可得：b =a⋅sinB sinA=√6×√53√306=2．故答案为：2．由已知及正弦定理可求sin2C =√53，利用同角三角函数基本关系式可求cosB ，cos2C ，利用二倍角的余弦函数公式可求cosC ，可求sinC 的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA ，进而利用正弦定理可求b 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16. 已知[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]=2，[−1.5]=−2.在数列{a n }中，a n =[1gn]，n ∈N +，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．【答案】4947【解析】解：∵an=[1gn]，∴a1=[1g1]=0，a2=[1g2]=0，…，a9=[1g9]=0，a 10=[1g10]=1，a11=[1g11]=1，…，a99=[1g99]=1，a 100=[1g100]=2，a101=[1g101]=2，…，a999=[1g999]=2，a 1000=[1g1000]=3，a1001=[1g1001]=3，…，a2018=[1g2018]=3，∴S2018=9×0+90×1+900×2+1019×3=4947故答案为：4947根据题意，归纳可以得到a1=[1g1]=0，a2=[1g2]=0，…，a9=[1g9]=0，a10=[1g10]=1，a11=[1g11]=1，…，a 99=[1g99]=1，a100=[1g100]=2，a101=[1g101]=2，…，a999=[1g999]=2，a 1000=[1g1000]=3，a1001=[1g1001]=3，…，a2018=[1g2018]=3，求和即可本题考查数列的项数n的求法、新定义、对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=√3cos2x+2sin(x−π4)cos(x+π4)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值，并求出相应x的值．【答案】解：(1)f(x)=√3cos2x+2sin(x−π4)cos(x+π4)=√3cos2x+sin2x−1=2sin(2x+π3)−1．令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z；令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2k∈Z，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z)，单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z)．(2)当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)的最小值为−√3−1；当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)的最大值为1．【解析】(1)利用辅助角公式以及两角和差的公式进行化简即可．(2)求出角在[0,π2]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数f(x)的表达式是解决本题的关键．18.各项均为正数的数列{an}的前n项和为S n，满足a2=4，a n+12=6S n+9n+1，n∈N∗.各项均为正数的等比数列{bn }满足b1=a1，b3=a2．(1)求数列{an }和{bn}的通项公式；(2)若∁n =an⋅bn，数列{∁n}的前n项和为T n，求T n．【答案】解：(1)∵an+12=6S n+9n+1，∴当n≥2时，an2=6S n−1+9(n−1)+1，两式相减得an+12−a n2=6a n+9，即a n+12=(a n+3)2，又各项均为正数，∴an+1=an+3(n≥2)．又当n=1时，a22=6a1+9+1=16，解得a1=1，∴a2−a1=3满足上式，∴{an}为首项为1，公差为3的等差数列，∴an=3n−2，n∈N∗．又b1=1，b3=4，可得公比为2，∴bn=2n−1，n∈N∗．(2)由(1)知，cn =an⋅bn=(3n−2)×2n−1，∴Tn=1+4×21+7×22+⋯+(3n−2)×2n−1，∴2Tn=1×2+4×22+7×23+⋯+(3n−2)×2n，两式相减得−Tn=1+3×(21+22+⋯+2n−1)−(3n−2)×2n=(5−3n)×2n−5，∴Tn=(3n−5)×2n+5，n∈N∗．【解析】(1)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式可得所求通项公式；(2)求得cn =an⋅bn=(3n−2)×2n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinA=acos(B−π6)．(1)求角B的大小；(2)设b=√7，a=2，D为AC上一点，若S△ABD=√3，求AD的长．【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA =bsinB，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B−π6)，得asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)，化简可得tanB=√3，又因为B∈(0,π)，所以B=π3．(2)在△ABC中，由余弦定理及b=√7，a=2，B=π3，得b2=a2+c2−2accosB，解得c=3，又S△ABC =12acsinB=3√32，所以S△ABDS△ABC =ADAC=√33√32=23，所以AD=23b=2√73．【解析】(1)由正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=√3，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(2)在△ABC中，由余弦定理可得c的值，利用三角形面积公式可求△ABC的面积，根据三角形面积公式即可解得AD=2 3b=2√73．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.设函数f(x)=lnx−12ax2−bx(1)当a=b=12时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0，b=−1时，方程f(x)=mx在区间[1,e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=b=12时，f(x)=lnx−14x2−12x，∴f′(x)=−(x+2)(x−1)2x，令f′(x)=0，解得：x=1或x=−2(舍去)，经检验，x=1是方程的根．当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,+∞)．(2)当a =0，b =−1时，f(x)=lnx +x ，由f(x)=mx 得mx =lnx +x ， 又因为x >0，所以m =1+lnx x，要使方程f(x)=mx 在区间[1,e 2]内有唯一实数解，只需m =1+lnxx 有唯一实数解，令g(x)=1+lnx x(x >0)，∴g′(x)=1−lnx x 2(x >0)，由g′(x)>0，得：0<x <e ，由g′(x)<0，得x >e ，所以g(x)在区间[1,e]上是增函数，在区间[e,e 2]上是减函数，g(1)=1+ln11=1，g(e 2)=1+lne 2e 2=1+2e 2，g(e)=1+lne e=1+1e，所以m =1+1e 或1≤m <1+2e 2．【解析】(1)将a ，b 的值代入，求出函数f(x)的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；(2)将a ，b 的值代入函数的表达式，问题转化为只需m =1+lnx x有唯一实数解，求出函数y =g(x)=1+lnx x的单调性，从而求出m 的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．21.设正数列{a n }的前{a n }项和为n ，且2√S n =a n +1．(1)求数列{a n }的通项公式． (2)若数列b n =a n +32，设T n 为数列{1b nb n+1}的前n 项的和，求T n ．(3)若T n ≤λb n+1对一切n ∈N ∗恒成立，求实数λ的最小值．【答案】解：(1)∵正数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =2√S n −1，∴S n =S n−1+a n =S n−1+2√S n −1，∴S n−1=(√S n −1)2， ∴√S n −√S n−1=1， ∵a 1=2√a 1+1，解得a 1=1， ∴√S n =1+n −1=n ，∴S n =n 2，∴a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1，当n =1时，2n −1=1=a 1，∴a n =2n −1．(2)b n =a n +32=2n−1+32=n +1，∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，∴T n =12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2n+4(3)T n ≤λb n+1对一切n ∈N ∗恒成立，∴n2n+4≤λ(n +2)，∴λ≥n 2(n 2+4n+4)=12⋅1n+4n+4≥122√n⋅4n2√n⋅4n+4=116，当且仅当n =2时取等号，故实数λ的最小值为116【解析】(1)由已知条件，利用数列的性质，推导出√S n −√S n−1=1，a 1=1，从而得到S n =n 2，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)求出b n 的通项公式，再根据列项求和即可求出求T n ．(3)将λ分离出来得λ≥n2(n 2+4n+4)，利用基本不等式即可求出．本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．22.已知f(x)=2xlnx，g(x)=x3+ax2−x+2．(1)如果函数g(x)的单调递减区间为(−13,1)，求函数g(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数y=g(x)的图象在点P(−1,g(−1))处的切线方程；(3)已知不等式恒成立，若方程ae a−m=0恰有两个不等实根，求m的取值范围．【答案】解：，由题意3x2+2ax−1<0的解集为(−13,1)，即3x2+2ax−1=0的两根分别是−13，1，代入得a=−1，∴g(x)=x3−x2−x+2.….(3分)(2)由(1)知，g(−1)=1，，，∴点P(−1,1)处的切线斜率，∴函数y=g(x)的图象在点P(−1,1)处的切线方程为y−1=4(x+1)，即4x−y+5=0.…(6分)(3)由题意知2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈(0,+∞)上恒成立，可得a≥lnx−32x−12x对x∈(0,+∞)上恒成立，…(7分)设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，则ℎ′(x)=1x −32+12x2=−(x−1)(3x+1)2x2，令，得x=1，x=−13(舍)，当0<x<1时， 0'/>；当x>1时，，∴当x=1时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(x)max=−2，∴a≥−2.…(10分)令φ(a)=ae a，则，所以φ(a)在[−2,−1]递减，在(−1,+∞)递增，∵φ(−2)=−2e−2=−2e2，φ(−1)=−e−1=−1e，当x→+∞时，φ(x)→+∞，所以要把方程ae a−m=0恰有两个不等实根，只需−1e <m≤−2e2.…(12分)【解析】(1)求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；(2)求出函数的导数，计算g′(−1)和g(−1)的值，求出切线方程即可；(3)问题转化为a≥lnx−32x−12x对x∈(0,+∞)上恒成立，设ℎ(x)=lnx−3x2−12x，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2 (含答案解析)
2020年河北省衡水中学高考数学二调试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−5,0，1}，则( )A. A ∩B =⌀B. B ⊆AC. A ∩B ={0,1}D. A ⊆B2. 若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 的共轭复数是( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1+2i 3. 下列函数中，x =0是极值点的函数是( )A. y =−x 3B. y =cos 2xC. y =tanx −xD. y =1x4. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≤03x −y +1≥0x −y −1≤0，则z =3y −2x 的最小值为( )A. 1B. 2C. −3D. −45. 执行如图所示的程序框图，若输入的n =4，则输出的j =A. 1B. 3C. 5D. 7 6. 一个等差数列第9项为9，则它的前17项和为( )A. 153B. 144C. 17D. 1627. 在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(90,σ2)，若ξ在(80,100)内的概率为0.6，则任意选取一名参加本次数学测试的学生，该生成绩不低于100分的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.35D. 0.48. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 1B. −1C. √22D. −√229. 若(x 2+1)(x −3)9=a 0+a 1(x −2)+a 2(x −2)2+a 3(x −2)3+⋯+a 11(x −2)11，则a 1+a 2+⋯+a 11的值为( )A. 0B. −5C. 5D. 25510. 椭圆x 212+y 28=1与曲线x 28−k −y 2k−12=1(k <8)的( )A. 焦距相等B. 离心率相等C. 焦点相同D. 准线相同11. 已知函数f(x)={3(a −3)x +2,x ≤1,−4a −lnx,x >1,对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (−∞,3)C. (3,+∞)D. [1,3)12. 四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥面ABC ，AD =√7，AB =3，BC =4，此四面体的外接球的表面积为( )A. 28πB. 32πC. 36πD. 48π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(如图)为某四棱锥的三视图，则该几何体体积为______14. 已知向量a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ |=____________． 15. 已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则双曲线的离心率e 为______ ．16.设数列{a n}的前n项和为S n，满足：S n+a n=n−1，n=1，2，…，n，则S2019=________．n(n+1)三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）17.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=√3a.(1)求角B的大小；(2)若a+c=5，且a>c，b=√7，求边a，c．18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次(数值越大产品质量越好)，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(Ⅰ)画出甲、乙两产品数据的茎叶图；(Ⅱ)现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；(Ⅲ)若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．19.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将△ADP沿DP向上折起到△A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．(1)求证：A1D⊥CP；(2)求二面角B−A1C−P的余弦值．20.设椭圆C:x2+y2=1的右焦点为F，过点(m,0)(|m|≥1)作直线l与椭圆C交于A，B两点，且4坐标原点O(0,0)到直线l的距离为1．(1)当m=1时，求直线AF的方程；(2)求ΔABF面积的最大值．ax2+lnx，g(x)=−bx，设ℎ(x)=f(x)−g(x)．21.已知函数f(x)=12(1)若f(x)在x=√2处取得极值，且f′(1)=g(−1)−2，求函数ℎ(x)的单调区间；2(2)若a=0时函数ℎ(x)有两个不同的零点x1、x2．①求b的取值范围；>1．②求证：x1x2e222.如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE//CA交BA的延长线于点E．(I)求证：DE2=AE⋅BE；(Ⅱ)若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．23.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．24.求y=3sin x+2√2+2cos2x的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−16<0}={x|−4<x<4}，B={−5,0，1}，则A∩B={0,1}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：解：由题意可得z=2+i．复数的共轭复数为：2−i．故选：B．利用表格写出复数z，然后求解共轭复数即可．本题考查复数的几何意义，是基础题．3.答案：B解析：A.y=−x3，∵y′=(−x3)′=−3x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点.B．y= cos2x，y′=(cos2x)′=2cosx(−sinx)=−sin2x，当x<0时，−sin2x>0，y′>0；当x>0时，−sin2x<0，y′<0，所以x=0是y=cos2x的极大值点.C．y=tanx−x，y′=(tanx−x)′=1cos2x−1，当x<0或x>0时，0<cos2x<1，y′>0，∴x=0不是极值点.D．y=1x ，y′=(1x)′=−1x2，当x<0或x>0时，y′<0，∴x=0不是极值点．4.答案：D解析：【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)，由z =3y −2x 得y =23x +z3，平移直线y =23x ，由图象可知当直线y =23x +z3经过点A 时，直线y =23x +z3的截距最小，此时z 最小，由{x −y −1=03x −y +1=0，解得A(−1,−2)， 将A(−1,−2)的坐标代入目标函数z =3y −2x ，得z =3×(−2)−2×(−1)=−4， 即z =3y −2x 的最小值为−4． 故选D ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查程序框图，属基础题． 模拟算法，可得输出的j 的值． 【解答】解： 框图的执行过程如下表：i 1 2 3 4 j 1 3 3 5 5． 故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的性质，根据前n项和与通项的关系即可求解．【解答】解：S17=17×(a1+a17)2=17a9=17×9=153．故选A．7.答案：A解析：【分析】本题考查正态曲线的性质，利用对称性求解．【解答】解：ξ服从正态分布N(90,σ2)，所以正态曲线关于直线x=90对称，由若ξ在(80,100)内的概率为0.6，得ξ在(90,100)内的概率为0.3，所以该生成绩不低于100分的概率为0.5−0.3=0.2，故选A．8.答案：D解析：解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得T2=3π4−5π12=πω，∴ω=3，将(7π12,−1)代入，可得sin(7π4+φ)=−1，故，又|φ|<π2，∴φ=−π4，∴f(x)=sin(3x−π4)，∴f(π2)=sin5π4=−√22，故选D．由周期求出ω的值，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数f(x)的解析式，从而求得f(π2)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．9.答案：C解析：解：在(x2+1)(x−3)9=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+a3(x−2)3+⋯+a11(x−2)11中，令x=2，得a0=(4+1)×(−1)=−5；令x=3，得a0+a1+a2+a3+⋯+a11=(9+1)×0=0；∴a1+a2+a3+⋯+a11=5．故选：C．在所给的等式中，令x=2求得a0的值，令x=3求得a0+a1+a2+a3+⋯+a11，从而求得结果．本题考查二项式定理的应用问题，利用赋值法求出结果，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】利用椭圆方程以及双曲线方程，求出c，然后推出结果．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：因为椭圆方程为x212+y28=1，所以a=2√3，b=2√2，c=2，焦点在x轴上．曲线x28−k −y2k−12=1(k<8)，因为k<8，所以8−k>0，k−12<0，曲线方程可写为：x28−k +y212−k=1(k<8)，12−k>8−k，所以曲线为焦点在y轴上的椭圆，a=√12−k，b=√8−k，c=2，所以焦距相等正确．故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性的判断和应用，考查不等式的解法和运算能力，属于中档题．【解答】解：由(x1−x2)[f(x2)−f(x1)]>0对任意x1≠x2成立，得(x 1−x 2)·[f(x 1)−f(x 2)]<0，所以函数f(x)为R 上的单调递减函数对任意x 1≠x 2成立， 则{a −3<0,3(a −3)+2≥−4a,解得1≤a <3． 故选D ．12.答案：B解析： 【分析】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD 的外接球的半径是关键，属于基础题．由正弦定理可得△ABC 外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD 的外接球的半径，即可求出球O 的表面积． 【解答】 解：由题意，由AB ⊥BC ，AB =3，BC =4，可得△ABC 外接圆的半径为52， ∵AD ⊥平面ABC ，AD =√7，∴四面体ABCD 的外接球的半径为12DC =12√7+25=2√2， ∴球O 的表面积为4π×8=32π． 故选：B ．13.答案：83解析： 【分析】根据四棱锥的三视图知，四棱锥是侧放的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题． 【解答】解：根据四棱锥的三视图知，则四棱锥是侧放的直四棱锥，且底面四边形是边长为2的正方形，高为2；所以该四棱锥的体积为V 四棱锥=13×22×2=83． 故答案为：83．14.答案：103解析： ↵ 【分析】考查向量数量积运算，以及向量垂直的充要条件及向量模的求法．根据条件a ⃗ 与b ⃗ 垂直，从而得出a ⃗ ⋅b ⃗ =0，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于λ的方程，求出λ的值即可． 【解答】解：a ⃗ =(2,λ)，b ⃗ =(4,−3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∵a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =8−3λ=0， ∴λ=83，则|a ⃗ |=√22+(83)2=103，故答案为103．15.答案：2解析： 【分析】求出y 2=4x 的准线l ：x =−1，由抛物线y 2=4x 的准线与双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，从而得出A 、B 的坐标，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合a ，b ，c 的关系式得出出a ，c 的关系，即可求得离心率．本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】解：∵y 2=4x 的准线l ：x =−1，∵抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2−y2b2=1的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2√3，∴A(−1,√3)，B(−1,−√3)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得ba=√3，∴b2=3a2，又b2=c2−a2∴3a2=c2−a2，即4a2=c2，∴e=ca=2．则双曲线的离心率e为2．故答案为：2．16.答案：12020−(12)2019解析：解：数列{a n}的前n项和为S n满足：S n+a n=n−1n(n+1)，n=1，2，…，n．则：当n=1时，S1=0，当n≥2时，S n+S n−S n−1=2S n−S n−1=1n+1−(1n−1n+1)，所以：S n−1n+1=12(S n−1−1n)=(12)n−1(S1−12)=−(12)n，故：S n=1n+1−(12)n故：S2019=12020−(12)2019，故答案为：12020−(12)2019首先利用关系式的恒等变换求出数列的和的关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.答案：解：(1)在锐角△ABC中，∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，∴sinB=√32，B∈(0,π2)，∴B=π3．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，∴7=(a+c)2−2ac−2accosπ3，化为：ac=6，与a+c=5，a>c，联立解得：a=3，c=2．解析：(1)由2bsinA=√3a，利用正弦定理可得：2sinBsinA=√3sinA，sinA≠0，化简整理即可得出．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，代入化简解出即可．本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：(Ⅱ)x 甲=18(8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3)=8.5， x 乙=18(9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5)=8.5，S 甲2=18[(8.3−8.5)2+(9.0−8.5)2+(7.9−8.5)2+(7.8−8.5)2+(9.4−8.5)2+(8.9−8.5)2+(8.4−8.5)2+(8.3−8.5)2]=0.27，S 乙2=18[(9.2−8.5)2+(9.5−8.5)2+(8.0−8.5)2+(7.5−8.5)2+(8.2−8.5)2+(8.1−8.5)2+(9.0−8.5)2+(8.5−8.5)2]=0.405，∵x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小， 说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适． (Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12， ξ的可能取值为0，1，2，3， 则ξ～B(3,12)，∴P(ξ=0)=C 30(12)3=18，P(ξ=1)=C 31(12)(12)2=38， P(ξ=2)=C 32(12)2(12)=38， P(ξ=3)=C 33(12)3=18，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P18383818×18+×38+×38+×18=32．解析：(Ⅰ)由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．(Ⅱ)分别求出x 甲，x 乙，S 甲2，S 乙2，得到x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．(Ⅲ)依题意，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B(3,12)，由此能求 本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.答案：证明：(1)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，P 是AB 的中点，∴DP =√AD 2+AP 2=√2，CP =√BP 2+BC 2=√2， ∴CD 2=4=DP 2+CP 2，∴CP ⊥DP ，∵平面A 1DP ⊥平面BCDP ，平面A 1DP ∩平面BCDP =PD ， CP ⊂平面BCDP ，∴CP ⊥平面A 1DP ， ∵A 1D ⊂平面A 1DP ，∴A 1D ⊥CP ．解：(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ， 则A 1E =12DP =√22，P(1,1，0)，B(1,2，0)，C(0,2，0)，E(12,12,0)，A 1(12,12,√22)，从而CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−32,√22)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面A 1BC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0，取z =3，得m ⃗⃗⃗ =(0,√2,3)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面A 1CP 的法向量， 则{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −32y +√22z =0n ⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0，取z =√2，得n⃗ =(1,1，√2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√22√11=2√2211， ∴二面角B −A 1C −P 的余弦值为2√2211．解析：(1)推导出CP ⊥DP ，从而CP ⊥平面A 1DP ，由此能证明A 1D ⊥CP ．(2)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A 1E ⊥DP 于点E ，利用向量法能求出二面角B −A 1C −P 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)焦点F(√3,0)，当m =1时，直线l:x =1，点A(1,±√32)，k AF =√32−01−√3或−√32−01−√3，∴直线AF 的方程为：y =−√3+34(x −√3)或y =√3+34(x −√3)；(2)当直线l 的斜率不存在时，m =±1， S ΔABF =3−√32或3+√32．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程{x 24+y 2=1y =k(x −m)，得(1+4k 2)x 2−8mk 2x +4m 2k 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8mk 21+4k 2，x 1⋅x 2=4m 2k 2−41+4k 2．由题意知|km|√1+k 2=1，即k 2m 2=k 2+1 ①，，利用①式，消去k ，得|y 1−y 2|=4√3m 2+3， ∴，当m <−1或1<m <√3时，S ΔABF =2√3(√3−m)m 2+3， 令t =√3−m ，t ∈(0,√3−1)∪(√3+1,+∞) ， 则；当m >√3时，S ΔABF =2√3(m−√3)m 2+3， 令t =m −√3，，则；∴当m =−1时，ΔABF 面积的最大值为3+√32．解析：本题考查直线与椭圆的综合问题．(1)当m =1时，直线l ：x =1，点A(1,±√32)，从而直线AF 有两个，利用点斜式方程即可;(2)当直线的斜率不存在时，m =±1，此时S ▵AFB =3√32；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =k(x −m)，联立方程组，用点A 、B 的坐标表示出S ▵ABF =12|m −√3|⋅|y 1−y 2|=2√3|m−√3|m +3，通过换元用 基本不等式解决．21.答案： 解：(1)因为f ′(x)=ax +1x ，所以f ′(1)=a +1，由f′(1)=g(−1)−2可得a =b −3，又因为f(x)在x =√22处取得极值，所以f′(√22)=√22a +√2=0，所以a =−2，b =1， 所以，其定义域为，ℎ′(x)=−2x +1x+1=−2x 2+x+1x=−(2x+1)(x−1)x令ℎ′(x)=0得x 1=−12，x 2=1， 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0， 当ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为；(2)当a =0时，，其定义域为，①ℎ′(x)=1x +b ，当b ⩾0，则ℎ′(x)>0，ℎ(x)在上单调递增，不合题意，当b <0时，ℎ(x)在(0,−1b )上单调递增，在上单调递减，因为ℎ(x)有2个不同零点，所以ℎ(−1b )>0，即b ∈(−1e ,0)， 此时存在1<−1b <4b 2 ，使得ℎ(1)=b <0，ℎ(4b 2)<0， 又ℎ(x)在(0,−1b )和都连续， 所以ℎ(x)在(0,−1b )和各有一个零点，所以b 的取值范围为(−1e ,0)． ②由题意得，，所以，，所以，不妨设x 1<x 2， 要证x 1x 2>e 2，只需要证，即证，设t=x2x1(t>1)，则，因为F(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，所以函数F(t)在上单调增，而F(1)=0，所以F(t)>0即，所以x1x2>e2，所以x1x2e2>1．解析：【分析】本题考查函数的综合应用问题，属于较难题，应用导数解决函数的极值，零点，单调区间以及利用不等式求解参数的取值范围和证明相关问题．(1)利用导数解决极值，由导函数与0的关系，求单调区间；(2)利用导数，利用函数与方程，利用函数的零点求出b的范围，构造函数证明不等式．22.答案：证明：(Ⅰ)∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE//CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴DEBE =AEDE，∴DE2=AE⋅BE．解：(Ⅱ)∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA⋅EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB−EA=6，由(Ⅰ)知DE2=AE⋅BE，∴DE=4，∵DE//CA，∴△BAC∽△BED，∴BABE =ACED，∴AC=BA⋅EDBE =6×48=3．解析：(Ⅰ)推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE⋅BE．(Ⅱ)由切割线定理得EF2=EA⋅EB，由DE//CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0， 联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0， 解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)． (2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t代入x 2+y 2−2y =0，得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0，即t 2−(2√3+1)t +4=0， 设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4． 易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外， 所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题． (1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．24.答案：解：y =3sinx +2√2+2cos2x =3sinx +4√cos 2x ．由柯西不等式得：y 2=(3sinx +4√cos 2x)2≤(32+42)(sin 2x +cos 2x )=25， 所以y max =5，此时sinx =35， 所以函数的最大值为5．解析：本题考查利用柯西不等式求函数的最值，由柯西不等式得到y2=(3sinx+4√cos2x)2≤(32+42)(sin2x+cos2x)=25，即可求出答案．。
衡水金卷高考模拟卷(二)数学(文)试题Word版含答案
3.函数fIn 2x 1的定义域为（1,2C .1 2D .1,2 122’2的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利衡水金卷高考模拟卷（二）数学（文）试题 Word 版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数二第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限)4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善 用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内垂直，且焦点在圆图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为 （）（LU 是虚数单位）已知复数H 满足z 1 i，则复数LZ 在复平面内对应的点所在象限为2. ・2018i~ 2图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）2 22 22 2 x i B. x 乂 1C. x乂 19 1616 93 46.执行如图所示的程序框图，若输入的 |t 0.05］，则输出的为（7. 已知数列邑|的前［n 项和为 囱，3,寻！ 2不，则口（） A.閭 B .閭 C .団 D .団8. 已知将函数f x sin 2 x —0的图象向左平移6A JB .1_,0C .1D□L61 1L±__ 1 1121112 19.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫 榫，凹进部分叫卯,A. 3 B4 C .5 D . 6个单位长度得到函数 |g x 的图 象，若函数|g x 图象的两条相邻的对称轴间的距离为 （）l g x的一个对称中心为~ 2榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，女口图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A. 8 12 B . 8 16 C9 12 D . 9 16当且仅当x y 1时,10.已知实数竺满足约束条件目标函数z kx y取大值，则实数卜的取值范围是（）A. ,1 B 1 C . 1, D 1,11.已知a 0 命题［p：函数f x lg ax22x 3的值域为［R，命题［q］函数区间1,内单调递增.若p q是真命题，则实数回的取值范围是（）y轴对称的点，则实数的取值范围是（）A J_R|B e, D .口第U卷（共90分）、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在ABC中, I D I为BC边上的点,uuu our 亠———2BD CD 0，若AD mAB nAC m,n R，则uctr non un14.已知焦点在因轴上的椭圆一2心率为2 2x y2 m2m 11的一个焦点在直线忌y 2 0上，则椭圆的离15. 在锐角丨ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若si n Ceos A sin B 1 cosC，且A 3,b V1 2 3，贝y i_c_____________ .316. 如图，在矩形| ABCD ］中，| AD 2|,囘为两边上的点，项将| ADE|沿［5目翻折至| A DE |,使得点区在平面|EBCD上的投影在［CD上，且直线込可与平面［EBCD ］所成角为西，则线段AE的长为___________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列_aj的前丄项和为0,(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足18.如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB平面ABCD占:叵I是而的中点，棱两与平面［BCE交于点眉.1求证：|AD //EF ;2若匚PAB］是正三角形，求三棱锥|P BEF|的体积.19. 某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000,1500 )a-i 5,3a5 a g & .（1） 求居民收入在 3000,3500的频率；（2） 根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数； （3） 为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在2500,3000内应抽取多少人？20. 已知点F 为抛物线|c ：y 2 2px p 刁的焦点，过［F 的直线0交抛物线于 区回两点• （1）若直线0的斜率为1, || AB| 8，求抛物线 回的方程；,__, ----------- ------------------------------- ---- uur uui|（2） 若抛物线 回的准线与門轴交于点P 1,0 ， S A PF ：S BPF 2 V 3 :1，求| PA P B |的值•21. 已知函数 f x ln x x 2 ax,a R .（1） 当|a 11时，求曲线 匚打在区二处的切线方程；（2） 若xix 为X 2是函数的导函数f x 的两个零点，当a , 3时，求证：3f x 1 f x 2一 In 2 .4请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程（凶为参数），以原点LO 为 极点，凶轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 直的极坐标方程为（1） 求曲线 回的普通方程与 哇的直角坐标方程； （2） 判断曲线［GG ］是否相交，若相交，求出相交弦长 23. 选修4-5 :不等式选讲 已知函数rnx —.(1)求不等式f x 0的解集;(2)若对任意的x m,，都有f x x m 成立，求实数四的取值范围x 2t 1 y 4t 3在平面直角坐标系|xOy 中，已知曲线 匕的参数方程为试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11 、12：DC二、填空题13. - 14. - 15. [73 16.3| |3|三、解答题17.解：（1）设等差数列匕i的公差为同，由a1 5,3a5 a S6 ,6 5得 3 5 4d 5 8d 6 5 匕上d，______________________________________________解得|d 2 .所以a n a1n 1 d 5 2 n 1 2n 3 n N* .（2）由（1）得，ib—a^ —.又因为b n i an &所以当 n 2 时，b n a n a n 1 2n 3 2n 1 当In 1时，b i 5 3 15，符合上式, 所以 b n2n 3 2n 11 1 1 11 b n2n 3 2n 1 2 2n 1 2n 318. 解：（1 ）因为底面 ABCD 是边长为2的正方形, 所以BC//AD所以BC//平面PADB ,C ,E ,F 四点共面，且平面 BCEF平面 PAD EF所以BC//EF 又因为 |BC //AD ，所以 |AD //EF . （2）因为|AD //EF |，点E 是［PD ］的中点, 所以点回为画的中点，EF 丄AD 1 .— 2PAB 平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB, AD AB所以|AD |平面|PAB |，所以| EF |平面|PAB19.解：（1）由题知，月收入在 3000,3500的频率为0.0003 500 0.15（2）从左数第一组的频率为 0.0002 500 0.1，第二组的频率为 0.0004 500 0.2•••中位数在第三组, 设中位数为|2000 x 则| x 0.0005 0.5 0.10.2，解得 |x 400所以 T n11111——_ _ _ L 2 3 5 5 71 1 2n 1 2n 31 1 1 n 232n 33 2n 3又因为BC平面PAD ，AD 平面PAD第三组的频率为|0.0005 500 0.25•••中位数为2400.由 1250 0.1 1750 0.2 2250 0.25 2750 0.25 3250 0.15 3750 0.05 2400得样本数据的平均数为2400.（3）月收入在 2500,3000 的频数为 0.25 10000 2500 （人），•••抽取的样本容量为 100,设［AB ］两点的坐标分别为 | X A , y A , X B 』B 则 X A X B 3p由抛物线的性质，可得I AB |FA| |F B X A X BX A X B P 4p 8解得—2, 所以抛物线回的方程为y 2 4x (2)由题意，得F 1,0，抛物线C ：y 2 4x 设直线［］的方程为 ［x ―my —1, A X 1, y 1 , B X 2, y 2 联立x ? my 1,得y 2厶口丫 4。
河北省衡水金卷压轴卷全国统一考试模拟试题理科数学(二)---精校解析Word版
已知集合,（D.，然后再求出【详解】由题意得．复数满足∵，，，．前三个路口遇到红灯的概率均为第四个路口遇到红灯的概率为则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为（【答案】前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为．．已知双曲线方程为,为双曲线的左、右焦点为渐近线上一点且在第一象限若,则双曲线的离心率为（C. D.为直角三角形，又得所以故得的倾斜角为，即，由此可得离心率．【详解】设为正三角形，直线的倾斜角为，离心率将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量利用和则B. C. D.【答案】D，进而可得，然后再根据两角和的正弦公式求解即可．∵，又为锐角，故选D．A. B. C. D.第一次：第二次：第三次：第四次：第五次：第六次：第七次：时，的值为（C. D.运用赋值法求解，令，得，．故选C．B.D.故几何体的表面积为,B.【答案】D可得，，然后对给出的四个选项分别进行判断即可得到结论．∵整理得．，解得，所以，由于，解得，，所以C成立．，所以【点睛】本题考查对数、指数的转化及基本不定式的变形及其应用，解题时注意不等式10.若函数在区间则B.D.【答案】在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间的单调区间为，．函数在区间内没有最值，在区间内单调，，解得．，得时，得；时，得，又，故的取值范围是函数在区间的单调区间后将问题转化为两个集合间的包含关系处理，并将问题再转化过抛物线上两点若两切线垂直且交于点则直线【答案】B并结合点的坐标求得．再根据两切线垂直可得抛物线的方程为，设出直线方程，联立消元后根据二次方程根与系数的关系可求得直线的斜率及截距，于是可得直线方程．【详解】由，得，则抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，解得又两切线交于点，，故得．∵过两点的切线垂直，，故，故得抛物线的方程为．的斜率存在，可设直线方程为整理得和可得的方程为中，正三菱锥的内切球与三个侧面切点分别为与底面切于点的体积之比为（【答案】B，由题意可得．，．，解得．把面单独拿出来分析，如图．的中心，，．D作于，则，为等边三角形，故选B．【点睛】解答本题时注意：中,与【答案】【解析】与分别用表示，通过求【详解】设，，．，．与的夹角为【点睛】求向量夹角时，可先由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积，并求得两向量的模，然后根,组成的区域为作关于直线,和点内的任一点,则的最小值为【答案】，求出区域内的点到直线的最小距离，由题意得的最小值为表示的区域，如下图阴影部分所示．由题意得三个交点的坐标分别为．结合图形可得区域内的点到直线的距离最小，且最小值为．由题意得的最小值为因此所求的最小值为【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的平面区域，并根据数形结合解题；二是将和内的两点间的距离的最小值转化为点到直线的距离处理，满足,当,且斜率为的直线与个交点【答案】【解析】为偶函数且图象的对称轴为，由此得到函数的周期为∵，即的周期为时，，结合函数的周期性，画出函数且斜率为的直线方程为．结合图象可得：联立消去整理得，，得(舍去)时，点与点，此时直线与有两个交点，又，相切，将两式联立消去整理得，得(所以当时有三个交点．综上可得的取值范围为．【点睛】已知函数有零点(方程有根中,【答案】【解析】中由题意可得，故得．过点，交的延长线于点，根据平行线，且．然后在中，由正弦定理得【详解】在中，，，．过点作，交的延长线于点，如下图，，．中，由正弦定理得【点睛】本题考查正弦定理在几何中的应用，同时也考查三角变换的应用，解题时要注意平面几何知识的利用，并由此寻求解三角形所需要的条件，然后再根据正弦（余弦）定理求解．在数列已知,求数列或，可得由以上两式消去的公比为，，整理得，解得或）得，当，此时数列为等比数列，，此时数列【点睛】本题考查定比数列的定义及其通项公式的求法，解题时要根据所给出的条件并结合等比数列的有平面平面平面四边形为正方形，,在棱为的中点为平面平面,使得平面平面?使得平面平面平面可得平面，从而有，结合条件可得四边形平行四边形，于是，可得平面．又可根据条件得到平面的判定定理可得结论．（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又两两垂直，故可建立空间直角坐标系，根据空间向量的知识求解．【详解】(1)∵平面平面平面平面平面.平面，∴四边形为平行四边形，．平面平面平面．，又平面平面平面．平面平面，平面平面）在中，由余弦定理得，，∴为直角三角形，且，平面可得两两垂直.依次为则的一个法向量为，即，解得，．设平面的一个法向量为，，得，平面化简得，，故此方程无解，平面【点睛】立体几何中，对于“是否存在”型问题的解答方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步，期中在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系后与临界值表对照可得结论．；设获得某高校自主招生通过的人数为，则可得的分布列．结合可得通过的人数为因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．②设获得某高校自主招生通过的人数为，则，∴的分布列为．列联表；②根据公式计算的值；③比较的值可以确定在多大程度上认为“两个分类变量有关系”；的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握越大．已知椭圆的方程为其离心率且短轴的个端点与两焦点组成的三角形面积为作轴的垂线,垂足为,点满足,的轨迹为曲线.求曲线）若直线与曲线且交椭圆于,的面积为的面积为，设，，得根据代入法可得曲线的方程为设直线的方程为，由与圆相切可得．将与，从而得到，求得，，.，，得代人椭圆方程得曲线的方程为由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，，即.消整理得又直线与椭圆交于，故得，，.，.，当且仅当，即时，等号成立．的最大值为．【点睛】求解解析几何中的范围（最值）问题时，可先建立目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数知函数与在交点的解析式；已知若函数的取值范围(1)。
2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年河北省衡水二中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x∈Z|x2−2x−3<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1,2}C. {−1,0,1}D. {−1,0}2.i是虚数单位，z=4i则|z|=()1−iA. 2B. 2√2C. 4D. 4√23.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A1B1=A0B0−B0B1，A2B2=A1B1−B1B2，A3B3=A2B2−B2B3，…，A n B n=A n−1B n−1−B n−1B n，其中B n−1B n=⋯=B2B3=B1B2=B0B1，n∈N∗.根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0=8m，B0B1=0.5m，则这五层正六边形的周长总和为()A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m4.已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()A. l⊂α，m⊂β，且l⊥mB. l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC. m⊂α，n⊂β，且l⊥m，l⊥nD. l⊂α，l//m，且m⊥β5.下图可能是下列哪个函数的图象()A. y=x2(x−2)x−1B. y=x(x−2)ln|x−1|C. y=x2ln|x−1|D. y=tanx⋅ln(x+1)6.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 27.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多有一名女生参加的概率是()A. 110B. 310C. 35D. 9108.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“EAN−13”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字(用a1，a2，…，a13表示)组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中a13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图(1)是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号[m]表示不超过m的最大整数(例如[365.8]=365).现有一条形码如图(2)所示(97a37107202551)，其中第3个数被污损，那么这个被污损数字a3是A. 9B. 8C. 7D. 69.如图是1990年−2017年我国劳动年龄(15−64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%10. 设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若|MF |=3，则直线l 的方程为( )A. y =2√2x +1B. y =√3x +1C. y =√2x +1D. y =2√3x +211. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和AA 1的中点，则直线EF 与平面ACC 1A 1所成的角等于( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 12. 若函数在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是( ) A.B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为√3，则双曲线C 的焦距为_______．14. 在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+⋯+a n =2n −1，则a 12+a 22+⋯+a n 2=______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满足：f(x)={x 2+2,x ∈[0,1),2−x 2,x ∈[−1,0),且f(x +2)=f(x)，g(x)=2x+5x+2，则方程f (x )=g (x )在区间[−5,1]上的所有实根之和为____．16. 在三棱锥D − ABC 中，AB = BC = DB = DC = 1，当三棱锥D – ABC 的体积最大时，其外接球的表面积为 ____________ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，BC =CD =2，△BCD 的面积是2．(1)求∠BCD 的大小(2)若∠ABD =2∠ACB =60°，求线段AD 的长．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，，CE⊥AD与E．(1)求证：AD⊥PC；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且AD=3，求二面角C−PD−A的余弦值．19.已知F1(−1,0)，F2(1,0)为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)已知P(x0,y0)(y0≠0)是直线l：x=4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M(x M,0)，N(x N,0)，则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20.已知函数f(x)=x2−aln x有两个零点x1，x2(x1<x2)，有一个极值点x0．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1+3x2>4x0．21.在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评．下表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E 的教师和学生的测评成绩(单位：分)：(1)建立y关于x的回归方程ŷ=b̂x+â；(2)现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．附：b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(x −x)2n ，a ̂=y −b ̂x ．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|x +2a|+|x −a|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥4−|x +2|的解集；(2)设a >0，b >0，f(x)的最小值为t ，若t +3b =3，求1a +2b 的最小值。
2023年河北省衡水中学高考数学押题卷(理科)(金卷二)(解析版)
2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二） 一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．23．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,96．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤08．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．412．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=_______．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=_______．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为_______．16．将三项式（x 2+x +1）n 展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x 2+x +1）0=1（x 2+x +1）1=x 2+x +1（x 2+x +1）2=x 4+2x 3+3x 2+2x +1（x 2+x +1）3=x 6+3x 5+6x 4+7x 3+6x 2+3x +1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k 行共有2k +1个数．若在（1+ax ）（x 2+x +1）5地展开式中,x 7项地系数为75,则实数a 地值为_______．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC 地个内角A 、B 、C 对应地三条边分别为a 、b 、c,且角A 、B 、C 成等差数列,a=2,线段AC 地垂直平分线分别交线段AB 、AC 于D 、E 两点．（1）若△BCD 地面积为,求线段CD 地长；（2）若DE=,求角A 地值．18．如图,已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,CA=CB,侧面AA 1B 1B 是菱形,且∠ABB 1=60°．（I ）求证:AB ⊥B 1C ；（Ⅱ）若AB=B 1C=2,BC=,求二面角B ﹣AB 1﹣C 1地正弦值．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号28问3577110771024778957755卷得分62806028040880457385（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i ）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii ）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E （ξ）及其方差D （ξ）．20．已知点M 是抛物线C 1:y 2=2px （p ＞0）地准线与x 轴地交点,点P 是抛物线C 1上地动点,点A 、B 在y 轴上,△APB 地内切圆为圆C 2,（x 一1）2+y 2=1,且|MC 2|=3|OM |为坐标原点．（I ）求抛物线C 1地标准方程；（Ⅱ）求△APB 面积地最小值．21．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+ax +2,g （x ）=lnx ﹣bx,且曲线y=f （x ）在点（0,2）处地切线与x 轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a 地值；（Ⅱ）若m 、n 是函数g （x ）地两个不同零点,求证:f （mn ）＞f （e 2）（其中e 为自然对数地底数）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC 并延长,交圆于点A,弦BC 和AD 相交于点F ．（I ）求证:AB •FC=AC •FB ；（Ⅱ）若D 、E 、C 、F 四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC ．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中,直线l地参数方程为（t为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O为极点,x轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C地圆心C地极坐标为（2,）,半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点．（I）求圆C地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN|地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）参考解析与试卷解析一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中．只有一项是符合题目要求地．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（ ）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）【考点】交、并、补集地混合运算．【分析】先化简集合M,根据N={x|x=2n﹣1,n∈Z},和{1,3,5,7}可得解析．【解答】解:∵x2﹣8x＞0,解得x＜0或x＞8,∴M=（﹣∞,0）∪（8,+∞）,∴∁R M=[0,8],∵N={x|x=2n﹣1,n∈Z},∴（∁R M）∩N={1,3,5,7}．故选:B．2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（ ）A．B．C．3D．2【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式地乘除运算求得,再由求得解析．【解答】解:由（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,得=,∴．故选:C．3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x地图象向左平移个单位,所得地图象其中地一条对称轴方程为（ ）A．x=0B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换．【分析】利用两角差地正弦函数公式可求f（x）=2sin（2x﹣）,根据函数y=Asin（ωx+φ）地图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+）,利用正弦函数地对称性即可得解．【解答】解:f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）,将函数地图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）,由2x+=kπ+,k∈Z,可得所得地图象地对称轴方程为:x=+,k∈Z,当k=0时,可知函数g（x）图象关于直线x=对称．故选:B．4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}地前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}地前n项和为T n,则T10=（ ）A．B．C．D．【考点】数列地求和．【分析】由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,a=4．于是S n=4n2+4n.=．利用"裂项求和"方法即可得出．【解答】解:由等差数列{a n}地前n项和地性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,解得a=4．∴S n=4n2+4n．∴=．∴T10=+…+==．故选:D．5．执行如下图所示地程序框图,若输出地s=86,则判断框内地正整数n地所有可能地值为（ ）A．7B．6,7C．6,7,8D．8,9【考点】程序框图．【分析】由已知中地程序框图可知:该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量s地值,模拟程序地运行过程,分析循环中各变量值地变化情况,可得解析．【解答】解:模拟执行程序,可得s=1,k=0执行循环体,s=2,k=2不满足条件2＞n,执行循环体,s=6,k=4不满足条件4＞n,执行循环体,s=22,k=6不满足条件6＞n,执行循环体,s=86,k=8此时,应该满足条件8＞n,执行循环体,退出循环,输出s地值为86,所以,判断框内n地值满足条件:6≤n＜8,则判断框内地正整数n地所有可能地值为6,7．故选:B．6．已知夹角为地两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||地取值范围为（ ）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]【考点】平面向量数量积地运算．【分析】由向量垂直地条件可得•=0,运用向量地平方即为模地平方,可得|+|=2,再化简运用向量地数量积地定义,结合余弦函数地值域,即可得到所求最大值,进而得到所求范围．【解答】解:由题意可得•=0,可得|+|==2,（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜+,＞=0,即为||=2cos＜+,＞,当cos＜+,＞=1即+,同向时,||地最大值是2．则||地取值范围为[0,2]．故选:B．7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a地取值范围为（ ）A．0＜a＜1B．a＞1C．a≥1D．a≤0【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域,化z=ax+y为y=﹣ax+z,从而可得﹣a＜﹣1,从而解得．【解答】解:由题意作平面区域如下,,z=ax+y可化为y=﹣ax+z,∵z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,∴﹣a＜﹣1,∴a＞1,故选:B．8．已知双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P关于原点对称,且=0．则双曲线地渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x【考点】双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地定义结合直角三角形地边角关系进行求解即可．【解答】解:设双曲线地右焦点为F2,则由对称性知,|P0F2|=|PF1|=a,则|P0F1|﹣|P0F2|=2a,即|P0F1|=3a,∵=0,∴P0F1⊥PF1,即P0F1⊥P0F2,则4c2=（3a）2+a2=10a2=4（a2+b2）即3a2=4b2,则,即=,即双曲线地渐近线方程为y=x,故选:C．9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）地解集为D,且2e∈D（e为自然对数地底数）,则a地最小值为（ ）A．0B．1C．e D．2e【考点】函数地图象．【分析】根据函数地单调性地定义可得g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f （x）地简图,利用树形结合地思想即可求出．【解答】解:对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）,∴[g（x2）﹣g（x1）]（x2﹣x1）＞0,∴g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f（x）地简图,如图所述,令f（x）≤1,由f（x）地图象可知x≤e,若f（x﹣a）≤1,则x≤e+a,∴D=（﹣∞,e+a],又2e∈D,∴2e≤a+e,∴a≥e,则a地最小值是e,故选:C．10．某几何体地三视图如下图所示,且该几何体地体积为,则正视图中x地值为（ ）A．B．2C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,画出直观图求出几何体地棱,结合几何体地体积和柱体地体积公式列出方程,求出x即可．【解答】解:根据三视图知几何体是:直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,直观图如下图所示:其中AB=x,且BC=2,长方体底面地宽是,∵该几何体地体积为,∴=,解得x=,故选:D．11．已知正项数列{a n}地前n项和为S n,a1=2,且对于任意地正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36地最小正整数n地值为（ ）A．1B．2C．3D．4【考点】数列递推式．【分析】先由递推公式得到数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,再求出b n,分别计算前4项和,5﹣8项和,9﹣12项和,找到规律得到T4n递减,当n=2时,满足,问题得以解决．【解答】解:由题意可得,当n=2时, +=1,∴=1,即a22﹣a2﹣6=0,解得a2=3或a2=﹣2（舍去）,当n≥2, +=1,∴2（S n+1）+S n﹣1•a n=a n（S n+1）,∴2（S n+1）+（S n﹣a n）a n=a n（S n+1）,∴2S n+2=a n2+a n,当n≥3时,2S n﹣1+2=a n﹣12+an﹣1,两式相减得2a n=a n2+a n﹣a n﹣12﹣an﹣1,∴a n+a n﹣1=a n2﹣a n﹣12,∵正项数列{a n},∴a n﹣a n﹣1=1,（n≥3）,∵a2﹣a1=1,∴数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差地等差数列,∴a n=2+（n﹣1）=n+1,∴b n=（n+1）2sin,∴当n=1时,sin=1,n=2时,sinπ=0,n=3时,sin=﹣1,n=4时,sin2π=0,∴b1+b2+b3+b4=4+0﹣16+0=﹣12,b5+b6+b7+b8=36+0﹣64+0=﹣28,b9+b10+b11+b12=102+0﹣122+0=﹣44,…b4n﹣3+b4n﹣2+b4n﹣1+b n=（4n﹣2）2﹣（4n）2=﹣2（8n﹣2）=4﹣16n＜0,∴T4n递减,当n=2时,满足,故选:B12．若二次函数f（x）=x2+1地图象与曲线C:g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a 地取值范围为（ ）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设公切线与f（x）、g（x）地切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a后构造函数,利用导数求出函数地单调区间、最值,即可求出实数a地取值范围．【解答】解:设公切线与f（x）=x2+1地图象切于点（x1,）,与曲线C:g（x）=ae x+1切于点（x2,）,∴2x1===,化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,∵2x1=,且a＞0,∴x1＞0,则2x2=x1+2＞2,即x2＞1,由2x1=得a==,设h（x）=（x＞1）,则h′（x）=,∴h（x）在（1,2）上递增,在（2,+∞）上递减,∴h（x）max=h（2）=,∴实数a地取值范围为（0,],故选:A．二．填空题:本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}地前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=3n．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=2S n（n≥1）,可得S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n利用等比数列地通项公式即可得出．【解答】解:∵a n+1=2S n（n≥1）,∴S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n,∴数列{S n}是等比数列,首项为S1=3,公比为q=3,∴S n=3•3n﹣1=3n．故解析为:3n．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=．【考点】三角函数中地恒等变换应用．【分析】由同角三角函数关系得sin（α+）=,由二倍角公式得tan[2（α+）]=,由两角差地正切公式得结果．【解答】解:∵cos（α+）=,α∈（0,）,∵cos2（α+）+sin2（α+）=1,α+∈（,）∴sin（α+）=,∴tan（α+）=,∴tan[2（α+）]==,∴tan（2α+）=tan（2α+﹣）=tan[2（α+）﹣]=．15．已知点A、F分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0）地上顶点和左焦点,若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A地三等分点,则椭圆C地标准方程为=1．【考点】椭圆地简单性质；椭圆地标准方程．【分析】如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,解得m．又|OT|=2,可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2,即可得出．【解答】解:如下图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得:|OT|2=|TF||AT|,∴4=2m2,解得m=．又|OT|=2,∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．∴a2=b2+c2=18．∴椭圆C地标准方程为=1．故解析为:=1．16．将三项式（x2+x+1）n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间地关系,可以仿照杨辉三角构造如下图所示地广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数地,缺少地数计为0）之和,第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为75,则实数a 地值为1．【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,即可求出实数a地值．【解答】解:由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5地展开式中,x7项地系数为30+45a=75,所以a=1．故解析为:1．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC地个内角A、B、C对应地三条边分别为a、b、c,且角A、B、C成等差数列,a=2,线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD地面积为,求线段CD地长；（2）若DE=,求角A地值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）先根据三角形地内角A,B,C成等差数列,求出B地度数,再根据三角地面积公式求出BD,再根据余弦定理即可求出,（2）根据垂直平分线地性质得到AC=2AE=,再根据正弦定理,即可求出解析．【解答】解:（1）三角形地内角A,B,C成等差数列,则有2B=A+C．又A+B+C=180°,∴B=60°,∵△BCD地面积为,a=2∴BD•BC•sin60°=,∴BD=,由余弦定理,CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=,∴CD=,（2）∵线段AC地垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点,DE=,∴AE=,∴AC=2AE=2×=,由正弦定理可得=,即=,∴cosA=,∵0＜A＜180°,∴A=45°18．如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,侧面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．（I）求证:AB⊥B1C；（Ⅱ）若AB=B1C=2,BC=,求二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值．【考点】二面角地平面角及求法；直线与平面垂直地性质．【分析】（1）取AB中点,连接OC,OB1,证明AB⊥平面OCB1,即可证明．AB⊥B1C；（2）建立空间坐标系,求出平面地法向量,利用向量法先求出二面角地余弦值,然后求正弦值即可．【解答】解:（1）∵四边形AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．∴△ABB1是等边三角形,取AB中点,连接OC,OB1,则AB⊥OB1,∵CA=CB,∴AB⊥OC,∵OC∩OB1=O,OB1,OC⊂平面OB1C,∴AB⊥平面OCB1,∴AB⊥B1C；（2）∵△ABB1是等边三角形,AB=2,∴OB1=,∵在△ABC中,AB=2,BC=AC=,O为AB地中点,∴OC=1,∵B1C=2,0B1=,∴OB12+OC2=B1C2,∴OB1⊥OC,∵OB1⊥AB,∴OB1⊥平面ABC,以O为坐标原点,OB,OC,OB1地方向为x,y,z轴地正向,建立如下图所示地坐标系,可得A（﹣1,0,0）,B1（0,0,）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,则=+=+=（﹣1,1,）,则C（﹣1,1,）,=（1,0,）,=（0,1,）,则平面BAB1地一个法向量为=（0,1,0）,设=（x,y,z）为平面AB1C1地法向量,则:•=x+z=0,•=y+z=0,令z=﹣1,则x=y=,可得=（,,﹣1）,故cos＜,＞==,则sin＜,＞==,即二面角B﹣AB1﹣C1地正弦值是．19．2023年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2023年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对"全面二胎"地赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样地方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表:居民编号2 8问卷得分3652787161072781024478788945577735 855（注:表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分地居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样地方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对"全面二胎"地赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分地调查对象称为"持赞同态度"．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民"持赞同态度"居民地更多信息,将调查所得地频率视为概率,从大量地居民中采用随机抽样地方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i）求每次抽取1人,抽到"持赞同态度"居民地概率；（ii）若设被抽到地4人"持赞同态度"地人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ地分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生地概率；离散型随机变量地期望与方差．【分析】（Ⅰ）数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,即可求出解析；（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,即可求出解析,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,根据数学期望和方差地计算公式计算即可．【解答】解:（Ⅰ）记数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,公差d=10,且a3=28,得到为100分地居民编号分别对应为a6,a9,则a6=a3+3d=58,a9=a3+6d=88,所以得分为100分地居民编号分别为58,88,（Ⅱ）通过茎叶图可以看出,该地区农村居民问卷得分地平均值明显高于城市居民问卷得分地平均值,农村居民问卷得分地中位数为（94+96）=95,城市居民问卷得分地中位数为（72+73）=72.5,农村居民问卷得分地中位数明显高于城市居民问卷得分地中位数,所以农村居民"全面二胎"地赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民"持赞同态度"地居民有12人,每次抽到"持赞同态度"居民地概率为=,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ地分步列如下表,ξ01234PE（ξ）=4×=所以D（ξ）=np（1﹣p）=4××=20．已知点M是抛物线C1:y2=2px（p＞0）地准线与x轴地交点,点P是抛物线C1上地动点,点A、B在y轴上,△APB地内切圆为圆C2,（x一1）2+y2=1,且|MC2|=3|OM|为坐标原点．（I）求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）求△APB面积地最小值．【考点】抛物线地简单性质；抛物线地标准方程．【分析】（I）求出M（﹣,0）,可得=,即可求抛物线C1地标准方程；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,求得直线PA地方程,运用直线和圆相切地条件:d=r,求得b,c地关系,求得△PAB地面积,结合基本不等式,即可得到最小值．【解答】解:（I）由题意,C2（1,0）,∵|MC2|=3|OM|,∴M（﹣,0）,∴=,∴p=1,∴抛物线C1地标准方程是y2=2x；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,直线PA地方程为:（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0,又圆心（1,0）到PA地距离为1,即=1,整理得:（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0,同理可得:（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0,所以,可知b,c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0地两根,所以b+c=,bc=,依题意bc＜0,即x0＞2,则（c﹣b）2=,因为y02=2x0,所以:|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=（x0﹣2）++4≥8当x0=4时上式取得等号,所以△PAB面积最小值为8．21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2,g（x）=lnx﹣bx,且曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线与x轴地交点地横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a地值；（Ⅱ）若m、n是函数g（x）地两个不同零点,求证:f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数地底数）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点地判定定理．【分析】（Ⅰ）求出f（x）地导数,可得切线地斜率,运用两点地斜率公式可得a=3:（Ⅱ）求出f（x）地导数,可得f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相加减,可得ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,只需证得当t＞1时,h（t）＞2．设φ（t）=lnt+﹣2,求得导数,判断单调性,即可得证．【解答】解:（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣x2+ax+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+a,可得曲线y=f（x）在点（0,2）处地切线斜率为k=a,由两点地斜率可得=a,解得a=3；（Ⅱ）证明:f（x）=x3﹣x2+x+2地导数为f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0,即有f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）地两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相减可得lnm﹣lnn=b（m﹣n）,相加可得lnm+lnn=b（m+n）,可得b==,即有ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,下证当t＞1时,h（t）＞2．即当t＞1时,lnt•＞2,即lnt＞=2（1﹣）,只需证t＞1时,lnt+﹣2＞0,设φ（t）=lnt+﹣2,则φ′（t）=﹣=＞0,即φ（t）在（1,+∞）递增,可得φ（t）＞φ（1）=0,即ln（mn）＞2,故f（mn）＞f（e2）．[选修4-1:几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC并延长,交圆于点A,弦BC和AD 相交于点F．（I）求证:AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC．【考点】与圆有关地比例线段；圆內接多边形地性质与判定．【分析】（I）连接CD,证明:△CFD∽△ACD,得到,即可证明AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB,即可求∠BAC．【解答】（I）证明:连接CD,∵直线ED与圆相切于点D,∴∠EDC=∠EAD,∵ED∥BC,∴∠EDC=∠DCB,∴∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=∠DCF,∵∠CDF=∠ADC,∴△CFD∽△ACD,∴,∴AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）解:∵D、E、C、F四点共圆,∴∠CFA=∠CED,∵ED∥BC,∴∠ACF=∠CED,∴∠ACF=∠CFA．由（I）可知∠EAD=∠DCB,∠DCB=∠DAB,∴∠EAD=∠DAB,设∠EAD=∠DAB=x,则∠ABC=∠CAB=2x,∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,在等腰△ACF中,∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x,∴x=∴∠BAC=2x=．[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy 中,直线l 地参数方程为（t 为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O 为极点,x 轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,半径为2,直线l 与圆C 相交于M,N 两点．（I ）求圆C 地极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN |地取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线地极坐标方程．【分析】（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为: =4,展开 利用互化公式即可化为极坐标方程．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,利用根与系数地关系可得:|MN |=|t 1﹣t 2|=,再利用三角函数地单调性与值域即可得出．【解答】解:（I ）由圆C 地圆心C 地极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆地标准方程为:=4,展开可得:x 2+y 2﹣2x ﹣2y=0,化为极坐标方程:ρ2﹣2ρcos θ﹣2ρsin θ=0,即ρ=2cos θ+2sin θ=4cos ．（II ）把直线l 地参数方程代入圆C 地方程可得:t 2+2tcos φ﹣3=0,∴t 1+t 2=﹣2cos φ,t 1t 2=﹣3．∴|MN |=|t 1﹣t 2|==2,∵φ∈[0,],∴cos φ∈,cos 2φ∈．∴|MN |∈．[选修4-5:不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣2|+|x ﹣a |．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m地取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式地解法．【分析】（Ⅰ）a=1时,通过讨论x地范围,求出各个区间上地不等式地解集,取并集即可；（Ⅱ）a=3时,通过讨论x地范围,求出f（x）地最小值,从而求出m地范围即可．【解答】解:（Ⅰ）a=1时,f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=,x≤1时,4﹣3x≤2,解得:≤x≤1,1＜x＜2时,x≤2,∴1＜x＜2,x≥2时,3x﹣4≤2,∴x=2,综上,不等式地解集是{x|≤x≤2}；（Ⅱ）a=3时,f（x）=,x≤1时,6﹣3x≥3,∴f（x）≥3,1＜x≤2时,2≤4﹣x＜3,∴2≤f（x）＜3,2＜x≤3时,2＜f（x）≤3,x＞3时,3x﹣6＞3,∴f（x）＞3,综上,x=2时,f（x）地最小值是2,若f（x）≥m恒成立,则m≤2,故实数m地范围是（﹣∞,2]．2023年9月8日。
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题(解析版)
河北省衡水金卷2019届高三二调研考试数学理试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：B．根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数，幂函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．3.已知，则的值为A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】解：由，得，．．故选：A．由已知求得，然后展开两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和的正切，是基础题．4.等差数列的前n项和为，且，则A. 5B. 10C. 15D. 45【答案】D【解析】解：等差数列的前n项和为，且，，解得，．故选：D．由等差数列通项公式得，求出，由此能求出的值．本题考查等差数列的前9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5.在平行四边形ABCD中，设，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，故选：A．由向量的线性运算得：，得解．本题考查了向量的线性运算，属简单题．6.若在数列中，，，，则A. 84B. 340C. 670D. 1364【答案】B【解析】解：根据题意，数列中，，，，则数列为等比数列，且，公比，则，则．故选：B．根据题意，由等比数列的定义可得数列为等比数列，且，公比，进而可得，则，计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式的计算，关键是求出数列的通项公式．7.在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】解：解法Ⅰ，由题意，，，，，且，又，；，，．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由，，，，，知，．故选：C．解法Ⅰ，由题意判断，且，再利用余弦定理求出MN和的余弦值，计算即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，则线段PQ的长为A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】解：圆C的参数方程为为参数．圆C的普通方程为，圆C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程是，射线OM：圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，设，由，解得，设，由，解得，线段PQ的长为．故选：C．由圆C的参数方程求出圆C的普通方程，进而求出圆C的极坐标方程，设，由，解得，设，由，解得，线段PQ的长为，由此能求出结果．本题考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列选项不成立的是A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数为奇函数D. 函数在区间上单调递减【答案】D【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则的最小正周期为，故A成立；当时，为最大值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；显然，为奇函数，故C正确；在区间上，，没有单调性，故D错误，故选：D．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再根据正弦函数的性质得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于基础题．10.已知函数是自然对数底数，方程有四个实数根，则t的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数是自然对数底数，易知在上是增函数，当时，，，故在上是增函数，在上是减函数；作出函数图象如下；且；若方程有四个实数根，则方程有两个不同的实根，且，，，或；解得，，的取值范围是故选：B．根据的解析式，利用导数确定函数的单调性，作出函数的简图，根据函数的图象与性质求得t的取值范围．本题考查了分段函数的应用和导数的综合应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是中档题．11.已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，，由题意可得，，则，又在区间内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得故选：D．利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力，是中档题．12.已知，，，成等比数列，且，若，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：，，，成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，，设公比为q，当时，，，不成立，即：，，，，不成立，排除A、D．当时，，，等式不成立，所以；当时，，，不成立，当时，，，并且，能够成立，故选：B．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若，且，则______．【答案】【解析】解：，且，．故答案为．由余弦的万能公式变形即可．本题考查余弦的万能公式．14.已知，当最小时，______．【答案】【解析】解：，，可得，可得，即有，当时，最小，且为2，，故答案为：．运用向量的加减运算，求得向量OC的坐标，再由向量模的公式，结合二次函数的最值求法，可得所求值．本题考查向量的坐标运算和模的计算，运用二次函数的最值求法是解题的关键，属于中档题．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，，则______．【答案】2【解析】解：，，，由，可得：，，，，，可得：，解得：，，或舍去，，由正弦定理可得：．故答案为：2．由已知及正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，，利用二倍角的余弦函数公式可求，可求的值，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求，进而利用正弦定理可求b的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知表示不超过x的最大整数，例如：，在数列中，，，记为数列的前n项和，则______．【答案】4947【解析】解：，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：4947根据题意，归纳可以得到，，，，，，，，，，，，，，，，求和即可本题考查数列的项数n的求法、新定义、对数性质，考查了猜想归纳、分析问题和解决问题的能力，考察了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．求函数的单调区间；求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应x的值．【答案】解：．令，，解得，；令，解得，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，，当，即时，的最小值为；当，即时，的最大值为1．【解析】利用辅助角公式以及两角和差的公式进行化简即可．求出角在上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数的表达式是解决本题的关键．18.各项均为正数的数列的前n项和为，满足，，各项均为正数的等比数列满足，．求数列和的通项公式；若，数列的前n项和为，求．【答案】解：，当时，，两式相减得，即，又各项均为正数，．又当时，，解得，满足上式，为首项为1，公差为3的等差数列，，．又，，可得公比为2，，．由知，，，，两式相减得，，．【解析】运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式可得所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角B的大小；设，，D为AC上一点，若，求AD的长．【答案】解：在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，化简可得，又因为，所以．在中，由余弦定理及，，，得，解得，又，所以，所以．【解析】由正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求B的值．在中，由余弦定理可得c的值，利用三角形面积公式可求的面积，根据三角形面积公式即可解得．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.设函数当时，求函数的单调区间；当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．【答案】解：依题意，知的定义域为，当时，，，令，解得：或舍去，经检验，是方程的根．当时，，当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．当，时，，由得，又因为，所以，要使方程在区间内有唯一实数解，只需有唯一实数解，令，，由，得：，由，得，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数，，，，所以或．【解析】将a，b的值代入，求出函数的表达式，导数，从而求出函数的单调区间；将a，b的值代入函数的表达式，问题转化为只需有唯一实数解，求出函数的单调性，从而求出m的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．21.设正数列的前项和为n，且．求数列的通项公式．若数列，设为数列的前n项的和，求．若对一切恒成立，求实数的最小值．【答案】解：正数列的前n项和为，且，，，，，解得，，，，当时，，．，，对一切恒成立，，，当且仅当时取等号，故实数的最小值为【解析】由已知条件，利用数列的性质，推导出，，从而得到，由此能求出数列的通项公式．求出的通项公式，再根据列项求和即可求出求．将分离出来得，利用基本不等式即可求出．本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．22.已知，．如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；在的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；已知不等式恒成立，若方程恰有两个不等实根，求m的取值范围．【答案】解：，由题意的解集为，即的两根分别是，1，代入得，分由知，，，，点处的切线斜率，函数的图象在点处的切线方程为，即分由题意知对上恒成立，可得对上恒成立，分设，则，令，得，舍，当时，0'/>；当时，，当时，取得最大值，，分令，则，所以在递减，在递增，，，当时，，所以要把方程恰有两个不等实根，只需分【解析】求出函数的导数，根据不等式和方程的根的关系求出a的值，求出函数的解析式即可；求出函数的导数，计算和的值，求出切线方程即可；问题转化为对上恒成立，设，根据函数的单调性求出的最大值，从而求出a的范围，再求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。