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计量经济学【一元线性回归模型——回归分析概述】
四、随机误差项的涵义
随机误差项是在模型设定中省略下来而又集体的
影响着被解释变量 Y 的全部变量的替代物。涵义如
下： 1、在解释变量中被忽略的因素的影响； 2、变量观测值观测误差的影响； 3、模型关系的设定误差的影响； 4、其它随机因素的影响。 设定随机误差项的主要原因： 1、理论的含糊性； 2、数据的欠缺； 3、节省的原则。
➢ 例如：
二、总体回归函数（方程）PRF Population regression function
由于变量间统计相关关系的随机性(非确定性)，回归 分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解 释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与 之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均 值。
样本回归函数的随机形式：
其中 为(样本)残差(Residual)，可看成是随机误差项 的 的具体估计值。由于引入随机项，称为样本回归 模型。
总体回归线与样本回归线的基本关系
例2.1：一个假想的社区是由60户家庭组成的总体，要
研究该社区每月家庭消费支出Y 与每月家庭可支配收入 X 的关系；即知道了家庭的每月收入，预测该社区家庭
每月消费支出的 (总体) 平均水平。为达到此目的，将该 60户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收 入组的家庭消费支出。
表2.1 某社区家庭每月收入与消费支出调查统计表
回归分析是研究因果相关，也就是有因果关系的相关关 系；既然回归分析是研究变量之间的因果关系，因此回归 分析对变量的处理方法存在不对称性，也就是说，回归分 析将变量区分为被解释变量和解释变量，其中被解释变量 是“结果”，解释变量是“原因”，并且回归分析方法认为作 为“原因”的解释变量属于非随机变量，作为“结果”的被解 释变量为随机变量；也就是说，作为“原因”的解释变量取 确定值时，作为“结果”的被解释变量取值是随机的。
第二章2.2一元线性回归分析
ˆ β1 ~ N ( β1 ,
∑x
σ2
2 i
)
ˆ β 0 ~ N (β 0 ,
∑ n∑ x
X i2
2 i
σ 2)
22
随机误差项u的方差σ 随机误差项 的方差σ2的估计 的方差
σ2又称为总体方差 总体方差。 总体方差
23
由于随机项ui不可观测，只能利用残差ei (ui的 估计)的样本方差，来估计ui的总体方差σ2 。 样本方差？ 样本方差？ 可以证明，σ2的最小二乘估计量 最小二乘估计量为: 可以证明 最小二乘估计量
= β1 + P lim(∑ xi µ i / n) P lim(∑ xi2 / n)
xi µ i
2 i
∑x
)
样本协方差？ 样本协方差？
Cov ( X , µ ) 0 = β1 + = β1 + = β1 Q Q
21
四、参数估计量的抽样分布及随机项方 差的估计
ˆ ˆ 、 1、参数估计量 β 0 和 β 1 的概率分布
Yi = β0 + β1 X i + ui
i=1
Y为被解释变量，X为解释变量，β0与β1为待估 待估 参数， 随机项。 参数 u为随机项。 随机项
2
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数 回归分析的主要目的 （模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数 （模型）PRF。 估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最 普通最 估计方法 小二乘法（ordinary least squares, OLS）。 小二乘法 为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模 型提出若干基本假设。 实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
2
1 X2 = + n ∑ x2 i
第9章 一元线性回归分析
9.1.2相关关系的类型
从涉及的变量数量看
简单相关 多重相关（复相关）
从变量相关关系的表现形式看
线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2
11
10.8 10.6 10.4 10.2 10
若在定距变量分布不满足正态性的条件，可将定距变 量降级为定序变量
如要研究考试中学生交卷的名次是否与成绩有关，
交卷名次与考试名次之间的关系
交卷名 次
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
考试成 绩
94 74 74 60 68 86 92 60 78 74
78
64
参阅《统计学在经济和管理中的应用》
2 i i 2 i i
__
^
__
^
2
总离差平方和
回归平方和
残差平方和
判定系数定义：
r
2
(Y Y ) (Y Y )
i i
^
2 2
判定系数的特点
判定系数是非负的统计量； 判定系数取值范围： 0 r 2 在一元线性回归中，判定系数在数值上是
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与其他 x 值所对应的ε不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关
回归方程
描述因变量y的期望值如何依赖于自变量x的方程称为回归方程。
E( y) b0 b1 x
估计的回归方程
(estimated regression equation)
用spss软件进行一元线性回归分析
由散点图发现，降水量与纬度之间线性相关
step2：做散点图
给散点图添加趋势线的方法： • 双击输出结果中的散点图 • 在“图表编辑器”的菜单中依次点击“元素”—“总计拟合线”，由此“属性”中加载了 “拟合线” • 拟合方法选择“线性”，置信区间可以选95%个体，应用
step3：线性回归分析
从菜单上依次点选：分析—回归—线性 设置：因变量为“年降水量”，自变量为“纬度” “方法”：选择默认的“进入”，即自变量一次全部进入的方法。 “统计量”：
step4：线性回归结果
【Anova】 （analysisofvariance方差分析） • 此表是所用模型的检验结果，一个标准的方差分析表。 • Sig.（significant ）值是回归关系的显著性系数，sig.是F值的实际显著性概率即P值。 当sig. <= 0.05的时候，说明回归关系具有统计学意义。如果sig. > 0.05，说明二者 之间用当前模型进行回归没有统计学意义，应该换一个模型来进行回归。 • 由表可见所用的回归模型F统计量值=226.725 ，P值为0.000，因此我们用的这个回 归模型是有统计学意义的，可以继续看下面系数分别检验的结果。 • 由于这里我们所用的回归模型只有一个自变量，因此模型的检验就等价与系数的检验， 在多元回归中这两者是不同的。
• 勾选“模型拟合度”，在结果中会输出“模型汇总”表 • 勾选“估计”，则会输出“系数”表 “绘制”：在这一项设置中也可以做散点图 “保存”： • 注意：在保存中被选中的项目，都将在数据编辑窗口显示。 • 在本例中我们勾选95%的置信区间单值，未标准化残差 “选项”：只需要在选择方法为逐步回归后，才需要打开
利用spss进行一元线性回归
step1：建立数据文件 打开spss的数据编辑器，编辑变量视图
step2：做散点图
给散点图添加趋势线的方法： • 双击输出结果中的散点图 • 在“图表编辑器”的菜单中依次点击“元素”—“总计拟合线”，由此“属性”中加载了 “拟合线” • 拟合方法选择“线性”，置信区间可以选95%个体，应用
step3：线性回归分析
从菜单上依次点选：分析—回归—线性 设置：因变量为“年降水量”，自变量为“纬度” “方法”：选择默认的“进入”，即自变量一次全部进入的方法。 “统计量”：
step4：线性回归结果
【Anova】 （analysisofvariance方差分析） • 此表是所用模型的检验结果，一个标准的方差分析表。 • Sig.（significant ）值是回归关系的显著性系数，sig.是F值的实际显著性概率即P值。 当sig. <= 0.05的时候，说明回归关系具有统计学意义。如果sig. > 0.05，说明二者 之间用当前模型进行回归没有统计学意义，应该换一个模型来进行回归。 • 由表可见所用的回归模型F统计量值=226.725 ，P值为0.000，因此我们用的这个回 归模型是有统计学意义的，可以继续看下面系数分别检验的结果。 • 由于这里我们所用的回归模型只有一个自变量，因此模型的检验就等价与系数的检验， 在多元回归中这两者是不同的。
• 勾选“模型拟合度”，在结果中会输出“模型汇总”表 • 勾选“估计”，则会输出“系数”表 “绘制”：在这一项设置中也可以做散点图 “保存”： • 注意：在保存中被选中的项目，都将在数据编辑窗口显示。 • 在本例中我们勾选95%的置信区间单值，未标准化残差 “选项”：只需要在选择方法为逐步回归后，才需要打开
利用spss进行一元线性回归
step1：建立数据文件 打开spss的数据编辑器，编辑变量视图
(09)第9章 一元线性回归(2011年)
变量之间是否存在关系？ 如果存在，它们之间是什么样的关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体 变量之间的关系？
9-9 *
9.1 变量间的关系 9.1.1 变量间是什么样的关系？
统计学 STATIS TICS
函数关系
(第四版) 1. 是一一对应的确定关系 2. 设有两个变量 x 和 y ，变量 y y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 取某 个数值时， y 依确定的关系 取相应的值，则称 y 是 x 的 函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 x 3. 各观测点落在一条线上
y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素 对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数
9 - 30 *
统 计 学 数据分析 (方法与案例)
作者 贾俊平
统计学 STATIS TICS
(第四版)
统计名言
不要过于教条地对待研究的结果， 尤其当数据的质量受到怀疑时。
——Damodar N.Gujarati
9-2 *
第 9 章 一元线性回归
9.1 9.2 9.3 9.4 变量间关系的度量 一元线性回归的估计和检验 利用回归方程进行预测 用残差检验模型的假定
9-7
*
第 9 章 一元线性回归
9.1 变量间的关系
9.1.1 变量间是什么样的关系？ 9.1.2 用散点图描述相关关系 9.1.3 用相关系数度量关系强度
第15讲 一元线性回归分析
n
i 1
2
2 2 ˆ ˆ 2b yi y xi x b xi x i 1 i 1
i 1
n
i 1
n
ˆS /S ˆ b ˆ2 S S bS ˆ . b S yy 2bS xy xx xy xx yy xy
例2 求例1中误差方差的无偏估计。
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
即要检验假设 H0 : b 0, H1 : b 0, 若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
将每对观察值( xi , yi )在直角坐标系中描出它相应的点 （称为散点图），可以粗略看出 ( x)的形式。
基本思想
(x, Y)
回归分析 回归方程
采集样本信息 ( xi, yi )
散点图
回归方程参数估计、显著性检验
对现实进行预测与控制
一元回归分析:只有一个自变量的回归分析 多元回归分析:多于一个自变量的回归分析
x1 x2 x3
xi
xn
整理得 na ( xi )b yi ,
( xi )a ( xi )b xi yi .——正规方程组
2 i 1 i 1 i 1
n
i 1
n
i 1
n
na ( xi )b yi ,
i 1 i 1
n
n
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
教案13相关分析与回归分析一元线性回归分析
1、研究范围：全国各省市2002年城市居民家庭平均每人每年消费截面数据。
2、理论分析：影响各地区城市居民人均消费支出的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入。从理论上说可支配收入越高，居民消费越多，但边际消费倾向大于0，小于1。
3、建立模型：
参数估计：
4、模型检验：
（1）经济意义检验：估计的解释变量的系数为0.7585，说明城镇居民人均可支配收入每增加1元，人均年消费支出平均将增加0.7585元。这符合经济理论对边际消费倾向的界定。
教学内容
第六章相关分析与回归分析
一元线性回归分析
课次/学时
13/2
教学目的要求
掌握回归分析法的思路和流程；
掌握一元线性回归模型；
教学重点
利用一元线性回归模型进行变量间因果关系分析
教学难点
一元线性回归模型在实际生活中的应用
教学内容、设计与时间安排：
A.课程导入：（5分钟）
提问：总体回归方程和总体回归模型有何区别？
思考题与作业
1、经济意义检验
主要检验参数估计量的符号和大小是否与经济理论与经济实际相符合，能否解释经济现象，即是否有经济意义。
2、变量的显著性检验
3、拟合优度检验
五、经济预测（20分钟）
1、点预测
2、区间预测
C.案例分析：（15分钟）
改革开放以来，随着中国经济的快速发展，居民的消费水平也不断增长。但全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。为了分析什么是影响各地区居民消费支出的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
答案：总体回归方程描述的是解释变量和被解释变量平均之间确定的函数关系，给出解释变量的值可以得到被解释变量均值；总体回归模型是总体回归函数的随机形式，分为确定性和随机性两部分。
2、理论分析：影响各地区城市居民人均消费支出的因素有多种，但从理论和经验分析，最主要的影响因素应是居民收入。从理论上说可支配收入越高，居民消费越多，但边际消费倾向大于0，小于1。
3、建立模型：
参数估计：
4、模型检验：
（1）经济意义检验：估计的解释变量的系数为0.7585，说明城镇居民人均可支配收入每增加1元，人均年消费支出平均将增加0.7585元。这符合经济理论对边际消费倾向的界定。
教学内容
第六章相关分析与回归分析
一元线性回归分析
课次/学时
13/2
教学目的要求
掌握回归分析法的思路和流程；
掌握一元线性回归模型；
教学重点
利用一元线性回归模型进行变量间因果关系分析
教学难点
一元线性回归模型在实际生活中的应用
教学内容、设计与时间安排：
A.课程导入：（5分钟）
提问：总体回归方程和总体回归模型有何区别？
思考题与作业
1、经济意义检验
主要检验参数估计量的符号和大小是否与经济理论与经济实际相符合，能否解释经济现象，即是否有经济意义。
2、变量的显著性检验
3、拟合优度检验
五、经济预测（20分钟）
1、点预测
2、区间预测
C.案例分析：（15分钟）
改革开放以来，随着中国经济的快速发展，居民的消费水平也不断增长。但全国各地区经济发展速度不同，居民消费水平也有明显差异。为了分析什么是影响各地区居民消费支出的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。
答案：总体回归方程描述的是解释变量和被解释变量平均之间确定的函数关系，给出解释变量的值可以得到被解释变量均值；总体回归模型是总体回归函数的随机形式，分为确定性和随机性两部分。
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回归分析是研究变量之间相关关系的统计学方法，它描述的是变量间不完 全确定的关系。回归分析通过建立模型来研究变量间的这种关系，既可以用于 分析和解释变量间的关系，又可用于预测和控制，进而广泛应用于自然科学、 工程技术、经济管理等领域。本文尝试用一元线性回归分析方法为微生物生长 与温度之间的关系建模，并对之后几年的情况进行分析和预测。
值，若 F> Fα(1，n-2)时，拒绝 H0，表明回归效果显著；若 F≤Fα(1，n-2)，接
受 H0，此时回归效果不显著。
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2 一元回归分析法的应用
2.1 分析实例 某微生物的生长天数与当年三月上旬平均气温的数据如表 1 所示，分析三
月上旬平均温度与微生物生长之间的关系。
常假定 E(εi)=0，Var(εi)=σ2 各 εi 相互独立且服从正态分布。回归分析就是根据样
本观察值寻求 0, 1的估计 ˆ0 , ˆ1 ，对于给定 x 值, 取 Yˆ ˆ0 ˆ1x ，作为
E(Y ) 0 1x 的估计，利用最小二乘法得到 0, 1的估计 ˆ0 , ˆ1 ，其中
ˆ
0
ˆ1
一元线性回归分析论 文
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一元线性回归分析的应用
——以微生物生长与温度关系为例
摘要：一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的 预测方法。应用最小二乘法确定直线，进而运用直线进行预测。本文运用一元 线性回归分析的方法，构建模型并求出模型参数，对分析结果的显著性进行了 假设检验，从而了微生物生长与温度间的关系。 关键词：一元线性回归分析；最小二乘法；假设检验；微生物；温度
Lxx Lyy
全线性相关，| r |=0 时表示不存在线性相关；0< | r |≤0.3 为微弱相关，0.3< | r
|≤0.5 时为低度相关，0.5< | r |≤0.8 为显著相关，0.8<
从总体中随机抽取一个样本，根据样本的数据导出的线性回归方程由于受
Model 1
R 计算=1 0.771
表 2 全回归模式
R Square
Adjusted R Square
Std,Error of the Estimate
0.595
0.544
1.167
表 2 中 R 为相关系数，R Square 为相关系数的平方，即判定系数用来判定 线性回归的拟合程度，用自变量解释因变量的变异程度（所占比例）； Adjusted R Square 为调整后的判定系数，Std,Error of the Estimate 为估计标准误 差。
n
def
( yi y)2 称为关于 Y 的离差平方和，LLxxxy=
n
S( x总i
n
x)2
(yi
n
yx)i 2
2
nx
i 1
i 1
i 1 i 1
称为关于 X 与 Y 的离差积和。
相关系数r=
n
(xi x)(Yi Y )
i1
n
n
(xi x)2 (Yi Y )2
i1
i1
Lxy ，0≤ | r |≤1。| r |=1 时表示完
表 1 三月上旬温度与微生物生长天数的情况表
年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 温度℃ 8.6 8.3 9.7 8.5 7.5 8.4 7.3 9.7 5.4 5.5
天数 3
5
3
1
4
4
5
2
7
5
2.2 分析结果
将数据输入 SPSS 中进行运算，选择线性回归分析。分析结果如表 2 所 示。自变量是“温度”，因变量是“微生物生长天数”。
y xˆ1
n
xi yi
i1
n xy
n
xi2
2
nx
i1
。
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1.2 相关系数
def
上述回归方程存在一些计算相关系数。设 LLxXxX=
n
n
(xi x)2 ，称x为i2 关 n于x2 X 的
i 1
i 1
离差平方和；LS总yy=
到抽样误差的影响，所确定的变量之间的线性关系是否显著，以及按照这个模
型用给定的自变量 X 估计因变量 Y 是否有效，必须通过显著性检验才可以作出
结论，通常所用的检验方法是 F 检验。
线性回归模型 Y 0 1x ， ~ N(0, 2 ) 可知，当 1 0 时，就认为 Y 与 x
之间不存在线性回归关系，故需检验如下假设： H0 : 1 0, H1 : 1 0 ，
n
n
n
n
S总 ( yi y)2 = ( yi yˆi )2 ( yˆi y)2 为总偏差平方和，令 S回 ( yˆi y)2 ，
i 1
i 1
i 1
i 1
S 剩
n i 1
(yi
yˆi ) 2 。当
H0 为真时，取统计量
F
S回 S剩(n 2)
~
F(1, n 2)
，由给定显著
性水平 α，查表得 Fα(1，n-2)，根据实验数据 (x1, y1),(x2, y2),,(xn, yn ) 计算 F 的
表 4 回归模型系数表
Model Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients
B
Std.Error
Beta
Constant 10.911
2.078
温度
0.889
0.259
0.771
t
Sig
5.250 0.001 3.428 0.009
从上面的分析结果可知，三月份的平均温度与微生物生长天数关系极为密
1 一元线性回归分析法原理
1.1 问题及其数学模型 一元线性回归分析主要应用于两个变量之间线性关系的研究，回归模型模
型为 Y 0 1x ，其中 0, 1为待定系数。实际问题中，通过观测得到 n 组数
据（Xi，Yi）（i=1,2,…,n）,它们满足模型 yi 0 1xi i （i=1,2,…,n）并且通
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Model Sum of Squares
Regression
16.003
Residual
10.897
Total
26.900
表 3 方差分析表
df
Mean Square
F
1
16.003
11.478
8
1.362
9
Sig 0.009
由表 3 可以看出 F 值为 11.748，显著性概率为 0.009，表明回归极显著。