福建省厦门市九年级上学期期中数学试卷
福建省厦门市九年级上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2017·江阴模拟) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017九上·高台期末) 已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1=0有一根为0，则k=（）
A . 1
B . ﹣1
C . ±1
D . 0
3. （2分）与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）若，则x=（）
A . 7
B . -1
C . 7或-1
D . 无法确定
5. （2分） (2019九上·邯郸开学考) 对于抛物线y=− (x+4) +2，下列结论：①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=4;③顶点坐标为(−4,2);④x>4时,y随x的增大而减小,其中正确结论的个数为（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
6. （2分） (2017九上·蒙阴期末) 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a﹣b等于（）
A . 1
B . ﹣1
C . 3
D . ﹣3
7. （2分）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到Rt△DEC,点M 是BC的中点，点P是DE的中点，连接PM，若BC =2,∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）
A . 4
B . 3
C . 2
D . 1
8. （2分）已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（）
A . 7
B . －7
C . 11
D . －11
9. （2分） (2019九上·吉林月考) 点M（－3，y1），N（－2，y2）是抛物线上的两点，则下列大小关系正确的是（）
A . y1＜y2＜3
B . 3＜y1＜y2
C . y2＜y1＜3
D . 3＜y2＜y1
10. （2分）(2018·北部湾模拟) 已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）
A . a＜﹣1
B . a≠0
C . a＜1且a≠0
D . a＜﹣1或a≠0
11. （2分）(2018·潮南模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（）
A .
B . 13π
C . 25π
D . 25
12. （2分）(2016·鄞州模拟) 如图所示的抛物线对称轴是直线x=1，与x轴有两个交点，与y轴交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位后，得到新的抛物线解析式是 y=ax2+bx+c，以下四个结论：
①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c=1，④a﹣b+c＞10中，判断正确的有（）
A . ②③④
B . ①②③
C . ②③
D . ①④
二、填空题： (共6题；共7分)
13. （1分）如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为________
14. （1分） (2019九上·龙山期末) 若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2-1=0的一根是0，则a＝________。
15. （2分） (2016七下·重庆期中) 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点是________，关于原点的对称点是________．
16. （1分）(2019·武汉) 如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD ，∠ADF＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE的大小为________
17. （1分）(2017·兴化模拟) 如图，抛物线y=x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）两点，其中x1＜0＜x2 ，当x=x1+2时，y________0（填“＞”“=”或“＜”号）．
18. （1分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出的以下四个结论，（1）abc=0，（2）a+b+c ＞0，（3）a＞b，（4）a﹣b+c＞0其中正确的是________（填序号）．
三、解答题 (共8题；共69分)
19. （10分） (2017九上·罗湖期末) 解方程：
（1） x2+3x﹣2=0；
（2）（x﹣3）（x+1）=x﹣3．
20. （10分） (2016九上·苍南期末) 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标．
（2）求△OCD的面积．
21. （11分）(2012·营口) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，1）、C（0，﹣2）．
（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为________；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C；
（3）求过点B1的反比例函数的解析式．
22. （8分） (2020九上·余杭期末) 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB=4，DE=4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合.
（1）旋转中心是________，旋转角为________ ；
（2）请你判断△DFE的形状，简单说明理由；
（3）四边形DEBF的面积为________.
23. （10分）(2018·余姚模拟) 如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
24. （5分）某市为落实房地产调控政策，加快了廉租房的建设力度．第一年投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，累计连续三年共投资9.5亿元人民币建设廉租房.设每年投资的增长率均为．
(1)求每年投资的增长率；
(2)若每年建设成本不变，求第三年建设了多少万平方米廉租房．
25. （5分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足， m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．
26. （10分）已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6．
（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（2）求二次函数的图像与x轴的交点坐标.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共6题；共7分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共8题；共69分)
19-1、答案：略
19-2、
20-1、
20-2、答案：略21-1、
21-2、
21-3、答案：略22-1、
22-2、
22-3、
23-1、答案：略23-2、答案：略24-1、答案：略25-1、答案：略
26-1、26-2、。
福建省厦门市翔安区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)
① b2 4ac 0 ； ② abc<0 ； ③abc 0；
④若点 A(a 1, y1) 、 B(a 2, y2 ) 在抛物线上，则 y1 y2 ；
⑤ am2 bm a b （m 为任意实数）．
其中结论正确的结论有
．
17．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
18．先化简，再求值：
1
1 a
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
8．抛物线 y＝x2﹣2x＋1 与坐标轴的交点个数是（ ）
A．x2 6x c 的若干组自变量 x 与函数值 y 的对应值：
x …0
试卷第 5页，共 5页
1．D
参考答案：
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180
A． y = 8 x 32 5
B． y = 8 x 32 5
C． y = 8 x 32 5
D． y = 8 x 32 5
7．某厂家 2020 年 1～5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂家 口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ）
试卷第 1页，共 5页
好落在 BC 的延长线上，则旋转角的度数为 ．
15．已知点 A(4, y1), B(0, y2 ),C(3, y3) 在函数 y x2 2x m 的图象上，则 y1, y2, y3 的大小
福建省厦门市九年级上数学期中试卷
厦门九中2020—2021学年九上期中考试卷数学（试卷总分：150分答卷时间：120分钟）班级姓名座号注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．3．作图题先用2B铅笔作图，确定后再用0.5的黑色签字笔描一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2. 关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣23. 二次函数y＝(x+3)2+5有（）A．最大值5 B．最小值5 C．最大值﹣3 D．最小值﹣34．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+3＝0 B．x2+x＝0 C．x2 +2x＝﹣1 D．x2＝15．在直角坐标系中，点A（﹣7，）关于原点对称的点的坐标是（）A．（7，）B．（﹣7，﹣）C．（﹣，7）D．（7，﹣）6．配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t﹣）2＝D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝7. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0图18．已知一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c部分自变量与对应的函数值如下表当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞49.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．x2＝（x﹣1）2+102B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+1210.若二次函数y＝ax2+b x+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）(y1≠n)则下列命题正确的是（）A．若a>0且| x 1﹣1|＞| x 2﹣1|，则y1＜y2B．若a<0且 y1<y2，则|1﹣x 1|＜|1﹣x 2| C．若| x 1﹣1|＞| x 2﹣1|且 y1＞y2，则a<0 D．若x 1+ x 2=2 （x1≠x2），则AB∥CD二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11. 一元二次方程x2﹣2x＝0的解是12.抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是13．如图2，菱形ABCD中，点O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为3和4时，则阴影部分的面积为图214.点A1(m,n)在抛物线C1：y=−2x2上，将抛物线C1平移后得到抛物线C2，点A1的对应点A2(m+1,n+2),则抛物线C2的解析式是15.如图3，将含有30°角的直角三角板OAB 放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，且A 点坐标为（，1）,若将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A 1的坐标为16.点P (m,n) 在二次函数y ＝x 2﹣2ax +3图象上，当2≤m ≤3时，n ≥2a ，则a 的值为 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17.（本题满分8分） 解方程：x 2﹣2x ﹣4＝0 18.（本题满分8分）如图4，已知线段AB 绕着点P 逆时针旋转得到线段CD ，其中点C 是点A 的对应点． 用尺规作图的方法确定旋转中心P （要求：不写作法，保留作图痕迹）19.（本题满分8分）已知抛物线y ＝x 2+bx +c 经过原点，对称轴为直线x ＝1，求该抛物线的解析式并画出函数图象． 20.（本题满分8分） 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a ＝﹣121.（本题满分8分）如图5，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，线段AD 是线段AB 绕A 点按逆时针方向旋转90°得到的， △EGF 由△ABC 沿CB 方向平移得到的，且直线EG 过点D ． （1）求证：AD ⊥DG（2）若CF ＝10，∠BAC ＝30°，求AB 的长．22.（本题满分10分）已知 m,n 是关于x 的一元二次方程x 2+a x ﹣5＝0的两根， （1）求mn 的值（2）若a =−1,求m 3+6 n ﹣5的值图5图3图423.（本题满分10分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？24.（本题满分12分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0．①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围．（2）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．25.（本题满分14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（6，0）（1）若点（0，1）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式（2）若该抛物线与直线y=3只有一个交点P，抛物线上任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜3时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当3＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，OB交l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：NM平分∠ONB。
【5套打包】厦门市初三九年级数学上期中考试测试卷(含答案)
新九年级（上）期中考试数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3 3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．54．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣27．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求的值．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．六、（本题满分12分）21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？七、（本题满分12分）22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．八、（本题满分14分）23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．5【分析】根据比例线段计算即可．【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故选：D．4．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．故选：D．5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，故选：D．7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正确；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正确；同理，故C错误；故选：C．8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，∴AC⊥EF，AO＝CO，在矩形ABCD，∠D＝90°，∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，∴CO＝，∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，∴△DAC∽△OFC，∴，∴，∴EO＝，∴EF＝2×＝．故选：B．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：点M从点A到点D的过程中，y＝＝x，（x≤3），故选项A、B、C错误，当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），点M到C的过程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故选项D正确，故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：∠AED＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AED．【分析】根据∠AED＝∠B和∠A＝∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B 即可以求证△AED∽△ABC．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 4 ．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x ﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，则AB＝|x2﹣x1|＝4．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是（2，）．【分析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】解：设点P的坐标为（a，），∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），∴点P的坐标为（1，1），∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AE＝，∴DF＝，当y＝时，，得x＝2，∴点F的坐标为（2，）．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝1或．【分析】分两种情况，根据相似三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可．【解答】解：①如图1所示，∠GA'C＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，∵∠AA'G＝90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，∴△ABE∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝1；②如图2所示，∠A'GC＝90°，∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∴＝，设AE＝EA'＝EG＝x，∴＝，解得：x＝，或x＝3（舍去），∴AE＝；综上所述，x＝1或；故答案为：1或．三．解答题（共2小题）15．已知，求的值．【分析】设＝k，得到a＝3k．b＝4k，c＝6k，代入即可得到结论．【解答】解：设＝k，则a＝3k．b＝4k，c＝6k，∴＝＝．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．【分析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；（2）当a＞0时，抛物线开口向上，根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标（﹣1，﹣4）；（2）∵函数图象开口向上，其对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．四．解答题（共7小题）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC＝2，∵点D为BC的中点，∴CD＝1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线上，∴y＝∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC＝∴点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y＝kx+b（k≠0）则解得：k＝，b＝∴直线FB的解析式y＝18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.519．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x＝﹣＝，∴m＝2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△＝52﹣4（6+k）＝0，∴k＝，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．【分析】（1）证明△ACB∽△ADC，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明△ACB∽△CDB，得到BC2＝BD•AB，与（1）中两式相加，得到答案．【解答】证明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB；（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴＝，∴BC2＝BD•AB，∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）销售利润之和W＝甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2＝﹣x2+x．（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3 ；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．【分析】（1）根据“反簇二次函数”定义写出所求即可；（2）把A坐标代入y1，求出m的值，进而表示出y1+y2，根据y1+y2与y1互为“反簇二次函数”，求出a，b，c的值，确定出y2，写出满足题意的范围即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；故答案为：y＝（x﹣2）2+3；（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2﹣2m+m+2＝2，解得：m＝2，∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，解得：，∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+8x﹣4，当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．【分析】方法一：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC＝MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．方法二：（1）略．（2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值．（3）因为BM与NC相互垂直平分，所以四边形BCMN为菱形，因为MN∥BC，所以只需MN ＝BC可得出四边形BCMN为平行四边形，再利用NC⊥BM进行求解．【解答】方法一：解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y＝﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN＝PN﹣PM＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，则当x＝﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN＝BC，且BC＝MC，即﹣x2﹣x＝，且（﹣x+1）2+（x+3）2＝，解x2+3x+2＝0，得：x＝﹣1或x＝﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．方法二：（1）略．（2）设N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），∴MN＝NY﹣MY＝﹣+t﹣1，∴MN＝﹣，当t＝﹣时，MN有最大值，MN＝．（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN＝BC＝，即﹣＝，∴t1＝﹣1，t2＝﹣2，①t1＝﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴K NC＝＝2，∵K AB＝﹣，∴K NC×K AB＝﹣1，∴NC⊥BM．②t2＝﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），∴K NC＝＝，K AB＝﹣，∴K NC×K AB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．新九年级（上）期中考试数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3 3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．54．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣27．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求的值．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．六、（本题满分12分）21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？七、（本题满分12分）22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．八、（本题满分14分）23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．5【分析】根据比例线段计算即可．【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故选：D．4．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．故选：D．5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，故选：D．7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正确；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正确；同理，故C错误；故选：C．8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，。
福建省厦门市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(word版,含答案解析)
福建省厦门市2022-2022学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．矩形2．用求根公式计算方程x 2－5x ＋3＝0的根时，公式中b 的值为（ ） A ．5B ．－5C ．3D ．53-3．方程 (x －1) 2＝0的根是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝1，x 2＝0 C ．x 1＝－1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝－14．下列说法不正确的是（ ）A ．选举中，人们通常最关心的数据是众数B ．从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性比较大C ．必然事件发生的概率为1D ．某游艺活动的中奖率是60%，说明参加该活动10次就有一定6次会获奖 5．关于二次函数()=+-2y x 12的图象，下列说法正确的是（ ） A ．对称轴是1x = B ．开口向下 C ．顶点坐标是（1，-2）D ．与x 轴有两个交点6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ）A ．∠ADCB ．∠ABDC ．∠BACD ．∠BAD7．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知…求证…”的形式，下列正确的是（ ）A．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BCB．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CDC．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BCD．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD8．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28009．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（）A．AB＝4B．∠ABC＝45°C．当x＞0时，y＜﹣3D．当x＞1时，y随x的增大而增大10．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n二、填空题11．将抛物线y=x 2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为______． 12．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有___个．13．已知点(),2A a 与点()1,B b -关于原点O 对称，则点(),C a b 在第______象限． 14．如图，⊙O 中，∠ACB = 110º，则∠AOB=______．15．如图，已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°到Rt △ODC ，连接BC ，AC ．作OP ⊥AC ，垂足为P ，则OP 的长度为_______．16．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题17．解方程222x x +=．18．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，求CD 的长．19．已知二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （0，3），B （-1,0）. （1）求该二次函数的解析式 （2）在图中画出该函数的图象20．有3张形状材质相同的不透明卡片，正面分别写有4、3、－5，三个数字．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字作为一次函数y kx b =+中k 的值；第二次从余下．．的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字作为b 的值．用画树状图或列表法求所得到的一次函数y kx b =+的图像经过第一、二、三象限的概率．21．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()10,0，点B 的坐标是()8,0，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．（1）求CD 的长； （2）求直线BC 的解析式．22．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=． （1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．23．已知四边形ABCD 内接于⊙O ．（1）如图1，若AB=3，BC=4，AC=5，求⊙O 的半径的长；（2）如图2，若AC ⊥BD ，且AD=8，BC=6．求⊙O 的半径的长以及AB 与CD 满足的数量关系．24．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2y ax bx c =+-的对称轴；（2）若抛物线2y ax bx c =+-的对称轴为直线34x =-，抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积．25．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，4y x =-+．问题与探究：如图1，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线()218y x m n =-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线（用含m、n的式子表示）；（2）若点D有一条特征线是y=x+2，求此抛物线的解析式；（3）对于满足（2）中条件的抛物线，点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？参考答案1．D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．B【分析】对照一元二次方程的一般式a x2＋b x＋c＝0，即可确定公式法中的b．【详解】解：用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为−5，故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．3．A【分析】根据直接开平方法可得x－1＝0，解此一元一次方程即可求得．【详解】解：∵(x－1) 2＝0，∴x－1＝0 ．∴x1＝x2＝1．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键． 4．D 【分析】由众数的定义、概率的知识，可得A 、B 、C 正确，并判断出 D 错误． 【详解】解：A 、选举中，人们通常最关心的数据是众数，故本选项正确； B 、从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的概率为35，取得偶数的概率为25，故本选项正确；C 、必然事件发生的概率为1，故本选项正确；D 、某游艺活动的中奖率是60%，不能说明参加该活动10次就有6次会获奖，故本选项错误． 故选：D ． 【点睛】此题考查了众数、概率问题，解题的关键是正确理解题意并掌握概率的计算方法，还应注意排除法在解选择题中的应用． 5．D 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标，然后对各选项进行判断即可． 【详解】∵()212y x =+- ∵a=1>0∴抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2），对称轴为x=-1， ∴A 、B 、C 不正确，∵抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2）， ∴抛物线与x 轴有两个交点， ∴D 正确， 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h6．D【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝90°，即可得出答案.【详解】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ACD+∠BAD＝90°，故选：D.【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确掌握圆周角定理是解题的关键.7．B【分析】根据命题的定义、结合图形解答．【详解】解：命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD，故选：B．【点睛】本题考查的是命题与定理，命题写成“已知…，求证…”的形式，这时，“已知”后面接的部分是题设，“求证”后面解的部分是结论． 8．D 【分析】根据图求出风景画的长、宽，再利用矩形的面积公式即可得出答案. 【详解】由题意得：风景画的长为：(802)x cm -，宽为：(502)x cm - 利用矩形的面积公式得：(802)(502)2800x x --= 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意求出风景画的长、宽是解题关键. 9．C 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】∵二次函数y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴当y =0时，x 1=﹣1，x 2=3，∴点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），∴AB =4，故选项A 正确． ∵当x =0时，y =﹣3，∴OC =3．∵点B （3，0），∠COB =90°，∴OB =3，∴OB =OC ，∴∠OBC =45°，即∠ABC =45°，故选项B 正确．当0＜x ＜1时，﹣4＜y ＜﹣3，当x ≥1时，y ≥﹣4，故选项C 错误． 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故选项D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等难度题型． 10．A 【分析】利用二次函数的性质和方程的知识，可以得到m ，n ，p ，q 的大小关系． 【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，∴p，q一定处在m，n中间故选：A．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与一元二次方程解的意义是解题关键．11．y=x2-2【分析】根据“上加下减”可得答案．【详解】将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为y=x2-2.故答案为y=x2-2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移.抛物线平移变换的规律：左加右减（在括号内），上加下减（在末梢）.12．6【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：设袋中黄色球可能有x个．根据题意，任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：15%=x40，解得：x=6．∴袋中黄色球可能有6个．故答案为：613．四【分析】根据关于原点对称的点的关系特点，可得a 、b 的值，进而可求得答案．【详解】解：∵点(),2A a 与点()1,B b -关于原点O 对称∴()11a =--=，2b =-∴点C 的坐标为()1,2-∴点()1,2C -在第四象限．故答案是：四【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点、注意与关于x 、y 轴对称的点的坐标特点的区分记忆，同时还考查了平面直角坐标系中坐标位置的关系．14．140︒【分析】在优弧AB 上任取一点D ，连接AD 、BD ，先由圆内接四边形的性质求出ADB ∠的度数，再由圆周角定理求出AOB ∠的度数即可．【详解】解：在优弧AB 上任取一点D ，连接AD 、BD ，如图：∵四边形ACBD 内接于O ，110ACB ∠=︒∴18070ADB ACB ∠=︒-∠=︒∴2140AOB ADB ∠=∠=︒．故答案是：140︒【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等，添加适当的辅助线并应用圆周角定理是解题的关键．15． 【分析】在RtΔOAB 中，利用30º角求AO ，利用勾股定理求BA ，Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°到Rt △ODC ，得ΔBOC 为等边三角形进而∠COB+∠ABO=90º，∠OAB ＝90°，可得BC ∥AO ，可证ΔCBA ∽ΔAPO ，由相似三角形的性质AC AB AO OP =求出OP 即可． 【详解】∵Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，∴∠BOA=90º-∠ABO=90º-30º=60º，∴AO=12OB=2，= ∵Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°到Rt △ODC ，∴BO=CO ，∠DOC=60º，∴ΔBOC 为等边三角形，∴BC=OB=4，∴∠COB+∠ABO=30º+60º=90º，∠OAB ＝90°，∴BC ∥AO ，∴∠BCA=∠PAO ，∴OP ⊥AC ，∴∠APO=90º，∴∠CBA=∠APO ，∴ΔCBA ∽ΔAPO ， ∴AC AB AO OP=，在RtΔABC 中，=∴2272AO AB OP AC ⨯===．．【点睛】本题考查三角形旋转，直角三角形，等边三角形，相似三角形等问题，掌握三角形旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质是解题关键．16．0＜a≤1 2【分析】依照题意画出图形，分0＜12a＜1及12a≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，综上即可得出结论．【详解】当12a≥1时，有11aa a⎧⎨--≥-⎩＞，解得：a＞0，∴0＜a≤12；当0＜12a＜1时，有()224114aa--≥--，解得：a=1 2∴0＜a≤12．综上所述：0＜a≤12．故答案为：0＜a≤12．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜12a ＜1及12a ≥1两种情况找出关于a 的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键．17．11=-x 21=-x【分析】利用求根公式法或配方法解一元二次方程即可得解．【详解】解：①222x x +=2220x x +-=∵1a =，2b =，2c =-∴()2242412120b ac ∆=-=-⨯⨯-=>∴21221b x a -±-===-±⨯∴11=-x ，21=-x ．②222x x +=22221121x x +⋅⋅+=+()213x +=1x +=1x =-±∴11=-x ，21=-x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据题目特点选择合适的解法是解题的关键．18．CD ＝3【分析】由旋转的性质可得AB ＝AD ＝4，可证△ABD 为等边三角形，可得BD ＝AD ＝4，即可求解．【详解】解：∵将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，∴AB ＝AD ＝4，∵∠B ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝AD ＝4，∴CD ＝BC ﹣BD ＝7﹣4＝3．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．19．（1）243y x x =++；（2）详见解析.【分析】(1)根据二次函数2y x bx c =++的图象经过点A （0，3），B （-1，0）可以求得该函数的解析式;(2) 根据(1) 中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象;【详解】解:(1) 把A （0，3），B （-1，0）分别代入2y x bx c =++ ，得0+0+c=31-b+c=0⎧⎨⎩ 解得c 34b =⎧⎨=⎩ 所以二次函数的解析式为：243y x x =++(2)由（1）得()221y x =+-列表得：如图即为该函数图像：【点睛】本题考查求抛物线的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想.20．1 3【分析】先根据题意列出树状图，再找出所有情况，看k＞0，b＞0的情况占总情况的多少即可求出答案．【详解】画树状图共有6种情况，因为一次函数y＝kx＋b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，又因为k＞0，b＞0的情况有k＝4，b＝3或k＝3，b＝4两种情况，所以一次函数y＝kx＋b经过第一、二、三象限的概率为21 63 ．【点睛】此题考查了列表法与树状图，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ，注意本题是放回实验；经过二三四象限的一次函数的k ＞0，b ＞0．21．（1）8CD =；（2）32477y x =-+ 【分析】（1）根据平行四边形的性质即可求得答案；（2）添加辅助线构造直角三角形，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的和差即可求得()1,3C，再根据待定系数法即可求得直线解析式．【详解】解：（1）∵点B 的坐标是()8,0∴8OB =∵四边形OCDB 是平行四边形∴8CD OB ==．（2）过点M 作MN CD ⊥，连接MC ，过点C 作CH OA ⊥，如图：∵MN CD ⊥，8CD = ∴142CN CD == ∵()10,0A∴10OA = ∴152OM OA ==∴在Rt CMN 中，3MN ==∵四边形OCDB 是平行四边形∴//CD OB∵CH OA ⊥∴四边形CHMN 是平行四边形∴3CH MN ==，4HM CN ==∴1OH OM HM =-=∴()1,3C∴设直线BC 的解析式为：y kx b =+∴083k b k b =+⎧⎨=+⎩∴37247k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BC 的解析式为：32477y x =-+． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、垂径定理、勾股定理、线段的和差、待定系数法等，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．22．（1）12；（2）27y -≤< 【分析】（1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++=∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．23．（1） 2.5r = （2）=5r 22100AB CD +=【分析】（1）根据勾股定理判断直角三角形，从而判断AC 为直径，即可求解；（2）连接AO 并延长交O 于点G ，交DC 于点P,连接DG ，AC ⊥BD 垂足为点H ，可判断ABH AGD ， 从而得到AD AH DG HB =，判断AHD BHC ，得到43AD AH BC BH ==，求出6DG =，可求得半径；连接BG,GC,BP ，判断DGP BCP ≅，在直角三角形ABG 中根据勾股定理求解.【详解】(1)如图在ABC 中，2239AB ==， 22525AC ==，22416BC ==∵222AC AB BC =+，ABC 为直角三角形，90ABC ∠=∴AC 为O 的直径 ∴1 2.52r AC == （2）连接AO 并延长交O 于点G ，交DC 于点P,连接DG ，AC ⊥BD 垂足为点H.∵AC ⊥BD 90AHB ∠=∵AG 为圆的直径，90ADG =∠∵AD 对应的角有ABD AGD ∠、∠在ABH 和AGD △中90ABD AGD ADG AHB ∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩∴ABH AGD ∴AD AH DG HB= ∵CD 对应的角有DAH HBC ∠、∠在ADH 和BCH 中90DAH HBC AHD BHC ∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩ ∴AHD BHC ∴43AD AH BC BH == ∴43AD AH DG HB == ∴6DG =∴10AG = ∴152r AG == 连接BG,GC,BPCG 对应的角有GDC GBC =∠∠BD 对应的角有DGB BCD =∠∠在DGP 和BCP 中6GDC GBC BPC DPG DG BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴DGP BCP ≅（AAS ）∴DG=BC DC=BG在ABG 中，90ABG ∠=∴222100AB BG AG +==22100AB CD +=【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用等相关知识；正确作出辅助线是解题的关键.24．(1)x=-；（2）ABCD S =四边形 【分析】（1）由正方形推出a ，利用对称轴公式求对称轴（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1bc =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，，a2y ax bx c =+-=a (x 2x-1)对称轴为x=222b a a -==- (2) 对称轴为直线34x =-， ∴利用对称轴公式得b=32a 抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --= 由c>0、b>0、a>0，10ac b --= ∴10132ac b b c b a ⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值已舍去）， ∵ABCD ，=2a c =∴四边形ABCD 为菱形连BD 交AC 于O ，BO ⊥AO ，AO=OC=1.5在RtΔABO 中，由勾股定理2OB ==，∴ABCD 1322S ==四边形【点睛】本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c 、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b 、关系，利用点C 在抛物线上，确定a b c 、、之间关系会解方程组解决问题25．（1）,,,x m y n y x n m y x m n ===+-=-++；（2）()21468y x =-+；（3）183-或23+ 【分析】（1）根据特征线的定义以及性质直接求出点D 的特征线；（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （3）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．【详解】（1）∵点D (),m n∴D (),m n 的特征线是,,,x m y n y x n m y x m n ===+-=-++（2）∵点D 有一条特征线是2y x =+∴2n m =+∵抛物线的解析式为()218y x m n =-+ ∴()2128y x m m =-++ ∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，(),D m n∴()2,2B m m ∴212(2)8m m m n =-+ ∴21028m n m =+- 将2n m =+代入21028m n m =+-中 21028m m =-+ 解得4,6m n ==∴抛物线的解析式为()21468y x =-+ （3）①如图，当点A '在平行于y 轴的D 点的特征线时根据题意可得()4,6D∴8,4OA OA OM '===∴60A OM '=︒∠∴30A OP AOP '==︒∠∠∴3MN ==∴抛物线需要向下平移的距离6==②如图，当点A '在平行于x 轴的D 点的特征线时，设(),3A p '则8,6,OA OA OE EA ''=====∴8A F '=-设()()8,0P c c >在Rt A FP '△中，222(8(6)c c -+-=解得c =∴32(8,3p -∴直线OP 解析式为43y x -=∴16(4,3N -∴抛物线需要向下平移的距离6=-=距离，其顶点落在OP 上． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，掌握特征线的性质、正方形的性质、抛物线的性质、折叠的性质、平移的性质是解题的关键．。
福建厦门三中2024年九年级上学期期中考试数学试卷+答案
2024-2025学年福建省厦门三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项正确）1．（4分）下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）小明在解方程x2﹣x＝0时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝33．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣3）2＝11B．（x+3）2＝11C．（x﹣3）2＝7D．（x+3）2＝74．（4分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（）A．图象的开口方向向上B．函数的最小值为﹣3C．图象的顶点坐标为（1，﹣3）D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小5．（4分）已知MN是半径为4的圆中的一条弦，则MN的长不可能是（）A．8B．5C．4D．106．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（）A．45°B．60°C．90°D．135°7．（4分）近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A．7612.3（1+x）2＝7977.1B．7612.3（1+x）＝7977.1C．7612.3x2＝7977.1D．7612.3（1+x2）＝7977.18．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．5B．C．3D．9．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．310．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：①2a+b＞0；②bc＜0；③a＜﹣c；④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0；其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为．12．（4分）若x＝1是方程x2+2x+n＝0的一个根，则n的值是．13．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线．14．（4分）如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α（0＜α＜180）度后得到△COD，若∠AOD＝118°，则旋转角α＝°．15．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x……﹣10234……y……522510……如果点（﹣2，m）在此抛物线上，那么m＝．16．（4分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要块．三、解答题（本大题有9大题，共86分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣7＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（8分）先化简，再求值；，其中．19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O 为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）作出△AOB关于原点的对称△A1OB1，则点B1的坐标为；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°．（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣101234…y…﹣16﹣6m0﹣6…（1）求m的值和这个二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围．22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．23．（11分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．（1）求黄金分割数；（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．24．（12分）综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x 轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．25．（13分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．2024-2025学年福建省厦门三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项正确）1．（4分）下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形．故A不符合题意；B、不是中心对称图形．故B不符合题意；C、是中心对称图形．故C符合题意；D、不是中心对称图形．故D故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（4分）小明在解方程x2﹣x＝0时，只得出一个根是1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可．【解答】解：方程x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1，则被漏掉的一个根为0．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣3）2＝11B．（x+3）2＝11C．（x﹣3）2＝7D．（x+3）2＝7【分析】先移项，再两边都加上一次项系数一半的平方，继而写成完全平方式即可．【解答】解：∵x2﹣6x+2＝0，∴x2﹣6x＝﹣2，则x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．4．（4分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣3，下列说法错误的是（）A．图象的开口方向向上B．函数的最小值为﹣3C．图象的顶点坐标为（1，﹣3）D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y x+1）2﹣3，∴a＝1＞0，函数的图象开口向上，故选项A正确，不符合题意；函数的最小值为﹣3，故选项B正确，不符合题意；图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项C不正确，符合题意；当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项D正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象、性质、最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．5．（4分）已知MN是半径为4的圆中的一条弦，则MN的长不可能是（）A．8B．5C．4D．10【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．【解答】解：由题意知，该圆的直径为8，因为圆中最长的弦为直径，∴MN≤8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．6．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（）A．45°B．60°C．90°D．135°【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OA′，∠AOA′即为旋转角．【解答】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OA′∠AOA′即为旋转角，∴旋转角为90°故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．7．（4分）近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A．7612.3（1+x）2＝7977.1B．7612.3（1+x）＝7977.1C．7612.3x2＝7977.1D．7612.3（1+x2）＝7977.1【分析】设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，据此列方程．【解答】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为x，根据题意得，7612.3（1+x）2＝7977.1，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．8．（4分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．5B．C．3D．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2，r＝，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．9．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝6．将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，A'B'与OB相交于点D，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【分析】由勾股定理求出AB＝＝6，由旋转的性质得到：A′B′＝AB＝6，OA′＝OA，OB′＝OB，∠A′OB′＝∠AOB＝90°，因此OA′＝OB′，求出∠BOA′＝90°﹣45°＝45°，得到∠BOB′＝∠BOA′，由等腰三角形的性质得到D是A′B′的中点，由直角三角形斜边中线的性质得到OD＝A′B′＝3．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝6，∴AB＝＝6，由旋转的性质得到：A′B′＝AB＝6，OA′＝OA，OB′＝OB，∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴OA′＝OB′，∵△AOB绕点O顺时针旋转∴∠BOB′＝45°，∴∠BOA′＝90°﹣45°＝45°，∴∠BOB′＝∠BOA′，∵OA′＝OB′，∴D是A′B′的中点，∴OD＝A′B′＝×6＝3．故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，关键是旋转的性质得到A′B′＝AB，由直角三角形斜边中线的性质推出OD＝A′B′．10．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点位于（2，0），（3，0）两点之间．下列结论：①2a+b＞0；②bc＜0；③a＜﹣c；④若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，则﹣3＜x1•x2＜0；其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可得b＝﹣2a，2a+b＝0，判断①错误；由图象可得a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，知bc＞0，判断②错误；而x＝3时y＜0，知x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，可得a﹣（﹣2a）+c＜0，a＜﹣c，判断③正确；由﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，可得﹣3＜x1•x2＜0，判断④正确．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①错误；∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，∴bc＞0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，x＝3时y＜0，∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＜0，∴a＜﹣c，故③正确；若x1，x2为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由函数图象与x轴交点可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴﹣3＜x1•x2＜0，故④正确，∴正确的有：③④，共2个，故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，涉及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，2）．【分析】根据对称点的坐标规律作答即可．【解答】解：点（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．（4分）若x＝1是方程x2+2x+n＝0的一个根，则n的值是﹣3．【分析】把x＝1代入x2+2x+n＝0得关于n的方程，然后解此方程即可．【解答】解：把x＝1代入x2+2x+n＝0，得1+2+n＝0，解得n＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．（4分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线x＝1．【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，∴此函数的对称轴就是直线x＝1．故答案为：x＝1．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数三种表达式．14．（4分）如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α（0＜α＜180）度后得到△COD，若∠AOD＝118°，则旋转角α＝28°．【分析】找到旋转角∠AOC，然后根据旋转的性质得到∠COD的值，计算∠AOD﹣∠COD的值即可得出答案，【解答】解：∵△COD是△AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α（0＜α＜180）度后所得，∴∠AOC＝α°，∵∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB＝90°，又∵∠AOD＝118°，∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝118°﹣90°＝28°，∴α＝28，故答案为：28．【点评】本题考查了旋转的性质，理解旋转前和旋转后的图形全等及找到旋转角是解本题关键．15．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：如果点（﹣2，m）在此抛物线上，那么m＝10．【分析】由表格中点（0，2），（2，2）可求对称轴直线x＝1，即可求解．【解答】解：由表格中点（0，2），（2，2），可知函数的对称轴为直线x＝1，∴点（﹣2，m）与点（4，10）关于直线x＝1对称，∴m＝10，故答案为：10．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是本题的关键．16．（4分）如图①，将边长为2的正方形纸板沿虚线剪掉边长为1的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要12块；如图③，将长、宽、高分别为4，2，2的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为4，1，1的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要144块．【分析】先拼成基础单元，再分析，即可解答．【解答】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，则6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，则需图②的个数：6×2＝12（个）；同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4，3，2的长方体，用4×3＝12个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：2×3×4×6＝144（个）．故答案为：12；144．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识．先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答．三、解答题（本大题有9大题，共86分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣7＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．【分析】（1）原式利用因式分解法求出解即可；（2）原式利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣7＝0，x2﹣2x+1﹣8＝0，（x﹣1）2＝8，x1＝1，x2＝1﹣2；（2）x2﹣3x+1＝0，∵Δ＝9﹣4＝5＞0，∴x＝，x1＝，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．18．（8分）先化简，再求值；，其中．【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【解答】解：＝＝，当时，原式＝．【点评】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．19．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O 为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）作出△AOB关于原点的对称△A1OB1，则点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为（﹣2，3）．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；（3）先利用勾股定理计算出OA，然后根据弧长公式计算．【解答】解：（1）如图1，△A1OB1为所求；点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；故答案为：（﹣1，﹣3）；（2）如图2，△A2OB2为所作；点A2的坐标为（﹣2，3）；故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解答本题的关键要熟练掌握旋转的性质．20．（8分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°．（1）尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AC于O，连接BO，于是得到结论；（2）根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图所示，线段BO为AC边上的中线；（2）证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∵将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，∴BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，矩形的判定，中心对称图形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣101234…y…﹣16﹣6m0﹣6…（1）求m的值和这个二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性，可确定m的值（或求出表达式后令x＝1求出m的值）；根据表格中3对对应值列方程组即可求出这个二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中，利用表格数据画出这个二次函数的图象即可；（3）根据图象信息可直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）∵当x＝0和4时，对应的函数值都是﹣6，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴x＝1和3时，对应的函数值相同，∴m＝0；将x＝﹣1，y＝﹣16；x＝0，y＝﹣6；x＝3，y＝0代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴这个二次函数的表达式为：y＝﹣2x2+8x﹣6；（2）画出这个二次函数的图象如图，（3）抛物线的顶点是（2，2），由图象可知：若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k＜2．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．【解答】解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，w最大＝2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x＝30时，w有最大值，此时w A＝2000；故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，∴当x＝45时，w有最大值，此时w B＝1250，∵w A＞w B，∴A方案利润更高．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．23．（11分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．（1）求黄金分割数；（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【分析】（1）依据题意，将m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；（2）依据题意，将b2﹣2mb＝4变形为（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0，从而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．【解答】解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黄金分割数大于0，∴黄金分割数为．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m•（﹣）﹣1＝0．∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根．∴a•（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q为两个不相等的实数，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．24．（12分）综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x 轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，则，得到CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，即可求解；（3）由矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣（m+1.5）2+≤，即可求解．【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，∴．∴点B的坐标为（3，0），∵OP＝9，∴点P的坐标为（0，9），∵点P是抛物线的顶点，∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9，∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，∴9a+9＝0，解得：a＝﹣1．∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；（2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上，∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9），∵DE∥AB，交y轴于点F，∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，∴DE＝2m．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，∴．∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，根据题息，得DE+CF＝6，∴﹣m2+6+2m＝6，解得：m1＝2，m＝0，∴m＝2．∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2答：DE的长为4米，CF的长为2米；（3）如图矩形灯带为GHML，由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝﹣x+3，设点G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，m+3），则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣2（m+1.5）2+≤，故矩形周长的最大值为米．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．25．（13分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+9，顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：。
福建省厦门市第九中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
福建省厦门市第九中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题一、单选题1．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系中，点()2,3-关于原点的对称点的坐标是（）A ．()2,3B ．()2,3--C ．()2,3-D ．()3,2-3．如图，已知在O 中，BC 是直径，AB DC =，则下列结论不一定成立的是（）A ．OA OB AB ==B ．AOB COD∠=∠C ． AB DC=D ．O 到AB 、CD 的距离相等4．如图，ADE V 是由ABC 绕A 点旋转得到的，若40BAC ∠︒=，90B Ð=°，10CAD ∠=︒，则旋转角的度数分别为（）A ．80︒B ．50︒C ．40︒D ．10︒5．关于x 的一元二次方程20x x m -+=的两个根分别是1x 和2x ，其中1152x -=，则2x 的值为（）A．菱形→矩形→正方形B．矩形→菱形→正方形C．菱形→平行四边形→矩形D．矩形→平行四边形→菱形m 的取值范围是（）A ．2m <-B ．1m >C ．21m -<<D ．14m <<二、填空题13．如图，四边形ABCD 14．在平面直角坐标系中，15．已知二次函数y ax =对称，且点()11,C x y ，D 函数值y 的部分对应值如下表：三、解答题17．解一元二次方程：(1)2412x x =；(2)2460x x --=．18．如图，A B C D ，，，是O 上四点，且AD CB =，求证：AB CD =．19．如图，已知抛物线23y x mx =-++经过点()2,3M -．(1)求m 的值，并求出此抛物线的顶点坐标；(2)当30x -≤≤时，直接写出y 的取值范围．20．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8万人次．(1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾(1)尺规作图：将ABC 作图痕迹）．(2)连接B B '，若4AC =22．如图，在Rt ABC △(1)求证：=DE EF ；(2)若309A AB ∠︒=，=，求BF 的长度．23．根据以下思考，探索完成任务．的半径；(1)求O(2)当2222n m m =-+时，在点P 运动的过程中，点Q 的位置会随之变化12Q Q ，是其中任意两个位置，探究直线12Q Q 与O 的位置关系．25．已知抛物线2y x bx c =++关于直线1x =对称，且过点()2,1．(1)求抛物线的解析式；(2)过(),1D m -的直线()1110DE y k x b k =+>：和直线()2220DF y k x b k =+<：均与抛物线有且只有一个交点．①求12k k 的值；②平移直线DE ，DF ，使平移后的两条直线都经过点()1,0R ，且分别与抛物线相交于G 、H 和P 、Q 两点，若M 、N 分别为GH ，PQ 的中点，证明直线MN 经过定点。
福建省厦门市2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷(无答案)
2024-2025学年第一学期九年级数学学科期中知识检索（满分：150分：考试时间：120分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．方程的根是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（）A．B．C．D．3．抛物线与相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴关于x的一元二次方程根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定5．二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（）A．B．C．D．6．某交易活动中，每两人都交换一次名片，共交换了110张名片，若有x人参加活动，可列方程为（）A．B．C．D．7．在同一平而直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图．在一块长为，究为的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分），建成后绿化带与小路的总面积为，如果设小路的宽度为，那么下列方程正确的是（）A．B．24x=2x=2x=-4,4x x==-2,2x x==-2280x x--=2(1)9x+=2(1)7x+=2(1)9x-=2(1)7x-=2y x=2y x=-2320x x+-=2y ax bx c=++(3,4)(5,4)-1x=-1x=2x=3x=1(1)1102x x-=(1)110x x-=211102x=2110x=2y ax bx=+y bx a=+20m15m2546m m x(20)(15)546x x--=(20)(15)546x x++=C ．D ．9．关于x 的方程的两个根互为相反数，则m 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）11．若关于x 的一元二次方程的一个根为2，则m 的值为_________。
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期期中数学质量检测模拟试题一、选择题（本大题共10小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列计算正确的是（）2=3=-C.=D.)213=2.若37m n =，则m n n +的值为（）A.107 B.710 C.37 D.473.下列事件中，是随机事件的是（）A.在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6B.在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球C.投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7D.画一个三角形，其内角和是180°4.用配方法解方程22470x x --=，下列变形结果正确的是（）A.()2712x -=B.()2912x -=C.()223x -=D.2172x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5.已知关于x 的一元二次方程()22230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（）A.2m ≠ B.6m ≥-且0m ≠ C.6m ≤ D.6m ≤且2m ≠6.已知12p <<2+=（）A.1 B.3C.32p -D.12p -7.如图，一枚运载火箭从地面L 处发射，雷达站R 与发射点L 距离6km ，当火箭到达A 点时，雷达站测得仰角为43︒，则这枚火箭此时的高度AL 为（）A.6sin 43︒B.6cos 43︒C.6tan 43︒ D.6tan 43︒8.如图，D 是ABC 边AB 延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC 的是（）A.ACB D∠=∠ B.ACD ABC ∠=∠C.CD AD BC AC = D.AC AD AB AC=9.如图，某小区计划在一个长40米，宽30米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每块草坪面积都为168平方米，设道路的宽度为x 米，则可列方程为（）A.()()402301686x x --=⨯ B.3040230401686x x ⨯-⨯-=⨯C.()()30240168x x --= D.()()40230168x x --=10.如图，四边形ABCD 中，AD CD ⊥于点D ，2BC =，8AD =，6CD =，点E 是AB 的中点，连接DE ，则DE 的最大值是（）A.5B.42C.6D.2二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.要使代数式3x -有意义，则x 的取值范围是__________.12.福建省体育中考的抽考项目为：篮球绕杆运球、排球对墙垫球、足球绕杆运球.2025年泉州市体育中考的抽考项目抽中“排球对墙垫球”的概率为__________.13.已知α、β是方程2210x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为__________.14.如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的项点均是格点，则sin BAC ∠的值是__________.15.如图，ABD 中，60A ∠=︒.点B 为线段DE 的中点，EF AD ⊥，交AB 于点C ，若3AC BC ==，则AD =__________.16.若关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，且110x -<<.则下列说法正确的有__________.（将正确选项的序号填在横线上）①若20x >，则0c <；②12x x +=③若212x x -=，则112426b c b c b c -+-++>++-；④若441222127x x x x +=⋅，则2b c =-.三、解答题（本大题共9小题，共86分）17.（8112tan 45sin 602-⎛⎫+︒-︒- ⎪⎝⎭18.（8分）解方程：2620x x ++=19.（8分）定义：如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”.例如：一元二次方程20x x +=的两个根是120,1x x ==-，则方程：20x x +=是“邻根方程”.（1）通过计算，判断下列方程220x x +-=是否是“邻根方程”（2）已知关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k ---=（k 是常数）是“邻根方程”，求k 的值.20.（8分）如图，点C 是ABD 边AD 上一点，且满足CBD A ∠=∠.（1）证明：BCD ABD ；（2）若:3:5BC AB =，16AC =，求BD 的长.21.（8分）某景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.（1）求该景区2022至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？22.（10分）某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的40%，学校绘制了如下不完整的统计图：（1）求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；（2）为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；（3）学校即将举行冬季1000米跑步比赛，预赛分为A ，B ，C 三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明.23.（10分）如图，在Rt ABC 中，90,ACB A B ∠∠∠=︒<.（1）在AB 的延长线上，求作点D ，使得CBD ACD （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若5,5ABC AB S == ，求tan CDB ∠的值.24.（12分）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，42AB AC ==，点D ，E 是边AB ，AC 的中点，连接DE ，DC ，点M ，N 分别是DE 和DC 的中点，连接MN .图1图2备用（1）如图1，MN 与BD 的数量关系是_________；（2）如图2，将ADE 绕点A 顺时针旋转，连接BD ，写出MN 和BD 的数量关系，并就图2的情形说明理由；（3）在ADE 的旋转过程中，当B ，D ，E 三点共线时，根据以上结论求线段MN 的长.25.（14分）问题背景：（1）如图1，点E 是ABC 内一点，且ABC DEC ，连接AD ，BE ，求证.ADC BEC （2）如图2，点C 是线段AB 垂直平分线上位于AB 上方的一动点，PCB 是位于AB 上方的等腰直角三角形，且PB BC =，则，①PA PC CB +________1（填一个合适的不等号）；②PA PB 的最大值为________，此时CBA ∠=________°.问题组合与迁移：（3）如图3，AD 是等腰ABC 底边BC 上的高，点E 是AD 上的一动点，PEC 位于BC 的上方，且ABC PEC ，若2cos 5ABC =∠，求PA PB的最小值.图1图2图3答案和解析一.选择题（共10小题，40分）1.C2.A3.A4.B5.D6.A7.D8.C9.A 10.C 二.填空题（共6小题，24分）11.2x ≥-且3x ≠12.1313.1-14.5515.9216.①③16.【详解】解：（1）110x -<< ，20x >，120c x x c a∴==<，故①正确；110x -<< ，12x x <，1a =，112b x x ∴=-=，22b x -=，当20x >时，222b x x -==，1221x x x x ∴+=-=当20x <时，222b bc x x =-=，1221x x x x b ∴+=--=，故②错误；110x -<< ，12x x <，212x x -=，212x ∴<<，022b b x a --∴==>，0b ∴<，当=1x -时，10y b c =-+>，11b c b c ∴-+=-+，当1x =时，10y b c =++<，1(1)b c b c ∴++=-++，当2x =时，420y b c =++>，4242b c b c ∴++=++，1122b c b c c ∴-+-++=+，2426422b c b c ++-=++，22422c b c +>++ ，112426b c b c b c ∴-+-++>++-，故③正确；12x x b +=- ，12x x c =，22212x x c ∴=，44222222212121212[()2]2(2)2x x x x x x x x b c c ∴+=+--=--， 441222127x x x x +=⋅，2222(2)27b c c c ∴--=，222(2)90b c c ∴--=，22(23)(23)0b c c b c c ∴-+--=，22()(5)0b c b c ∴+-=，2b c ∴=-或25b c =，故④错误；故①③；三.解答题（共86分）17.（8分）【详解】112tan 45sin 602222-⎛⎫︒-︒-=-- ⎪⎝⎭32=-332= (8)分18.（8分）【详解】（1）解：2620x x ++=∴1,6,2a b c ===，2436828b ac ∆=-=-=，∴622b x a -±-±==，…………………………………6分解得：13x =-23x =-…………………………………………8分19.（8分）【详解】（1）解：∵()()2212x x x x +-=-+∴()()120x x -+=∴121,2x x ==-∵12>-，()121--≠，故该方程不是“邻根方程”……………………………4分（2）解：()()2(3)33x k x k x k x ---=-+∴()()30x k x -+=∴12,3x k x ==-由题意得：31k =-+或31k -=+解得：2k =-或4k =-……………………………8分20.（8分）【详解】（1）证明：在BCD 与ABD 中CBD A ∠=∠，D D ∠=∠，∴BCD ABD ；……………………4分（2）解：∵BCD ABD ，∴BC CD BD AB BD AD ==，即35CD BD BD AD ==，53AD BD =35CD BD =又∵AD AC CD =+，且16AC =∴15BD =……………………8分21.（8分）【详解】（1）解：设年平均增长率为x ，根据题意得：()220128.8x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不符合题意，舍去），∴年平均增长率为20%；……………………4分（2）解：设当每杯售价定为y 元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：()()630030256300y y -+-=⎡⎤⎣⎦，整理得：241420y y -+，解得：120y =，221y =，∵让顾客获得最大优惠，20y ∴=，∴当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.……………………8分22.（10分）【详解】（1）解：合格等级的人数为1640%121648÷---=，补全条形统计图如图：……………………2分（2）解：∵被抽取的成绩优秀的学生有12人，∴小明被选中担任领队的概率为112.……………………6分（3）解：根据题意画树状图如下：∵共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好在同一组的结果数为3，∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是3193=.……………………10分23.（10分）【详解】（1）利用尺规作图如图，点D 为所求.依据：有作图，DCB A ∠=∠，∵BDC CDA ∠=∠，∴CBD ACD ；……………………5分（2）法一：如图，过点C 作CM AB ⊥于点M ，过点B 作BN CD ⊥于点N .5,5ABC AB S == ，152AB CM ∴⋅=，2CM ∴=.90,90BCM CBA A CBA ∠=-∠∠=-∠ ，BCM A ∴∠=∠，tan tan BCM A ∴∠=，即BM CM CM AM=，225BM BM ∴=-，解得1BM =，（5BM =舍去）.设,BD x CD y ==，,BCD A CDB ADC ∠=∠∠=∠ ，CBD ACD ∠∴ ，CD BD AD CD∴=，2CD BD AD ∴=⋅，()25y x x ∴=+，在Rt CDM 中，222CD DM CM =+，222(1)2y x ∴=++，()225(1)2x x x ∴+=++，解得53x =，58133DM ∴=+=，23tan 843CM CDB DM ∴∠===.……………………10分法二：如图，过点C 作CM AB ⊥于点M ，取AB 的中点O ，连接OC.5,5ABC AB S == ，152AB CM ∴⋅=，2CM ∴=.90,90BCM CBA A CBA ∠=-∠∠=-∠ ，BCM A ∴∠=∠，tan tan BCM A ∴∠=，即BM CM CM AM=，225BM BM ∴=-，解得1,(5BM BM ==舍去）.ABC 是直角三角形，AO BO =，1522OC AB OA OB ∴====，ACO A ∴∠=∠，BCD A ∠=∠ ，ACO BCD ∴∠=∠，90ACO OCB ∠+∠= ，90BCD OCB ∴∠+∠= ，即90DCO ∠= .90CDB COD ∴∠+∠= ，90OCM COD ∠+∠= ，CDB OCM ∴∠=∠，53122OM OB BM =-=-= ，332tan tan 24OM CDB OCM CM ∴∠=∠===24（12分）【详解】（1）解：∵点D ，E 是边AB ，AC 的中点，12CE AC ∴=，12BD AB =， AB AC ==，CE BD ∴=，∵点M ，N 分别是DE 和DC 的中点，MN ∴是DCE 的中位线，12MN CE ∴=，12MN BD ∴=，故答案.12MN BD =……………………2分（2）解：12MN BD =，理由如下：如图，连接EC ，由（1）同理可得：AD AE =，由旋转得：90BAC DAE ∠=∠=︒，DAB BAE EAC BAE ∴∠+∠=∠+∠，DAB EAC ∴∠=∠，在DAB 和EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ACE ∴≅ （SAS ），BD CE ∴=，∵点M ，N 分别是DE 和DC 的中点，12MN CE ∴=，12MN BD ∴=.…………………6分（3）解：①如图，当点E 在线段BD 上时，过点A 作AP BD ⊥于点P ∴90APD ∠=︒，90BAC ∠=︒，42AB AC ==45ABC ACB ∴∠=∠=︒，在（1）中：∵点D ，E 是边AB ，AC 的中点，DE BC ∴∥，12AD AB ==∴45ADE AED ABC ∠=∠=∠=︒，90DAE ∠=︒ ，AD AE =，PD PA ∴=，222PD PA AD ∴+=，(222PD ∴=，2PD ∴=，在Rt ADB 中，PB ∴===2BD BP PD ∴=+=+；112MN BD ==……………………9分②如图，当点D 在线段BE 上时，过点A 作AQ BE ⊥于点Q ，在Rt ADQ 中，90AQD ∠=︒，45ADE ∠=︒，12AD AB ==，由①同理可求2AQ DQ ==，在Rt AQB 中，90AQB ∠=︒，AB =，2AQ =，BQ ∴=2BD BQ DQ ∴=-=；112MN BD ==.综上所述，1MN =+1-.……………………12分25（14分）【详解】解：（1）ABC DEC ，AC DC BC EC∴=，BCA ECD ∠=∠，,BCE BCA ECA ACD DCE ECA ∠=∠-∠∠=∠-∠ ，BCE ACD ∠∠∴=，ADE BEC ∴ ； (3)（2）①连接AC ，如图所示，图2∵点C 是线段AB 垂直平分线上位于AB 上方的一动点，AC BC ∴=，PA PA PC BC PC AC∴=++，AC PC PA +≥ ，1PA PC BC ∴≤+，故≤；……………………5分②由①得AC BC =，AC PC PA +>，PB BC =，PB BC AC ∴==，111PA PA AC PC PC PCPB AC AC AC PB+∴=<=+=+=+，……………………7分∴当点C 在AP 上时，此时AP 最大，为AC PC +，此时PA PB 也最大，为1+，如图所示，∵点C 是线段AB 垂直平分线上位于AB 上方的一动点，AC BC ∴=，CAB CBA ∴∠=∠，PCB 是等腰直角三角形，45BCP ∴∠=︒，BCP CAB CBA ∠=∠+∠ ，22.5CBA ∴∠=︒，……………………9分21+，22.5︒；（3）连接BE ，如图所示，图3AD 是等腰ABC 底边上的高，2,BC BD BE EC ∴==，2cos 5ABC ∠=，25BD AB ∴=，,2AB AC BC BD == ，54AC BC ∴=，ABC PEC ，AC PC BC EC ∴=，BCA ECP ∠=∠，,BCE BCA ECA ACP PCE ECA ∠=∠-∠∠=∠-∠ ，BCE ACP ∴∠=∠，APC BEC ∴ ，54AP AC BE BC ∴==，得：45BE EC AP ==，54PE AB EC BC == ，PE AP ∴=，PE BE PB +≥ ，4955AP AP AP PB ∴+=≥，59PA PB ∴≥，PA PB ∴最小值为59.……………………14分。
福建省厦门市湖里区厦门外国语学校湖里分校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
福建省厦门市湖里区厦门外国语学校湖里分校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．如图是抛物线2y ax bx c =++的示意图，则a 的值可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．一元二次方程(1)0-=x x 的解是（）A ．0x =B ．1x =C ．0x =或1x =-D ．0x =或1x =4．抛物线22(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)-5．如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的点，以点A 为中心，把ADE V 顺时针旋转，得到ABF △，其中15DAE ∠=︒．那么旋转角的度数是（）A ．15︒B ．75︒C ．90︒D ．105︒6．下列一元二次方程中有实数根的是（）A ．210x +=B ．210x x -+=C ．210x x ++=D ．21x x +=7．将抛物线22y x =+向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =++C ．21y x =+D ．23y x =+8．1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则124a b --的值等于（）A ．1-B ．1C ．2D ．39．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h （单位：m ）关于离地时间t （单位：s ）的函数解析式是2305h t t =-，其中t 的取值范围是（）A ．0t ≥B ．03t ≤≤C ．36t ≤≤D ．06t ≤≤10．已知二次函数()()20y a x m a =->的图象经过()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且1223x x x x -=-，321x x x >>，312y y y >>，则m 满足（）．A ．122x x m +=B ．232x x m +=C ．1222x x m x +<<D ．2332x x m x +<<二、填空题11．点(1,2)A 关于原点对称的点的坐标是．12．抛物线2241y x x =+-的对称轴是．13．一元二次方程2210x -=的两根为1x 、2x ，则12x x ⋅=．14．2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA ），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x 支，则可列方程为．15．如表中列出了二次函数()20y ax bx c a =++≠的一些对应值，则该二次函数的开口方向，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个近似解x 的范围．（两相邻整数之间）x…3-2-1-01…y…11-5-1-11…16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A -，其对称轴为直线1x =-，有下列结论：①0b <；②0a b c ++=；③20a b -=；④240ac b ->；⑤若1(5,)P y -，2(,)Q m y 是抛物线上两点，且12y y >，则m 的取值范围是53m -<<．其中正确结论的有．三、解答题17．解方程：(1)()234-=x ；(2)2420x x --=．18．如图，已知点B 、F 、C 、D 在同一条直线上，AC FE ∥，BF CD =，AC EF =．求证：AB DE =．19．先化简，再求值：2441224x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中2x =．20．已知二次函数21(2)12y x =+-．(1)在平面直角坐标系中利用五点法画出这个函数图象．(2)观察函数图象：当30x -<<时，函数值y 的取值范围是：________．21．春天化工公司前年盈利150万元，如果该公司今年与去年的年增长率相同，那么今年可盈利216万．(1)求这两年中平均每年增长的百分率；(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？22．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，将ABC V 绕着点B 逆时针旋转得到FBE ，点C ，A 的对应点分别为E ，F ，点E 落在BA 上，连接AF ．(1)若4AC =，3BC =，则BF =________；(2)若36BAC ∠=︒．求BAF ∠的度数．23．若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为()1212,x x x x ≤，则把分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到的点()12,P x x 称为该一元二次方程的“友好点”．(1)若方程为220x x -=，则该方程的“友好点”P 的坐标为________．(2)若关于x 的一元二次方程2(31)30x m x m -++=的“友好点”为P ，且点P 在直线2y x =的函数图像上，求m 的值．(3)是否存在b ，c ，使得不论(0)k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的“友好点”P 始终在函数2y kx k =++的图象上，若有，请求出b ，c 的值；若没有，请说明理由．24．护林员在一个斜坡上的点A 处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地AB 进行浇灌，10m OA =，点A 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口A 的水平距离为6m 时，达到距离地面OB 的竖直高度的最大值为13m ．设喷出的水柱距出水口的水平距离为(m)x ，距地面的竖直高度为(m)y ，以坡底B 所在的水平方向为x 轴，A 处所在的竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系，原点为O ，如图所示．经过测量，可知斜坡AB 的函数表达式近似为1102y x =-+．(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式：(2)请判断水柱是否能覆盖整个坡地AB ，并说明理由．如果不能，则给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，使得水柱恰好可以覆盖整个坡地AB 时，安装的支架的高度为多少米？25．在平面直角坐标系中，直线:2(0)l y mx n m =+≠与x 轴交于点()1,0A -．若抛物线解析式为2()2y x m n x n =-++++．(1)当抛物线也经过点(1,0)A -时，求m 和n 的值；(2)说明直线与抛物线总有两个交点；(3)在（1）的条件下，抛物线与x 轴的另一交点为B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接AD ，与BC ，y 轴分别交于点E ，F ，记三角形DBE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值．。
厦门市九年级上学期数学期中考试试卷
厦门市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共23分)1. （5分） (2019九上·泸县月考) 抛物线的顶点坐标是（）A .B .C .D .2. （2分）在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是（）米2．A .B .C .D .3. （2分）将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式是（）A . y=3（x-1）2+2B . y=3（x+1）2-2C . y=3（x-1）2-2D . y=3（x+1）2+24. （2分）如图，在(k>0)的图象上有两点A（1，4），B（4，1），过这两点分别向x轴引垂线交x轴于C，D两点．连接OA，OB，AC与BO相交与点E,记△OAE，梯形EBDC的面积分别为S1 ， S2 ，则有A . S1＞S2B . S1=S2D . 不能确定5. （2分）若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A .B . 4C . 或4D . 4或6. （2分） (2018九上·耒阳期中) 一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是（）A .B . 18C . 48D . 247. （2分） (2018九上·嘉兴月考) 如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若0＜y1＜y2 ，则x的取值范围是（）A . 0＜x＜2B . 0＜x＜3C . 2＜x＜3D . x＜0或x＞38. （2分）(2017·永康模拟) 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，则S△ADE：S△ABC（）B . 1：4C . 1：8D . 1：99. （2分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是（）A . 5月B . 6月C . 7月D . 8月10. （2分）(2016·黄石) 以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A . b≥B . b≥1或b≤﹣1C . b≥2D . 1≤b≤2二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2017·绍兴模拟) 如图，点A、B为直线上的两点，过A、B两点分别作轴平行线交反比例函数的图象于点C、D两点，若BD=3AC，则的值为________．12. （1分）如果，那么 =________.13. （1分）(2018·黔西南模拟) 二次函数（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣ c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）14. （1分） (2019九下·温州竞赛) 如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AB=24．D，E是AB的三等分点，以AD 为直径的⊙E正好过点C．P点为⊙E上一点，弦PC与半径AE交于点F，过点F作FG⊥CA，垂足为G，连接PA．若，则EF的长是________三、解答题 (共9题；共77分)15. （5分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式和它的对称轴．16. （10分）若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）.（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；17. （5分）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3，求线段AB的长．18. （10分） (2017九上·北京期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=5x﹣5与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点B关于原点O对称，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3且过点A和C．（1）求点A和点C的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，且在x轴上存在点P使得△DAP的面积为6，直接写出满足条件的点P的坐标．19. （5分）图①中是一座钢管混凝土系杆拱桥，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分(如图②)，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB为200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆．（1）求正中间系杆OC的长度；（2）若相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，则是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．20. （10分）根据题意解答（1）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．（2）小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O 的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．21. （15分）(2020·禹州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，且，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，且双曲线经过点D.（1）求k的值；（2）将正方形沿轴负方向平移得到正方形，当点恰好落在双曲线上时，求的面积.22. （10分） (2015九上·汶上期末) 如图，直线y1=﹣ x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；（3）在抛物线上的对称轴上是否存在一点Q，使△QCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23. （7分） (2016九上·鞍山期末) 如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，连BD，交AC于E．（1）如图1，若∠BAC=60°，求的值；（2）如图2，CF⊥AB于F，交BD于G，求证：CG=FG参考答案一、选择题 (共10题；共23分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共9题；共77分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。