高考数学(理)一轮复习课件：两角和、差及倍角公式
( 2x) 6
【解析】因为y=sin(
故函数y=sin( -2x)+cos 2x的最小正周期为 =π, 6 - ≤x≤kπ由2kπ-π≤2x+ ≤2kπ,k∈Z,得kπ ,k∈Z,故单调递增区间为 1 3 3 3 最大值为 cos 2x. sin 2x cos 2x cos 2x sin 2x 3cos(2x ), 2 2 2 2 6 2 6 2 7 12 6 7 [k ,k ](k Z)， 12 12 12
tan tan tan
2
tan tan 1 tan tan
2
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 S2α:sin 2α=______________. C2α:cos 2α=_____________=_________=_________. T2α:tan 2α=______(α≠± +kπ,且α≠kπ+ , k∈Z). 2sin αcos α
6 . 5
【巧思妙解】选A.由于 所以 则f(x)= 因为-1≤sin 函数f(x)的最大值为 .
x (x ) ， 6 2 ≤1,故 3 cos(x ) sin(x ), 6 3 1 sin(x ) sin(x ) 5 3 3 6 sin(x ), (x ) 5 3 3 6 5
7 D. 9
(sin cos) 1 1
2
【母题变式溯源】
题号 知识点 1 两角和的正弦公式 2 倍角公式 3 三角函数的性质 4 倍角公式
源自教材 P129·例3 P143·B组T2 P142·T4 P135·T2
考向一 两角和、差及倍角公式的直接应用 【典例1】(1)(2017· 全国卷Ⅲ)函数f(x)= 的最大值为 世纪金榜导学号12560105(
2 A. 10
2 B. 10
7 2 C. 10
7 2 D. 10
【解析】选C.因为cos α=- ,α是第三象限的角,所 以sin α= 所以 4
3 1 cos ， 5
2
5
sin( ) sincos 4 4
3 2 4 2 7 2 cossin ( ) ( ) . 4 5 2 5 2 10
cos αcos β-sin αsin β
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
T(α+β):tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠ +kπ,k∈Z). 1 tan T(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠ +kπ,k∈Z).
3
-2x)+cos 2x
答案:π
7 [k ,k ](k Z) 12 12
3
4.(2017· 全国卷Ⅲ)已知sin α-cos α= ,则 sin 2α=( ) 【解析】选A.sin 2α=2sin αcos α=
4 3
7 A. 9 7 . 9
2 B. 9
2 C. 9
2.若sin 80°=m,则用含m的式子表示cos 5°=____. 【解析】因为sin 80°=m,所以cos 10°=m, 所以cos 5°= 答案:
1 cos 10 m 1 . 2 2 m 1 2
3.函数y=sin +cos 2x的最小正周期为_________,单调递增区间为_________,最大值为 __________.
(2)①由于函数f(x)的最小正周期为10π, 所以10π= ,所以ω= . ②由①知f(x)=2cos 又因为 所以 1 2 所以sin α=
cos2α-sin2α
2cos2α-1
1-2sin2α
2tan 1 tan 2
4
2
【金榜状元笔记】 1.一组重要关系
2.四个必备结论 (1)降幂公式:cos2α= ,sin2α= (2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. (3)公式变形:tan α±tan β= tan(α±β)(1∓tan αtan β).
)
1 sin(x ) cos(x ) 5 3 6
6 A. 5
B.1
3 C. 5
1 D. 5
(2)(2018· 抚顺模拟)已知函数f(x)=2cos (其中ω>0)的最小正周期为10π. 世纪金榜导学号12560106 ①求ω的值. ②设α,β∈ 求cos(α+β)的值.
( x ) 6
1 cos 2 2
1 cos 2 . 2
(4)辅助角公式:asin x+bcos x= (其中sin φ= ,cos φ= )
sin(x+φ)
b a 2 b2
a b a
2
2
2
a b
2
【教材母题变式】 1.若cos α=- ,α是第三象限的角,则sin
= ( )
4 5
( ) 4
第五节
第一课时
三角恒等变换
两角和、差及倍角公式
【教材基础回顾】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α-β):cos(α-β)=__________________________. C(α+β):cos(α+β)=__________________________. S(α+β):sin(α+β)=__________________________. S(α-β):sin(α-β)=__________________________. cos αcos β+sin αsin β
5 6 5 16 [0， ]，f(5 ) ，f(5 ) ， 2 3 5 6 17
【解析】(1)选A.由两角和差公式得 f(x)=
因为-1≤sin
≤1,故函数f(x)的最大值为
1 1 3 3 1 ( sin x cos x) cos x sin x 5 2 2 2 2 3 3 3 6 sin x cos x sin(x ), 5 5 5 3 (x ) 3
高考数文一轮总复习课件 两角和差及二倍角公式
解析： （2）正确.如 α ，β中有一个为 0，此式即可成立.
（3）错误.两角和的余弦公式为 cos（α ＋β）＝cos α cos β －sin α sin β两项中间应为“－”.
（4）正确.tan α ＋tan β＝tan（α ＋β） （1－tan α tan β）. ∵α ＋β＝45°，∴tan（α ＋β）＝1， ∴tan α ＋tan β＝1－tan α tan β.
基础梳理
１. 两角和与差的三角函数公式
S（α ±β） ：sin（α ±β）= sinαcosβ±cosαsinβ C（α ±β） ：cos（α ±β）＝ cosαcosβ∓sinαsinβ ； tanα ±tanβ T（α ±β） ：tan（α ±β）＝ 1∓tanα tanβ .
2. 二倍角公式
3sin 10° 规范解答： 原式＝2sin 50°＋sin 10°×1＋ × cos 10° cos 10°＋ 3sin 10° ＝2sin 50°＋sin 10°× × cos 10°
2sin 80°
2sin 80°（2 分）
最新考纲
§3.3 两角和、差及二倍角公式
1. 能用向量数量积推导出两角差的余弦公式． 2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3. 能利用两角和的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式
及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
最新考纲 基础梳理
第 三 节
自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选
题型分类 ·典例研析
题型1 · 三角函数式的求值
例 1 求[２ｓｉｎ ５０°＋ｓｉｎ １０°×(１＋ ３ｔａｎ １ ０°)]× ２ｓｉｎ ２ ８０° 的值.
高三数学一轮复习 第3章第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精品课件
已知 α∈0，π2，tan α＝12，求 tan 2α 和 sin2α＋π3的值．
解析：
tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×21122＝43.
∵α∈0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，
∴2α∈0，2π，
∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，
∴sin2α＋π3＝sin 2α·cos
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
＝2csoisn
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2si0° 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
3 2 sin
10°＝
解析： (1)方法一：∵cosβ－π4＝cosπ4cos β＋sinπ4sin β
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β＝13，
∴cos β＋sin β＝ 32，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79.
方法二：sin 2β＝cosπ2－2β ＝2cos2β－π4－1＝－79. (2)∵0＜α＜2π＜β＜π， ∴π4＜β－4π＜34π，2π＜α＋β＜32π， ∴sinβ－π4＞0，cos(α＋β)＜0.
• tan(α±β)＝ • 其变形为： • tan α＋tan β＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β.
.
tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)
；
• tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)
；
• tan αtan β＝
1－tatnanα＋α＋taβnβ
一轮复习课件 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考情分析
1.会用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式．
1.从考查内容看，利用两角和 与差的正弦、余弦、正切公式
2.能利用两角差的余弦公式 进行三角函数式的化简、求值
导出两角差的正弦、正切公 式．
是高考的重点，公式的逆用、
3.能利用两角差的余弦公式 导出两角和的正弦、余弦、
变形应用是高考的热点． 2.从考查题型看，三种题型都 可能出现，常将公式变形与三
辅助角公式中，当 φ 为特殊角，即|ab|的值为 1 或
3或
3 3
时要熟练掌握，对 φ 是非特殊角的情况，只要求会求最值即
可．
【活学活用】 2．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)求函数 f(x)的零点的集合． 解：(1)f(x)＝ 3sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin2x＋π6－1， 所以，当 2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，
三角函数式化简要遵循的“三看”原则 (1) 一 看 “ 角 ” ． 这 是 最 重 要 的 一 点 ， 通 过 角 之 间 的 关 系，把角进行合理拆分与拼凑，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确 定使用的公式． (3)三看“结构特征”．分析结构特征，可以帮助我们找 到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
答案：7102
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝______.
解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)， ∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ＝1－3＋3×5 5＝－814＝－47. 答案：－47
【考向探寻】 利用公式化简三角函数式．
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
— 9—
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
高考数学一轮复习第三章第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
3sin 17°＝12.
②解：因为 tan 60°＝tan(25°＋35°)＝1t－ant2an5°2＋5°ttaann3355°°＝ 3，
则原式＝ 3(1－tan 25°tan 35°)＋ 3tan 25°·tan 35°＝ 3.
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
答案：12
【题后反思】公式的一些常用变形
①1±sin α＝sin
α 2±cos
α22；
②sin 2α＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝ta2nt2aαn＋α 1；
③cos2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα＝11＋－ttaann22αα；
④tanα±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). ⑤sin αcos β＝21[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； sin αsin β＝12[cos (α－β)－cos (α＋β)]； cos αcos β＝12[cos (α－β)＋cos (α＋β)]；
【变式训练】
1.(2022 年全国Ⅱ卷)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos α＋π4sin β，
Байду номын сангаас则( )
A.tan(α－β)＝1
B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1
D.tan(α＋β)＝－1
解析：由题意可得，sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β
答案：B
(2)(2023 年宿迁市校级月考)计算下列各式的值：
①2sin
47°－ 2cos
3sin 17°
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
— 20 —
(新教材) 高三总复习•数学
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角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
— 18 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
— 7—
(新教材) 高三总复习•数学
2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
高考数学复习：两角和与差的三角函数、二倍角公式 课件
分类解析
目标 1 和、差、倍角公式的直接应用
(1) (2020·全国Ⅲ卷)已知 2tan θ－tan θ＋π4＝7，那么 tan θ 等于( D )
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【解析】 2tan θ－tan θ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，化简得 tan2 θ－4tan θ＋4＝0， 解得 tan θ＝2.
tan2α＝1－2tatannα2α.
3. 常用变形结论 (1) tanα±tanβ＝_______t_a_n_(α_±_β_)_(_1_∓_ta_n_α_t_a_n_β)________；
(2) 降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝
(2) 若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为( A )
A. －492
B.
－2
2 9
22 C. 9
42 D. 9
【解析】 因为 sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－232，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×13×－2
2. 1－2tatann1251°5°等于( A ) A. 3 C. 1
3 B. 3 D. －1
【解析】 因为1－2tatann1251°5°＝tan30°＝ 33，所以原式＝ 3.
3. sin1π2－cos1π2·sin1π2＋cos1π2等于( B )
A. －12
B.
－
3 2
备战高考数学一轮复习讲义第20讲 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式
第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°－cos72°sin42°＝ 12 . 解析： sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( D )A. －210 B. 7210 C. －71010D. 210解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45×22＝210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，且β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ 10 .解析： 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( A )A. 17 B. 7 C. －17D. －7解析： 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得tan α＝－34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8－sin 2π8C.tan π81－tan 2π8D. 2cos 222.5°－1解析： 对于A ，sin π12cos π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝12sin π6＝14，不符合题意；对于B ，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22，符合题意；对于C ，tan π81－tan 2π8＝12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝12tan π4＝12，不符合题意；对于D,2cos 222.5°－1＝cos45°＝22，符合题意．基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β)：cos(α∓β)＝ cos αcos β±sin αsin β ； (2) S (α±β)：sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ； (3) T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ 2sin αcos α ；cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α ； tan2α＝2tan α1－tan 2α.3. 辅助角公式函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式， a sin x ＋b cos xtan φ＝ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ；(2) 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3) 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析： 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，所以tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，所以原式＝33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. －210D. －7210解析： 由cos α＝45，0<α<π2，得sin α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．1. (2022·岳阳三模)1－2cos 267.5°等于( D ) A. －12 B. －22 C. －32D. 22解析： 由余弦的倍角公式可得1－2cos 267.5°＝－cos(2×67.5°)＝－cos135°＝22.2. (2022·扬州模拟)1－tan75°1＋tan75°＝ －3 .解析： 1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝－tan(75°－45°)＝－tan30°＝－33.3. (2022·海南模拟)若sin α＝55，则cos(π－2α)等于( A ) A. －35 B. －25 C. 25D. 35解析： cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.4. 若tan α＝－23，tan β＝13，则sin(2α＋2β)等于( C ) A. －7130130 B. 11130130C. －3365D. 9130解析： 由tan α＝－23，知sin α＝－213，cos α＝313或sin α＝213，cos α＝－313，则sin2α＝2sin αcos α＝－2×213×313＝－1213，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132＝513.由tan β＝13，知sin β＝110，cos β＝310或sin β＝－110，cos β＝－310，则sin2β＝2sin βcos β＝2×110×310＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102＝45，则sin(2α＋2β)＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝－1213×45＋513×35＝－3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，则cos α的值为5 .解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α＋π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝31010，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255. (2) 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α等于( B )A. 43＋310 B. 43－310 C.33＋410D. 33－410解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35(α为锐角)，所以α＋π6为锐角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，则sin2α的值为( A ) A. 12 B. －12 C. 32D. －32解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，所以sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－1＝12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝55，则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析： 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π4<θ－π4<π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝255，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝31010，故cos θ＝1－sin 2θ＝1010，因此tan θ＝sin θcos θ＝3.3. 已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，那么cos α＝ 5665 . 解析： 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，2α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2.又cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°－2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析： cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－(cos10°－3sin10°)2sin10°＝32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 等于( A )A. －79 B. 79 C. －89D. 89解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1＝2×19－1＝－79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，63是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α等于( C )A. 13 B. －13 C. －223D. 63解析： 由题知，由任意角三角函数的定义可得sin α＝63，cos α＝－33，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos2α等于( D )A. －79 B. －13 C. 13D. 79解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，即sin α＝13，从而得cos2α＝1－2sin 2α＝79.4. 已知sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝ －2 .解析： 因为sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β＝－45.由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.5. 计算：3cos15°－4sin 215°cos15°解析：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。
2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式
(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±
高考一轮复习课件：和角,差角,倍半角公式
例4、活页例2、
（二）知值求角
例5、活页例3、
小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题． 小结：本节课涉及给值求值、给角求值、给值求角的问题．着眼于
和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、 和差、倍角公式的正用、逆用、变形用，通过切割化弦、 升降幂、转换为特殊角等技巧． 、升降幂、转换为特殊角等技巧．
2、辅助角公式 、
( a > 0, b > 0 )
2 2
a sin α ± b cos α = a + b sin (α ± ϕ )
b 其中tanϕ = a
3.倍角公式 倍角公式
cos 2α = cos α − sin α = 2 cos α − 1 2 = 1 − 2sin α
π
思维点拨:注意观察角与角之间的关系,
三.公式应用: 公式应用 求值： 和角.差角公式的应用 （一）求值： 1. 和角 差角公式的应用 例1 已知 cos π − α = 3 , sin 3π + β = 5 . 其中 π < α < 3π , 0 < β < π ,
求 sin (α + β )的值.
4 5
4
13
4
4
4
小结：本题是给值求值问题， 小结：本题是给值求值问题，解这类题时应认真
分析已知式子中的角与未知式子中的角的关系 .函数名称和式子结构的 函数名称和式子结构的 再决定如何利用以知条件,采用哪些公式 考虑角的整体运用 再决定如何利用以知条件 采用哪些公式,考虑角的整体运用．常用角的 采用哪些公式 考虑角的整体运用． 变换， 变换，如：
sin 2 α − cos2 α = − cos 2α + sin α cos α